نظرية نواة بيانو

في التحليل العددي ، تُعدّ نظرية نواة بيانو نتيجة عامة تتعلق بحدود الخطأ لفئة واسعة من التقريبات العددية (مثل التربيعات العددية )، والمُعرّفة بدلالة الدوال الخطية . تُنسب هذه النظرية إلى جوزيبي بيانو . ^{[ 1 ]}

يترك ${\displaystyle {\mathcal {V}}[a,b]}$ليكن فضاء جميع الدوال${\displaystyle f}$التي يمكن تفاضلها على${\displaystyle (a,b)}$التي تتميز بتغير محدود على${\displaystyle [a,b]}$ودع${\displaystyle L}$لتكن دالة خطية على${\displaystyle {\mathcal {V}}[a,b]}$افترض أن${\displaystyle L}$يلغي جميع كثيرات الحدود من الدرجة${\displaystyle \leq \nu }$، أي$${\displaystyle Lp=0,\qquad \forall p\in \mathbb {P} _{\nu }[x].}$$لنفترض كذلك أنه لأي دالة ثنائية المتغيرات${\displaystyle g(x,\theta )}$مع${\displaystyle g(x,\cdot ),\,g(\cdot ,\theta )\in C^{\nu +1}[a,b]}$، ما يلي صحيح:$${\displaystyle L\int _{a}^{b}g(x,\theta )\,d\theta =\int _{a}^{b}Lg(x,\theta )\,d\theta ,}$$وحدد نواة بيانو لـ${\displaystyle L}$مثل$${\displaystyle k(\theta )=L[(x-\theta )_{+}^{\nu }],\qquad \theta \in [a,b],}$$باستخدام الترميز$${\displaystyle (x-\theta )_{+}^{\nu }={\begin{cases}(x-\theta )^{\nu },&x\geq \theta ,\\0,&x\leq \theta .\end{cases}}}$$تنص نظرية نواة بيانو ^{[ 1 ] [ 2 ]} على أنه إذا${\displaystyle k\in {\mathcal {V}}[a,b]}$ثم لكل دالة${\displaystyle f}$إنه${\textstyle \nu +1}$لدينا معادلات قابلة للتفاضل باستمرار .$${\displaystyle Lf={\frac {1}{\nu$$ !}}\int _{a}^{b}k(\theta )f^{(\nu +1)}(\theta )\,d\theta .}

من الناحية العملية، يتمثل التطبيق الرئيسي لنظرية نواة بيانو في تحديد حد خطأ التقريب الذي يكون دقيقًا لجميع${\displaystyle f\in \mathbb {P} _{\nu }}$تنتج النظرية أعلاه من متعددة حدود تايلور لـ${\displaystyle f}$مع باقي صحيح:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)=f(a)+{}&(xa)f'(a)+{\frac {(xa)^{2}}{2}}f''(a)+\cdots \\[6pt]&\cdots +{\frac {(xa)^{\nu }}{\nu$ !}}f^{(\nu )}(a)+{\frac {1}{\nu  !}}\int _{a}^{x}(x-\theta )^{\nu }f^{(\nu +1)}(\theta )\,d\theta ,\end{محاذاة}}}

تعريف${\displaystyle L(f)}$كخطأ التقريب، باستخدام خطية${\displaystyle L}$بالإضافة إلى الدقة لـ${\displaystyle f\in \mathbb {P} _{\nu }}$لإلغاء كل الحدود باستثناء الحد الأخير على الجانب الأيمن، وباستخدام${\displaystyle (\cdot )_{+}}$رمز لإزالة${\displaystyle x}$-الاعتماد على الحدود التكاملية. ^{[ 3 ]}

• الاختلافات المنقسمة