الأسس الحرجة للترشيح

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 204 صور
الموسوعة الحرة

في سياق النظرية الفيزيائية والرياضية للترشيح ، يتميز انتقال الترشيح بمجموعة من الأسس الحرجة العامة ، التي تصف الخصائص الفركتالية للوسط المترشّح على نطاقات واسعة وقريبة بما يكفي من نقطة الانتقال. تُعدّ هذه الأسس عامة بمعنى أنها تعتمد فقط على نوع نموذج الترشيح والبعد المكاني. ومن المتوقع ألا تعتمد على التفاصيل المجهرية مثل بنية الشبكة، أو ما إذا كان الترشيح يتم على مستوى الموقع أو الرابطة. تتناول هذه المقالة الأسس الحرجة للترشيح العشوائي.

تتميز الأنظمة المرشحة بمعاملص{\displaystyle p\,\!}والتي تتحكم في شغل المواقع أو الروابط في النظام. عند قيمة حرجةصج{\displaystyle p_{c}\,\!}يتجه متوسط ​​حجم المجموعة إلى اللانهاية ويحدث انتقال الترشيح. عندما يقترب المرء منصج{\displaystyle p_{c}\,\!}تتباعد كميات مختلفة أو تتجه إلى قيمة ثابتة وفقًا لقانون القوة في|ص-صج|{\displaystyle |p-p_{c}|\,\!}، وأس قانون القوة هذا هو الأس الحرج. وبينما يكون أس قانون القوة هذا متماثلاً عموماً على جانبي العتبة، فإن المعامل أو "السعة" يكون مختلفاً عموماً، مما يؤدي إلى نسبة سعة عالمية.

وصف

تصبح الأنظمة الديناميكية الحرارية أو التكوينية القريبة من نقطة حرجة أو انتقال طور مستمر ذات طبيعة فركتالية ، ويُوصَف سلوك العديد من الكميات في مثل هذه الظروف بأسس حرجة عامة . تُعد نظرية الترشيح نموذجًا بسيطًا وأساسيًا في الميكانيكا الإحصائية، ولها نقطة حرجة، وقد بُذلت جهود كبيرة لإيجاد أسسها الحرجة، نظريًا (في بُعدين فقط) وعدديًا.

توجد أسس حرجة لمجموعة متنوعة من المتغيرات القابلة للرصد، لكن معظمها مرتبط ببعضه البعض بعلاقات أسية (أو علاقات قياس). قليل منها فقط مستقل، ويعتمد اختيار الأسس الأساسية على محور الدراسة قيد البحث. أحد الخيارات هو المجموعة{σ،τ}{\displaystyle \{\sigma ,\,\tau \}\,\!}وانطلاقاً من توزيع حجم المجموعات، هناك خيار آخر هو{دو،ν}{\displaystyle \{d_{\text{f}},\,\nu \}\,\!}مستوحى من بنية المجموعة اللانهائية. ما يسمى بأسس التصحيح توسع هذه المجموعات، وهي تشير إلى رتب أعلى من التوسع التقاربي حول النقطة الحرجة.

تعريفات الأسس

التشابه الذاتي عند عتبة الترشيح

تصبح تجمعات الترشيح متشابهة ذاتيًا عند كثافة العتبة تحديدًاصج{\displaystyle p_{c}\,\!}بالنسبة لأطوال كبيرة بما فيه الكفاية، فإن ذلك يستلزم قوانين القوة التقاربية التالية:

البعد الكسريدو{\displaystyle d_{\text{f}}\,\!}يوضح كيف تعتمد كتلة التجمع اللانهائي الناشئ على نصف القطر أو مقياس طول آخر،م(ل)∼لدو{\displaystyle M(L)\sim L^{d_{\text{f}}}\,\!}فيص=صج{\displaystyle p=p_{c}\,\!}وبالنسبة لأحجام المجسات الكبيرة،ل→∞{\displaystyle L\to \infty \,\!}. تدوين آخر: الأس المغناطيسيyح=د-دو{\displaystyle y_{h}=D-d_{f}\,\!}والبعد المشتركΔσ=د-دو{\displaystyle \Delta _{\sigma }=d-d_{f}\,\!}.

معامل فيشرτ{\displaystyle \tau \,\!}يُحدد توزيع حجم المجموعةنs{\displaystyle n_{s}\,\!}والتي غالباً ما يتم تحديدها في عمليات المحاكاة الحاسوبية. وتقوم الأخيرة بحساب عدد المجموعات ذات الحجم (الحجم) المحدد.s{\displaystyle s\,\!}، مُقسَّمة على الحجم الكلي (عدد مواقع الشبكة). ويخضع التوزيع لقانون القوة عند العتبة.نs∼s-τ{\displaystyle n_{s}\sim s^{-\tau }\,\!}بشكل تقاربي كماs→∞{\displaystyle s\to \infty \,\!}.

احتمالية وجود موقعين يفصل بينهما مسافةر→{\displaystyle {\vec {r}}\,\!}أن تنتمي إلى نفس مجموعة التحلل مثلز(ر→)∼|ر→|-2(د-دو){\displaystyle g({\vec {r}})\sim |{\vec {r}}|^{-2(d-d_{\text{f}})}\,\!}أوز(ر→)∼|ر→|-د+(2-η){\displaystyle g({\vec {r}})\sim |{\vec {r}}|^{-d+(2-\eta )}\,\!}بالنسبة للمسافات الكبيرة، مما يُدخل البُعد الشاذη{\displaystyle \eta \,\!}. أيضًا،دلتا=(د+2-η)/(د-2+η){\displaystyle \delta =(d+2-\eta )/(d-2+\eta )}وη=2-γ/ν{\displaystyle \eta =2-\gamma /\nu }.

الأسΩ{\displaystyle \Omega \,\!}يرتبط ذلك بالتصحيح الرئيسي للقياس ، والذي يظهر، على سبيل المثال، في التوسع التقاربي لتوزيع حجم المجموعة، نs∼s-τ(1+ثابت×s-Ω){\displaystyle n_{s}\sim s^{-\tau }(1+{\text{const}}\times s^{-\Omega })\,\!}لs→∞{\displaystyle s\to \infty \,\!}. أيضًا،ω=Ω/(σν)=Ωدو{\displaystyle \omega =\Omega /(\sigma \nu )=\Omega d_{f}}.

بالنسبة لكميات مثل متوسط ​​حجم المجموعةS∼أ0|ص-صج|-γ(1+أ1(ص-صج)Δ1+...){\displaystyle S\sim a_{0}|p-p_{c}|^{-\gamma }(1+a_{1}(p-p_{c})^{\Delta _{1}}+\ldots )}يتم التحكم في التصحيحات بواسطة الأسΔ1=Ωβدلتا=ων{\displaystyle \Delta _{1}=\Omega \beta \delta =\omega \nu }[ 1 ]​

الأس الأدنى أو المسافة الكيميائية أو أقصر مساردمأنان{\displaystyle d_{\mathrm {min} }}يصف متوسط ​​الحد الأدنى للمسافة⟨ℓ⟩{\displaystyle \langle \ell \rangle }يتعلق بالمسافة الإقليديةر{\displaystyle r}، أي⟨ℓ⟩∼ردمأنان{\displaystyle \langle \ell \rangle \sim r^{d_{\mathrm {min} }}}لاحظ أنه من الأنسب والأكثر عملية قياس المتوسطر{\displaystyle r}، <ر{\displaystyle r}> لـℓ{\displaystyle \ell }يمتلك العمود الفقري المرن [ 2 ] نفس البعد الكسري لأقصر مسار. وهناك كمية ذات صلة هي بُعد الانتشار.دℓ{\displaystyle d_{\ell }}، وهو ما يصف قياس كتلة M لمجموعة حرجة ضمن مسافة كيميائيةℓ{\displaystyle \ell }مثلم∼ℓدℓ{\displaystyle M\sim \ell ^{d_{\ell }}}وهو مرتبط بالبعد الكسريدو{\displaystyle d_{f}}من المجموعة بواسطةدℓ=دو/دمأنان{\displaystyle d_{\ell }=d_{f}/d_{\mathrm {min} }}يمكن أيضًا اعتبار المسافة الكيميائية بمثابة فترة زمنية في عملية نمو الوباء، ويتم تعريفها أيضًاνت{\displaystyle \nu _{t}}أيندمأنان=νت/ν=z{\displaystyle d_{\mathrm {min} }=\nu _{t}/\nu =z}، وz{\displaystyle z}هو الأس الديناميكي . [ 3 ] ويكتب أيضًاν∥=νت{\displaystyle \nu _{\parallel }=\nu _{t}}.

