الإغلاق الجبري

في الرياضيات ، وخاصة الجبر المجرد ، يعتبر الإغلاق الجبري لحقل K امتدادًا جبريًا لحقل K مغلقًا جبريًا . وهو أحد الإغلاقات العديدة في الرياضيات.

باستخدام مبرهنة زورن ^{[1] [2] [3]} أو مبرهنة المرشح الفائق الأضعف ، ^{[4] [5]} يمكن إثبات أن كل حقل له إغلاق جبري، وأن الإغلاق الجبري للحقل K فريد حتى تماثل يحدد كل عنصر من عناصر K. وبسبب هذا التفرد الأساسي، فإننا غالبًا ما نتحدث عن الإغلاق الجبري لـ K ، بدلاً من الإغلاق الجبري لـ K.

يمكن اعتبار الإغلاق الجبري لحقل K أكبر امتداد جبري لـ K. ولمعرفة ذلك، لاحظ أنه إذا كان L أي امتداد جبري لـ K ، فإن الإغلاق الجبري لـ L هو أيضًا إغلاق جبري لـ K ، وبالتالي فإن L محصور داخل الإغلاق الجبري لـ K. الإغلاق الجبري لـ K هو أيضًا أصغر حقل مغلق جبريًا يحتوي على K ، لأنه إذا كان M أي حقل مغلق جبريًا يحتوي على K ، فإن عناصر M التي تكون جبرية على K تشكل إغلاقًا جبريًا لـ K.

إن الإغلاق الجبري لحقل K له نفس عدد K إذا كان K لانهائيًا، ويكون قابلاً للعد لانهائيًا إذا كان K منتهيًا. ^[3]

• تنص النظرية الأساسية في الجبر على أن الإغلاق الجبري لمجال الأعداد الحقيقية هو مجال الأعداد المركبة .
• الإغلاق الجبري لمجال الأعداد النسبية هو مجال الأعداد الجبرية .
• هناك العديد من الحقول المغلقة جبريًا القابلة للعد داخل الأعداد المركبة، والتي تحتوي بشكل صارم على مجال الأعداد الجبرية؛ وهي الإغلاقات الجبرية للامتدادات المتعالية للأعداد النسبية، على سبيل المثال الإغلاق الجبري لـ Q (π).
• بالنسبة لحقل منتهٍ من رتبة قوة أولية q ، فإن الإغلاق الجبري هو حقل لا نهائي قابل للعد يحتوي على نسخة من الحقل من رتبة q ⁿ لكل عدد صحيح موجب n (وهو في الواقع اتحاد هذه النسخ). ^[6]

لتكن مجموعة كل الحدوديات غير القابلة للاختزال الأحادية في K [ x ]. لكل منها ، أدخل متغيرات جديدة حيث . لتكن R حلقة الحدوديات على K التي تم إنشاؤها بواسطة لكل وكل . اكتب ${\displaystyle S=\{f_{\lambda }|\lambda \in \Lambda \}}$ ${\displaystyle f_{\lambda }\in S}$${\displaystyle u_{\lambda ,1},\ldots ,u_{\lambda ,d}}$${\displaystyle d={\rm {درجة}}(f_{\lambda })}$${\displaystyle u_{\lambda ,i}}$${\displaystyle \lambda \in \لامدا }$${\displaystyle i\leq {\rm {درجة}}(f_{\lambda })}$

${\displaystyle f_{\lambda }-\prod _{i=1}^{d}(x-u_{\lambda ,i})=\sum _{j=0}^{d-1}r_{\lambda ,j}\cdot x^{j}\in R[x]}$

مع . دع I يكون المثالي في R الناتج عن . نظرًا لأن I أصغر تمامًا من R ، فإن مبرهنة زورن تعني أنه يوجد مثالي أقصى M في R يحتوي على I . المجال K ₁ = R / M له الخاصية التي تجعل كل كثيرة حدود ذات معاملات في K تنقسم كحاصل ضرب وبالتالي يكون لها جميع الجذور في K ₁ . وبنفس الطريقة، يمكن إنشاء امتداد K ₂ لـ K ₁ ، إلخ. اتحاد كل هذه الامتدادات هو الإغلاق الجبري لـ K ، لأن أي كثيرة حدود ذات معاملات في هذا المجال الجديد لها معاملاتها في بعض K _n مع n كبيرة بما يكفي ، ومن ثم تكون جذورها في K _{n +1} ، وبالتالي في الاتحاد نفسه. ${\displaystyle r_{\lambda ,j}\in R}$${\displaystyle r_{\lambda ,j}}$${\displaystyle f_{\lambda }}$${\displaystyle x-(u_{\lambda ,i}+M),}$

يمكن إظهار ذلك بنفس الطريقة التي يوجد بها مجال انقسام لـ S على K [ x ] لأي مجموعة فرعية S من K.

يحتوي الإغلاق الجبري K ^alg لـ K على امتداد قابل للفصل فريد K ^sep لـ K يحتوي على جميع الامتدادات القابلة للفصل (الجبرية) لـ K داخل K ^alg . يُطلق على هذا الامتداد الفرعي إغلاق قابل للفصل لـ K. نظرًا لأن الامتداد القابل للفصل لامتداد قابل للفصل يكون قابلاً للفصل مرة أخرى، فلا توجد امتدادات قابلة للفصل محدودة لـ K ^sep ، من الدرجة > 1. وبعبارة أخرى، فإن K موجود في حقل امتداد جبري مغلق منفصل . إنه فريد ( حتى التماثل). ^[7]

يكون الإغلاق القابل للفصل هو الإغلاق الجبري الكامل إذا وفقط إذا كان K مجالًا مثاليًا . على سبيل المثال، إذا كان K مجالًا له خاصية p وإذا كان X متساميًا على K ، فهو امتداد مجال جبري غير قابل للفصل. ${\displaystyle K(X)({\sqrt[{p}]{X}})\supset K(X)}$

بشكل عام، المجموعة جالوا المطلقة لـ K هي مجموعة جالوا لـ K ^sep على K. ^[8]

• حقل مغلق جبريًا
• الامتداد الجبري
• توسعة بويسو
• حقل كامل

• كابلانسكي، إيرفينج (1972). الحقول والحلقات . محاضرات شيكاغو في الرياضيات (الطبعة الثانية). مطبعة جامعة شيكاغو. رقم ISBN 0-226-42451-0. زبل  1001.16500.
• مكارثي، بول جيه. (1991). الامتدادات الجبرية للحقول (إعادة طباعة مصححة للطبعة الثانية). نيويورك: منشورات دوفر. زبل  0768.12001.