دالة أسية p -adic

في الرياضيات ، وتحديداً في التحليل p -adic ، تُعدّ الدالة الأسية p -adic نظيراً p -adic للدالة الأسية المعتادة على الأعداد المركبة . وكما هو الحال في الأعداد المركبة، فإن لها دالة عكسية تُسمى اللوغاريتم p -adic .

الدالة الأسية المعتادة على${\displaystyle \mathbb {C} }$يتم تعريفها بواسطة المتسلسلة اللانهائية

${\displaystyle \exp(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

وبالمثل تمامًا، يتم تعريف الدالة الأسية على${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$، إتمام الإغلاق الجبري لـ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$، بواسطة

${\displaystyle \exp _{p}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

لكن على عكس الدالة الأسية التي تتقارب على جميع${\displaystyle \mathbb {C} }$،${\displaystyle \exp _{p}}$لا يتقارب إلا على القرص

${\displaystyle |z|_{p}<p^{-1/(p-1)}.}$

وذلك لأن المتسلسلات p -adic تتقارب إذا وفقط إذا كانت حدودها تقترب من الصفر، ولأن${\displaystyle n!}$إذا كان عدد الحدود في مقام كل حد من حدود الكسر يميل إلى جعلها كبيرة ، فإن قيمة z الصغيرة مطلوبة في البسط. ويترتب على ذلك من صيغة ليجندر أنه إذا${\displaystyle |z|_{p}<p^{-1/(p-1)}}$ثم${\displaystyle {\frac {z^{n}}{n!}}}$يميل إلى${\displaystyle 0}$، p -adically.

على الرغم من أن الدالة الأسية p -adic يُشار إليها أحيانًا بـ${\displaystyle e^{x}}$العدد e نفسه ليس له نظير في متسلسلات القوى p -adic. هذا لأن متسلسلة القوى${\displaystyle \exp _{p}(x)}$لا يتقارب عند${\displaystyle x=1}$من الممكن اختيار رقم${\displaystyle e}$أن يكون جذرًا من الرتبة p لـ${\displaystyle \exp _{p}(p)}$ل${\displaystyle p\neq 2}$[ ^{أ ] ولكن هناك جذور متعددة من هذا القبيل ،} ولا يوجد خيار أساسي بينها. ^{[ 1 ]}

سلسلة القوة

${\displaystyle \log _{p}(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}},}$

يتقارب لـ${\displaystyle x}$في${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$مُرضٍ${\displaystyle |x|_{p}<1}$وهكذا تُعرّف دالة اللوغاريتم p -adic${\displaystyle \log _{p}(z)}$ل${\displaystyle |z-1|_{p}<1}$استيفاء الخاصية المعتادة${\displaystyle \log _{p}(zw)=\log _{p}(z)+\log _{p}(w)}$الوظيفة${\displaystyle \log _{p}}$ويمكن توسيع نطاق ذلك ليشمل جميع${\displaystyle \mathbb {C} }$× p  (مجموعة العناصر غير الصفرية من${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$) من خلال فرض استمرارها في استيفاء هذه الخاصية الأخيرة وتحديدها${\displaystyle \log _{p}(p)=0}$. على وجه التحديد، كل عنصر${\displaystyle w}$ل${\displaystyle \mathbb {C} }$ يمكن كتابة × p على النحو التالي${\displaystyle w=p^{r}\cdot \zeta \cdot z}$مع${\displaystyle r}$عدد نسبي ،${\displaystyle \zeta }$جذر للوحدة ، و${\displaystyle |z-1|_{p}<1}$[ ^{2 ]} وفي هذه ^الحالة${\displaystyle \log _{p}(w)=\log _{p}(z)}$[ ^{ب ] هذه} الوظيفة على${\displaystyle \mathbb {C} }$ يُطلق على العملية × p أحيانًا اسم لوغاريتم إيواساواللتأكيد على اختيار${\displaystyle \log _{p}(p)=0}$في الواقع، هناك امتداد للوغاريتم من${\displaystyle |z-1|_{p}<1}$إلى جميع${\displaystyle \mathbb {C} }$× p  لكل اختيار من${\displaystyle \log _{p}(p)}$في${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$[ ^{3 ]​}

لو${\displaystyle z}$و${\displaystyle w}$كلاهما يقعان ضمن نصف قطر التقارب لـ${\displaystyle \exp _{p}}$إذن، يكون مجموعهما كذلك، ولدينا صيغة الجمع المعتادة:${\displaystyle \exp _{p}(z+w)=\exp _{p}(z)\exp _{p}(w)}$.

وبالمثل إذا${\displaystyle z}$و${\displaystyle w}$هي عناصر غير صفرية من${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ثم${\displaystyle \log _{p}(zw)=\log _{p}(z)+\log _{p}(w)}$.

ل${\displaystyle z}$في مجال${\displaystyle \exp _{p}}$لدينا${\displaystyle \exp _{p}(\log _{p}(1+z))=1+z}$و${\displaystyle \log _{p}(\exp _{p}(z))=z}$.

جذور لوغاريتم إيواساوا${\displaystyle \log _{p}(z)}$هي بالضبط عناصر${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$من الشكل${\displaystyle p^{r}\cdot \zeta }$أين${\displaystyle r}$هو عدد نسبي و${\displaystyle \zeta }$هو أصل الوحدة. ^{[ 4 ]}

لاحظ أنه لا يوجد نظير في${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$من هوية أويلر ،${\displaystyle e^{2\pi i}=1}$هذه نتيجة منطقية لنظرية ستراسمان .

ثمة اختلاف رئيسي آخر عن الوضع في${\displaystyle \mathbb {C} }$هل هذا هو مجال تقارب${\displaystyle \exp _{p}}$أصغر بكثير من حجم${\displaystyle \log _{p}}$يمكن استخدام دالة أسية معدلة - دالة أرتين -هاسه الأسية - بدلاً من ذلك، والتي تتقارب على${\displaystyle |z|_{p}<1}$.

• p-adic الأسي واللوغاريتم p-adic