الإفراط في الاكتمال

قد تكون هذه المقالة تقنية للغاية بحيث يصعب على معظم القراء فهمها . يرجى المساعدة في تحسينها لجعلها مفهومة لغير المتخصصين ، دون إزالة التفاصيل التقنية. ( أكتوبر 2021 ) ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة )

الإفراط في الاكتمال هو مفهوم من الجبر الخطي يستخدم على نطاق واسع في الرياضيات وعلوم الكمبيوتر والهندسة والإحصاء (عادةً في شكل إطارات مفرطة الاكتمال ). تم تقديمه بواسطة RJ Duffin و AC Schaeffer في عام 1952. ^[1]

رسميًا، تكون مجموعة فرعية من متجهات فضاء باناخ ، والتي تسمى أحيانًا "نظامًا"، مكتملة إذا كان من الممكن تقريب كل عنصر في بشكل تعسفي جيدًا في المعيار من خلال مجموعات خطية محدودة من العناصر في . ^[2] يُطلق على النظام اسم مفرط الاكتمال إذا كان يحتوي على متجهات أكثر مما هو ضروري ليكون مكتملًا، أي أنه يوجد ما يمكن إزالته من النظام بحيث يظل مكتملًا. في مجالات البحث مثل معالجة الإشارات وتقريب الوظيفة ، يمكن أن يساعد الإفراط في الاكتمال الباحثين على تحقيق تحلل أكثر استقرارًا وأكثر قوة وأكثر إحكاما من استخدام أساس . ^[3]${\displaystyle \{\phi _{i}\}_{i\in J}}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{\phi _{i}\}_{i\in J}}$${\displaystyle \phi _{j}\in \{\phi _{i}\}_{i\in J}}$${\displaystyle \{\phi _{i}\}_{i\in J}\setminus \{\phi _{j}\}}$

نشأت نظرية الإطارات في ورقة بحثية كتبها دوفين وشايفر حول سلسلة فورييه غير التوافقية. ^[1] يتم تعريف الإطار على أنه مجموعة من المتجهات غير الصفرية بحيث بالنسبة لـ ، ${\displaystyle \{\phi _{i}\}_{i\in J}}$${\displaystyle f\in {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle A\|f\|^{2}\leq \sum _{i\in J}|\langle f,\phi _{i}\rangle |^{2}\leq B\|f\|^{2}}$

حيث يشير إلى المنتج الداخلي، و هما ثابتان موجبان يسمىان حدود الإطار. عندما يمكن اختيار و بحيث ، يسمى الإطار إطارًا ضيقًا. ^[4]${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A=B}$

يمكن ملاحظة أن . يمكن تقديم مثال للإطار على النحو التالي. دع كل من و يكون أساسًا متعامدًا عموديًا لـ ، ثم ${\displaystyle {\mathcal {H}}=\operatorname {span} \{\phi _{i}\}}$${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle \{\beta _{i}\}_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \{\phi _{i}\}_{i=1}^{\infty }=\{\alpha _{i}\}_{i=1}^{\infty }\cup \{\beta _{i}\}_{i=1}^{\infty }}$

هو إطار ذو حدود . ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle A=B=2}$

ليكن عامل الإطار، ${\displaystyle S}$

${\displaystyle Sf=\sum _{i\in J}\langle f,\phi _{i}\rangle \phi _{i}}$

يُقال عن الإطار الذي لا يشكل أساس ريز ، والذي يتكون في هذه الحالة من مجموعة من الدوال أكثر من أساس، أنه مفرط الاكتمال أو زائد عن الحاجة . ^[5] وفي هذه الحالة، نظرًا لأن ، يمكن أن يكون له تحللات مختلفة بناءً على الإطار. الإطار المعطى في المثال أعلاه هو إطار مفرط الاكتمال. ${\displaystyle f\in {\mathcal {H}}}$

عند استخدام الإطارات لتقدير الوظيفة، قد يرغب المرء في مقارنة أداء الإطارات المختلفة. يمكن اعتبار التوفير في الوظائف التقريبية بواسطة الإطارات المختلفة إحدى الطرق لمقارنة أدائها. ^[6]

بالنظر إلى التسامح والإطار في ، لأي دالة ، حدد مجموعة جميع الدوال التقريبية التي تلبي${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle F=\{\phi _{i}\}_{i\in J}}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \|f-{\hat {f}}\|<\epsilon }$

