جبر التقسيم

قسم من${\displaystyle 2k}$العناصر المصنفة${\displaystyle 1,{\bar {1}},2,{\bar {2}},\dots ,k,{\bar {k}}}$يتم تمثيلها كمخطط، بخطوط تربط العناصر في نفس المجموعة الفرعية. في المثال التالي، المجموعة الفرعية${\displaystyle \{{\bar {1}},{\bar {4}},{\bar {5}},6\}}$مما يؤدي إلى ظهور الخطوط${\displaystyle {\bar {1}}-{\bar {4}},{\bar {4}}-{\bar {5}},{\bar {5}}-6}$ويمكن تمثيلها بشكل مكافئ بالخطوط${\displaystyle {\bar {1}}-6,{\bar {4}}-6,{\bar {5}}-6,{\bar {1}}-{\bar {5}}}$(على سبيل المثال).

ل${\displaystyle n\in \mathbb {C} }$و${\displaystyle k\in \mathbb {N} ^{*}}$، جبر التقسيم${\displaystyle P_{k}(n)}$يُعرَّف بـ${\displaystyle \mathbb {C} }$- أساس مكون من أقسام، وعملية ضرب تُعطى عن طريق ربط المخططات. يأتي المخطط المربوط بعامل${\displaystyle n^{D}}$، أين${\displaystyle D}$يمثل عدد المكونات المتصلة التي تكون منفصلة عن العناصر العلوية والسفلية.

جبر التقسيم${\displaystyle P_{k}(n)}$يتم إنشاؤه بواسطة${\displaystyle 3k-2}$عناصر من النوع

تخضع هذه المولدات لعلاقات تتضمن ^{[ 2 ]}

${\displaystyle s_{i}^{2}=1\quad ,\quad s_{i}s_{i+1}s_{i}=s_{i+1}s_{i}s_{i+1}\quad ,\quad p_{i}^{2}=np_{i}\quad ,\quad b_{i}^{2}=b_{i}\quad ,\quad p_{i}b_{i}p_{i}=p_{i}}$

تشمل العناصر الأخرى المفيدة لتوليد الجبر الجزئي ما يلي:

أما فيما يتعلق بالمولدات الأصلية، فإن هذه العناصر هي

${\displaystyle e_{i}=b_{i}p_{i}p_{i+1}b_{i}\quad ,\quad l_{i}=s_{i}p_{i}\quad ,\quad r_{i}=p_{i}s_{i}}$

جبر التقسيم${\displaystyle P_{k}(n)}$هو جبر ترابطي . وله عنصر محايد ضربي

جبر التقسيم${\displaystyle P_{k}(n)}$شبه بسيط لـ${\displaystyle n\in \mathbb {C} -\{0,1,\dots ,2k-2\}}$لأي اثنين${\displaystyle n,n'}$في هذه المجموعة، الجبر${\displaystyle P_{k}(n)}$و${\displaystyle P_{k}(n')}$متماثلة الشكل. ^{[ 1 ]}

جبر التقسيم ذو أبعاد منتهية، مع${\displaystyle \dim P_{k}(n)=B_{2k}}$( رقم بيل ).

يمكن تعريف الجبر الجزئي لجبر التقسيم بالخصائص التالية: ^{[ 3 ]}

• سواء كانت مستوية، أي ما إذا كانت الخطوط قد تتقاطع في المخططات.
• هل يُسمح للمجموعات الفرعية بأن يكون لها أي حجم؟${\displaystyle 1,2,\dots ,2k}$أو الحجم${\displaystyle 1,2}$أو الحجم فقط${\displaystyle 2}$.
• سواء سمحنا بخطوط علوية-علوية وسفلية-سفلية، أو بخطوط علوية-سفلية فقط. في الحالة الأخيرة، يكون المعامل${\displaystyle n}$غائب، أو يمكن استبعاده بواسطة${\displaystyle p_{i}\to {\frac {1}{n}}p_{i}}$.

