التغير النسبي

في أي علم كمي ، يُستخدم مصطلحا التغير النسبي والفرق النسبي لمقارنة كميتين مع مراعاة حجمهما، أي القسمة على قيمة معيارية أو مرجعية أو ابتدائية . ^{[ 1 ]} تُعبّر المقارنة عن طريق نسبة ، وهي عدد بلا وحدة . وبضرب هذه النسب في 100، يمكن التعبير عنها كنسب مئوية ، ولذا تُستخدم أيضًا مصطلحات التغير المئوي ، والفرق المئوي ، والفرق المئوي النسبي . ويُستخدم مصطلحا "التغير" و"الفرق" بشكل متبادل. ^{[ 2 ]}

يُستخدم التغير النسبي غالبًا كمؤشر كمي لضمان الجودة ومراقبتها في القياسات المتكررة التي يُتوقع أن تكون نتائجها متطابقة. وتُعرف حالة خاصة من التغير النسبي (التغير النسبي مُعبرًا عنه كنسبة مئوية) باسم نسبة الخطأ ، وتحدث في حالات القياس التي تكون فيها القيمة المرجعية هي القيمة المقبولة أو الفعلية (ربما مُحددة نظريًا)، بينما تُحدد القيمة المُقارنة بها تجريبيًا (عن طريق القياس).

لا تُعدّ صيغة التغير النسبي مناسبة في كثير من الحالات. وقد اقتُرحت في الأدبيات صيغ بديلة متنوعة، تُعرف بمؤشرات التغير النسبي . ووجد العديد من الباحثين أن التغير اللوغاريتمي والنقاط اللوغاريتمية مؤشرات مُرضية، إلا أنها لم تُستخدم على نطاق واسع. ^{[ 3 ]}

بفرض وجود كميتين عدديتين، v _{_ref} و v _ref حيث v_{_ref} قيمة مرجعية معينة ، فإن التغير الفعلي بينهما ، أو الفرق الفعلي بينهما ، أو التغير المطلق هو $${\displaystyle \Delta v=v-v_{\mathrm {ref} }.}$$ يُستخدم مصطلح " الفرق المطلق" أحيانًا حتى وإن لم تُؤخذ القيمة المطلقة؛ فإشارة Δ عادةً ما تكون ثابتة، كما هو الحال في سلسلة بيانات متزايدة. إذا لم تكن علاقة القيمة بالقيمة المرجعية (أي كونها أكبر أو أصغر) مهمة في تطبيق معين، فيمكن استخدام القيمة المطلقة بدلًا من التغير الفعلي في الصيغة المذكورة أعلاه للحصول على قيمة للتغير النسبي، وهي دائمًا غير سالبة. لا يُعد الفرق الفعلي عادةً طريقة جيدة لمقارنة الأرقام، خاصةً لأنه يعتمد على وحدة القياس . على سبيل المثال،1 متر  هو نفسه100 سم  ، لكن الفرق المطلق بين2 و 1  متر يساوي 1 بينما الفرق المطلق بينهما200 و100  سم يساويان 100، مما يوحي بفرق أكبر. ^{[ 4 ]} ولكن حتى مع ثبات الوحدات، يساعد التغير النسبي في تقدير أهمية التغير المعني. على سبيل المثال، زيادة في سعريُعتبر مبلغ 100 دولار من شيء ثمين مبلغًا كبيرًا إذا تم تغييره منمن 50 إلى 150 دولارًا، لكنها مبلغ زهيد نسبيًا عند التغيير منمن 10,000 دولار إلى 10,100 دولار .

