نظرية بابوس للمساحة

تصف نظرية بابوس للمساحة العلاقة بين مساحات ثلاثة متوازيات أضلاع متصلة بثلاثة أضلاع من مثلث عشوائي. سُميت هذه النظرية، التي يمكن اعتبارها تعميمًا لنظرية فيثاغورس ، نسبةً إلى عالم الرياضيات اليوناني بابوس الإسكندري (القرن الرابع الميلادي)، الذي اكتشفها.

بالنظر إلى مثلث عشوائي مع متوازيي أضلاع عشوائيين متصلين باثنين من أضلاعه، فإن النظرية توضح كيفية إنشاء متوازي أضلاع فوق الضلع الثالث، بحيث تكون مساحة متوازي الأضلاع الثالث مساوية لمجموع مساحتي متوازيي الأضلاع الآخرين.

ليكن ABC مثلثًا عشوائيًا، و ABDE و ACFG متوازيي أضلاع عشوائيين متصلين بضلعي المثلث AB وAC. يتقاطع امتدادا متوازيي الأضلاع DE وFG عند النقطة H. يصبح القطعة المستقيمة AH الآن ضلعًا من متوازي الأضلاع الثالث BCML المتصل بضلع المثلث BC، أي أنه يتم إنشاء قطعتين مستقيمتين BL وCM فوق BC، بحيث تكون BL وCM متوازيتين ومتساويتين في الطول مع AH. وبالتالي، تتحقق المتطابقة التالية لمساحات متوازيي الأضلاع (المشار إليها بـ A):

${\displaystyle {\text{A}}_{ABDE}+{\text{A}}_{ACFG}={\text{A}}_{BCML}}$

تُعمّم هذه النظرية نظرية فيثاغورس من جانبين. أولًا، تُطبّق على المثلثات ذات الزوايا القائمة، وليس فقط المثلثات القائمة الزاوية. ثانيًا، تستخدم متوازيات الأضلاع بدلًا من المربعات. فإذا كان ضلعان من المثلث مربعين، ينتج متوازي أضلاع متساوي المساحة على الضلع الثالث، وإذا كان الضلعان هما ساقا زاوية قائمة، فإن متوازي الأضلاع الناتج على الضلع الثالث يكون مربعًا أيضًا. أما في المثلث القائم الزاوية، فإن متوازيي أضلاع متصلين بساقي الزاوية القائمة ينتجان مستطيلًا متساوي المساحة على الضلع الثالث، وإذا كان متوازيا الأضلاع مربعين، فإن المستطيل الناتج على الضلع الثالث يكون مربعًا أيضًا.

بسبب تساوي طول القاعدة والارتفاع، فإن متوازيي الأضلاع ABDE و ABUH لهما نفس المساحة، وينطبق الأمر نفسه على متوازيي الأضلاع ACFG و ACVH ، و ABUH و BLQR ، و ACVH و RCMQ . وهذا يُحقق النتيجة المرجوة، حيث لدينا:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{A}}_{ABDE}+{\text{A}}_{ACFG}&={\text{A}}_{ABUH}+{\text{A}}_{ACVH}\\&={\text{A}}_{BLQR}+{\text{A}}_{RCMQ}\\&={\text{A}}_{BCML}\end{aligned}}}$

• هوارد إيفز: امتداد بابوس لنظرية فيثاغورس . معلم الرياضيات، المجلد 51، العدد 7 (نوفمبر 1958)، الصفحات  544-546 ( JSTOR )
• هوارد إيفز: لحظات عظيمة في الرياضيات (قبل عام 1650) . الجمعية الرياضية الأمريكية، 1983، رقم ISBN 9780883853108، صفحة  37 ( مقتطف ، صفحة 37، على كتب جوجل )
• إيلي ماور : نظرية فيثاغورس: تاريخ يمتد لأربعة آلاف عام . مطبعة جامعة برينستون، 2007، رقم ISBN 9780691125268، الصفحات  58-59 ( مقتطف ، الصفحة 58، على كتب جوجل )
• كلاودي ألسينا، روجر ب. نيلسن: براهين ساحرة: رحلة في عالم الرياضيات الأنيقة . جمعية الرياضيات الأمريكية، 2010، رقم ISBN 9780883853481، الصفحات  77-78 ( مقتطف ، الصفحة 77، على كتب جوجل )

• نظرية مساحة بابوس
• نظرية بابوس