أصل الوحدة

في الرياضيات ، جذر الوحدة هو أي عدد مركب يعطي القيمة 1 عند رفعه إلى قوة عدد صحيح موجب n . تُستخدم جذور الوحدة في العديد من فروع الرياضيات، وهي ذات أهمية خاصة في نظرية الأعداد ، ونظرية خصائص الزمر ، وتحويل فورييه المتقطع . ويُطلق عليه أحيانًا اسم عدد دي موافر نسبةً إلى عالم الرياضيات الفرنسي أبراهام دي موافر .

يمكن تعريف جذور الوحدة في أي حقل . إذا كانت خاصية الحقل تساوي صفرًا، فإن الجذور أعداد مركبة هي أيضًا أعداد صحيحة جبرية . بالنسبة للحقول ذات الخاصية الموجبة، تنتمي الجذور إلى حقل منتهٍ ، والعكس صحيح ، فكل عنصر غير صفري في حقل منتهٍ هو جذر للوحدة. أي حقل مغلق جبريًا يحتوي على n جذرًا من الرتبة n للوحدة، باستثناء الحالات التي يكون فيها n مضاعفًا لخاصية الحقل (الموجبة).

الجذر النوني للوحدة ، حيث n عدد صحيح موجب، هو عدد z يحقق المعادلة ^{[ 1 ] [ 2 ]}$${\displaystyle z^{n}=1.}$$ ما لم يُنص على خلاف ذلك، يمكن اعتبار جذور الوحدة أعدادًا مركبة (بما في ذلك العدد 1، والعدد -1 إذا كان n زوجيًا ، وهي أعداد مركبة ذات جزء تخيلي يساوي صفرًا )، وفي هذه الحالة، تكون الجذور النونية للوحدة هي ^{[ 3 ].}$${\displaystyle \exp \left({\frac {2k\pi i}{n}}\right)=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\qquad k=0,1,\dots ,n-1.}$$

مع ذلك، فإن المعادلة الأساسية لجذور الوحدة ذات معنى على أي حقل (وحتى على أي حلقة ) F ، وهذا يسمح بدراسة جذور الوحدة في F. إذا لم تكن خاصية F تساوي صفرًا، فإن هذه الجذور تنتمي إلى حقل منتهٍ . وعلى العكس، فإن كل عنصر غير صفري في حقل منتهٍ هو جذر للوحدة في ذلك الحقل. انظر " جذر الوحدة بتردد n" و " الحقل المنتهي" لمزيد من التفاصيل.

يُقال إن الجذر النوني للوحدة هوبدائي إذا لم يكنmللوحدة لبعضm، أي إذا ^{[ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle z^{n}=1\quad {\text{و}}\quad z^{m}\neq 1{\text{ لـ }}m=1,2,3,\ldots ,n-1.}$

إذا كان n عددًا أوليًا ، فإن جميع الجذور النونية للوحدة، باستثناء 1، هي جذور أولية. ^{[ 6 ]}

في الصيغة أعلاه بدلالة الدوال الأسية والمثلثية، فإن الجذور الأولية من الرتبة n للوحدة هي تلك التي يكون فيها k و n عددين صحيحين أوليين فيما بينهما .

ستتناول الأقسام اللاحقة من هذه المقالة الجذور المركبة للوحدة. للاطلاع على حالة جذور الوحدة في حقول ذات خاصية غير صفرية، انظر الحقل المنتهي §  جذور الوحدة . للاطلاع على حالة جذور الوحدة في حلقات الأعداد الصحيحة المعيارية ، انظر جذر الوحدة بتردد n .

كل جذر ن من الوحدة z هو جذر أولي من الوحدة من أجل بعض a ≤ n ، وهو أصغر عدد صحيح موجب بحيث z ^a = 1 .