يمكننا تعديل المقارنة لمراعاة "حجم" الكميات المعنية، وذلك بتحديد، بالنسبة للقيم الموجبة لـ v _ref : $${\displaystyle {\text{relative change}}(v_{\mathrm {ref} },v)={\frac {\text{actual change}}{\text{reference value}}}={\frac {\Delta v}{v_{\mathrm {ref} }}}={\frac {v}{v_{\mathrm {ref} }}}-1.}$$

لا يعتمد التغير النسبي على وحدة القياس المستخدمة؛ على سبيل المثال، التغير النسبي منمن 2 إلى 1 متر  هو-50% ، وهو نفس النسبة بالنسبة لـمن 200 إلى 100  سم . لا يُعرَّف التغير النسبي إذا كانت القيمة المرجعية ( v _ref ) تساوي صفرًا، ويعطي قيمًا سالبة للزيادات الموجبة إذا كانت v _ref سالبة، ولذلك لا يُعرَّف عادةً للقيم المرجعية السالبة أيضًا. على سبيل المثال، قد نرغب في حساب التغير النسبي لـمن -10 إلى -6 . تعطي الصيغة أعلاه (-6) - (-10) / -10 = 4 / -10 = -0.4 ، مما يشير إلى انخفاض، ولكن في الواقع زادت القراءة.

مقاييس التغير النسبي هي أعداد بلا وحدات معبر عنها ككسر . ويمكن الحصول على القيم المقابلة للتغير المئوي بضرب هذه القيم في 100 (وإضافة  علامة النسبة المئوية للإشارة إلى أن القيمة هي نسبة مئوية).

غالباً ما يفرض تقييد نطاق التغير النسبي بالأعداد الموجبة قيداً. ولتجنب هذه المشكلة، من الشائع أخذ القيمة المطلقة، بحيث تعمل صيغة التغير النسبي بشكل صحيح لجميع القيم غير الصفرية لـ${\displaystyle v_{\mathrm {ref} }}$⁠ : $${\displaystyle {\text{Relative change}}(v_{\mathrm {ref} },v)={\frac {v-v_{\mathrm {ref} }}{|v_{\mathrm {ref} }|}}.}$$

هذا لا يحل المشكلة عندما تكون القيمة المرجعية صفرًا. من الشائع بدلاً من ذلك استخدام مؤشر للتغير النسبي، وأخذ القيم المطلقة لكليهما .${\displaystyle v}$و​​${\displaystyle v_{\mathrm {ref} }}$إذن ، الحالة الإشكالية الوحيدة هي${\displaystyle v=v_{\mathrm {ref} }=0}$ويمكن عادةً معالجة ذلك عن طريق توسيع المؤشر بشكل مناسب. على سبيل المثال، بالنسبة للمتوسط ​​الحسابي، يمكن استخدام هذه الصيغة: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle d_{r}(x,y)={\frac {|x-y|}{(|x|+|y|)/2}},\ d_{r}(0,0)=0.}$$

يُعد التغير النسبي طريقة للتعبير عن التغير في متغير ما. وهو يمثل التغير النسبي بين القيمة القديمة والقيمة الجديدة.

على سبيل المثال، إذا كانت قيمة المنزلتبلغ قيمتها اليوم 100 ألف دولار، وفي العام التالي ترتفع قيمتها إلىإذا كان المبلغ 110,000 دولار ، فيمكن التعبير عن النسبة المئوية للتغير في قيمته على النحو التالي: $${\displaystyle {\frac {110,000-100,000}{100,000}}=0.1=10\%.}$$ ويمكن القول إذن أن قيمة المنزل ارتفعت بنسبة 10%.

وبشكل أعم، إذا${\displaystyle V_{1}}$يمثل القيمة القديمة و${\displaystyle V_{2}}$القيمة الجديدة ،$${\displaystyle {\text{Percentage change}}={\frac {\Delta V}{V_{1}}}={\frac {V_{2}-V_{1}}{V_{1}}}\times 100\%.}$$

تدعم بعض الآلات الحاسبة هذا الأمر بشكل مباشر عبر دالة %CHأو وظيفة.Δ%

عندما يكون المتغير المعني نسبة مئوية بحد ذاته، فمن الأفضل التحدث عن تغيره باستخدام النقاط المئوية ، لتجنب الخلط بين الفرق النسبي والفرق المطلق .

