توسعة السلسلة

متسلسلة تايلور هي متسلسلة قوى تعتمد على مشتقات دالة عند نقطة واحدة. ^{[ 3 ]} وبشكل أكثر تحديدًا، إذا كانت الدالة${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$قابلة للتفاضل بلا حدود حول نقطة${\displaystyle x_{0}}$إذن، تُعطى متسلسلة تايلور للدالة f حول هذه النقطة بالصيغة التالية:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}}$

بموجب الاتفاقية${\displaystyle 0^{0}:=1}$[ ^{3 ] [ 4 ]} متسلسلة ماكلورين للدالة f هي حالة خاصة من متسلسلة تايلور الخاصة بها ^حول${\displaystyle x_{0}=0}$[ ^{5 ] [ 4 ]​}

تُعدّ متسلسلة لوران تعميمًا لمتسلسلة تايلور، وتسمح بوجود حدود ذات أسس سالبة؛ وهي تأخذ الشكل التالي:${\textstyle \sum _{k=-\infty}^{\infty}c_{k}(za)^{k}}$وتتقارب في حلقة . ^{[ 6 ]} على وجه الخصوص، يمكن استخدام متسلسلة لوران لدراسة سلوك دالة معقدة بالقرب من نقطة تفرد من خلال النظر في توسيع السلسلة على حلقة متمركزة عند نقطة التفرد.

متسلسلة ديريشليه العامة هي متسلسلة من الشكل${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty}a_{n}e^{-\lambda _{n}s}.}$تُعد متسلسلة ديريشليه العادية حالة خاصة مهمة من هذا القبيل${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}$^{[ 7 ]} يستخدم فينظرية الأعداد.

متسلسلة فورييه هي توسيع للدوال الدورية كمجموع للعديد من دوال الجيب وجيب التمام . ^{[ 8 ]} وبشكل أكثر تحديدًا، متسلسلة فورييه لدالة ما${\displaystyle f(x)}$فترة${\displaystyle 2L}$يُعطى بالتعبير$${\displaystyle a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)+b_{n}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\right]}$$حيث يتم إعطاء المعاملات بواسطة الصيغ ^{[ 8 ] [ 9 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&:={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}f(x)\cos \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)dx,\\[5pt]b_{n}&:={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}f(x)\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)dx.\end{aligned}}}$$

• في علم الصوتيات ، على سبيل المثال، تشكل النغمة الأساسية والنغمات التوافقية معًا مثالًا على سلسلة فورييه.

• متسلسلة نيوتن

• كثيرات حدود ليجندر : تستخدم في الفيزياء لوصف مجال كهربائي عشوائي على أنه تراكب لمجال ثنائي القطب ، أو مجال رباعي القطب ، أو مجال ثماني القطب ، إلخ.

• كثيرات حدود زيرنيك : تُستخدم في علم البصريات لحساب انحرافات الأنظمة البصرية. يصف كل حد في المتسلسلة نوعًا معينًا من الانحرافات.

• سلسلة ستيرلينغ$${\displaystyle \operatorname {Ln} \Gamma (z)\sim \left(z-{\tfrac {1}{2}}\right)\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln(2\pi )+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2k(2k-1)z^{2k-1}}}}$$هي تقريب لدالة لوغاريتم جاما . ^{[ 10 ]}