يؤدي الجمع بين هذه الخصائص إلى ظهور 8 جبر فرعي غير تافه، بالإضافة إلى جبر التقسيم نفسه: ^{[ 1 ] [ 3 ]}

الترميز	اسم	مولدات كهربائية	الأبعاد	مثال
${\displaystyle P_{k}(n)}$	تقسيم	${\displaystyle s_{i},p_{i},b_{i}}$	${\displaystyle B_{2k}}$
${\displaystyle PP_{k}(n)}$	التقسيم المستوي	${\displaystyle p_{i},b_{i}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2k+1}}{\binom {4k}{2k}}}$
${\displaystyle RB_{k}(n)}$	روك براور	${\displaystyle s_{i},e_{i},p_{i}}$	${\displaystyle \sum _{\ell =0}^{k}{\binom {2k}{2\ell }}(2\ell -1)!!}$
${\displaystyle M_{k}(n)}$	موتزكين	${\displaystyle e_{i},l_{i},r_{i}}$	${\displaystyle \sum _{\ell =0}^{k}{\frac {1}{\ell +1}}{\binom {2\ell }{\ell }}{\binom {2k}{2\ell }}}$
${\displaystyle B_{k}(n)}$	براور	${\displaystyle s_{i},e_{i}}$	${\displaystyle (2k-1)!!}$
${\displaystyle TL_{k}(n)}$	تيمبرلي-ليب	${\displaystyle e_{i}}$	${\displaystyle {\frac {1}{k+1}}{\binom {2k}{k}}}$
${\displaystyle R_{k}}$	رخ	${\displaystyle s_{i},p_{i}}$	${\displaystyle \sum _{\ell =0}^{k}{\binom {k}{\ell }}^{2}\ell$ !}
${\displaystyle PR_{k}}$	قبة مستوية	${\displaystyle l_{i},r_{i}}$	${\displaystyle {\binom {2k}{k}}}$
${\displaystyle \mathbb {C} S_{k}}$	المجموعة المتناظرة	${\displaystyle s_{i}}$	${\displaystyle k!}$

جبر المجموعة المتناظرة${\displaystyle \mathbb {C} S_{k}}$هي حلقة المجموعة للمجموعة المتناظرة${\displaystyle S_{k}}$زيادة${\displaystyle \mathbb {C} }$يُطلق على جبر موتزكين أحيانًا اسم جبر تمبرلي-ليب المخفف في الأدبيات الفيزيائية. ^{[ 4 ]}

الجبر الفرعي المذكور هو جبر شبه بسيط لـ${\displaystyle n\in \mathbb {C} -\{0,1,\dots ,2k-2\}}$.

تضمين الجبر المستوي في الجبر غير المستوي:

${\displaystyle PP_{k}(n)\subset P_{k}(n)\quad ,\quad M_{k}(n)\subset RB_{k}(n)\quad ,\quad TL_{k}(n)\subset B_{k}(n)\quad ,\quad PR_{k}\subset R_{k}}$

الإضافات الناتجة عن القيود المفروضة على حجم المجموعة الفرعية:

${\displaystyle B_{k}(n)\subset RB_{k}(n)\subset P_{k}(n)\quad ,\quad TL_{k}(n)\subset M_{k}(n)\subset PP_{k}(n)\quad ,\quad \mathbb {C} S_{k}\subset R_{k}}$

الإضافات التي تسمح بخطوط أعلى-أعلى وأسفل-أسفل:

${\displaystyle R_{k}\subset RB_{k}(n)\quad ,\quad PR_{k}\subset M_{k}(n)\quad ,\quad \mathbb {C} S_{k}\subset B_{k}(n)}$

لدينا التشاكل:

${\displaystyle PP_{k}(n^{2})\cong TL_{2k}(n)\quad ,\quad \left\{{\begin{array}{l}p_{i}\mapsto ne_{2i-1}\\b_{i}\mapsto {\frac {1}{n}}e_{2i}\end{array}}\right.}$

بالإضافة إلى الجبر الفرعي الثمانية الموصوفة أعلاه، تم تعريف جبر فرعي آخر:

• الجبر الجزئي للتقسيم المنتشر كليًا${\displaystyle {\text{prop}}P_{k}}$يتم توليدها بواسطة مخططات تنتشر جميع كتلها، أي التقسيمات التي تحتوي جميع مجموعاتها الفرعية على عناصر علوية وسفلية. ^{[ 5 ]} هذه المخططات من الزمرة العكسية المتناظرة الثنائية ، والتي يتم توليدها بواسطة${\displaystyle s_{i},b_{i}p_{i+1}b_{i+1}}$[ ^{6 ]​}
• جبر التقسيم شبهي${\displaystyle QP_{k}(n)}$يتم توليدها بواسطة مجموعات جزئية بحجم اثنين على الأقل. مولداتها هي${\displaystyle s_{i},b_{i},e_{i}}$وأبعاده هي${\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{2k}(-1)^{j-1}B_{2k-j}}$[ ^{7 ]​}
• جبر التبديل الكتلي المنتظم${\displaystyle U_{k}}$يتم توليدها بواسطة مجموعات فرعية تحتوي على عدد متساوٍ من العناصر العلوية والسفلية. يتم توليدها بواسطة${\displaystyle s_{i},b_{i}}$[ ^{8 ]​}