يرتبط أيضًا بالبعد الأدنى النمو المتزامن لمجموعتين متجاورتين. احتمال اندماج المجموعتين تمامًا في وقت محدد هوت{\displaystyle t}يتوسع معص(ت)∼ت-λ{\displaystyle p(t)\sim t^{-\lambda }}[ 4 ] معλ=1+5/(4دمأنان){\displaystyle \lambda =1+5/(4d_{\mathrm {min} })}[ 5 ]​

بُعد العمود الفقري ، والذي يُعرَّف بأنه مجموعة فرعية من مواقع المجموعة التي تحمل التيار عند تطبيق فرق جهد بين موقعين متباعدين، هودب{\displaystyle d_{\text{b}}}(أودبي بي{\displaystyle d_{\text{BB}}}). كما يُعرّف المرءξ=د-دب{\displaystyle \xi =d-d_{\text{b}}}[ 6 ]​

يُعطى البُعد الكسري للمشي العشوائي على مجموعة ترشيح أولية لانهائية بالصيغة التالية :دw{\displaystyle d_{w}}.

البعد الطيفيد~{\displaystyle {\tilde {d}}}بحيث يكون متوسط ​​عدد المواقع المختلفة التي تمت زيارتها فيشمال{\displaystyle N}تتوسع عملية المشي العشوائي ذات الخطوة الواحدة معشمالد~{\displaystyle N^{\tilde {d}}}.

سلوك حرج بالقرب من عتبة الترشيح

يخضع الاقتراب من عتبة الترشيح لقوانين القوى مرة أخرى، والتي تبقى ثابتة تقريبًا بالقرب منصج{\displaystyle p_{c}\,\!}:

الأسν{\displaystyle \nu \,\!}يصف تباعد طول الارتباطξ{\displaystyle \xi \,\!}مع اقتراب مرحلة انتقال الترشيح،ξ∼|ص-صج|-ν{\displaystyle \xi \sim |p-p_{c}|^{-\nu }\,\!}تصبح المجموعة اللانهائية متجانسة عند أطوال تتجاوز طول الترابط؛ كما أنها مقياس للامتداد الخطي لأكبر مجموعة محدودة. رمز آخر: الأس الحراريyت=1/ν{\displaystyle y_{t}=1/\nu }والأبعادΔϵ=د-1/ν{\displaystyle \Delta _{\epsilon }=d-1/\nu }.

خارج نطاق الحالة الحرجة، لا توجد سوى مجموعات محدودة حتى أكبر حجم للمجموعةsالأعلى{\displaystyle s_{\max }\,\!}ويتم قطع توزيع حجم المجموعة بسلاسة بواسطة دالة تتلاشى بسرعة،نs∼s-τو(s/sالأعلى){\displaystyle n_{s}\sim s^{-\tau }f(s/s_{\max })\,\!}الأسσ{\displaystyle \sigma }يُحدد هذا تباين معلمة القطع،sالأعلى∼|ص-صج|-1/σ{\displaystyle s_{\max }\sim |p-p_{c}|^{-1/\sigma }\,\!}من العلاقة الكسورية لديناsالأعلى∼ξدو{\displaystyle s_{\max }\sim \xi ^{d_{\text{f}}}\,\!}، مما يؤدي إلىσ=1/νدو{\displaystyle \sigma =1/\nu d_{\text{f}}\,\!}.

كثافة التجمعات (عدد التجمعات لكل موقع)نج{\displaystyle n_{c}}تكون الدالة متصلة عند العتبة، لكن مشتقتها الثالثة تؤول إلى اللانهاية وفقًا لما يحدده الأس.α{\displaystyle \alpha }:نج∼أ+ب(ص-صج)+ج(ص-صج)2+د±|ص-صج|2-α+⋯{\displaystyle n_{c}\sim A+B(p-p_{c})+C(p-p_{c})^{2}+D_{\pm }|p-p_{c}|^{2-\alpha }+\cdots }، أيند±{\displaystyle D_{\pm }}يمثل المعامل أعلى وأسفل نقطة الانتقال.

قوة أو وزن المجموعة المتسربة ،P{\displaystyle P}أوP∞{\displaystyle P_{\infty }}، هو احتمال أن ينتمي موقع ما إلى مجموعة لا نهائية.P{\displaystyle P}تكون قيمتها صفرًا أسفل نقطة الانتقال، وهي غير تحليلية. وفوق نقطة الانتقال مباشرةً،P∼(ص-صج)β{\displaystyle P\sim (p-p_{c})^{\beta }\,\!}، تعريف الأسβ{\displaystyle \beta \,\!}. P{\displaystyle \ P}يلعب دور معامل الترتيب .

تباين متوسط ​​حجم المجموعةS=∑ss2نs/صج∼|ص-صج|-γ{\displaystyle S=\sum _{s}s^{2}n_{s}/p_{c}\sim |p-p_{c}|^{-\gamma }\,\!}يُقدّم الأسγ{\displaystyle \gamma \,\!}.

يُعرَّف أس الفجوة Δ على أنه Δ = 1/(β+γ) = 1/σ ويمثل "الفجوة" في قيم الأس الحرجة من لحظة معينةمن{\displaystyle M_{n}}إلى التاليمن+1{\displaystyle M_{n+1}}لن>2{\displaystyle n>2}.

معامل التوصيل​ت=νت′{\displaystyle t=\nu t'}يصف كيفية عمل الموصلية الكهربائيةج{\displaystyle C}يؤول إلى الصفر في خليط موصل وعازل،ج∼(ص-صج)ت{\displaystyle C\sim (p-p_{c})^{t}\,\!}. أيضًا،ت′=ζ{\displaystyle t'=\zeta }.

الأسس الحرجة السطحية

احتمالية انتماء نقطة على سطح ما إلى مجموعة متخللة أو مجموعة لانهائية لـص≥صج{\displaystyle p\geq p_{c}}يكونPsuرو∼(ص-صج)βsuرو{\displaystyle P_{\mathrm {surf} }\sim (p-p_{c})^{\beta _{\mathrm {surf} }}\,\!}.

يُعطى البُعد الكسري السطحي بواسطةدsuرو=د-1-βsuرو/ν{\displaystyle d_{\mathrm {surf} }=d-1-\beta _{\mathrm {surf} }/\nu }[ 7 ]​

الارتباطات الموازية والعمودية على انحلال السطح كـز∥(ر→)∼|ر→|2-د-η∥{\displaystyle g_{\parallel }({\vec {r}})\sim |{\vec {r}}|^{2-d-\eta _{\parallel }}\,\!}وز⊥(ر→)∼|ر→|2-د-η⊥{\displaystyle g_{\perp }({\vec {r}})\sim |{\vec {r}}|^{2-d-\eta _{\perp }}\,\!}[ 8 ]​

متوسط ​​حجم التجمعات المحدودة المتصلة بموقع ما على السطح هوχ1∼|ص-صج|-γ1{\displaystyle \chi _{1}\sim |p-p_{c}|^{-\gamma _{1}}}[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]​

متوسط ​​عدد المواقع السطحية المتصلة بموقع على السطح هوχ1،1∼|ص-صج|-γ1،1{\displaystyle \chi _{1,1}\sim |p-p_{c}|^{-\gamma _{1,1}}}[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]​

علاقات القياس

علاقات التوسع الفائق

τ=ددو+1{\displaystyle \tau ={\frac {d}{d_{\text{f}}}}+1\,\!}
دو=د-βν{\displaystyle d_{\text{f}}=d-{\frac {\beta }{\nu }}\,\!}
η=2+د-2دو{\displaystyle \eta =2+d-2d_{\text{f}}\,\!}

العلاقات المبنية على { σ , τ }

α=2-τ-1σ{\displaystyle \alpha =2-{\frac {\tau -1}{\sigma }}\,\!}
β=τ-2σ{\displaystyle \beta ={\frac {\tau -2}{\sigma }}\,\!}
γ=3-τσ{\displaystyle \gamma ={\frac {3-\tau }{\sigma }}\,\!}
β+γ=1σ=νدو{\displaystyle \beta +\gamma ={\frac {1}{\sigma }}=\nu d_{f}\,\!}
ν=τ-1σد=2β+γد{\displaystyle \nu ={\frac {\tau -1}{\sigma d}}={\frac {2\beta +\gamma }{d}}\,\!}
دلتا=1τ-2{\displaystyle \delta ={\frac {1}{\tau -2}}\,\!}

