ازدواجية شور-ويل

ثنائية شور-ويل هي نظرية رياضية في نظرية التمثيل تربط بين التمثيلات غير القابلة للاختزال ذات الأبعاد المحدودة للمجموعات الخطية العامة والمتناظرة . تُشكل ثنائية شور-ويل حالة نموذجية في نظرية التمثيل تتضمن نوعين من التناظر يحدد كل منهما الآخر. سُميت هذه الثنائية نسبةً إلى اثنين من رواد نظرية تمثيل مجموعات لي ، وهما إسحاق شور ، مكتشف هذه الظاهرة، وهيرمان ويل ، الذي ساهم في نشرها في كتبه عن ميكانيكا الكم والمجموعات الكلاسيكية كوسيلة لتصنيف تمثيلات المجموعات الخطية العامة والوحدوية .

يمكن إثبات ازدواجية شور-ويل باستخدام نظرية المركز المزدوج . ^{[ 1 ]}

لنفترض فضاء الموتر

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}\otimes \cdots \otimes \mathbb {C} ^{n}}$بمعاملات k .

تؤثر المجموعة المتناظرة S _k على k حرفًا على هذا الفضاء (على اليسار) عن طريق تبديل العوامل،

${\displaystyle \sigma (v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{k})=v_ {\sigma ^{-1}(1)}\otimes v_{\sigma ^{-1}(2)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma ^{-1}(k)}.}$

تؤثر المجموعة الخطية العامة GL _n للمصفوفات القابلة للعكس من الرتبة n × n عليها من خلال عملية ضرب المصفوفات المتزامنة ،

${\displaystyle g(v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{k})=gv_{1}\otimes gv_{2}\otimes \cdots \otimes gv_{k},\quad g\in {\text{GL}}_{n}.}$

يتبادل هذان الفعلان ، وفي شكله الملموس، تؤكد ثنائية شور-ويل أنه في ظل الفعل المشترك للمجموعتين S _k و GL _n ، يتحلل فضاء الموتر إلى مجموع مباشر من نواتج الموتر للوحدات غير القابلة للاختزال (لهاتين المجموعتين) التي تحدد بعضها البعض فعليًا.

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}\otimes \cdots \otimes \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{D}\pi _{k}^{D}\otimes \rho _{n}^{D}.}$

يتم فهرسة الحدود بواسطة مخططات يونغ D التي تحتوي على k مربعات و n صف على الأكثر، والتمثيلات.${\displaystyle \pi _{k}^{D}}$إن S _k ذات D المختلفة غير متماثلة فيما بينها، وينطبق الشيء نفسه على التمثيلات${\displaystyle \rho _{n}^{D}}$من GL _n .

يؤكد الشكل المجرد لازدواجية شور-ويل أن جبرين من المؤثرات على فضاء الموترات الناتج عن تأثيرات GL _n و S _k هما مركزان متبادلان كاملان في جبر التشكلات الداخلية.${\displaystyle \mathrm {End} _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}\otimes \cdots \otimes \mathbb {C} ^{n}).}$

لنفترض أن k = 2 و n أكبر من واحد. عندئذٍ، فإن ازدواجية شور-ويل هي القول بأن فضاء الموترات الثنائية ينقسم إلى أجزاء متناظرة وغير متناظرة، كل منها عبارة عن وحدة نمطية غير قابلة للاختزال لـ GL _n :

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}=S^{2}\mathbb {C} ^{n}\oplus \Lambda ^{2}\mathbb {C} ^{n}.}$

تتكون المجموعة المتناظرة S² من عنصرين، ولها تمثيلان غير قابلين للاختزال: _{التمثيل التافه} والتمثيل الإشاري . يُنتج التمثيل التافه لـ S² الموترات المتناظرة، وهي ثابتة (أي لا تتغير) تحت تبديل العوامل، بينما يُنتج التمثيل الإشاري الموترات المتناظرة المعكوسة، والتي تعكس الإشارة.

أولاً، ضع في اعتبارك الإعداد التالي:

• G مجموعة منتهية ،
• ${\displaystyle A=\mathbb {C} [G]}$الجبر الجماعي لـ G ،
• ${\displaystyle U}$وحدة نمطية يمينية محدودة الأبعاد من النوع A ، و
• ${\displaystyle B=\operatorname {End} _{G}(U)}$، والتي تؤثر على U من اليسار وتتبادل مع التأثير الأيمن لـ G (أو A ). بعبارة أخرى،${\displaystyle B}$هو مركزي${\displaystyle A}$في حلقة التشكل الداخلي${\displaystyle \operatorname {End} _{\mathbb {C} }(U)}$.

يستخدم البرهان اثنين من اللمات الجبرية.