أي قوة صحيحة لجذر الوحدة من الرتبة n هي أيضًا جذر الوحدة من الرتبة n ، ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\bigl (}z^{k}{\bigr )}^{n}=z^{kn}={\bigl (}z^{n}{\bigr )}^{k}=1^{k}=1.}$

وينطبق هذا أيضًا على الأسس السالبة. على وجه الخصوص، فإن مقلوب الجذر النوني للوحدة هو مرافقه المركب ، وهو أيضًا جذر نوني للوحدة: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{z}}=z^{-1}=z^{n-1}={\bar {z}}.}$

إذا كان z جذرًا نونيًا للوحدة وكان a ≡ b (mod n )، فإن z ^a = z ^b . في الواقع، بحسب تعريف التطابق modulo n ، فإن a = b + kn لعدد صحيح k ، وبالتالي

${\displaystyle z^{a}=z^{b+kn}=z^{b}z^{kn}=z^{b}{\bigl (}z^{n}{\bigr )}^{k}=z^{b}1^{k}=z^{b}.}$

لذلك، إذا أعطينا قوة z ^a لـ z ، فإن z a ⁼ z r ^، حيث 0 ≤ r < n هو باقي القسمة الإقليدية لـ a على n .

ليكن z جذرًا أوليًا من الرتبة n للوحدة. عندئذٍ ^{، تكون} القوى z₁ , z₂ , ..., zₙ₋₁ , zₙ ^{= z₀} = 1 جذورًا من الرتبة n للوحدة ^، وهي جميعها متميزة. (إذا كان zₐ = zₑ حيث 1 ≤ a < b ≤ n ، فإن ^zₑ - a = ¹ ، مما يعني ^{أن z ليس} أوليًا ) . هذا يعني أن z₁ , z₂ ^, ..., zₙ₋₁ , zₙ ⁼ z₀ = ¹ هي جميعها جذور من الرتبة n للوحدة ، لأن معادلة كثيرة الحدود من الدرجة ⁿ على حقل (في هذه ^الحالة حقل الأعداد المركبة) لها على الأكثر n حلًا.

مما سبق، يتبين أنه إذا كان z جذرًا أوليًا من الرتبة n للوحدة، فإن${\displaystyle z^{a}=z^{b}}$إذا وفقط إذا${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}.}$ إذا لم يكن z عددًا أوليًا،${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$يشير إلى${\displaystyle z^{a}=z^{b},}$لكن العكس قد يكون خاطئًا، كما يتضح من المثال التالي. إذا كان n = 4 ، فإن الجذر النوني غير الأولي للوحدة هو z = −1 ، وبالتالي يكون لدينا${\displaystyle z^{2}=z^{4}=1}$، بالرغم من${\displaystyle 2\not \equiv 4{\pmod {4}}.}$

ليكن z جذرًا أوليًا من الرتبة n للوحدة. القوة w = z ^k لـ z هي جذر أولي من الرتبة a للوحدة لـ

${\displaystyle a={\frac {n}{\gcd(k,n)}},}$

أين${\displaystyle \gcd(k,n)}$هو القاسم المشترك الأكبر للعددين n و k . وينتج هذا عن كون ka أصغر مضاعف للعدد k وهو أيضاً مضاعف للعدد n . بعبارة أخرى، ka هو المضاعف المشترك الأصغر للعددين k و n .

${\displaystyle a={\frac {\operatorname {lcm} (k,n)}{k}}={\frac {kn}{k\gcd(k,n)}}={\frac {n}{\gcd(k,n)}}.}$

وبالتالي، إذا كان k و n عددين أوليين فيما بينهما ، فإن z ^k هو أيضًا جذر أولي من الرتبة n للوحدة، ومن ثم يوجد φ ( n ) جذرًا أوليًا مختلفًا من الرتبة n للوحدة (حيث φ هي دالة أويلر ). وهذا يعني أنه إذا كان n عددًا أوليًا، فإن جميع الجذور باستثناء +1 هي جذور أولية.

بمعنى آخر، إذا كانت R( n ) هي مجموعة جميع الجذور النونية للوحدة و P( n ) هي مجموعة الجذور الأولية، فإن R( n ) هي اتحاد منفصل لـ P( n ) :

${\displaystyle \operatorname {R} (n)=\bigcup _{d\,|\,n}\operatorname {P} (d),}$

حيث تعني هذه الصيغة أن d يمر بجميع القواسم الموجبة لـ n ، بما في ذلك 1 و n .