إن التغير النسبي (الكلاسيكي) المذكور أعلاه ليس سوى أحد المقاييس/المؤشرات الممكنة للتغير النسبي. مؤشر للتغير النسبي من${\displaystyle x}$( القيمة الأولية أو المرجعية) إلى${\displaystyle y}$( القيمة الجديدة) ${\displaystyle R(x,y)}$هي دالة ثنائية حقيقية القيمة معرفة لمجال الاهتمام والتي تحقق الخصائص التالية: ^{[ 9 ]}

• اللافتة المناسبة:${\displaystyle {\begin{cases}R(x,y)>0&{\text{iff }}y>x\\R(x,y)=0&{\text{iff }}y=x\\R(x,y)<0&{\text{iff }}y<x\end{cases}}.}$
• R دالة متزايدة لـ y عندما تكون x ثابتة.
• R متصلة.
• بغض النظر عن وحدة القياس: للجميع${\displaystyle a>0}$،​​${\displaystyle R(ax,ay)=R(x,y)}$⁠ .
• مُعَيَّر:${\textstyle \left.{\frac {d}{dy}}R(1,y)\right|_{y=1}=1}$

يستند شرط التطبيع إلى الملاحظة التي ⁠${\displaystyle R}$تم قياسه بمعامل ثابت${\displaystyle c>0}$لا يزال يفي بالشروط الأخرى إلى جانب شرط التطبيع. علاوة على ذلك، وبسبب شرط الاستقلال، فإن كل${\displaystyle R}$يمكن كتابتها كدالة ذات وسيط واحد${\displaystyle H}$نسبة​​${\displaystyle \textstyle {\frac {y}{x}}}$[ ¹⁰ ] شرط ^{التطبيع هو} أن${\displaystyle H'(1)=1}$وهذا يعني أن جميع المؤشرات تتصرف مثل المؤشر الكلاسيكي عندما${\displaystyle \textstyle {\frac {y}{x}}}$⁠ قريب من 1 .

عادة ما يتم تقديم مؤشر التغير النسبي على أنه التغير الفعلي Δ مضروبًا في دالة ما للقيم x و y ، على سبيل المثال f ( x , y ) : ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\text{Relative change}}(x,y)={\frac {{\text{Actual change}}\,\Delta }{f(x,y)}}={\frac {y-x}{f(x,y)}}.}$$

كما هو الحال مع التغير النسبي الكلاسيكي، فإن التغير النسبي العام غير مُعرَّف إذا كانت f ( x , y ) تساوي صفرًا. وقد تم اقتراح خيارات مختلفة للدالة f ( x , y ) : ^{[ 11 ]}

مؤشرات التغير النسبي ^{[ 11 ]}

اسم	${\displaystyle f(x,y)}$حيث تكون قيمة المؤشر${\textstyle {\tfrac {y-x}{f(x,y)}}}$	${\displaystyle H(y/x)}$
التغير النسبي (الكلاسيكي)	x	${\displaystyle {\frac {y}{x}}-1}$
التغير النسبي المعكوس	y	${\displaystyle 1-{\frac {x}{y}}}$
التغير في المتوسط ​​الحسابي	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(x+y)}$	${\displaystyle {\frac {{\frac {y}{x}}-1}{{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {y}{x}}\right)}}}$
التغير في المتوسط ​​الهندسي	${\displaystyle {\sqrt {xy}}}$	${\displaystyle {\frac {{\frac {y}{x}}-1}{\sqrt {xy}}}}$
التغير المتوسط ​​التوافقي	${\displaystyle {\frac {2}{{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\left({\frac {y}{x}}-1\right)\left(1+{\frac {x}{y}}\right)}{2}}}$
متوسط ​​تغير العزم من الرتبة k	${\displaystyle \left[{\frac {1}{2}}(x^{k}+y^{k})\right]^{\frac {1}{k}}}$	${\displaystyle {\frac {{\frac {y}{x}}-1}{\left[{\frac {1}{2}}\left(1+\left({\frac {y}{x}}\right)^{k}\right)\right]^{\frac {1}{k}}}}}$
أقصى تغير في المتوسط	${\displaystyle \max(x,y)}$	${\displaystyle {\frac {{\frac {y}{x}}-1}{\max \left(1,{\frac {y}{x}}\right)}}}$
أقل متوسط ​​للتغير	${\displaystyle \min(x,y)}$	${\displaystyle {\frac {{\frac {y}{x}}-1}{\min \left(1,{\frac {y}{x}}\right)}}}$
التغير اللوغاريتمي (المتوسط)	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {y-x}{\ln {\frac {y}{x}}}}&x\neq y\\x&x=y\end{cases}}}$	${\displaystyle \ln {\frac {y}{x}}}$

