التحليل التوافقي

التحليل التوافقي هو فرع من فروع الرياضيات يهتم بالبحث في الروابط بين الدالة وتمثيلها بالتردد . يتم إيجاد تمثيل التردد باستخدام تحويل فورييه للدوال في المجالات غير المحدودة مثل الخط الحقيقي الكامل أو بواسطة سلسلة فورييه للدوال في المجالات المحدودة، وخاصة الدوال الدورية على فترات محدودة . يُطلق على تعميم هذه التحويلات على مجالات أخرى عمومًا تحليل فورييه ، على الرغم من أن المصطلح يُستخدم أحيانًا بالتبادل مع التحليل التوافقي. أصبح التحليل التوافقي موضوعًا واسعًا مع تطبيقات في مجالات متنوعة مثل نظرية الأعداد ونظرية التمثيل ومعالجة الإشارات وميكانيكا الكم وتحليل المد والجزر وتحليل الطيف وعلم الأعصاب .

نشأ مصطلح " التوافقيات " من الكلمة اليونانية القديمة harmonikos ، والتي تعني "الماهر في الموسيقى". ^[1] في مسائل القيمة الذاتية الفيزيائية ، بدأ يعني الموجات التي تكون تردداتها مضاعفات صحيحة لبعضها البعض، كما هي الحال مع ترددات التوافقيات في النوتات الموسيقية . ومع ذلك، تم تعميم المصطلح بما يتجاوز معناه الأصلي.

تاريخيًا، كانت الدوال التوافقية تشير أولاً إلى حلول معادلة لابلاس . ^[2] وقد تم توسيع هذه المصطلحات لتشمل دوال خاصة أخرى تحل المعادلات ذات الصلة، ^[3] ثم إلى الدوال الذاتية للمشغلات الإهليلجية العامة ، ^[4] وفي الوقت الحاضر تعتبر الدوال التوافقية بمثابة تعميم للدوال الدورية ^[5] في فضاءات الدوال المحددة على المتشعبات ، على سبيل المثال كحلول لمعادلات تفاضلية جزئية عامة، وليس بالضرورة إهليلجية ، بما في ذلك بعض الشروط الحدودية التي قد تعني تماثلها أو دوريتها. ^[6]

لا يزال تحويل فورييه الكلاسيكي على R ⁿ مجالًا للبحث الجاري، وخاصة فيما يتعلق بتحويل فورييه على أشياء أكثر عمومية مثل التوزيعات المعتدلة . على سبيل المثال، إذا فرضنا بعض المتطلبات على توزيع f ، فيمكننا محاولة ترجمة هذه المتطلبات إلى تحويل فورييه لـ f . نظرية بالي-فينر هي مثال على ذلك. تشير نظرية بالي-فينر على الفور إلى أنه إذا كان f توزيعًا غير صفري للدعم المضغوط (يتضمن ذلك وظائف الدعم المضغوط)، فإن تحويل فورييه الخاص به لا يكون مدعومًا مضغوطًا أبدًا (أي إذا كانت الإشارة محدودة في مجال واحد، فهي غير محدودة في المجال الآخر). هذا هو الشكل الأولي لمبدأ عدم اليقين في إعداد التحليل التوافقي.

يمكن دراسة سلسلة فورييه بسهولة في سياق فضاءات هيلبرت ، والتي توفر اتصالاً بين التحليل التوافقي والتحليل الوظيفي . هناك أربع نسخ من تحويل فورييه، اعتمادًا على الفضاءات التي تم رسمها بواسطة التحويل:

• منفصل/دوري–منفصل/دوري: تحويل فورييه المنفصل
• مستمر/دوري-منفصل/غير دوري: سلسلة فورييه
• منفصل/غير دوري-مستمر/دوري: تحويل فورييه في الزمن المنفصل
• مستمر/غير دوري-مستمر/غير دوري: تحويل فورييه

وبما أن المساحات التي تم رسمها بواسطة تحويل فورييه هي، على وجه الخصوص، مساحات فرعية من مساحة التوزيعات المعتدلة، فيمكن إظهار أن الإصدارات الأربعة من تحويل فورييه هي حالات خاصة لتحويل فورييه على التوزيعات المعتدلة.