بما أن عدد عناصر R ( n ) هو n ، وعدد عناصر P( n ) هو φ ( n ) ، فإن هذا يوضح الصيغة الكلاسيكية

${\displaystyle \sum _{d\,|\,n}\varphi (d)=n.}$

صيغة دي موافر ، الصالحة لجميع الأعداد الحقيقية x والأعداد الصحيحة n ، هي

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos nx+i\sin nx.}$

بوضع x = 2π / n نحصل على جذر أولي من الرتبة n للوحدة - نحصل على

${\displaystyle \left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!n}=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1,}$

لكن

${\displaystyle \left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!k}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}}\neq 1}$

لـ k = 1، 2، ...، n − 1. بعبارة أخرى،

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}}$

هو جذر أولي من الرتبة n للوحدة.

تُظهر هذه الصيغة أنه في المستوى المركب، تقع الجذور النونية للوحدة عند رؤوس مضلع منتظم ذي n ضلعًا مرسوم داخل دائرة الوحدة ، حيث يقع أحد رؤوسه عند 1 (انظر الرسم البياني لـ n = 3 على اليمين). تُفسر هذه الحقيقة الهندسية مصطلح "دائري" في عبارات مثل " حقل دائري" و "متعدد حدود دائري "؛ وهو مشتق من الكلمتين اليونانيتين " cyclo " (دائرة) و" tomos " (قطع، قسمة).

صيغة أويلر

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

وهي صالحة لجميع قيم x الحقيقية ، ويمكن استخدامها لوضع صيغة الجذور النونية للوحدة في الشكل التالي:

${\displaystyle e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},\quad 0\leq k<n.}$

يستنتج من المناقشة في القسم السابق أن هذا جذر أولي من الرتبة n إذا وفقط إذا كان الكسر k / n في أبسط صورة؛ أي أن k و n عددان أوليان فيما بينهما. عدد غير نسبي يمكن التعبير عنه بالجزء الحقيقي من جذر الوحدة؛ أي كما${\displaystyle \cos(2\pi k/n)}$، ويسمى عدداً مثلثياً .

الجذور النونية للوحدة، بحسب التعريف، هي جذور كثيرة الحدود xⁿ - 1 ، وبالتالي فهي أعداد جبرية . ولأن هذه كثيرة الحدود غير قابلة للاختزال (باستثناء n = 1 )، فإن الجذور النونية الأولية ^للوحدة هي جذور كثيرة حدود غير قابلة للاختزال (على الأعداد الصحيحة) من درجة أقل، تُسمى كثيرة الحدود الدائرية النونية ، ويُرمز لها غالبًا _بـ Φₙ _. تُعطى درجة Φₙ بدالة أويلر ، التي تحسب ( _من بين أمور أخرى) عدد الجذور النونية الأولية للوحدة. ^{[ 9 ]} جذور Φₙ هي بالضبط الجذور النونية الأولية للوحدة.

يمكن استخدام نظرية غالوا لإثبات أنه يمكن حل كثيرات الحدود الدائرية بسهولة بدلالة الجذور. (الشكل التافه)${\displaystyle {\sqrt[{n}]{1}}}$ليس هذا مناسبًا، لأنه يحتوي على جذور غير أولية، مثل 1، وهي ليست جذورًا لكثير الحدود الدائري، ولأنه لا يُعطي الأجزاء الحقيقية والخيالية بشكل منفصل. هذا يعني أنه لكل عدد صحيح موجب n ، يوجد تعبير مُكوَّن من أعداد صحيحة عن طريق استخراج الجذور، والجمع، والطرح، والضرب، والقسمة (ولا شيء غير ذلك)، بحيث تكون الجذور الأولية من الرتبة n للوحدة هي بالضبط مجموعة القيم التي يمكن الحصول عليها باختيار قيم لاستخراج الجذور ( k قيمة ممكنة للجذر من الرتبة k ). (لمزيد من التفاصيل، انظر §  الحقول الدائرية ، أدناه).

أثبت غاوس أنه يمكن التعبير عن الجذر النوني الأولي للوحدة باستخدام الجذور التربيعية والجمع والطرح والضرب والقسمة فقط، إذا وفقط إذا كان من الممكن إنشاء مضلع منتظم ذي n ضلعًا باستخدام الفرجار والمسطرة . ويتحقق ذلك إذا وفقط إذا كان n إما قوة للعدد اثنين أو حاصل ضرب قوة للعدد اثنين في أعداد أولية من أعداد فيرما مختلفة.

