نظرية الأعداد الخماسية

في الرياضيات ، تربط نظرية أويلر للأعداد الخماسية بين تمثيلات الضرب والمتسلسلة لدالة أويلر . وتنص على أن

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-x^{n}\right)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(-1\right)^{k}x^{k\left(3k-1\right)/2}=1+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\left(x^{k(3k+1)/2}+x^{k(3k-1)/2}\right).}$

بعبارة أخرى،

${\displaystyle (1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\cdots =1-xx^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-\cdots .}$

تُعطى الأسس 1، 2، 5، 7، 12، ... في الطرف الأيمن بالصيغة g _k = k (3 k − 1)/2، حيث k = 1، −1، 2، −2، 3، ... وتُسمى هذه الأعداد بالأعداد الخماسية (المتتالية A001318 في OEIS ) . ( يُقابل الحد الثابت 1${\displaystyle k=0}$.) ينطبق هذا كتطابق لمتسلسلات القوى المتقاربة لـ${\displaystyle |x|<1}$وأيضًا كهوية لسلسلة القوى الرسمية .

من السمات اللافتة لهذه التركيبة مقدار الإلغاء في تمدد المنتج.

تُشير هذه المتطابقة إلى وجود علاقة تكرارية لحساب${\displaystyle p(n)}$عدد تقسيمات العدد n :

${\displaystyle p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+\cdots }$

أو بشكل أكثر رسمية،

${\displaystyle p(n)=\sum _{k\neq 0}(-1)^{k-1}p(n-g_{k})}$

حيث يكون الجمع على جميع الأعداد الصحيحة غير الصفرية k (الموجبة والسالبة) و${\displaystyle g_{k}}$هو العدد ^{الخماسي} المعمم رقم k . بما أن${\displaystyle p(n)=0}$للجميع${\displaystyle n<0}$، السلسلة اللانهائية الظاهرة على اليمين تحتوي فقط على عدد محدود من الحدود غير الصفرية، مما يتيح حسابًا فعالًا لـ p ( n ).

يمكن تفسير النظرية توافقيًا من حيث التقسيمات . على وجه الخصوص، يمثل الطرف الأيسر دالة مولدة لعدد تقسيمات n إلى عدد زوجي من الأجزاء المتميزة مطروحًا منه عدد تقسيمات n إلى عدد فردي من الأجزاء المتميزة. كل تقسيم لـ n إلى عدد زوجي من الأجزاء المتميزة يُضيف +1 إلى معامل x ^_n ؛ وكل تقسيم إلى عدد فردي من الأجزاء المتميزة يُضيف -1 . (تتناول المقالة الخاصة بدوال التقسيم غير المقيدة هذا النوع من الدوال المولدة).

على سبيل المثال، معامل x ^{≤ 5} هو +1 لأنه توجد طريقتان لتقسيم العدد 5 إلى عدد زوجي من الأجزاء المختلفة (4  +  1 و 3  +  2)، ولكن توجد طريقة واحدة فقط لتقسيمه إلى عدد فردي من الأجزاء المختلفة (تقسيمه إلى جزء واحد). أما معامل x ^{≤ 12} فهو -1 لأنه توجد سبع طرق لتقسيم العدد 12 إلى عدد زوجي من الأجزاء المختلفة، بينما توجد ثماني طرق لتقسيمه إلى عدد فردي من الأجزاء المختلفة، وبالتالي 7  -  8  =  -1.

يؤدي هذا التفسير إلى إثبات الهوية عن طريق حذف أزواج الحدود المتطابقة ( طريقة الانعكاس ). ^{[ 1 ]} لننظر إلى مخطط فيريرز لأي تجزئة للعدد n إلى أجزاء متميزة. على سبيل المثال، يوضح المخطط أدناه n = 20 والتجزئة 20 = 7 + 6 + 4 + 3.

لنفترض أن m هو عدد العناصر في أصغر صف في الرسم البياني ( m = 3 في المثال أعلاه). ولنفترض أن s هو عدد العناصر في الخط الأيمن بزاوية 45 درجة في الرسم البياني ( s = نقطتان باللون الأحمر أعلاه، لأن 7 - 1 = 6، ولكن 6 - 1 > 4). إذا كان m > s ، فانقل الخط الأيمن بزاوية 45 درجة لتشكيل صف جديد، كما في الرسم البياني المطابق أدناه.        