العلاقات القائمة على { d f , ν }

α=2-νد{\displaystyle \alpha =2-\nu d\,\!}
β=ν(د-دو){\displaystyle \beta =\nu (d-d_{\text{f}})\,\!}
γ=ν(2دو-د){\displaystyle \gamma =\nu (2d_{\text{f}}-d)\,\!}
σ=1νدو{\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\nu d_{\text{f}}}}\,\!}

علاقات قياس الموصلية

دw=د+ت-βν{\displaystyle d_{w}=d+{\frac {t-\beta }{\nu }}\,\!}
ت′=دw-دو{\displaystyle t'=d_{w}-d_{f}\,\!}
د~=2دو/دw{\displaystyle {\tilde {d}}=2d_{f}/d_{w}}

علاقات قياس السطح

η∥=2-د+2βsuرو/ν{\displaystyle \eta _{\parallel }=2-d+2\beta _{\mathrm {surf} }/\nu \,\!}
دsuرو=د-1-βsuرو/ν{\displaystyle d_{\mathrm {surf} }=d-1-\beta _{\mathrm {surf} }/\nu \,\!}
η∥=2η⊥-η{\displaystyle \eta _{\parallel }=2\eta _{\perp }-\eta \,}[ 12 ]
γ1=ν(2-η⊥){\displaystyle \gamma _{1}=\nu (2-\eta _{\perp })\,\!}[ 11 ]
γ1،1=ν(د-1-2βsuرو/ν)=ν(1-η∥){\displaystyle \gamma _{1,1}=\nu (d-1-2\beta _{\mathrm {surf} }/\nu )=\nu (1-\eta _{\parallel })\,\!}[ 11 ] [ 13 ]
γ+ν=2γ1-γ1،1{\displaystyle \gamma +\nu =2\gamma _{1}-\gamma _{1,1}\,\!}[ 10 ] [ 11 ]
x1=βsuرو/ν{\displaystyle x_{1}=\beta _{\mathrm {surf} }/\nu \,\!}

أسس الترشيح القياسي

د{\displaystyle d}1{\displaystyle 1}[ 14 ]2{\displaystyle 2}3{\displaystyle 3}4{\displaystyle 4}5{\displaystyle 5}6-ε{\displaystyle 6-\varepsilon }[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ ملاحظة 1 ]6+{\displaystyle 6+}
α{\displaystyle \alpha }1–2/3-0.625(3) -0.64(4) [ 20 ]-0.756(40) -0.75(2) [ 20 ]-0.870(1) [ 20 ]-1+ε7-443223273ε2{\displaystyle -1+{\frac {\varepsilon }{7}}-{\frac {443}{2^{2}3^{2}7^{3}}}\varepsilon ^{2}}-1
β{\displaystyle \beta }00.14(3) [ 21 ]

5/36

0.39(2) [ 22 ] 0.4181(8) 0.41(1) [ 23 ] 0.405(25), [ 24 ] 0.4273 [ 19 ]

0.4053(5) [ 25 ] 0.429(4) [ 20 ]

0.52(3) [ 22 ] 0.639(20) [ 26 ] 0.657(9) 0.6590 [ 19 ]

0.658(1) [ 20 ]

0.66(5) [ 22 ] 0.835(5) [ 26 ] 0.830(10) 0.8457 [ 19 ]

0.8454(2) [ 20 ]

1-ε7-61223273ε2{\displaystyle 1-{\frac {\varepsilon }{7}}-{\frac {61}{2^{2}3^{2}7^{3}}}\varepsilon ^{2}}1
γ{\displaystyle \gamma }143/181.6 [ 23 ] 1.80(5) [ 22 ] 1.66(7) [ 27 ] 1.793(3) 1.805(20) [ 26 ] 1.8357 [ 19 ] 1.819(3) [ 25 ]

1.78(3) [ 20 ]

1.6(1) [ 22 ] 1.48(8) [ 27 ] 1.422(16) 1.4500 [ 19 ] 1.435(15) [ 26 ]

1.430(6) [ 20 ]

1.3(1) [ 22 ]

1.18(7) [ 27 ] 1.185(5) [ 26 ] 1.1817 [ 19 ] 1.1792(7) [ 20 ]

1+ε7+565223273ε2{\displaystyle 1+{\frac {\varepsilon }{7}}+{\frac {565}{2^{2}3^{2}7^{3}}}\varepsilon ^{2}}1
دلتا{\displaystyle \delta }∞{\displaystyle \infty }91/5، 18 [ 28 ]5.29(6) [ 29 ] * 5.3 [ 28 ]

5.16(4) [ 20 ]

3.9 [ 28 ] 3.198(6) [ 30 ]

3.175(8) [ 20 ]

3.0 [ 28 ]

2.3952(12) [ 20 ]

2+27ε+5652⋅3273ε2{\displaystyle 2+{\frac {2}{7}}\varepsilon +{\frac {565}{2\cdot 3^{2}7^{3}}}\varepsilon ^{2}}2
η{\displaystyle \eta }124/5-0.046(8) [ 29 ] -0.059(9) [ 31 ] -0.07(5) [ 26 ] -0.0470 [ 19 ]

−0.03(1) [ 20 ] −0.0431⁢(14) [ 32 ]

-0.12(4) [ 26 ] -0.0944(28) [ 30 ] -0.0929(9) [ 33 ] -0.0954 [ 19 ]

-0.084(4) [ 20 ]

-0.075(20) [ 26 ] -0.0565 [ 19 ]

−0.0547(10) [ 20 ]

-ε21-2063373ε2{\displaystyle -{\frac {\varepsilon }{21}}-{\frac {206}{3^{3}7^{3}}}\varepsilon ^{2}}0
ν{\displaystyle \nu }11.33(5) [ 34 ] 4/30.8(1)، [ 23 ] 0.80(5)، [ 34 ] 0.872(7) [ 26 ] 0.875(1) [ 29 ] 0.8765(18) [ 35 ] 0.8960 [ 19 ] 0.8764(12) [ 36 ] 0.8751(11) [ 37 ] 0.8762(12) [ 38 ] 0.8774(13) [ 39 ] 0.88(2) [ 20 ] 0.8762(7) [ 40 ]0.6782(50) [ 26 ] 0.689(10) [ 30 ]

0.6920 [ 19 ] 0.693 [ 41 ] 0.6852(28) [ 39 ] 0.6845(23) [ 42 ] 0.6845(6) [ 43 ] 0.686(2) [ 20 ] 0.6842(16) [ 40 ]

0.51(5) [ 44 ] 0.569(5) المشار إليها في [ 39 ] 0.571(3) [ 26 ] 0.5746 [ 19 ]

0.5723(18) [ 39 ] 0.5737(33) [ 42 ] 0.5757(7) [ 43 ] 0.5739(1) [ 20 ] 0.5720(43) [ 40 ]

12+584ε+589223373ε2{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {5}{84}}\varepsilon +{\frac {589}{2^{2}3^{3}7^{3}}}\varepsilon ^{2}}نصف
σ{\displaystyle \sigma }136/910.42(6) [ 45 ]

0.445(10) [ 29 ] 0.4522(8) [ 30 ] 0.4524(6) [ 38 ] 0.4419 [ 19 ] 0.452(7) [ 20 ]

0.476(5) 0.4742 [ 19 ]

0.4789(14) [ 20 ]

0.496(4) 0.4933 [ 19 ]

0.49396(13) [ 20 ]

12-198ε2{\displaystyle {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{98}}\varepsilon ^{2}}نصف
τ{\displaystyle \tau }2187/912.186(2) [ 31 ] 2.1888 [ 19 ] 2.189(2) [ 29 ] 2.190(2) [ 33 ] 2.189(1) [ 46 ] 2.18906(8) [ 30 ] 2.18909(5) [ 38 ]

2.1892(1) [ 47 ] 2.1938(12) [ 20 ]

2.26 [ 28 ] 2.313(3) [ 48 ] 2.3127(6) [ 30 ] 2.313(2) [ 33 ] 2.3124 [ 19 ] 2.3142(5) [ 47 ]

2.3150(8) [ 20 ]

2.33 [ 28 ] 2.412(4) [ 48 ] 2.4171 [ 19 ] 2.419(1) [ 47 ]

2.4175(2) [ 20 ]