إذا كان z جذرًا أوليًا من الرتبة n للوحدة، فإن الأمر نفسه ينطبق على 1/ z ، و${\displaystyle r=z+{\frac {1}{z}}}$يساوي ضعف الجزء الحقيقي من z . بعبارة أخرى، Φ _n هي متعددة حدود مقلوبية ، وهي متعددة الحدود.${\displaystyle R_{n}}$يمكن استنتاج المعادلة التي يكون جذرها r من Φ _n عن طريق المعالجة القياسية لكثيرات الحدود المقلوبة، ويمكن استنتاج الجذور الأولية من الرتبة n للوحدة من جذور${\displaystyle R_{n}}$عن طريق حل المعادلة التربيعية${\displaystyle z^{2}-rz+1=0.}$أي أن الجزء الحقيقي من الجذر الأولي هو${\displaystyle {\frac {r}{2}},}$وجزؤه الخيالي هو${\displaystyle \pm i{\sqrt {1-\left({\frac {r}{2}}\right)^{2}}}.}$

متعددة الحدود${\displaystyle R_{n}}$هي كثيرة حدود غير قابلة للاختزال، وجذورها جميعها حقيقية. درجتها قوة للعدد اثنين، إذا وفقط إذا كان n ناتج ضرب قوة للعدد اثنين في ناتج ضرب (قد يكون فارغًا ) لأعداد أولية مختلفة من أعداد فيرما، وكان المضلع المنتظم ذو n ضلعًا قابلًا للإنشاء باستخدام الفرجار والمسطرة. بخلاف ذلك، يمكن حلها باستخدام الجذور، ولكننا في حالة عدم الاختزال ، أي أن كل تعبير عن الجذور بدلالة الجذور يتضمن جذورًا غير حقيقية .

إذا كان z جذرًا أوليًا من الرتبة n للوحدة، فإن متتالية القوى

… , ض ⁻¹ , ض ⁰ , ض ¹ , …

هي دورية من الدرجة n (لأن z ^{j + n} = z ^j z ⁿ = z ^j لجميع قيم j )، و n من متواليات القوى

s _k : … , z ^{k ⋅(−1)} , z ^{k ⋅0} , z ^{k ⋅1} , …

بالنسبة لـ k = 1، ...، n، فإن جميع المتتاليات دورية من الرتبة n (لأن z  k  ⋅ ( j + n ) = z k  ⋅ j ). علاوة على ذلك، فإن المجموعة { s 1 ، ...، s n } من هذه المتتاليات تُشكل أساسًا للفضاء الخطي لجميع المتتاليات الدورية من الرتبة n . هذا يعني أن أي متتالية دورية من الأعداد المركبة من الرتبة n هي متتالية دورية من الرتبة n .

… ، x ₋₁ ، x ₀ ، x ₁ ، …

يمكن التعبير عنها كتركيبة خطية لقوى جذر أولي من الرتبة n للوحدة:

${\displaystyle x_{j}=\sum _{k}X_{k}\cdot z^{k\cdot j}=X_{1}z^{1\cdot j}+\cdots +X_{n}\cdot z^{n\cdot j}}$

لبعض الأعداد المركبة X ₁ ، … ، X _n وكل عدد صحيح j .

هذا شكل من أشكال تحليل فورييه . إذا كان j متغيرًا زمنيًا (منفصلًا)، فإن k هو تردد و X _k هو سعة مركبة .

اختيار الجذر النوني الأولي للوحدة

${\displaystyle z=e^{\frac {2\pi i}{n}}=\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}}$

يسمح بالتعبير عن x _j كمزيج خطي من cos و sin :

${\displaystyle x_{j}=\sum _{k}A_{k}\cos {\frac {2\pi jk}{n}}+\sum _{k}B_{k}\sin {\frac {2\pi jk}{n}}.}$

هذا تحويل فورييه منفصل .

ليكن SR( n ) مجموع جميع الجذور النونية للوحدة، سواء كانت أولية أم لا. عندئذٍ

${\displaystyle \operatorname {SR} (n)={\begin{cases}1,&n=1\\0,&n>1.\end{cases}}}$

هذه نتيجة مباشرة لصيغ فييتا . في الواقع، بما أن الجذور النونية للوحدة هي جذور كثيرة الحدود X ⁿ − 1 ، فإن مجموعها هو معامل الدرجة n − 1 ، والذي يكون إما 1 أو 0 حسب ما إذا كانت n = 1 أو n > 1 .