${\displaystyle N(f,\epsilon )=\{{\hat {f}}:{\hat {f}}=\sum _{i=1}^{k}\beta _{i}\phi _{i},\|f-{\hat {f}}\|<\epsilon \}}$

ثم دع

${\displaystyle k_{F}(f,\epsilon )=\inf\{k:{\hat {f}}\in N(f,\epsilon )\}}$

${\displaystyle k(f,\epsilon )}$يشير إلى الاقتصاد في استخدام الإطار لتقريب . قد تختلف القيم المختلفة بناءً على مدى صعوبة التقريب باستخدام العناصر الموجودة في الإطار. أسوأ حالة لتقدير دالة ما يتم تعريفها على أنها ${\displaystyle F}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle k}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle k_{F}(\epsilon )=\sup _{f\in L^{2}(\mathbb {R} )}\{k_{F}(f,\epsilon )\}}$

بالنسبة لإطار آخر ، إذا ، فإن الإطار أفضل من الإطار عند المستوى . وإذا كان هناك أن لكل ، لدينا ، فإن الإطار أفضل من بشكل عام. ${\displaystyle G}$${\displaystyle k_{F}(\epsilon )<k_{G}(\epsilon )}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \epsilon <\gamma }$${\displaystyle k_{F}(\epsilon )<k_{G}(\epsilon )}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

عادة ما يتم إنشاء الإطارات الزائدة عن الحد بثلاث طرق.

1. قم بدمج مجموعة من القواعد، مثل قاعدة الموجة وقاعدة فورييه، للحصول على إطار مكتمل.
2. قم بتكبير نطاق المعلمات في بعض الإطارات، مثل إطار جابور وإطار الموجات ، للحصول على إطار مكتمل.
3. أضف بعض الوظائف الأخرى إلى قاعدة كاملة موجودة لتحقيق إطار مكتمل.

فيما يلي مثال على إطار مكتمل بشكل زائد. البيانات المجمعة موجودة في مساحة ثنائية الأبعاد، وفي هذه الحالة يجب أن يكون الأساس الذي يحتوي على عنصرين قادرًا على شرح جميع البيانات. ومع ذلك، عند تضمين الضوضاء في البيانات، قد لا يكون الأساس قادرًا على التعبير عن خصائص البيانات. إذا تم استخدام إطار مكتمل بشكل زائد مع أربعة عناصر تتوافق مع المحاور الأربعة في الشكل للتعبير عن البيانات، فستكون كل نقطة قادرة على الحصول على تعبير جيد بواسطة الإطار المكتمل بشكل زائد.

• 
  مثال على إطار مكتمل

إن مرونة الإطار المكتمل الزائد هي إحدى مزاياه الرئيسية عند استخدامه في التعبير عن إشارة أو تقريب دالة. ومع ذلك، وبسبب هذا التكرار، يمكن أن تحتوي الدالة على تعبيرات متعددة تحت إطار مكتمل زائد. ^[7] عندما يكون الإطار محدودًا، يمكن التعبير عن التحلل على النحو التالي

${\displaystyle f=Ax}$

حيث هي الدالة التي نريد تقريبها، هي المصفوفة التي تحتوي على جميع العناصر في الإطار، و هي معاملات تحت تمثيل . بدون أي قيد آخر، سيختار الإطار أن يعطي مع الحد الأدنى من القاعدة في . بناءً على ذلك، يمكن أيضًا اعتبار بعض الخصائص الأخرى عند حل المعادلة، مثل الندرة. لذلك، عمل باحثون مختلفون على حل هذه المعادلة عن طريق إضافة قيود أخرى في دالة الهدف. على سبيل المثال، يمكن استخدام قيد يقلل من معيار ' في لحل هذه المعادلة. يجب أن يكون هذا معادلاً لانحدار لاسو في مجتمع الإحصاء. يستخدم النهج البايزي أيضًا للقضاء على التكرار في إطار مكتمل. اقترح لويكي وسيجنوفسكي خوارزمية للإطار المكتمل من خلال اعتباره نموذجًا احتماليًا للبيانات المرصودة. ^[7] مؤخرًا، تم دمج إطار جابور المكتمل مع طريقة اختيار المتغير البايزي لتحقيق كل من معاملات توسيع القاعدة الصغيرة في والندرة في العناصر. ^[8]${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle x}$${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

في التحليل الحديث في معالجة الإشارات وغيرها من مجالات الهندسة، يتم اقتراح واستخدام إطارات متعددة مكتملة. هنا يتم تقديم ومناقشة إطارين شائعين الاستخدام، إطارات جابور وإطارات الموجات.