52-ε14+313233273ε2{\displaystyle {\frac {5}{2}}-{\frac {\varepsilon }{14}}+{\frac {313}{2^{3}3^{2}7^{3}}}\varepsilon ^{2}}5/2
دو{\displaystyle d_{\text{f}}}191/482.523(4) [ 29 ] * 2.530(4) [ 31 ] * 2.5230(1) [ 35 ] 2.5226(1) [ 49 ] 2.52293(10) [ 38 ]3.12(2)، [ 44 ] 3.05(5)، 3.003 [ 41 ] 3.0472(14) [ 30 ] 3.046(7) [ 48 ] 3.046(5) [ 33 ] 3.0479 [ 19 ] 3.0437(11) [ 47 ] 3.0446(7) [ 42 ]3.54(4) 3.69(2) [ 44 ] 3.528 [ 19 ] 3.524(2) [ 47 ] 3.5260(14) [ 42 ]4-1021ε+1033373ε2{\displaystyle 4-{\frac {10}{21}}\varepsilon +{\frac {103}{3^{3}7^{3}}}\varepsilon ^{2}}4
Ω{\displaystyle \Omega }0.70(2) [ 33 ] 0.77(4) [ 50 ] 0.77(2) [ 51 ] 72/91 [ 52 ] [ 53 ] 0.44(9) [ 1 ]0.50(9) [ 26 ] 0.64(2) [ 29 ] 0.73(8) [ 31 ] 0.65(2) [ 54 ] 0.60(8) [ 33 ]

0.77(3) [ 47 ] 0.64(5) [ 35 ]

0.31(5) [ 26 ] 0.5(1) [ 33 ] 0.37(4) [ 30 ] 0.4008 [ 19 ]0.27(7) [ 26 ] 0.2034 [ 19 ] 0.210(2) [ 20 ]ε4-283223272ε2{\displaystyle {\frac {\varepsilon }{4}}-{\frac {283}{2^{2}3^{2}7^{2}}}\varepsilon ^{2}}
ω{\displaystyle \omega }3/2 [ 52 ]1.26(23) [ 26 ] 1.6334 [ 19 ] 1.62(13) [ 35 ] 1.61(5) [ 29 ]0.94(15) [ 26 ] 1.2198 [ 19 ] 1.13(10) [ 30 ] 1.0(2) [ 55 ]0.96(26) [ 26 ] 0.7178 [ 19 ]ε-6712⋅3272ε2{\displaystyle \varepsilon -{\frac {671}{2\cdot 3^{2}7^{2}}}\varepsilon ^{2}}[ 56 ] [ 19 ]0
ت′=ت/ν{\displaystyle t'=t/\nu }0.9479 [ 57 ] 0.995(1) [ 58 ] 0.977(8)) [ 59 ] 0.9825(8) [ 4 ]2.276(12) [ 60 ] 2.26(4) [ 61 ] 2.305(15) [ 62 ] 2.283(3) [ 55 ]3
دw{\displaystyle d_{w}}2.8784(8) [ 4 ]
دs{\displaystyle d_{s}}4/3 [ 57 ] 1.327(1) [ 58 ] 1.3100(11) [ 4 ]1.32(6) [ 63 ]
دsuرو{\displaystyle d_{\mathrm {surf} }}2/3 [ 64 ] [ 65 ]1.04(5) [ 10 ] 1.030(6) [ 66 ] 1.0246(4) [ 67 ]1.32(7) [ 68 ]1.65(3) [ 68 ]2-521ε{\displaystyle 2-{\frac {5}{21}}\varepsilon }[ 68 ]2 [ 68 ]
βsuرو/ν=x1{\displaystyle \beta _{\mathrm {surf} }/\nu =x_{1}}1/3 [ 64 ]0.98(2) [ 69 ] 0.970(6) [ 66 ] 0.975(4) [ 70 ] 0.9754(4) [ 67 ] 0.974(2) [ 71 ]1.64(2) [ 71 ]2.408(5) [ 71 ]3
η∥{\displaystyle \eta _{\parallel }}(ركوب الأمواج) 2/3 [ 64 ]1.02(12) [ 68 ] 1.08(10) [ 10 ]1.37(13) [ 68 ]1.7(6) [ 68 ]
دب{\displaystyle d_{\text{b}}}1.60(5) [ 2 ] 1.64(1) [ 72 ] 1.647(4) [ 3 ] 1.6432(8) [ 4 ] 1.6434(2) [ 73 ]

1.64336(10) [ 74 ] 1.64333316328711...* [ 6 ]

1.8، 1.77(7) [ 2 ]

1.855(15) [ 75 ]

1.95(5) [ 76 ] 1.9844(11) [ 42 ]2.00(5) [ 76 ] 2.0226(27) [ 42 ]2
دمين=z{\displaystyle d_{\text{min}}=z}1.132(2) [ 77 ]

1.130(3) [ 78 ] 1.1307(4) [ 3 ] 1.1303(8) [ 79 ] 1.1306(3) [ 4 ] 1.130 77(2) [ 80 ]

1.35(5) [ 2 ]

1.34(1) [ 78 ] 1.374(6) [ 66 ] 1.3756(6) [ 80 ] 1.3756(3) [ 36 ] 1.3755(3) [ 38 ]

1.607(5) [ 48 ]

1.6042(5) [ 42 ]

1.812(6) [ 48 ]

1.8137(16) [ 42 ]

2
λ=μ+1{\displaystyle \lambda =\mu +1}2.1055(10) [ 81 ] 2.1056(3) [ 5 ] 2.1045(10) [ 82 ] 2.105 [ 83 ]
  • لد=2{\displaystyle d=2}،دب=2-(z2-1)/12{\displaystyle d_{\mathrm {b} }=2-(z^{2}-1)/12}أينz{\displaystyle z}يرضي3z/4+الخطيئة⁡(2πz/3)=0{\displaystyle {\sqrt {3}}z/4+\sin(2\pi z/3)=0}قريبz=2.3{\displaystyle z=2.3}[ 6 ]​

أسس الترشيح المحمي

في عملية الترشيح المحمي، تُزال الروابط واحدة تلو الأخرى من المجموعة المترشحة فقط. أما المجموعات المعزولة فلا تخضع لأي تعديل. علاقات القياس: β′=β/(1+β){\displaystyle \beta '=\beta /(1+\beta )}،γ′=γ/(1+β){\displaystyle \gamma '=\gamma /(1+\beta )}،ν′=ν/(1+β){\displaystyle \nu '=\nu /(1+\beta )}،τ′=τ{\displaystyle \tau '=\tau }حيث تشير الكميات المميزة إلى الترشيح المحمي [ 25 ]

د{\displaystyle d}1{\displaystyle 1}2{\displaystyle 2}3{\displaystyle 3}4{\displaystyle 4}5{\displaystyle 5}6-ε{\displaystyle 6-\varepsilon }6+{\displaystyle 6+}
β′{\displaystyle \beta '}5/41 [ 25 ]0.288 71(15) [ 25 ]
γ′{\displaystyle \gamma '}86/41 [ 25 ]1.3066(19) [ 25 ]
τ′{\displaystyle \tau '}187/91 [ 25 ]2.1659(21) [ 25 ]

أسس الترشيح الموجه

يشير مصطلح الترشيح الموجه (DP) إلى الترشيح الذي يتدفق فيه السائل في اتجاه واحد فقط على طول الروابط، كما هو الحال في الاتجاه الهابط فقط على شبكة مربعة مُدارة بزاوية 45 درجة. يُشار إلى هذا النظام باسم "الترشيح الموجه أحادي البعد" حيث يُنظر إلى البعدين على أنهما المكان والزمان.

ν⊥{\displaystyle \nu _{\perp }}وν∥{\displaystyle \nu _{\parallel }}يمثلان أسّي طول الارتباط المستعرض (العمودي) والطولي (الموازي)، على التوالي.ζ=1/z=ν⊥/ν∥{\displaystyle \zeta =1/z=\nu _{\perp }/\nu _{\parallel }}. إنها تحقق علاقة التوسع الفائقد/z=η+2دلتا{\displaystyle d/z=\eta +2\delta }.

تم استخدام اصطلاح آخر للأسz{\displaystyle z}، والتي نسميها هناz′{\displaystyle z'}يتم تعريفها من خلال العلاقة⟨R2⟩∼تz′{\displaystyle \langle R^{2}\rangle \sim t^{z'}}، لهذا السببz′=ν∥/ν⊥=2/z{\displaystyle z'=\nu _{\parallel }/\nu _{\perp }=2/z}[ 84 ] إنها تحقق علاقة التوسع الفائقدz′=2η+4دلتا{\displaystyle dz'=2\eta +4\delta }.

دلتا{\displaystyle \delta }يمثل الأسّ سلوك احتمالية البقاء على قيد الحياة كدالة للزمن:P(ت)∼ت-دلتا{\displaystyle P(t)\sim t^{-\delta }}.