إذا كان m ≤ s (كما هو الحال في الرسم التخطيطي الذي تم تشكيله حديثًا حيث m = 2، s = 5) فيمكننا عكس العملية عن طريق تحريك الصف السفلي لتشكيل خط جديد بزاوية 45 درجة (إضافة عنصر واحد إلى كل من الصفوف m الأولى )، مما يعيدنا إلى الرسم التخطيطي الأول.

يُظهر التفكير أن هذه العملية تُغيّر دائمًا زوجية عدد الصفوف، وتطبيقها مرتين يُعيدنا إلى الرسم البياني الأصلي. وهذا يُتيح لنا إقران مخططات فيريرز التي تُساهم بـ 1 و -1 في الحد xⁿ من المتسلسلة، مما ينتج عنه معامل صافٍ يساوي 0 لـ xⁿ ^{. ينطبق} هذا على كل حد باستثناء الحالات التي لا يُمكن فيها تطبيق العملية على كل مخطط فيريرز يحتوي على n نقطة. وهناك حالتان من هذا القبيل:

1) m = s ويلتقي القطر الأيمن والصف السفلي. على سبيل المثال،

إن محاولة إجراء العملية ستؤدي بنا إلى:

وهذا لا يُغيّر زوجية عدد الصفوف، وهو غير قابل للعكس بمعنى أن إعادة تنفيذ العملية لا تُعيدنا إلى الرسم التخطيطي الأصلي. إذا كان هناك m عنصرًا في الصف الأخير من الرسم التخطيطي الأصلي، فإن

${\displaystyle n=m+(m+1)+(m+2)+\cdots +(2m-1)={\frac {m(3m-1)}{2}}={\frac {k(3k-1)}{2}}}$

حيث يُفترض أن يكون المؤشر الجديد k مساوياً لـ m . لاحظ أن الإشارة المرتبطة بهذا التقسيم هي (−1) ^s ، والتي تساوي بحسب الإنشاء (−1) ^m و (−1) ^k .

2) m = s + 1 ويلتقي القطر الأيمن بالصف السفلي. على سبيل المثال،

تتطلب عمليتنا نقل القطر الأيمن إلى الصف السفلي، لكن ذلك سيؤدي إلى صفين من ثلاثة عناصر، وهو أمر غير مسموح به لأننا نحسب التقسيمات إلى أجزاء منفصلة. هذه هي الحالة السابقة ولكن مع صف أقل، لذا

${\displaystyle n=m+(m+1)+(m+2)+\cdots +(2m-2)={\frac {(m-1)(3m-2)}{2}}={\frac {k(3k-1)}{2}},}$

حيث نأخذ k = 1 − m (عدد صحيح سالب). هنا الإشارة المرتبطة هي ( − 1) ^s حيث s = m − 1 = − k ، وبالتالي فإن الإشارة هي (−1) ^k مرة أخرى .    

باختصار، لقد ثبت أن التقسيمات إلى عدد زوجي من الأجزاء المتميزة وعدد فردي من الأجزاء المتميزة تلغي بعضها بعضًا تمامًا، مما ينتج عنه حدود صفرية 0 × ⁿ ، إلا إذا كان n عددًا خماسيًا معمّمًا${\displaystyle n=g_{k}=k(3k-1)/2}$وفي هذه الحالة، يتبقى لدينا مخطط فيريرز واحد فقط، ينتج عنه الحد (−1) ^k x ⁿ . ولكن هذا هو بالضبط ما تنص عليه المعادلة، لذلك فقد انتهينا.

يمكننا إعادة صياغة البرهان أعلاه باستخدام التقسيمات الصحيحة ، والتي نرمز إليها بما يلي: ${\displaystyle n=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{\ell }}$، أين${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \ldots \geq \lambda _{\ell }>0}$عدد تجزئات n هو دالة التجزئة p ( n ) التي لها دالة توليد:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }(1-x^{k})^{-1}}$

لاحظ أن هذا هو مقلوب حاصل ضرب الطرف الأيسر من معادلتنا:

${\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}\right)\cdot \left(\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})\right)=1}$

لنرمز إلى توسع منتجنا بـ ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n},}$ لهذا السبب.