في تحويل فورييه المعتاد، يتم تحويل الدالة في مجال الزمن إلى مجال التردد. ومع ذلك، يُظهر التحويل فقط خاصية التردد لهذه الدالة ويفقد معلوماتها في مجال الزمن. إذا تم ضرب دالة النافذة ، والتي لها قيمة غير صفرية فقط في فترة زمنية صغيرة، بالدالة الأصلية قبل تشغيل تحويل فورييه، فقد تظل كل من المعلومات في مجال الزمن والتردد في الفترة الزمنية المختارة. عند استخدام تسلسل ترجمة في التحويل، يتم الاحتفاظ بمعلومات الدالة في مجال الزمن بعد التحويل. ${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$

دع المشغلين

${\displaystyle T_{a}:L^{2}(R)\rightarrow L^{2}(R),(T_{a}f)(x)=f(x-a)}$

${\displaystyle E_{b}:L^{2}(R)\rightarrow L^{2}(R),(E_{b}f)(x)=e^{2\pi ibx}f(x)}$

${\displaystyle D_{c}:L^{2}(R)\rightarrow L^{2}(R),(D_{c}f)(x)={\frac {1}{\sqrt {c}}}f\left({\frac {x}{c}}\right)}$

إطار جابور (سمي على اسم دينيس جابور ويُسمى أيضًا إطار ويل - هايزنبرج ) في يُعرَّف على أنه الشكل ، حيث و دالة ثابتة. ^[5] ومع ذلك، ليس لكل و يشكل إطارًا على . على سبيل المثال، عندما ، لا يكون إطارًا لـ . عندما يكون من الممكن أن يكون إطارًا، وفي هذه الحالة يكون أساس ريز. لذا فإن الموقف المحتمل لكونه إطارًا مكتملًا هو . عائلة جابور هي أيضًا إطار وتشترك في نفس حدود الإطار مثل${\displaystyle L^{2}(R)}$${\displaystyle \{E_{mb}T_{na}g\}_{m,n\in Z}}$${\displaystyle a,b>0}$${\displaystyle g\in L^{2}(R)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \{E_{mb}T_{na}g\}_{m,n\in Z}}$${\displaystyle L^{2}(R)}$${\displaystyle ab>1}$${\displaystyle L^{2}(R)}$${\displaystyle ab=1}$${\displaystyle \{E_{mb}T_{na}g\}_{m,n\in Z}}$${\displaystyle \{E_{mb}T_{na}g\}_{m,n\in Z}}$${\displaystyle ab<1}$${\displaystyle \{E_{mb/c}T_{nac}g_{c}\}_{m,n\in Z}}$${\displaystyle \{E_{mb}T_{na}g\}_{m,n\in Z}.}$

يمكن استخدام أنواع مختلفة من وظائف النافذة في إطار جابور. هنا يتم عرض أمثلة لثلاث وظائف نافذة، ويتم عرض الشرط الخاص بنظام جابور المقابل باعتباره إطارًا على النحو التالي. ${\displaystyle g}$

• 
  ثلاث وظائف نافذة مستخدمة في إنشاء إطار جابور.

(1) ، هو إطار عندما ${\displaystyle g(x)=e^{-x^{2}}}$${\displaystyle \{E_{mb}T_{na}g\}_{m,n\in Z}}$${\displaystyle ab<0.994}$

(2) ، هو إطار عندما ${\displaystyle g(x)={\frac {1}{cosh(\pi x)}}}$${\displaystyle \{E_{mb}T_{na}g\}_{m,n\in Z}}$${\displaystyle ab<1}$

(3) حيث هي دالة المؤشر. يكون الوضع ليكون إطارًا كما يلي. ${\displaystyle g(x)=I_{[0,c)}(x)}$${\displaystyle I(x)}$${\displaystyle \{E_{mb}T_{na}g\}_{m,n\in Z}}$