η{\displaystyle \eta }(يسمى أحيانًا)μ{\displaystyle \mu }) هو الأس الذي يتوافق مع سلوك متوسط ​​عدد المواقع التي تمت زيارتها في وقت معينت{\displaystyle t}(متوسط ​​لجميع العينات بما في ذلك العينات التي توقف انتشارها):شمال(ت)∼ت-η{\displaystyle N(t)\sim t^{-\eta }}.

يتم إعطاء الأسس ذات الأبعاد d (المكان) + 1 (الزمان) أدناه.

د+1{\displaystyle d+1}1+1{\displaystyle 1+1}2+1{\displaystyle 2+1}3+1{\displaystyle 3+1}4-ε{\displaystyle 4-\varepsilon }[ 85 ] [ 86 ]المجال المتوسط{\displaystyle {\text{Mean Field}}}
β{\displaystyle \beta }0.276486(8) [ 87 ] 0.276 7(3) [ 88 ]0.5834(30) [ 89 ] 0.580(4) [ 88 ]0.813(9) [ 90 ] 0.818(4) [ 88 ] 0.82205 [ 85 ]1-ε6{\displaystyle 1-{\frac {\varepsilon }{6}}}1
دلتا،α{\displaystyle \delta ,\alpha }0.159464(6) [ 87 ] 0.15944(2) [ 88 ]0.4505(1) [ 89 ] 0.451(3) [ 84 ] 0.4509(5) [ 91 ] 0.4510(4) [ 88 ]

0.460(6) [ 92 ]

0.732(4) [ 93 ] 0.7398(10) [ 88 ] 0.73717 [ 94 ]1-ε4{\displaystyle 1-{\frac {\varepsilon }{4}}}1
η،θ{\displaystyle \eta ,\theta }0.313686(8) [ 87 ] 0.31370(5) [ 88 ]0.2303(4) [ 91 ] 0.2307(2) [ 88 ] 0.2295(10) [ 89 ]

0.229(3) [ 84 ] 0.214(8) [ 92 ]

0.1057(3) [ 88 ] 0.114(4) [ 90 ] 0.12084 [ 94 ]ε12{\displaystyle {\frac {\varepsilon }{12}}}0
ν∥{\displaystyle \nu _{\parallel }}1.733847(6) [ 87 ] 1.733825(25) [ 95 ]

1.7355(15) [ 88 ] 1.73(2) [ 96 ]

1.16(5) [ 96 ] 1.287(2) [ 88 ] 1.295(6) [ 84 ]1.106(3) [ 88 ] 1.11(1) [ 90 ] 1.10571 [ 94 ]1+ε12{\displaystyle 1+{\frac {\varepsilon }{12}}}1
ν⊥{\displaystyle \nu _{\perp }}1.096854(4) [ 87 ]

1.096844(14) [ 95 ] 1.0979(10) [ 88 ]

0.7333(75) [ 93 ] 0.729(1) [ 88 ]0.584(5) [ 93 ] 0.582(2) [ 88 ] 0.58360 [ 94 ]12+ε16{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {\varepsilon }{16}}}12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
z=2/z′{\displaystyle z=2/z'}1.580745(10) [ 87 ] 1.5807(2) [ 88 ]1.7660(16) [ 93 ] 1.765(3) [ 84 ] 1.766(2) [ 89 ] 1.7665(2) [ 88 ] 1.7666(10) [ 91 ]1.88746 [ 94 ] 1.8990(4) [ 88 ] 1.901(5) [ 93 ]2-ε12{\displaystyle 2-{\frac {\varepsilon }{12}}}2
γ{\displaystyle \gamma }2.277730(5) = 41/18؟، [ 87 ] 2.278(2) [ 97 ]1.595(18) [ 89 ]1.237(23) [ 90 ]1+ε6{\displaystyle 1+{\frac {\varepsilon }{6}}}1
τ{\displaystyle \tau }2.112(5)، [ 98 ] 2.1077(13)، [ 99 ] 2.10825(8) [ 87 ]

علاقات القياس للترشيح الموجه

β=τ-2σ{\displaystyle \beta ={\frac {\tau -2}{\sigma }}}

γ=3-τσ{\displaystyle \gamma ={\frac {3-\tau }{\sigma }}}

τ=2+21+γ/β{\displaystyle \tau =2+{\frac {2}{1+\gamma /\beta }}}[ 99 ]

τ~=ν∥-β{\displaystyle {\tilde {\tau }}=\nu _{\parallel }-\beta }[ 87 ]

η=γ/ν∥-1{\displaystyle \eta =\gamma /\nu _{\parallel }-1}

ددP=2-β/ν∥{\displaystyle d_{\mathrm {DP} }=2-\beta /\nu _{\parallel }}[ 100 ]

دب،دP=2-2β/ν∥{\displaystyle d_{b,\mathrm {DP} }=2-2\beta /\nu _{\parallel }}[ 100 ]

Δ=β+γ{\displaystyle \Delta =\beta +\gamma }

دz′=2η+4دلتا{\displaystyle dz'=2\eta +4\delta }

د/z=η+2دلتا{\displaystyle d/z=\eta +2\delta }

أسس الترشيح الديناميكي

بالنسبة للترشيح الديناميكي (النمو الوبائي لمجموعات الترشيح العادية)، لدينا

P(ت)∼ل-β/ν∼(ت1/دمأنان)-β/ν=ت-دلتا{\displaystyle P(t)\sim L^{-\beta /\nu }\sim (t^{1/d_{\mathrm {min} }})^{-\beta /\nu }=t^{-\delta }}، مما يعني

دلتا=βνدمأنان=د-دودمأنان{\displaystyle \delta ={\frac {\beta }{\nu d_{\mathrm {min} }}}={\frac {d-d_{f}}{d_{\mathrm {min} }}}}

لشمال(ت)∼تη{\displaystyle N(t)\sim t^{\eta }}، يعتبرشمال(≤s)∼s3-τ∼Rدو(3-τ)∼تدو(3-τ)/دمأنان{\displaystyle N(\leq s)\sim s^{3-\tau }\sim R^{d_{f}(3-\tau )}\sim t^{d_{f}(3-\tau )/d_{\mathrm {min} }}}وأخذ المشتقة بالنسبة إلىت{\displaystyle t} العائد شمال(ت)∼تدو(3-τ)/دمأنان-1{\displaystyle N(t)\sim t^{d_{f}(3-\tau )/d_{\mathrm {min} }-1}}، مما يعني

η=دو(3-τ)دمأنان-1=2دو-ددمأنان-1{\displaystyle \eta ={\frac {d_{f}(3-\tau )}{d_{\mathrm {min} }}}-1={\frac {2d_{f}-d}{d_{\mathrm {min} }}}-1}

أيضًا،z=دمأنان{\displaystyle z=d_{\mathrm {min} }}

باستخدام الأسس المذكورة أعلاه، نجد

د:{\displaystyle d:}2{\displaystyle 2}3{\displaystyle 3}4{\displaystyle 4}5{\displaystyle 5}6-ε{\displaystyle 6-\varepsilon }المجال المتوسط{\displaystyle {\text{Mean Field}}}
دلتا{\displaystyle \delta }0.092120.346810.595560.81271
η،μ{\displaystyle \eta ,\mu }0.5844660.487250.302330.13140

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ للحدود ذات الرتبة الأعلى فيε{\displaystyle \varepsilon }التوسعات، انظر. [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]