كما هو موضح في الجدول، فإن جميع المؤشرات باستثناء المؤشرين الأولين لها مقام متوسط . إحدى خصائص دالة المتوسط ​​هي${\displaystyle m(x,y)}$هو: ^{[ 11 ]} ⁠${\displaystyle m(x,y)=m(y,x)}$وهذا يعني أن جميع هذه المؤشرات تتمتع بخاصية "التناظر" التي يفتقر إليها التغير النسبي الكلاسيكي :${\displaystyle R(x,y)=-R(y,x)}$وهذا يتفق مع الحدس القائل بأن التغير النسبي من${\displaystyle x}$إلى​​${\displaystyle y}$ينبغي أن يكون له نفس مقدار التغير النسبي في الاتجاه المعاكس ،${\displaystyle y}$إلى​​${\displaystyle x}$تمامًا مثل العلاقة${\textstyle {\frac {y}{x}}={\frac {1}{x/y}}}$يقترح.

يُوصى باستخدام الحد الأقصى لمتوسط ​​التغير عند مقارنة قيم الفاصلة العائمة في لغات البرمجة للتحقق من التساوي ضمن هامش خطأ معين. ^{[ 12 ]} ويُستخدم أيضًا في حساب أخطاء التقريب عند الحاجة إلى الخطأ النسبي للقياس. أما الحد الأدنى لمتوسط ​​التغير فيُوصى باستخدامه في الاقتصاد القياسي . ^{[ 13 ] [ 14 ]} كما يُوصى باستخدام التغير اللوغاريتمي كبديل عام للتغير النسبي، وسيتم تناوله بمزيد من التفصيل لاحقًا.

يحدد تينهونين دالة فرق نسبية عامة من L (القيمة المرجعية) إلى K : ^{[ 15 ]}$${\displaystyle H(K,L)={\begin{cases}\int _{1}^{K/L}t^{c-1}dt&{\text{when }}K>L\\-\int _{K/L}^{1}t^{c-1}dt&{\text{when }}K<L\end{cases}}}$$

مما يؤدي إلى $${\displaystyle H(K,L)={\begin{cases}{\frac {1}{c}}\cdot ((K/L)^{c}-1)&c\neq 0\\\ln(K/L)&c=0,K>0,L>0\end{cases}}}$$

وبالتحديد في الحالات الخاصة c = ±1 ، $${\displaystyle H(K,L)={\begin{cases}(K-L)/K&c=-1\\(K-L)/L&c=1\end{cases}}}$$

من بين هذه المؤشرات للتغير النسبي، يمكن القول إن اللوغاريتم الطبيعي هو الأكثر طبيعية ( ⁠${\displaystyle \ln }$) نسبة العددين (النهائي والابتدائي)، وتسمى التغير اللوغاريتمي . ^{[ 2 ]} في الواقع، عندما ⁠${\displaystyle \textstyle \left|{\frac {V_{1}-V_{0}}{V_{0}}}\right|\ll 1}$، ينطبق التقريب التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}&=\int _{V_{0}}^{V_{1}}{\frac {{\mathrm {d} }V}{V}}\approx \int _{V_{0}}^{V_{1}}{\frac {{\mathrm {d} }V}{V_{0}}}\\&={\frac {V_{1}-V_{0}}{V_{0}}},\end{aligned}}}$$ وهي الصيغة الكلاسيكية للتغير النسبي.