يهتم التحليل التوافقي المجرد في المقام الأول بكيفية دراسة الدوال ذات القيم الحقيقية أو المعقدة (غالبًا في مجالات عامة جدًا) باستخدام التناظرات مثل الترجمات أو الدورات (على سبيل المثال عبر تحويل فورييه وأقاربه)؛ يرتبط هذا المجال بالطبع بالتحليل التوافقي للمتغيرات الحقيقية، ولكنه ربما يكون أقرب في روحه إلى نظرية التمثيل والتحليل الوظيفي . ^[7]

يعد التحليل على المجموعات الطوبولوجية أحد أكثر فروع التحليل التوافقي حداثة، حيث يعود تاريخه إلى منتصف القرن العشرين . وتتمثل الأفكار الدافعة الأساسية في تحويلات فورييه المختلفة ، والتي يمكن تعميمها على تحويل الدوال المحددة على المجموعات الطوبولوجية المدمجة محليًا وفقًا لـ هاوسدورف . ^[8]

تُعرف إحدى النتائج الرئيسية في نظرية الدوال على المجموعات المدمجة محليًا الإبيلية باسم ثنائية بونترياجين . تدرس التحليلات التوافقية خصائص تلك الثنائية. تحاول التعميمات المختلفة لتحويلات فورييه توسيع تلك الميزات إلى إعدادات مختلفة، على سبيل المثال، أولاً إلى حالة المجموعات الطوبولوجية الإبيلية العامة وثانيًا إلى حالة مجموعات لاي غير الإبيلية . ^[9]

يرتبط التحليل التوافقي ارتباطًا وثيقًا بنظرية تمثيلات المجموعة الوحدوية للمجموعات المدمجة محليًا غير أبيلية عامة. بالنسبة للمجموعات المدمجة، تشرح نظرية بيتر-ويل كيف يمكن للمرء الحصول على التوافقيات عن طريق اختيار تمثيل غير قابل للاختزال من كل فئة تكافؤ للتمثيلات. ^{[10] يتمتع هذا الاختيار من التوافقيات ببعض الخصائص القيمة لتحويل فورييه الكلاسيكي من حيث حمل التلافيف إلى منتجات نقطية أو إظهار فهم معين لبنية} المجموعة الأساسية . انظر أيضًا: التحليل التوافقي غير التبادلي .

إذا لم تكن المجموعة أبيلية ولا مضغوطة، فلا توجد نظرية مرضية عامة معروفة حاليًا (تعني "مرضية" أنها قوية على الأقل مثل نظرية بلانشريل ). ومع ذلك، فقد تم تحليل العديد من الحالات المحددة، على سبيل المثال، SL _n . في هذه الحالة، تلعب التمثيلات في الأبعاد اللانهائية دورًا حاسمًا.

تبدأ العديد من تطبيقات التحليل التوافقي في العلوم والهندسة بفكرة أو فرضية مفادها أن الظاهرة أو الإشارة تتكون من مجموع مكونات تذبذبية فردية. وتعد المد والجزر في المحيطات والأوتار المهتزة أمثلة شائعة وبسيطة. غالبًا ما يحاول النهج النظري وصف النظام من خلال معادلة تفاضلية أو نظام معادلات للتنبؤ بالسمات الأساسية، بما في ذلك سعة وتردد ومراحل المكونات التذبذبية. تعتمد المعادلات المحددة على المجال، لكن النظريات تحاول عمومًا اختيار المعادلات التي تمثل مبادئ مهمة قابلة للتطبيق.

إن النهج التجريبي عادة ما يتلخص في الحصول على بيانات تحدد الظاهرة بدقة. على سبيل المثال، في دراسة المد والجزر، يقوم الباحث التجريبي بجمع عينات من عمق المياه كدالة للوقت على فترات متقاربة بما يكفي لرؤية كل تذبذب وعلى مدى فترة طويلة بما يكفي بحيث من المحتمل أن يتم تضمين فترات تذبذب متعددة. في دراسة الأوتار المهتزة، من الشائع أن يحصل الباحث التجريبي على شكل موجة صوتية تم أخذ عينات منها بمعدل لا يقل عن ضعف أعلى تردد متوقع ولفترة أطول عدة مرات من أدنى تردد متوقع.