مراجع

  1. 1 2 أدلر، جوان؛ موشيه، موشيه؛ بريفمان، فلاديمير (1983). "الفصل 2: ​​تصحيحات القياس للترشيح". في دويتشر، ج.؛ زالين، ر.؛ أدلر، ج. (محررون). هياكل وعمليات الترشيح، حوليات الجمعية الفيزيائية الإسرائيلية 5. آدم هيلجر، بريستول. ص 397-423 . 
  2. 1 2 3 4 هيرمان، إتش جيه؛ دي سي هونغ؛ إتش إي ستانلي (1984). "العمود الفقري والعمود الفقري المرن لتجمعات الترشيح التي تم الحصول عليها بالطريقة الجديدة لـ "الحرق"". J. Phys. A: Math. Gen . 17 (5): L261– L266. Bibcode : 1984JPhA...17L.261H . doi : 10.1088/0305-4470/17/5/008 . S2CID 16510317 . 
  3. 1 2 3 غراسبرغر، بيتر (1992). "انتشار وأبعاد العمود الفقري للترشيح ثنائي الأبعاد". مجلة الفيزياء أ: الرياضيات العامة 25 ( 21): 5475-5484 . رمز Bibcode : 1992JPhA...25.5475G . doi : 10.1088/0305-4470/25/21/009 .
  4. 1 2 3 4 5 6 غراسبرغر، بيتر (1999). "معامل التوصيلية وبُعد الهيكل الأساسي في الترشيح ثنائي الأبعاد". فيزيكا أ . 262 ( 3-4 ): 251-263 . arXiv : cond-mat/9808095 . Bibcode : 1999PhyA..262..251G . doi : 10.1016/S0378-4371(98)00435-X . S2CID 955125 . 
  5. 1 2 زيف، ر.م. (1999). "الأس الحرج الدقيق لدالة قياس أقصر مسار في الترشيح". مجلة الفيزياء أ: الرياضيات العامة 32 ( 43): L457– L459. arXiv : cond-mat/9907305 . Bibcode : 1999JPhA...32L.457Z . doi : 10.1088/0305-4470/32/43/101 . S2CID 1605985 . 
  6. 1 2 3 نولين، بيير؛ وي تشيان؛ شين صن؛ زيجي تشوانغ (2023). "أس العمود الفقري للترشيح ثنائي الأبعاد". arXiv : 2309.05050 [ math.PR ].
  7. ↑ ستوفر، د.؛ أ. أهاروني (1999). "ملف كثافة عنقود الترشيح اللانهائي الناشئ". المجلة الدولية للفيزياء الحديثة ج . 10 (5): 935-940 . Bibcode : 1999IJMPC..10..935S . doi : 10.1142/S0129183199000735 .
  8. ↑ بايندر، ك.؛ بي سي هوهنبرغ (1972). "التحولات الطورية والترابطات الدورانية الساكنة في نماذج إيزينغ ذات الأسطح الحرة" . مجلة Physical Review B. 6 ( 9): 3461–3487 . Bibcode : 1972PhRvB...6.3461B . doi : 10.1103/PhysRevB.6.3461 .
  9. 1 2 ديبيل، كيث (1980). تأثيرات السطح في الترشيح (أطروحة دكتوراه). جامعة لندن.
  10. 1 2 3 4 5 ديبيل؛ ج. إيسام (1980). "دراسات توسيع السلسلة للترشيح على سطح". مجلة الفيزياء ج: فيزياء الحالة الصلبة . 13 (25): 4811-4821 . رمز Bibcode : 1980JPhC...13.4811D . doi : 10.1088/0022-3719/13/25/023 .
  11. 1 2 3 4 5 بايندر، ك. (1981). "السلوك الحرج على الأسطح". في دومب، س.؛ ليبويتز، ج. ل. (محرران). التحولات الطورية والظواهر الحرجة، المجلد 8. دار النشر الأكاديمية. الصفحات 1-144 . ISBN  978-0-12-220308-4.
  12. ↑ لوبينسكي، تي سي؛ إم إتش روبين (1975). "الظواهر الحرجة في الأنظمة شبه اللانهائية. الجزء الأول.ϵ{\displaystyle \epsilon }"توسيع لطول الاستقراء الموجب" . مجلة Physical Review B. 11 ( 11): 4533–4546 . Bibcode : 1975PhRvB..11.4533L . doi : 10.1103/PhysRevB.11.4533 .
  13. ↑ بليملينغ، م (2004). "الظواهر الحرجة على الأسطح المثالية وغير المثالية". مجلة الفيزياء أ: الرياضية والعامة . 37 (19): R79– R115. arXiv : cond-mat/0402574 . doi : 10.1088/0305-4470/37/19/R01 . S2CID 15712212 . 
  14. ↑ رينولدز، بي جيه؛ ستانلي، إتش إي؛ كلاين، دبليو (1977). "الحقول الوهمية، والترابط الزوجي، والقياس: نتائج دقيقة في الترشيح أحادي البعد". مجلة الفيزياء أ: الرياضية والعامة . 10 (11): L203– L209. رمز Bibcode : 1977JPhA...10L.203R . doi : 10.1088/0305-4470/10/11/007 .
  15. ↑ عصام، ج. و. (1980). "نظرية الترشيح" . تقارير التقدم في الفيزياء . 43 (7): 833-912 . Bibcode : 1980RPPh...43..833E . doi : 10.1088/0034-4885/43/7/001 . S2CID 250755965 . 
  16. ↑ هاريس، أ.ب.؛ لوبينسكي، ت.س.؛ هولكومب، و.ك.؛ داسغوبتا، س. (1975). "نهج مجموعة إعادة التطبيع لمشاكل الترشيح" . رسائل المراجعة الفيزيائية . 35 (6): 327-330 . رمز Bibcode : 1975PhRvL..35..327H . doi : 10.1103/PhysRevLett.35.327 .
  17. ↑ بريست، آر جي؛ لوبينسكي، تي سي (1976). "الخصائص الحرجة لنموذجين موترين مع تطبيق على مسألة الترشيح" . مجلة Physical Review B. 13 ( 9): 4159–4171 . Bibcode : 1976PhRvB..13.4159P . doi : 10.1103/PhysRevB.13.4159 .
  18. ↑ دي ألكانتارا بونفيم، أو. إف.؛ جيه. إي. كيركهام؛ إيه. جيه. مكين (1981). "الأسس الحرجة لمسألة الترشيح وتفرد حافة يانغ-لي" . مجلة الفيزياء أ: الرياضيات العامة 14 ( 9): 2391-2413 . رمز Bibcode : 1981JPhA...14.2391D . doi : 10.1088/0305-4470/14/9/034 .
  19. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 جرايسي، جيه إيه (2015). "إعادة تطبيع رباعية الحلقات لنظرية φ^3 في ستة أبعاد". فيز. ريف. د . 92 (2) 025012. arXiv : 1506.03357 . Bibcode : 2015PhRvD..92b5012G . doi : 10.1103/PhysRevD.92.025012 . S2CID 119205590 . 
  20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 بورينسكي، م ؛ جيه إيه جرايسي؛ إم في كومبانيتس؛ أو. شنيتز (2021). "إعادة تطبيع خمس حلقات لنظرية φ³ مع تطبيقات على تفرد حافة لي-يانغ ونظرية الترشيح". Physical Review D. 103 116024. arXiv : 2103.16224 . doi : 10.1103 /PhysRevD.103.116024 . S2CID 232417253 . 
  21. ↑ سايكس، إم إف؛ إم. جلين؛ دي إس جونت (1974). "احتمالية الترشيح لمسألة الموقع على الشبكة المثلثية". مجلة الفيزياء أ: الرياضيات العامة 7 ( 9): L105– L108. رمز Bibcode : 1974JPhA....7L.105S . doi : 10.1088/0305-4470/7/9/002 .
  22. 1 2 3 4 5 6 كيركباتريك، سكوت (1976). "ظواهر الترشيح في الأبعاد العليا: الاقتراب من حد المجال المتوسط". مجلة Physical Review Letters ، 36 (2): 69-72 . Bibcode : 1976PhRvL..36...69K . doi : 10.1103/PhysRevLett.36.69 .
  23. 1 2 3 صور، أ؛ جويل ل. ليبويتز؛ جي مارو؛ م.ه. كالوس . س. كيركباتريك (1976). “دراسات مونت كارلو لظواهر الترشيح لشبكة مكعبة بسيطة”. جي ستات. فيز . 15 (5): 345– 353. بيب كود : 1976JSP ....15..345S . دوى : 10.1007/BF01020338 . S2CID 38734613 . 
  24. ↑ أدلر، جوان؛ يغال مئير؛ أمنون أهاروني؛ إيه بي هاريس؛ ليور كلاين (1990). "سلاسل التركيز المنخفض في الأبعاد العامة". مجلة الفيزياء الإحصائية . 58 (3/4): 511-538 . Bibcode : 1990JSP....58..511A . doi : 10.1007/BF01112760 . S2CID 122109020 . 