جبر ذو فهرس نصف صحيح${\displaystyle k+{\frac {1}{2}}}$يتم تعريفها من خلال تقسيمات${\displaystyle 2k+2}$العناصر من خلال اشتراط ذلك${\displaystyle k+1}$و${\displaystyle {\overline {k+1}}}$تقع ضمن نفس المجموعة الفرعية. على سبيل المثال،${\displaystyle P_{k+{\frac {1}{2}}}}$يتم إنشاؤه بواسطة${\displaystyle s_{i\leq k-1},b_{i\leq k},p_{i\leq k}}$لهذا السبب.${\displaystyle P_{k}\subset P_{k+{\frac {1}{2}}}\subset P_{k+1}}$، و${\displaystyle \dim P_{k+{\frac {1}{2}}}=B_{2k+1}}$[ ^{2 ]​}

تُنشأ الجبريات الفرعية الدورية بواسطة مخططات يمكن رسمها على حلقة دون تقاطعات للخطوط. تتضمن هذه الجبريات الفرعية عنصر إزاحة.${\displaystyle u=}$بحيث${\displaystyle u^{k}=1}$إن عنصر الترجمة وقدراته هما التركيبتان الوحيدتان لـ${\displaystyle s_{i}}$التي تنتمي إلى الجبر الجزئي الدوري.

بالنسبة لعدد صحيح${\displaystyle 0\leq \ell \leq k}$، يترك${\displaystyle D_{\ell }}$لتكن مجموعة التقسيمات${\displaystyle k+\ell }$عناصر${\displaystyle 1,2,\dots ,k}$(أسفل) و${\displaystyle {\bar {1}},{\bar {2}},\dots ,{\bar {\ell }}}$(الأعلى)، بحيث لا يوجد عنصران علويان في نفس المجموعة الفرعية، ولا يوجد عنصر علوي بمفرده. تُمثَّل هذه التقسيمات بمخططات لا تحتوي على خطوط علوية، مع وجود خط واحد على الأقل لكل عنصر علوي. على سبيل المثال، في الحالة${\displaystyle k=12,\ell =5}$:

تؤثر مخططات التقسيم على${\displaystyle D_{\ell }}$من الأسفل، بينما المجموعة المتناظرة${\displaystyle S_{\ell }}$يتصرف من الأعلى. لأي وحدة Specht${\displaystyle V_{\lambda }}$ل${\displaystyle S_{\ell }}$(مع لذلك)${\displaystyle |\lambda |=\ell }$)، نُعرّف تمثيل${\displaystyle P_{k}(n)}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\lambda }=\mathbb {C} D_{|\lambda |}\otimes _{\mathbb {C} S_{|\lambda |}}V_{\lambda }\ .}$

بُعد هذا التمثيل هو ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \dim {\mathcal {P}}_{\lambda }=f_{\lambda }\sum _{\ell =|\lambda |}^{k}\left\{{k \atop \ell }\right\}{\binom {\ell }{|\lambda |}}\ ,}$

أين${\displaystyle \left\{{k \atop \ell }\right\}}$هو عدد ستيرلينغ من النوع الثاني ،${\displaystyle {\binom {\ell }{|\lambda |}}}$هو معامل ذو حدين ، و${\displaystyle f_{\lambda }=\dim V_{\lambda }}$يتم تحديدها بواسطة صيغة طول الخطاف .

أساس لـ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\lambda }}$يمكن وصفها توافقياً من حيث جداول تقسيم المجموعات: جداول يونغ التي تمتلئ مربعاتها بكتل تقسيم المجموعة. ^{[ 1 ]}

بافتراض أن${\displaystyle P_{k}(n)}$التمثيل شبه بسيط${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\lambda }}$غير قابل للاختزال، ومجموعة التمثيلات غير القابلة للاختزال ذات الأبعاد المحدودة لجبر التقسيم هي

${\displaystyle {\text{Irrep}}\left(P_{k}(n)\right)=\left\{{\mathcal {P}}_{\lambda }\right\}_{0\leq |\lambda |\leq k}\ .}$

تتشابه تمثيلات الجبر الجزئي غير المستوي في بنيتها مع تمثيلات جبر التقسيم. فعلى سبيل المثال، تُبنى وحدات براور-سبيشت لجبر براور من وحدات سبيشت، ومجموعات معينة من التقسيمات.