البرهان : بما أن U شبه بسيط وفقًا لنظرية ماشكه ، فهناك تفكيك${\displaystyle U=\bigoplus _{i}U_{i}^{\oplus m_{i}}}$إلى وحدات A بسيطة . ثم${\displaystyle U\otimes _{A}W=\bigoplus _{i}(U_{i}\otimes _{A}W)^{\oplus m_{i}}}$بما أن A هو التمثيل المنتظم الأيسر لـ G ، فإن كل وحدة نمطية بسيطة من G تظهر في A ، ولدينا أن${\displaystyle U_{i}\otimes _{A}W=\mathbb {C} }$(صفر على التوالي) إذا وفقط إذا${\displaystyle U_{i},W}$يقابل كل منهما نفس العامل البسيط لـ A (على التوالي فيما عدا ذلك). ومن ثم، لدينا:${\displaystyle U\otimes _{A}W=(U_{i_{0}}\otimes _{A}W)^{\oplus m_{i_{0}}}=\mathbb {C} ^{\oplus m_{i_{0}}}.}$كل متجه غير صفري في${\displaystyle \mathbb {C} ^{\oplus m_{i_{0}}}}$يُنشئ الفضاء بأكمله كوحدة نمطية B ، وهكذا${\displaystyle U\otimes _{A}W}$بسيط. (بشكل عام، يكون الموديول غير الصفري بسيطًا إذا وفقط إذا تطابق كل موديول فرعي دوري غير صفري مع الموديول.)${\displaystyle \square }$

البرهان : ليكن${\displaystyle W=\operatorname {End} (V)}$. ثم${\displaystyle W\hookrightarrow \operatorname {End} (U)،w\mapsto w^{d}=d!w\otimes \cdots \otimes w}$كذلك، تمتد صورة W على الفضاء الجزئي للموترات المتناظرة${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{d}(W)}$. منذ${\displaystyle B=\operatorname {Sym} ^{d}(W)}$صورة${\displaystyle W}$يمتد${\displaystyle B}$. منذ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$إذا كانت كثيفة في W سواء في الطوبولوجيا الإقليدية أو في طوبولوجيا زاريسكي ، فإن التأكيد يتبع.${\displaystyle \square }$

ويتبع ذلك الآن ازدواجية شور-ويل. نأخذ${\displaystyle G={\mathfrak {S}}_{d}}$أن تكون المجموعة المتناظرة و${\displaystyle U=V^{\otimes d}}$القوة الموترية من الرتبة d لفضاء متجهي معقد ذي أبعاد محدودة V.

يترك${\displaystyle V^{\lambda }}$يشير إلى غير القابل للاختزال${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{d}}$- تمثيل يتوافق مع التقسيم${\displaystyle \lambda }$و${\displaystyle m_{\lambda }=\dim V^{\lambda }}$ثم بحسب المبرهنة 1

${\displaystyle S^{\lambda}(V):=V^{\otimes d}\otimes _{{\mathfrak {S}}_{d}}V^{\lambda }}$

لا يمكن اختزاله كـ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$-وحدة. علاوة على ذلك، عندما${\displaystyle A=\bigoplus _{\lambda }(V^{\lambda })^{\oplus m_{\lambda }}}$إذا كان هذا هو التفكيك شبه البسيط الأيسر، فلدينا: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle V^{\otimes d}=V^{\otimes d}\otimes _{A} A=\bigoplus _{\lambda }(V^{\otimes d}\otimes _{{\mathfrak {S}}_{d}}V^{\lambda })^{\oplus m_{\lambda }}}$،

وهو التفكيك شبه البسيط كـ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$-وحدة.

تؤدي جبر براور دور المجموعة المتناظرة في تعميم ثنائية شور-ويل إلى المجموعات المتعامدة والتماثلية. ويتضمن التعميم إلى التمثيلات المختلطة الموترية للمجموعات الخطية العامة جبر واليد-براور .

وبشكل أكثر عمومية، فإن جبر التقسيم وجبره الفرعي يؤدي إلى عدد من التعميمات لثنائية شور-ويل.

• جبر التقسيم

• فولتون، ويليام ؛ هاريس، جو (1991). نظرية التمثيل: مدخل تمهيدي . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، قراءات في الرياضيات. المجلد  129. نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8MR 1153249 . OCLC 246650103 .​  
• روجر هاو ، منظورات حول نظرية الثوابت: ازدواجية شور، والأفعال الخالية من التعددية وما بعدها . محاضرات شور (1992) (تل أبيب)، 1-182، وقائع المؤتمر الرياضي الإسرائيلي، 8، جامعة بار إيلان، رامات غان، 1995. MR 1321638 
• Issai Schur ، Über eine Klasse von Matrizen، die sich einer gegebenen Matrix zuordnen lassen . أطروحة. برلين. 76 س (1901) جي إم إف 32.0165.04
• Issai Schur , Über die Rationalen Darstellungen der Allgemeinen Liner Gruppe . سيتزونجسبيرشت أكاد. برلين 1927، 58–75 (1927) JMF 53.0108.05
• سينغوبتا، أمبار ن. (2012). "الفصل العاشر: ازدواجية الصفات". تمثيل المجموعات المنتهية، مقدمة شبه مبسطة . سبرينغر. ISBN 978-1-4614-1232-8. OCLC 875741967 . 
• هيرمان فايل ، المجموعات الكلاسيكية: ثوابتها وتمثيلاتها . مطبعة جامعة برينستون، برينستون، نيوجيرسي، 1939. 12+302 صفحة. MR 0000255 

• كيف يمكن إثبات ثنائية شور-ويل بشكل بنائي/توافقي؟