  25. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 فايفر، شون؛ بريتانيا، أليكس؛ مونتفروي، ووتر (15 يناير 2021). "الترشيح المحمي: فئة عالمية جديدة تتعلق بالأنظمة الحرجة الكمومية عالية التشويب" . مجلة اتصالات الفيزياء . 5 (1): 015008. arXiv : 2008.08258 . Bibcode : 2021JPhCo...5a5008F . doi : 10.1088/2399-6528/abd8e9 . ISSN 2399-6528 . 
  26. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 أدلر، ج .؛ ي. مير؛ أ. أهاروني؛ أ. ب. هاريس (1990). "دراسة متسلسلة لعزوم الترشيح في الأبعاد العامة" . مجلة الفيزياء ب . 41 (13): 9183-9206 . رمز Bibcode : 1990PhRvB..41.9183A . doi : 10.1103/PhysRevB.41.9183 . PMID 9993262 . 
  27. 1 2 3 غونت، د.س.؛ هـ. راسكين (1978). "عمليات ترشيح الروابط في الأبعاد د". مجلة الفيزياء أ: الرياضيات العامة 11 ( 7): 1369-1380 . رمز Bibcode : 1978JPhA...11.1369G . doi : 10.1088/0305-4470/11/7/025 .
  28. 1 2 3 4 5 6 ناكانيشي، هـ؛ ستانلي ، هـ. إي. (1980). "دراسات قياس ظواهر الترشيح في أنظمة ذات أبعاد من اثنين إلى سبعة: أعداد التجمعات". مجلة Physical Review B. 22 ( 5): 2466-2488 . Bibcode : 1980PhRvB..22.2466N . doi : 10.1103/PhysRevB.22.2466 .
  29. لورنز، سي دي؛ آر إم زيف (1998). "تحديد دقيق لعتبات ترشيح الروابط وتصحيحات القياس ذات الحجم المحدود للشبكات المكعبة ذات التمركز السطحي، والمكعبة ذات التمركز الوجهي، والمكعبة ذات التمركز الجسمي". مجلة فيزيكال ريفيو إي . 57 ( 1 ) : 230-236 . arXiv : cond - mat/9710044 . Bibcode : 1998PhRvE..57..230L . doi : 10.1103/PhysRevE.57.230 . S2CID 119074750 . 
  30. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 باليستيروس، إتش جي؛ إل إيه فرنانديز؛ في. مارتين-مايور؛ إيه. مونيوز سوديب؛ جي. باريسي؛ جيه جيه رويز-لورينزو (1997). "مقاييس الأسس الحرجة في ترشيح الموقع رباعي الأبعاد". رسائل الفيزياء ب . 400 ( 3-4 ): 346-351 . arXiv : hep-lat/9612024 . Bibcode : 1997PhLB..400..346B . doi : 10.1016/S0370-2693(97)00337-7 . S2CID 10242417 . 
  31. 1 2 3 4 جان، ن.؛ د. ستوفر (1998). "الترشيح العشوائي للمواقع في ثلاثة أبعاد". المجلة الدولية للفيزياء الحديثة ج . 9 (2): 341-347 . رمز Bibcode : 1998IJMPC...9..341J . doi : 10.1142/S0129183198000261 .
  32. ↑ غالفاني، أليساندرو؛ ترومبيتوني، أندريا؛ غوري، جياكومو (2022). "البعد الشاذ عالي الدقة للترشيح ثلاثي الأبعاد والملف المكاني للتجمع العملاق الحرج". مجلة Physical Review E ، 106، 064111. doi : 10.1103/PhysRevE.106.064111 .
  33. 1 2 3 4 5 6 7 تيغيمان، د. (2001). "محاكاة الترشيح على الحواسيب المتوازية الضخمة". المجلة الدولية للفيزياء الحديثة ج . 12 (6): 871-878 . arXiv : cond-mat/0106354 . Bibcode : 2001IJMPC..12..871T . doi : 10.1142/S012918310100205X . S2CID 118911971 . 
  34. 1 2 ليفنشتاين، م. إ.؛ بي. آي. شكلوفسكي؛ إم. إس. شور؛ أ. إل . إفروس (1975). "العلاقة بين الأسس الحرجة لنظرية الترشيح". مجلة الفيزياء التجريبية والنظرية 69 : 386-392 . رمز Bibcode : 1975JETP...42..197L .،
  35. 1 2 3 4 باليستيروس، ب. ن.؛ ل. أ. فرنانديز؛ ف. مارتين-مايور؛ أ. مونيوز سوديب؛ ج. باريسي؛ ج. ج. رويز-لورينزو (1999). "تصحيحات القياس: ترشيح الموقع ونموذج إيزينغ في ثلاثة أبعاد". مجلة الفيزياء أ . 32 (1): 1-13 . arXiv : cond-mat/9805125 . Bibcode : 1999JPhA...32....1B . doi : 10.1088/0305-4470/32/1/004 . S2CID 2787294 . 
  36. وانغ ، ج.؛ تشو، ز.؛ تشانغ، و.؛ غاروني، ت. م.؛ دينغ، ي. (2013). "تخلل الروابط والمواقع في ثلاثة أبعاد". مجلة Physical Review E. 87 ( 5) 052107. arXiv : 1302.0421 . Bibcode : 2013PhRvE..87e2107W . doi : 10.1103/PhysRevE.87.052107 . PMID: 23767487. S2CID : 14087496 .  ،
  37. ↑ هو، هـ.؛ بلوت، هـ. و.؛ زيف، ر. م.؛ دينغ، ي. (2014). " الارتباطات قصيرة المدى في الترشيح عند النقطة الحرجة". مجلة Physical Review E. 90 ( 4) 042106. arXiv : 1406.0130 . Bibcode : 2014PhRvE..90d2106H . doi : 10.1103/PhysRevE.90.042106 . PMID 25375437. S2CID 21410490 .  
  38. 1 2 3 4 5 شو، شياو؛ وانغ، جونفنغ؛ لو، جيان بينغ؛ دينغ، يوجين (2014). "التحليل المتزامن لنماذج الترشيح ثلاثية الأبعاد". حدود الفيزياء . 9 (1): 113-119 . arXiv : 1310.5399 . Bibcode : 2014FrPhy...9..113X . doi : 10.1007/s11467-013-0403-z . S2CID 119250232 . 
  39. 1 2 3 4 كوزا، زبيغنيو؛ جاكوب بولا (2016). "من الترشيح المتقطع إلى الترشيح المستمر في الأبعاد من 3 إلى 7". مجلة الميكانيكا الإحصائية: النظرية والتجربة . 2016 (10) 103206. arXiv : 1606.08050 . Bibcode : 2016JSMTE..10.3206K . doi : 10.1088/1742-5468/2016/10/103206 . S2CID 118580056 . 
  40. 1 2 3 برزيسكي، بيوتر؛ كوندرات، غريغورز (2022). "ترشيح الكرات الفائقة في الأبعاد من 3 إلى 5: من المنفصل إلى المتصل" . مجلة الميكانيكا الإحصائية: النظرية والتجربة . 2022 (5): 053202. رمز Bibcode : 2022JSMTE2022e3202B . doi : 10.1088/1742-5468/ac6519 . ISSN 1742-5468 . 
  41. 1 2 ليكلير، أندريه؛ جوشوا سكوايرز (2018). "التمهيد المطابق للترشيح والبوليمرات". مجلة الميكانيكا الإحصائية: النظرية والتجربة . 2018 (12): 123105. arXiv : 1802.08911 . Bibcode : 2018arXiv180208911L . doi : 10.1088/1742-5468/aaf10a . S2CID 73674896 . 
  42. 1 2 3 4 5 6 7 8 تشانغ، تشونغجين؛ بينغتشنغ هو؛ شنغ فانغ؛ هاو هو؛ يوجين دينغ (2021). "الأسس الحرجة وعدد التجمعات الزائد العالمي للترشيح في أربعة وخمسة أبعاد". فيزيكا أ: الميكانيكا الإحصائية وتطبيقاتها . 580 126124. arXiv : 2004.11289 . Bibcode : 2021PhyA..58026124Z . doi : 10.1016/j.physa.2021.126124 . S2CID 216080833 . 
  43. تان ، شياو جون؛ دينغ، يو جين؛ جاكوبسن، جيسبر ليك (2020). "ارتباطات التجمعات N في الترشيح رباعي وخماسي الأبعاد" . حدود الفيزياء . 15 ( 4 ): 41501. arXiv : 2006.10981 . Bibcode : 2020FrPhy..1541501T . doi : 10.1007/s11467-020-0972-6 . ISSN 2095-0462 . S2CID 219956814 .  