لأن​${\displaystyle \textstyle \ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}=\ln(V_{1})-\ln(V_{0})}$وبالتالي ، عندما يتحقق الشرط السابق، فإن الفرق بين اللوغاريتمات (الطبيعية) يساوي تقريبًا النسبة المئوية للتغير.

وبنفس الطريقة التي يتم بها ضرب التغير النسبي في 100 للحصول على النسب المئوية،${\textstyle \ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}}$يمكن ضربها في 100 للحصول على ما يُعرف عادةً بالنقاط اللوغاريتمية . ^{[ 16 ]} تُعادل النقاط اللوغاريتمية وحدة المئوية (cNp) عند قياسها للكميات الجذرية الأسية. ^{[ 17 ] [ 18 ]} يُشار إلى هذه الكمية أيضًا باسم النسبة المئوية اللوغاريتمية ويُرمز لها بـ L% . ^{[ 2 ]} بما أن مشتق اللوغاريتم الطبيعي عند 1 يساوي 1، فإن النقاط اللوغاريتمية تُساوي تقريبًا النسبة المئوية للتغير للفروق الصغيرة - على سبيل المثال، زيادة بنسبة 1% تُساوي زيادة بنسبة 1%. 0.995  سنتي نابت ، وزيادة بنسبة 5% تعطيزيادة قدرها 4.88  سنتي نيوتن . لا تنطبق خاصية التقريب هذه على خيارات أخرى لأساس اللوغاريتم، والتي تُدخل عامل قياس بسبب عدم كون المشتقة تساوي 1. وبالتالي، يمكن استخدام النقاط اللوغاريتمية كبديل للنسبة المئوية للتغير. ^{[ 19 ] [ 17 ]}

• خطأ التقريب
• الأخطاء والبواقي في الإحصاء
• الانحراف المعياري النسبي
• المقياس اللوغاريتمي

• بينيت، جيفري؛ بريغز، ويليام (2005). استخدام وفهم الرياضيات: منهج الاستدلال الكمي (  الطبعة الثالثة). بوسطن: بيرسون. ISBN 0-321-22773-5.
• كارجوس، أندريس؛ بليث، ريتشارد أ.؛ كيربي، سيمون؛ سميث، كيني (10 فبراير 2020). "قياس ديناميكيات التقلبات الموضوعية في اللغة" . ديناميكيات اللغة والتغيير . 10 (1). القسم أ.3.1. arXiv : 1806.00699 . doi : 10.1163/22105832-01001200 . S2CID 46928080 . 
• "الفرق المئوي - الخطأ المئوي" (ملف PDF) . جامعة ولاية إلينوي، قسم الفيزياء. 20 يوليو 2004. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 13 يوليو 2019. تاريخ الاطلاع: 5 مايو 2010 .
• تينهونين، لوري (1990). تقنيات إنتاج CES وpar، وتوزيع الدخل، والنظرية الكلاسيكية الجديدة للإنتاج (أطروحة دكتوراه). المجلد  290. جامعة تامبيري.
• تورنكفيست، ليو؛ فارتيا، بنتي؛ فارتيا، يريو (1985). "كيف ينبغي قياس التغيرات النسبية؟" (بي دي إف) . الإحصائي الأمريكي . 39 (1): 43-46 . دوى : 10.2307 / 2683905 . جستور 2683905 . 
• "فهم القياس والرسم البياني" (ملف PDF) . جامعة ولاية كارولينا الشمالية . 20 أغسطس 2008. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 15 يونيو 2010. تاريخ الاطلاع: 5 مايو 2010 .
• فارتيا، يرجو أو. (1976). التغيرات النسبية والأرقام القياسية (ملف PDF) . ETLA A 4. هلسنكي: معهد البحوث الاقتصادية الفنلندية. ISBN 951-9205-24-1تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 نوفمبر 2022 .