الفرق المطلق

الفرق المطلق بين عددين حقيقيين${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$يُعطى بواسطة${\displaystyle |xy|}$، القيمة المطلقة لفرقهما . وهي تصف المسافة على خط الأعداد الحقيقية بين النقطتين المتناظرتين لـ${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$وهي حالة خاصة من مسافة L ^p لجميع${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$وتشمل تطبيقاته في الإحصاء الانحراف المطلق عن النزعة المركزية .

يتمتع الفرق المطلق بالخصائص التالية:

• ل${\displaystyle x\geq 0}$،${\displaystyle |x-0|=x}$(الصفر هو العنصر المحايد للأعداد غير السالبة) ^{[ 1 ]}
• للجميع${\displaystyle x}$،${\displaystyle |xx|=0}$(كل عنصر هو عنصره العكسي ) ^{[ 1 ]}
• ${\displaystyle |xy|\geq 0}$(عدم السلبية) ^{[ 2 ]}
• ${\displaystyle |xy|=0}$إذا وفقط إذا${\displaystyle x=y}$(غير صفري للوسائط المختلفة). ^{[ 2 ]}
• ${\displaystyle |xy|=|yx|}$( التناظر أو التبادلية ). ^{[ 1 ] [ 2 ]}
• ${\displaystyle |xz|\leq |xy|+|yz|}$( متباينة المثلث )؛ ^{[ 2 ] [ 3 ]} تتحقق المساواة إذا وفقط إذا${\displaystyle x\leq y\leq z}$أو${\displaystyle x\geq y\geq z}$.

لأنها غير سالبة، وغير صفرية للمتغيرات المختلفة، ومتناظرة، وتخضع لمتباينة المثلث، فإن الأعداد الحقيقية تُشكّل فضاءً متريًا يكون فيه الفرق المطلق هو المسافة، وهو المقياس المألوف للمسافة على طول خط مستقيم. ^{[ 4 ]} وقد أُطلق عليه "الفضاء المتري الأكثر طبيعية"، ^{[ 5 ]} و"الفضاء المتري الملموس الأكثر أهمية". ^{[ 2 ]} ويمكن تعميم هذه المسافة بطرق عديدة ومختلفة إلى أبعاد أعلى، كحالة خاصة من ^مسافات Lp لجميع${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$، بما في ذلك${\displaystyle p=1}$و${\displaystyle p=2}$( هندسة سيارات الأجرة والمسافة الإقليدية ، على التوالي). وهي أيضًا الحالة الخاصة أحادية البعد للمسافة الزائدية .

بدلاً من${\displaystyle |xy|}$ويمكن التعبير عن الفرق المطلق أيضاً على النحو التالي:$${\displaystyle \max(x,y)-\min(x,y).}$$بتعميم هذا على أكثر من قيمتين، في أي مجموعة فرعية${\displaystyle S}$من الأعداد الحقيقية التي لها حد أدنى وحد أعلى ، الفرق المطلق بين أي عددين في${\displaystyle S}$أقل من أو يساوي الفرق المطلق بين الحد الأدنى والحد الأعلى لـ${\displaystyle S}$.

الفرق المطلق يحوّل الأعداد الصحيحة غير السالبة إلى أعداد صحيحة غير سالبة. وباعتباره عملية ثنائية تبديلية وليست تجميعية، مع عنصر محايد في الأعداد غير السالبة، فإن الفرق المطلق يمنح الأعداد غير السالبة (سواء كانت حقيقية أو صحيحة) البنية الجبرية لتكوين صهاري تبديلي ذي عنصر محايد. ^{[ 1 ]}

يُستخدم الفرق المطلق لتعريف الفرق النسبي ، وهو الفرق المطلق بين قيمة معينة وقيمة مرجعية مقسومًا على القيمة المرجعية نفسها. ^{[ 6 ]}

في نظرية التسميات الأنيقة في نظرية المخططات ، تُسمى الرؤوس بأعداد طبيعية ، وتُسمى الحواف بالفرق المطلق بين العددين عند رأسيها. وتكون التسمية من هذا النوع أنيقة عندما تكون تسميات الحواف متميزة ومتتالية من 1 إلى عدد الحواف. ^{[ 7 ]}

إضافة إلى كونها حالة خاصة من مسافات L ^p ، يمكن استخدام الفرق المطلق لتعريف مسافة تشيبيشيف (L ^∞ )، حيث تكون المسافة بين النقاط هي الحد الأقصى أو القيمة العليا للفروق المطلقة لإحداثياتها. ^{[ 8 ]}

في الإحصاء، الانحراف المطلق لرقم عينة عن النزعة المركزية هو الفرق المطلق بينه وبين المركز، ومتوسط ​​الانحراف المطلق هو متوسط ​​الانحرافات المطلقة لمجموعة من العينات، وأقل الانحرافات المطلقة هي طريقة للإحصاءات القوية تعتمد على تقليل متوسط ​​الانحراف المطلق.

• وايسشتاين، إريك دبليو. “الفرق المطلق” . عالم الرياضيات .