بدلاً من ذلك، بالنسبة لـ n = 1 لا يوجد شيء لإثباته، وبالنسبة لـ n > 1 يوجد جذر z ≠ 1 - بما أن المجموعة S لجميع الجذور n للوحدة هي مجموعة ، فإن z S = S ، لذا فإن المجموع يحقق z SR( n ) = SR( n ) ، ومن ثم SR( n ) = 0 .

ليكن SP( n ) مجموع جميع الجذور الأولية من الرتبة n للوحدة. عندئذٍ

${\displaystyle \operatorname {SP} (n)=\mu (n),}$

حيث μ ( n ) هي دالة موبيوس .

في قسم الخصائص الأولية ، تم إثبات أنه إذا كانت R( n ) هي مجموعة جميع الجذور النونية للوحدة و P( n ) هي مجموعة الجذور الأولية، فإن R( n ) هي اتحاد منفصل لـ P( n ) :

${\displaystyle \operatorname {R} (n)=\bigcup _{d\,|\,n}\operatorname {P} (d),}$

وهذا يعني

${\displaystyle \operatorname {SR} (n)=\sum _{d\,|\,n}\operatorname {SP} (d).}$

بتطبيق صيغة انعكاس موبيوس نحصل على

${\displaystyle \operatorname {SP} (n)=\sum _{d\,|\,n}\mu (d)\operatorname {SR} \left({\frac {n}{d}}\right).}$

في هذه الصيغة، إذا كان d < n ، فإن SR( n / d ) = 0 ، وإذا كان d = n : فإن SR( n / d ) = 1. لذلك، فإن SP( n ) = μ ( n ) .

هذه هي الحالة الخاصة c _n (1) من مجموع رامانوجان c _n ( s ) ، ^{[ 10 ]} المعرفة على أنها مجموع القوى s للجذور الأولية n للوحدة:

${\displaystyle c_{n}(s)=\sum _{a=1 \atop \gcd(a,n)=1}^{n}e^{2\pi i{\frac {a}{n}}s}.}$

تُستنتج من صيغة الجمع علاقة تعامد : لـ j  = 1، ...، n و j′  = 1، ...، n

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\overline {z^{j\cdot k}}}\cdot z^{j'\cdot k}=n\cdot \delta _{j,j'}}$

حيث δ هي دالة كرونكر دلتا و z هي أي جذر أولي من الرتبة n للوحدة.

المصفوفة U من الرتبة n × n التي يكون عنصرها ( j , k ) هو

${\displaystyle U_{j,k}=n^{-{\frac {1}{2}}}\cdot z^{j\cdot k}}$

يُعرّف تحويل فورييه المنفصل . يتطلب حساب التحويل العكسي باستخدام طريقة الحذف الغاوسي O ( n³ ) ^من العمليات. ومع ذلك، فإنه يترتب على خاصية التعامد أن U مصفوفة وحدوية . أي،

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\overline {U_{j,k}}}\cdot U_{k,j'}=\delta _{j,j'},}$

وبالتالي، فإن معكوس المتجه U هو ببساطة مرافقه المركب. (وقد لاحظ غاوس هذه الحقيقة لأول مرة عند حله لمسألة الاستيفاء المثلثي ). يتطلب التطبيق المباشر للمتجه U أو معكوسه على متجه معين O ( n² ) من العمليات. أما خوارزميات تحويل فورييه السريع، ^فتُقلل عدد العمليات إلى O ( n log n ) .

أصفار متعددة الحدود

${\displaystyle p(z)=z^{n}-1}$

هي بالضبط الجذور النونية للوحدة، كل منها بتعددية 1. يتم تعريف كثير الحدود الدائري النوني بحقيقة أن أصفاره هي بالضبط الجذور النونية الأولية للوحدة، كل منها بتعددية 1.