على سبيل المثال، الإشارة العلوية على اليمين هي شكل موجة صوتية لغيتار باس يعزف على وتر مفتوح يتوافق مع نغمة A بتردد أساسي يبلغ 55 هرتز. يبدو شكل الموجة متذبذبًا، لكنه أكثر تعقيدًا من موجة جيبية بسيطة، مما يدل على وجود موجات إضافية. يمكن الكشف عن مكونات الموجة المختلفة التي تساهم في الصوت من خلال تطبيق تقنية التحليل الرياضي المعروفة باسم تحويل فورييه ، كما هو موضح في الشكل السفلي. توجد ذروة بارزة عند 55 هرتز، ولكن توجد ذروات أخرى عند 110 هرتز و165 هرتز وترددات أخرى تتوافق مع مضاعفات عددية صحيحة لـ 55 هرتز. في هذه الحالة، يتم تحديد 55 هرتز على أنه التردد الأساسي لاهتزاز الوتر، وتُعرف المضاعفات الصحيحة باسم التوافقيات .

• تعتبر دراسة القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للابلاسية على المجالات والمتعددات والرسوم البيانية (إلى حد أقل) أيضًا فرعًا من فروع التحليل التوافقي. انظر، على سبيل المثال، سماع شكل الطبلة . ^[12]
• يتناول التحليل التوافقي في الفضاءات الإقليدية خصائص تحويل فورييه على R ⁿ التي ليس لها مثيل في المجموعات العامة. على سبيل المثال، حقيقة أن تحويل فورييه ثابت الدوران. يؤدي تحليل تحويل فورييه إلى مكوناته الشعاعية والكروية إلى موضوعات مثل وظائف بيسل والتوافقيات الكروية .
• يهتم التحليل التوافقي على مجالات الأنابيب بتعميم خصائص مساحات هاردي إلى أبعاد أعلى.
• الأشكال التلقائية هي دوال توافقية معممة، فيما يتعلق بمجموعة التناظر. وهي مجال قديم ونشط في نفس الوقت للتطوير في التحليل التوافقي بسبب ارتباطها ببرنامج Langlands .
• التحليل التوافقي غير الخطي هو استخدام أدوات وتقنيات التحليل التوافقي والوظيفي لدراسة الأنظمة غير الخطية . ويشمل ذلك كل من المشكلات ذات الدرجات اللانهائية من الحرية وكذلك المشغلات والمعادلات غير الخطية . ^[13]

هذا القسم يحتاج إلى التوسعة ، يمكنك المساعدة بإضافة المزيد إليه. ( مايو 2024 )

• تقارب سلسلة فورييه
• تحليل فورييه لحساب الدورية في البيانات المتباعدة بالتساوي
• التوافقيات (رياضيات)
• تحليل الطيف باستخدام المربعات الصغرى لحساب الدورية في البيانات غير المتساوية المسافات
• تقدير الكثافة الطيفية
• أطروحة تيت

• إلياس شتاين وجيدو فايس ، مقدمة لتحليل فورييه على الفضاءات الإقليدية ، مطبعة جامعة برينستون ، 1971. ISBN 0-691-08078-X 
• إلياس شتاين مع تيموثي إس. مورفي، التحليل التوافقي: أساليب المتغيرات الحقيقية، والتقويم، والتكاملات التذبذبية ، مطبعة جامعة برينستون، 1993.
• إلياس شتاين ، مواضيع في التحليل التوافقي تتعلق بنظرية ليتلوود-بالي ، مطبعة جامعة برينستون، 1970.
• يتسحاق كاتزنلسون ، مقدمة في التحليل التوافقي ، الطبعة الثالثة. مطبعة جامعة كامبريدج، 2004. ISBN 0-521-83829-0 ؛ 0-521-54359-2 
• تيرينس تاو ، تحويل فورييه. (يقدم تحلل الدوال إلى أجزاء فردية وزوجية كتحلل توافقي على .)${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$
• يوري آي. ليوبيتش. مقدمة إلى نظرية تمثيلات باناخ للمجموعات . ترجمت من الطبعة الروسية لعام 1985 (خاركوف، أوكرانيا). دار بيركهاوزر للنشر. 1988.
• جورج دبليو ماكي ، التحليل التوافقي كاستغلال للتناظر - دراسة تاريخية، مجلة الرياضيات الأمريكية 3 (1980)، 543-698.
• م. بوجوسا، أ. بوجوسا، أ. جارسيا فيرير. الإطار الرياضي للأطياف الزائفة لمعادلات الفرق العشوائية الخطية، مجلة معاملات معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات لمعالجة الإشارات ، المجلد 63 (2015)، 6498-6509.