${\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\right)=1.}$

بضرب الطرف الأيسر ومساواة المعاملات على الطرفين، نحصل على 0 _p ( 0) = 1 و${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}p(n-i)a_{i}=0}$للجميع${\displaystyle n\geq 1}$وهذا يُعطي علاقة تكرارية تُعرّف p ( n ) بدلالة an _، والعكس صحيح، أي علاقة تكرارية لـ _an بدلالة p ( n ) . وبالتالي، النتيجة المرجوة هي:

${\displaystyle a_{i}:={\begin{cases}1&{\text{ if }}i={\frac {1}{2}}(3k^{2}\pm k){\text{ and }}k{\text{ is even}}\\-1&{\text{ if }}i={\frac {1}{2}}(3k^{2}\pm k){\text{ and }}k{\text{ is odd }}\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}}$

ل${\displaystyle i\geq 1}$هو مكافئ للهوية${\displaystyle \sum _{i}(-1)^{i}p(n-g_{i})=0,}$ أين${\displaystyle g_{i}:=\textstyle {\frac {1}{2}}(3i^{2}-i)}$و i تتراوح على جميع الأعداد الصحيحة بحيث${\displaystyle g_{i}\leq n}$(يشمل هذا النطاق كلاً من قيم i الموجبة والسالبة، وذلك لاستخدام كلا النوعين من الأعداد الخماسية المعممة). وهذا بدوره يعني:

${\displaystyle \sum _{i\mathrm {\ even} }p(n-g_{i})=\sum _{i\mathrm {\ odd} }p(n-g_{i}).}$

من حيث مجموعات التقسيمات، فإن هذا يعادل القول بأن المجموعات التالية لها نفس العدد من العناصر:

${\displaystyle {\mathcal {X}}:=\bigcup _{i\mathrm {\ even} }{\mathcal {P}}(n-g_{i})}$        و        ${\displaystyle {\mathcal {Y}}:=\bigcup _{i{\text{ odd}}}{\mathcal {P}}(n-g_{i}),}$

أين${\displaystyle {\mathcal {P}}(n)}$يرمز إلى مجموعة جميع تقسيمات${\displaystyle n}$كل ما تبقى هو إيجاد تقابل من مجموعة إلى أخرى، وهو ما يتم تحقيقه بواسطة الدالة φ من X إلى Y التي تُسقط التقسيم${\displaystyle {\mathcal {P}}(n-g_{i})\ni \lambda :n-g_{i}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\dotsb +\lambda _{\ell }}$إلى التقسيم${\displaystyle \lambda '=\varphi (\lambda )}$مُعرَّف بواسطة:

${\displaystyle \varphi (\lambda ):={\begin{cases}\lambda ':n-g_{i-1}=(\ell +3i-2)+(\lambda _{1}-1)+\dotsb +(\lambda _{\ell }-1)&{\text{ if }}\ell +3i>\lambda _{1}\\\\\lambda ':n-g_{i+1}=(\lambda _{2}+1)+\dotsb +(\lambda _{\ell }+1)+\underbrace {1+\dotsb +1} _{\lambda _{1}-\ell -3i}&{\text{ if }}\ell +3i\leq \lambda _{1}.\end{cases}}}$

هذا عبارة عن انعكاس (تحويل ذاتي عكسي)، وبالتالي على وجه الخصوص تقابل، مما يثبت ادعاءنا والهوية.

تظهر نظرية العدد الخماسي كحالة خاصة من حاصل الضرب الثلاثي لجاكوبي .

تُعمم متسلسلة Q دالة أويلر، المرتبطة ارتباطًا وثيقًا بدالة إيتا لديديكيند ، وتظهر في دراسة الأشكال النمطية . يُظهر معيار دالة أويلر (انظر الصورة) تناظر المجموعة النمطية الكسورية ، ويظهر في دراسة باطن مجموعة ماندلبروت .

• أبوستول، توم م. (1976)، مقدمة في نظرية الأعداد التحليلية ، نصوص جامعية في الرياضيات، نيويورك-هايدلبرغ: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-90163-3، MR 0434929 ، Zbl 0335.10001  
• هاردي، جي إتش ؛ رايت، إي إم (2008) [1938]. مدخل إلى نظرية الأعداد . مراجعة دي آر هيث براون وجيه إتش سيلفرمان . مقدمة بقلم أندرو وايلز . (  الطبعة السادسة). أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد . ISBN 978-0-19-921986-5. السيد 2445243 . زبل 1159.11001 .  

• جوردان بيل (2005). "أويلر ونظرية الأعداد الخماسية". arXiv : math.HO/0510054 .
• حول نظرية أويلر الخماسية في موقع MathPages
• تسلسل OEIS A000041 (a(n) = عدد أقسام n (أرقام الأقسام))
• De mirabilis proprietatibus numerorum pentagonalium في سكولاري كومنز.