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=\prod _{k=1}^{\varphi (n)}(z-z_{k})}$

حيث z₁ _, z₂ _, z₃ _, … , zₙ هي الجذور الأولية من الرتبة n للوحدة، و φ( _{n ) هي} دالة أويلر . كثير الحدود Φₙ ₍ z ) له معاملات صحيحة وهو كثير حدود غير قابل للاختزال على الأعداد النسبية (أي لا يمكن كتابته كحاصل ضرب كثيري حدود من الدرجة الموجبة بمعاملات نسبية). [ 9 ^{] حالة العدد} الأولي n ، وهي أسهل من الحالة العامة، يمكن استنتاجها بتطبيق معيار أيزنشتاين على كثير الحدود.

${\displaystyle {\frac {(z+1)^{n}-1}{(z+1)-1}},}$

والتوسع عبر نظرية ذات الحدين .

كل جذر نوني للوحدة هو جذر أولي دوني للوحدة لقاسم موجب واحد فقط د للعدد ن . وهذا يعني أن ^{[ 9 ]}

${\displaystyle z^{n}-1=\prod _{d\,|\,n}\Phi _{d}(z).}$

تمثل هذه الصيغة تحليل متعددة الحدود z ⁿ − 1 إلى عوامل غير قابلة للاختزال:

${\displaystyle {\begin{aligned}z^{1}-1&=z-1\\z^{2}-1&=(z-1)(z+1)\\z^{3}-1&=(z-1)(z^{2}+z+1)\\z^{4}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+1)\\z^{5}-1&=(z-1)(z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\z^{6}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+z+1)(z^{2}-z+1)\\z^{7}-1&=(z-1)(z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\z^{8}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+1)(z^{4}+1)\\\end{aligned}}}$

بتطبيق انعكاس موبيوس على الصيغة نحصل على

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=\prod _{d\,|\,n}\left(z^{\frac {n}{d}}-1\right)^{\mu (d)}=\prod _{d\,|\,n}\left(z^{d}-1\right)^{\mu \left({\frac {n}{d}}\right)},}$

حيث μ هي دالة موبيوس . لذا فإنّ كثيرات الحدود الدائرية القليلة الأولى هي

Φ ₁ ( z ) = z − 1

Φ ₂ ( ض ) = ( ض ² − 1)⋅( ض − 1) ⁻¹ = ض + 1

Φ ₃ ( ض ) = ( ض ³ − 1)⋅( ض − 1) ⁻¹ = ض ² + ض + 1

Φ ₄ ( ض ) = ( ض ⁴ − 1)⋅( ض ² − 1) ⁻¹ = ض ² + 1

Φ ₅ ( ض ) = ( ض ⁵ − 1)⋅( ض − 1) ⁻¹ = ض ⁴ + ض ³ + ض ² + ض + 1

Φ ₆ ( ض ) = ( ض ⁶ − 1)⋅( ض ³ − 1) ⁻¹ ⋅( ض ² − 1) ⁻¹ ⋅( ض − 1) = ض ² − ض + 1

Φ ₇ ( ض ) = ( ض ⁷ − 1)⋅( ض − 1) ⁻¹ = ض ⁶ + ض ⁵ + ض ⁴ + ض ³ + ض ² + ض + 1

Φ ₈ ( ض ) = ( ض ⁸ − 1)⋅( ض ⁴ − 1) ⁻¹ = ض ⁴ + 1

إذا كان p عددًا أوليًا ، فإن جميع الجذور من الرتبة p للعدد 1 باستثناء 1 هي جذور أولية من الرتبة p . لذلك، ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \Phi _{p}(z)={\frac {z^{p}-1}{z-1}}=\sum _{k=0}^{p-1}z^{k}.}$$ باستبدال أي عدد صحيح موجب أكبر من أو يساوي 2 بالقيمة z ، يصبح هذا المجموع عددًا أوليًا في النظام z . وبالتالي، فإن الشرط الضروري (ولكن غير الكافي) لكون العدد الأولي عددًا أوليًا هو أن يكون طوله عددًا أوليًا.