في حالة الجبر الجزئي المستوي، تمنع خاصية الاستواء حدوث تباديل غير تافهة، ولا تظهر وحدات سبيشت. على سبيل المثال، يتم تحديد وحدة قياسية لجبر تمبرلي-ليب بواسطة عدد صحيح.${\displaystyle 0\leq \ell \leq k}$مع${\displaystyle \ell \equiv k{\bmod {2}}}$ويتم تحديد الأساس ببساطة من خلال مجموعة من التقسيمات.

يسرد الجدول التالي التمثيلات غير القابلة للاختزال لجبر التقسيم وثمانية جبر فرعي. ^{[ 3 ]}

الجبر	المعلمة	شروط	الأبعاد
${\displaystyle P_{k}(n)}$	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle 0\leq |\lambda |\leq k}$	${\displaystyle f_{\lambda }\sum _{\ell =|\lambda |}^{k}\left\{{k \atop \ell }\right\}{\binom {\ell }{|\lambda |}}}$
${\displaystyle PP_{k}(n)}$	${\displaystyle \ell }$	${\displaystyle 0\leq \ell \leq k}$	${\displaystyle {\binom {2k}{k+\ell }}-{\binom {2k}{k+\ell +1}}}$
${\displaystyle RB_{k}(n)}$	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle 0\leq |\lambda |\leq k}$	${\displaystyle f_{\lambda }{\binom {k}{|\lambda |}}\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\frac {k-|\lambda |}{2}}\right\rfloor }{\binom {k-|\lambda |}{2m}}(2m-1)!!}$
${\displaystyle M_{k}(n)}$	${\displaystyle \ell }$	${\displaystyle 0\leq \ell \leq k}$	${\displaystyle \sum _{m=0}^{\left\lfloor {\frac {k-\ell }{2}}\right\rfloor }{\binom {k}{\ell +2m}}\left\{{\binom {\ell +2m}{m}}-{\binom {\ell +2m}{m-1}}\right\}}$
${\displaystyle B_{k}(n)}$	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle {\begin{array}{c}0\leq |\lambda |\leq k\\|\lambda |\equiv k{\bmod {2}}\end{array}}}$	${\displaystyle f_{\lambda }{\binom {k}{|\lambda |}}(k-|\lambda |-1)!!}$
${\displaystyle TL_{k}(n)}$	${\displaystyle \ell }$	${\displaystyle {\begin{array}{c}0\leq \ell \leq k\\\ell \equiv k{\bmod {2}}\end{array}}}$	${\displaystyle {\binom {k}{\frac {k+\ell }{2}}}-{\binom {k}{\frac {k+\ell +2}{2}}}}$
${\displaystyle R_{k}}$	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle 0\leq |\lambda |\leq k}$	${\displaystyle f_{\lambda }{\binom {k}{|\lambda |}}}$
${\displaystyle PR_{k}}$	${\displaystyle \ell }$	${\displaystyle 0\leq \ell \leq k}$	${\displaystyle {\binom {k}{\ell }}}$
${\displaystyle \mathbb {C} S_{k}}$	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle |\lambda |=k}$	${\displaystyle f_{\lambda }}$

التمثيلات غير القابلة للاختزال لـ${\displaystyle {\text{prop}}P_{k}}$يتم فهرسة الأقسام بحيث${\displaystyle 0<|\lambda |\leq k}$وأبعادها هي${\displaystyle f_{\lambda }\left\{{k \atop |\lambda |}\right\}}$[ ^{5 ]} التمثيلات غير القابلة للاختزال ^لـ${\displaystyle QP_{k}}$يتم فهرسة الأقسام بحيث${\displaystyle 0\leq |\lambda |\leq k}$[ ^{7 ]} التمثيلات غير القابلة للاختزال ^لـ${\displaystyle U_{k}}$يتم فهرسة البيانات بواسطة تسلسلات من الأقسام. ^{[ 8 ]}

يترك${\displaystyle n\geq 2k}$ليكن عددًا صحيحًا. لنأخذ${\displaystyle V}$أن تكون التمثيل التبديل الطبيعي للمجموعة المتناظرة${\displaystyle S_{n}}$. هذا${\displaystyle n}$التمثيل ذو الأبعاد n هو مجموع تمثيلين غير قابلين للاختزال: التمثيل القياسي والتمثيل التافه.${\displaystyle V=[n-1,1]\oplus [n]}$.