1) أو ليس إطارًا ${\displaystyle a>c}$${\displaystyle a>1}$

2) و ليس إطارا ${\displaystyle c>1}$${\displaystyle a=1}$

3) ، هو إطار ${\displaystyle a\leq c\leq 1}$

4) و هو غير نسبي، و ، هو إطار ${\displaystyle a<1}$${\displaystyle c\in (1,2)}$

5) و هما أعداد أولية نسبيًا، و ليست إطارًا ${\displaystyle a={\frac {p}{q}}<1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle 2-{\frac {1}{q}}<c<2}$

6) و ، حيث و يكون عدد طبيعي وليس إطارًا ${\displaystyle {\frac {3}{4}}<a<1}$${\displaystyle c=L-1+L(1-a)}$${\displaystyle L\geq 3}$

7) ، ، ، حيث أكبر عدد صحيح لا يتجاوز ، هو إطار. ${\displaystyle a<1}$${\displaystyle c>1}$${\displaystyle |c-[c]-{\frac {1}{2}}|<{\frac {1}{2}}-a}$${\displaystyle [c]}$${\displaystyle c}$

المناقشة أعلاه هي ملخص للفصل الثامن في. ^[5]

تشير مجموعة الموجات عادةً إلى مجموعة من الوظائف المستندة إلى${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \{2^{\frac {j}{2}}\psi (2^{j}x-k)\}_{j,k\in Z}}$

يشكل هذا أساسًا متعامدًا عموديًا لـ . ومع ذلك، عندما يمكن أن تأخذ القيم في ، تمثل المجموعة إطارًا مكتملًا بشكل زائد وتسمى أساس الموجات غير المكرر. في الحالة العامة، يتم تعريف إطار الموجات كإطار لـ من النموذج ${\displaystyle L^{2}(R)}$${\displaystyle j,k}$${\displaystyle R}$${\displaystyle L^{2}(R)}$

${\displaystyle \{a^{\frac {j}{2}}\psi (a^{j}x-kb)\}_{j,k\in Z}}$

حيث ، ، و . يمكن حساب الحد العلوي والسفلي لهذا الإطار على النحو التالي. ليكن تحويل فورييه لـ${\displaystyle a>1}$${\displaystyle b>0}$${\displaystyle \psi \in L^{2}(R)}$${\displaystyle {\hat {\psi }}(\gamma )}$${\displaystyle \psi \in L^{1}(R)}$

${\displaystyle {\hat {\psi }}(\gamma )=\int _{R}\psi (x)e^{-2\pi ix\gamma }dx}$

عندما يتم إصلاحها، قم بتحديدها ${\displaystyle a,b}$

${\displaystyle G_{0}(\gamma )=\sum _{j\in Z}|{\hat {\psi }}(a^{j}\gamma )|^{2}}$

${\displaystyle G_{1}(\gamma )=\sum _{k\neq 0}\sum _{j\in Z}|{\hat {\psi }}(a^{j}\gamma ){\hat {\psi }}(a^{j}\gamma +{\frac {k}{b}})|}$

ثم

${\displaystyle B={\frac {1}{b}}\sup _{|\gamma |\in [1,a]}(G_{0}(\gamma )+G_{1}(\gamma ))<\infty }$

${\displaystyle A={\frac {1}{b}}\inf _{|\gamma |\in [1,a]}(G_{0}(\gamma )-G_{1}(\gamma ))>0}$

علاوة على ذلك، عندما

${\displaystyle \sum _{j\in Z}|{\hat {\psi }}(2^{j}\gamma )|^{2}=A}$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }{\hat {\psi }}(2^{j}\gamma ){\overline {{\hat {\psi }}(2^{j}(\gamma +q))}}=0}$، لجميع الأعداد الصحيحة الفردية${\displaystyle q}$

الإطار الناتج هو إطار ضيق. ${\displaystyle \{\psi _{j,k}\}_{j,k\in Z}}$

المناقشة في هذا القسم مبنية على الفصل الحادي عشر في. ^[5]

تم استخدام إطارات جابور المكتملة وإطارات الموجات في مجالات بحثية مختلفة بما في ذلك اكتشاف الإشارة، وتمثيل الصور، والتعرف على الكائنات، وتقليل الضوضاء ، ونظرية أخذ العينات، ونظرية المشغل ، والتحليل التوافقي ، والتقريب المتفرق غير الخطي، والمشغلات شبه التفاضلية ، والاتصالات اللاسلكية، والجيوفيزياء، والحوسبة الكمومية، وبنوك المرشحات . ^{[3] [5]}