لاحظ أنه، خلافًا لما قد يبدو للوهلة الأولى، ليست جميع معاملات كثيرات الحدود الدائرية تساوي 0 أو 1 أو -1. الاستثناء الأول هو Φ _105. ليس من المستغرب أن يستغرق الأمر كل هذا الوقت للحصول على مثال، لأن سلوك المعاملات لا يعتمد كثيرًا على n بقدر اعتماده على عدد العوامل الأولية الفردية التي تظهر في n . بتعبير أدق، يمكن إثبات أنه إذا كان لـ n عامل أولي فردي واحد أو عاملين أوليين فرديين (على سبيل المثال، n  = 150 )، فإن كثيرة الحدود الدائرية رقم n لا تحتوي إلا على معاملات 0 أو 1 أو -1. وبالتالي، فإن أول قيمة ممكنة لـ n يمكن أن يكون لها معامل غير 0 أو 1 أو -1 هي حاصل ضرب أصغر ثلاثة أعداد أولية فردية، أي 3 × 5 × 7 = 105 . هذا بحد ذاته لا يثبت أن متعددة الحدود رقم 105 لها معامل آخر، ولكنه يُظهر أنها أول متعددة حدود لديها فرصة للنجاح (ثم يُظهر حساب المعاملات أنها كذلك). تنص نظرية شور على وجود متعددات حدود دائرية ذات معاملات كبيرة كيفما كانت قيمتها المطلقة . على وجه الخصوص، إذا${\displaystyle n=p_{1}p_{2}\cdots p_{t},}$أين${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{t}}$هي أعداد أولية فردية،${\displaystyle p_{1}+p_{2}>p_{t},}$وإذا كان t فرديًا، فإن 1 − t يظهر كمعامل في كثير الحدود الدائري من الرتبة n . ^{[ 11 ]}

تُعرف العديد من القيود المتعلقة بالقيم التي يمكن أن تأخذها كثيرات الحدود الدائرية عند القيم الصحيحة. على سبيل المثال، إذا كان p عددًا أوليًا، فإن d ∣ Φ _p ( d ) إذا وفقط إذا كان d ≡ 1 (mod p ) .

يمكن حل كثيرات الحدود الدائرية باستخدام الجذور ، لأن جذور الوحدة هي نفسها جذور. علاوة على ذلك، توجد تعابير جذرية أكثر دلالة للجذور النونية للوحدة ، تتميز بخاصية إضافية ^{[ 12 ]} وهي أن كل قيمة للتعبير الناتج عن اختيار قيم الجذور (مثل إشارات الجذور التربيعية) هي جذر نوني أولي للوحدة . وقد أثبت غاوس ذلك في عام 1797. ^{[ 13 ]} توجد خوارزميات فعالة لحساب هذه التعابير. ^{[ 14 ]}

تُشكّل الجذور النونية للوحدة، تحت تأثير الضرب، زمرة دورية من الرتبة n ، وفي الواقع، تشمل هذه الزمر جميع الزمر الجزئية المنتهية من الزمرة الضربية لحقل الأعداد المركبة. ويُعدّ الجذر النوني الأولي للوحدة مولدًا لهذه الزمرة الدورية .

تشكل الجذور النونية للوحدة تمثيلاً غير قابل للاختزال لأي زمرة دورية من الرتبة n . كما تتبع علاقة التعامد من مبادئ نظرية الزمر كما هو موضح في زمرة الخصائص .

تظهر جذور الوحدة كعناصر في المتجهات الذاتية لأي مصفوفة دائرية ؛ أي المصفوفات التي تظل ثابتة تحت التحولات الدورية، وهي حقيقة تتبع أيضًا من نظرية تمثيل المجموعة كصيغة معدلة لنظرية بلوخ . ^{[ 15 ]} على وجه الخصوص، إذا تم اعتبار مصفوفة هيرميتية دائرية (على سبيل المثال، لابلاس أحادي البعد منفصل ذو حدود دورية ^{[ 16 ]} )، فإن خاصية التعامد تتبع مباشرة من التعامد المعتاد للمتجهات الذاتية للمصفوفات الهيرميتية.