ثم جبر التقسيم${\displaystyle P_{k}(n)}$هو مركز عمل${\displaystyle S_{n}}$في فضاء الضرب الموتري${\displaystyle V^{\otimes k}}$،

${\displaystyle P_{k}(n)\cong {\text{End}}_{S_{n}}\left(V^{\otimes k}\right)\ .}$

علاوة على ذلك، كوحدة ثنائية على${\displaystyle P_{k}(n)\times S_{n}}$، ينقسم فضاء الضرب الموتري إلى تمثيلات غير قابلة للاختزال كما في ^{[ 1 ]}

${\displaystyle V^{\otimes k}=\bigoplus _{0\leq |\lambda |\leq k}{\mathcal {P}}_{\lambda }\otimes V_{[n-|\lambda |,\lambda ]}\ ,}$

أين${\displaystyle [n-|\lambda |,\lambda ]}$هو مخطط يونغ بحجم${\displaystyle n}$تم بناؤه بإضافة صف أول إلى${\displaystyle \lambda }$، و${\displaystyle V_{[n-|\lambda |,\lambda ]}}$هو وحدة Specht المقابلة لـ${\displaystyle S_{n}}$.

تُعمم الازدواجية بين المجموعة المتناظرة وجبر التقسيم الازدواجية الأصلية لشور-ويل بين المجموعة الخطية العامة والمجموعة المتناظرة. وهناك تعميمات أخرى. في فضاءات جداء الموتر ذات الصلة، نكتب${\displaystyle V_{n}}$من أجل شيء لا يمكن اختزاله${\displaystyle n}$التمثيل ذو الأبعاد للمجموعة الأولى أو الجبر:

فضاء حاصل ضرب الموترات	الزمرة أو الجبر	الجبر المزدوج أو الزمر	تعليقات
${\displaystyle \left(V_{n-1}\oplus V_{1}\right)^{\otimes k}}$	${\displaystyle S_{n}}$	${\displaystyle P_{k}(n)}$	الازدواجية لجبر التقسيم الكامل
${\displaystyle \left(V_{n-2}\oplus V_{1}\oplus V_{1}\right)^{\otimes k}}$	${\displaystyle S_{n-1}}$	${\displaystyle P_{k+{\frac {1}{2}}}(n)}$	حالة جبر التقسيم مع فهرس نصف صحيح [ 2 ]
${\displaystyle V_{n}^{\otimes k}}$	${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {C} )}$	${\displaystyle S_{k}}$	الازدواجية الأصلية بين شور وويل
${\displaystyle V_{n}^{\otimes k}}$	${\displaystyle O(n)}$	${\displaystyle B_{k}(n)}$	الازدواجية بين المجموعة المتعامدة وجبر براور
${\displaystyle \left(V_{n}\oplus V_{1}\right)^{\otimes k}}$	${\displaystyle O(n)}$	${\displaystyle RB_{k}(n+1)}$	الازدواجية بين المجموعة المتعامدة وجبر براور للرخ [ 9 ]
${\displaystyle V_{n}^{\otimes k}}$	${\displaystyle R_{n}}$	${\displaystyle {\text{prop}}P_{k}}$	الازدواجية بين جبر الرخ وجبر التقسيم المنتشر كليًا [ 10 ] [ 5 ]
${\displaystyle V_{2}^{\otimes k}}$	${\displaystyle gl(1|1)}$	${\displaystyle PR_{k-1}}$	الازدواجية بين جبر لي الفائق وجبر الرخ المستوي [ 11 ]
${\displaystyle V_{n-1}^{\otimes k}}$	${\displaystyle S_{n}}$	${\displaystyle QP_{k}(n)}$	الازدواجية بين المجموعة المتناظرة وجبر التقسيم شبه [ 7 ]
${\displaystyle V_{n}^{\otimes r}\otimes \left(V_{n}^{*}\right)^{\otimes s}}$	${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {C} )}$	${\displaystyle B_{r,s}(n)}$	الازدواجية التي تتضمن جبر براور المحاط بجدران . [ 12 ]