عن طريق إلحاق جذر الوحدة الأولي من الرتبة n بـ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$يحصل المرء على المجال الدائري رقم n${\displaystyle \mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n)).}$يحتوي هذا الحقل على جميع الجذور النونية للوحدة وهو حقل التفكيك لكثير الحدود الدائري النوني على${\displaystyle \mathbb {Q} .}$امتداد الحقل${\displaystyle \mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n))/\mathbb {Q} }$لها درجة φ( n ) ومجموعة غالوا الخاصة بها متماثلة طبيعياً مع المجموعة الضربية للوحدات في الحلقة${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} .}$

بصفتها مجموعة غالوا${\displaystyle \mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n))/\mathbb {Q} }$إذا كان الحقل تبديليًا، فهذا امتداد تبديلي . كل حقل جزئي من حقل دائري هو امتداد تبديلي للأعداد النسبية. ويترتب على ذلك أنه يمكن التعبير عن كل جذر نوني للوحدة بدلالة جذور من الرتبة k ، حيث لا تتجاوز قيم k المختلفة φ( n ). في هذه الحالات، يمكن كتابة نظرية غالوا صراحةً بدلالة الدورات الغاوسية : نُشرت هذه النظرية من كتاب "Disquisitiones Arithmeticae " لغوس قبل سنوات عديدة من غالوا. ^{[ 17 ]}

وعلى العكس من ذلك، فإن كل امتداد أبيلي للأعداد النسبية هو حقل فرعي من حقل دائري - هذا هو محتوى نظرية كرونكر ، والتي تسمى عادة نظرية كرونكر-ويبر على أساس أن ويبر أكمل البرهان.

بالنسبة لـ n = 1، 2 ، فإن كلا جذري الوحدة 1 و -1 هما عددان صحيحان .

بالنسبة لثلاث قيم لـ n ، تكون جذور الوحدة أعدادًا صحيحة تربيعية :

• بالنسبة لـ n = 3، 6 فهي أعداد صحيحة من نوع أيزنشتاين ( D = −3 ).
• بالنسبة لـ n = 4 فهي أعداد صحيحة غاوسية ( D = −1 ): انظر الوحدة التخيلية .

بالنسبة لأربع قيم أخرى لـ n ، فإن الجذور الأولية للوحدة ليست أعدادًا صحيحة تربيعية، ولكن مجموع أي جذر للوحدة مع مرافقه المركب (وهو أيضًا جذر ن للوحدة) هو عدد صحيح تربيعي.

بالنسبة لـ n = 5 أو 10 ، لا يوجد أي من الجذور غير الحقيقية للوحدة (التي تحقق معادلة من الدرجة الرابعة ) عدد صحيح تربيعي، ولكن مجموع z + z = 2 Re z لكل جذر مع مرافقه المركب (وهو أيضًا جذر خامس للوحدة) هو عنصر من الحلقة Z [ ⁠ 1 + √ 5 / 2 ⁠ ] ( D = 5 ). بالنسبة لزوجين من الجذور الخامسة غير الحقيقية للوحدة، يكون هذا المجموع هو النسبة الذهبية المعكوسة والنسبة الذهبية السالبة .

بالنسبة لـ n = 8 ، لأي جذر للوحدة z + z يساوي إما 0 أو ±2 أو ± √ 2 ( D = 2 ).

بالنسبة لـ n = 12 ، لأي جذر للوحدة ، فإن z + z يساوي إما 0 أو ±1 أو ±2 أو ± √ 3 ( D = 3 ).

• نظام أرجاند
• مجموعة الدائرة ، الأعداد المركبة الوحدوية
• مجال سيكلوتوم
• مخطط جماعي لجذور الوحدة
• شخصية ديريشليه
• مجموع رامانوجان
• متجه ويت
• شخصية تايخمولر

• لانغ، سيرج (2002)، الجبر ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  211 (الطبعة الثالثة المنقحة  )، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-95385-4، MR 1878556 ، Zbl 0984.00001  
• ميلن، جيمس س. (1998). "نظرية الأعداد الجبرية" . ملاحظات الدورة .
• ميلن، جيمس س. (1997). "نظرية حقل الطبقة" . ملاحظات الدورة .
• نيوكيرتش، يورغن (1999). جبرية زهلينثيوري . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . المجلد.  322. برلين: سبرينغر-فيرلاغ . رقم ISBN 978-3-540-65399-8. السيد 1697859 . زبل 0956.11021 .  
• نيوكيرتش، يورغن (1986). نظرية المجال الطبقي . برلين: سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 3-540-15251-2.
• واشنطن، لورانس سي. (1997). مقدمة في الحقول الدائرية (  الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-94762-0.
• ديربيشاير، جون (2006). "جذور الوحدة". دار نشر أنون كوانتيتي . واشنطن العاصمة: مطبعة جوزيف هنري . رقم ISBN 0-309-09657-X.