  44. 1 2 3 جان، ن؛ هونغ، د.س؛ ستانلي، هـ.إ (21 أكتوبر 1985). "البعد الكسري ومعاملات الترشيح الأخرى في أربعة وخمسة أبعاد" . مجلة الفيزياء أ: الرياضية والعامة . 18 (15): L935– L939. رمز Bibcode : 1985JPhA...18L.935J . doi : 10.1088/0305-4470/18/15/006 . ISSN 0305-4470 . 
  45. ↑ سايكس، إم إف؛ دي إس غونت؛ جيه دبليو إيسام (1976). "احتمالية الترشيح لمسألة الموقع على الشبكة المكعبة ذات المراكز الوجهية". مجلة الفيزياء أ: الرياضيات العامة 9 ( 5): L43– L46. رمز Bibcode : 1976JPhA....9L..43S . doi : 10.1088/0305-4470/9/5/002 .
  46. ↑ تيغيمان، د. (2006). "الترشيح على الشبكات المتنامية". المجلة الدولية للفيزياء الحديثة ج . 17 (8): 1141-1150 . arXiv : cond-mat/0604418 . Bibcode : 2006IJMPC..17.1141T . doi : 10.1142/S012918310600962X . S2CID 119398198 . 
  47. 1 2 3 4 5 6 ميرتنز، ستيفان؛ كريستوفر مور (2018). "عتبات الترشيح ومعاملات فيشر في الشبكات المكعبة الفائقة". مجلة Physical Review E. 98 ( 2) 022120. arXiv : 1806.08067 . Bibcode : 2018PhRvE..98b2120M . doi : 10.1103/PhysRevE.98.022120 . PMID 30253462. S2CID 52821851 .  
  48. ١ ٢ ٣ ٤ ٥ بول، جيرالد؛ آر إم زيف؛ إتش إي ستانلي (٢٠٠١). "عتبة الترشيح، ومعامل فيشر، ومعامل أقصر مسار لأربعة وخمسة أبعاد". مجلة فيزيكال ريفيو إي . ٦٤ (٢) ٠٢٦١١٥. arXiv : cond-mat/٠١٠١١٣٦ . Bibcode : ٢٠٠١PhRvE..٦٤b٦١١٥P . doi : ١٠.١١٠٣/PhysRevE.٦٤.٠٢٦١١٥ . PMID ١١٤٩٧٦٥٩. S2CID ١٨٢٧١١٩٦ .  
  49. ↑ دينغ، يوجين؛ هينك دبليو جيه بلوت (2005). "دراسة مونت كارلو لنموذج ترشيح الموقع في بعدين وثلاثة أبعاد" . مجلة فيزيكال ريفيو إي . 72 (1) 016126. رمز Bibcode : 2005PhRvE..72a6126D . doi : 10.1103/PhysRevE.72.016126 . PMID 16090055 . 
  50. ↑ كاميرر، أ.؛ ف. هوفلينغ؛ ت. فرانوش (2008). "نظرية القياس الديناميكي المُحَلَّلة على مستوى التجمعات والتصحيحات الشاملة للنقل على الأنظمة المُرشَّحة". رسائل الفيزياء الأوروبية 84 (6) 66002. arXiv : 0811.1414 . Bibcode : 2008EL.....8466002K . doi : 10.1209/0295-5075/84/66002 . S2CID 16581770 . 
  51. ↑ زيف، ر.م.؛ ف. باباليفسكي (1999). "ترشيح الموقع على شبكة معين بنروز". فيزيكا أ . 269 ( 2-4 ): 201-210 . رمز Bibcode : 1999PhyA..269..201Z . doi : 10.1016/S0378-4371(99)00166-1 .
  52. 1 2 زيف، آر إم (2011). "معامل تصحيح القياس للترشيح ثنائي الأبعاد". فيز. ريف. إي . 83 (2) 020107. arXiv : 1101.0807 . Bibcode : 2011PhRvE..83b0107Z . doi : 10.1103/ PhysRevE.83.020107 . PMID 21405805. S2CID 14750620 .  
  53. ↑ أهاروني، أمنون؛ أسيكاينن، جوناس (2003). "البعد الكسري وتصحيحات القياس لتجمعات بوتس الحرجة". الكسور، العدد التكميلي . 11 (1): 3-7 . arXiv : cond-mat/0206367 . doi : 10.1142/S0218348X03001665 .
  54. ↑ جيميل، جان كريستوف؛ تاكو نيكولاي؛ دومينيك دوراند (2000). "توزيع حجم التجمعات المتسربة على الشبكات المكعبة". مجلة الفيزياء أ: الرياضيات العامة 33 ( 43): 7687-7697 . رمز Bibcode : 2000JPhA...33.7687G . doi : 10.1088/0305-4470/33/43/302 . S2CID 121516245 . 
  55. 1 2 كوزلوف، ب.؛ م. لاغويس (2010). "شمولية أسس الترشيح ثلاثية الأبعاد وتصحيحات الرتبة الأولى لتوسيع نطاق أسس التوصيلية". فيزيكا أ . 389 (23): 5339-5346 . Bibcode : 2010PhyA..389.5339K . doi : 10.1016/j.physa.2010.08.002 .
  56. ↑ هوتون، أ.؛ جيه إس ريف؛ دي جيه والاس (1978). "السلوك عالي الرتبة في نظريات حقل φ^3 ومشكلة الترشيح". مجلة الفيزياء ب . 17 (7): 2956. رمز Bibcode : 1978PhRvB..17.2956H . doi : 10.1103/PhysRevB.17.2956 .
  57. 1 2 ألكسندر، س.؛ ر. أورباخ (1982). "كثافة الحالات على الفراكتلات: 'الفراكتونات'"" (PDF) . جورنال دي فيزيك ليتريس . 43 (17): L625 – L631. دوى : 10.1051 / jphyslet:019820043017062500 .
  58. 1 2 ميلوفانوف، أ. ف. (1997). "برهان طوبولوجي لتخمين ألكسندر-أورباخ". مجلة الفيزياء E. 56 ( 3): 2437-2446 . Bibcode : 1997PhRvE..56.2437M . doi : 10.1103/PhysRevE.56.2437 .
  59. ↑ سين، وي؛ دونغبينغ ليو؛ بينغكوان ماو (2012). "خوارزمية المسار الجزيئي للمشي العشوائي على أنظمة الترشيح عند نقطة التحول في بعدين وثلاثة أبعاد". فيزيكا أ . 391 (4): 925-929 . Bibcode : 2012PhyA..391..925C . doi : 10.1016/j.physa.2011.01.003 .
  60. ↑ جينغولد، ديفيد ب.؛ سي جيه لوب (1990). "التوصيل الترشيحي في ثلاثة أبعاد". مجلة Physical Review B. 42 ( 13): 8220-8224 . Bibcode : 1990PhRvB..42.8220G . doi : 10.1103/PhysRevB.42.8220 . PMID 9994994 . 
  61. ↑ نورماند، جان ماري؛ هانز ج. هيرمان (1995). "تحديد دقيق لمعامل التوصيلية للترشيح ثلاثي الأبعاد باستخدام "بيركولا""المجلة الدولية للفيزياء الحديثة ج . 6 (6): 813. arXiv : cond-mat/9602081 . Bibcode : 1995IJMPC...6..813N . doi : 10.1142/S0129183195000678 . S2CID 2912863 . 
  62. ↑ كليرك، جان ماري؛ بودولسكي، ف. أ.؛ ساريشيف، أ. ك. (2000). "تحديد دقيق لمعامل التوصيلية في الترشيح ثلاثي الأبعاد باستخدام إعادة التطبيع العددي الدقيق". المجلة الأوروبية للفيزياء ب . 15 (3): 507-516 . رمز Bibcode : 2000EPJB...15..507C . doi : 10.1007/s100510051153 . S2CID 121306901 . 
  63. ↑ أرغيراكيس، ب.؛ ر. كوبلمان (1984). "المشي العشوائي على تجمعات الترشيح". مجلة Physical Review B. 29 ( 1): 511–514 . Bibcode : 1984PhRvB..29..511A . doi : 10.1103/PhysRevB.29.511 .
  64. 1 2 3 كاردي، جون (1984). "التناظر المطابق والسلوك الحرج السطحي". الفيزياء النووية ب . 240 (4): 514-532 . Bibcode : 1984NuPhB.240..514C . doi : 10.1016/0550-3213(84)90241-4 .
  65. ↑ فاندرزاند، سي. (1988). "البعد الكسري السطحي للترشيح ثنائي الأبعاد". مجلة الفيزياء أ: الرياضيات العامة 21 ( 3): 833-837 . رمز Bibcode : 1988JPhA...21..833V . doi : 10.1088/0305-4470/21/3/039 .
  66. 1 2 3 غراسبرغر، بيتر (1992). "دراسات عددية للترشيح الحرج في ثلاثة أبعاد". مجلة الفيزياء أ: الرياضيات العامة 25 ( 22): 5867-5888 . رمز Bibcode : 1992JPhA...25.5867G . doi : 10.1088/0305-4470/25/22/015 .
  67. 1 2 دينغ، يوجين؛ هينك دبليو جيه بلوت (2005). "الظواهر الحرجة السطحية في الترشيح ثلاثي الأبعاد" . مجلة فيزيكال ريفيو إي . 71 (1) 016117. رمز Bibcode : 2005PhRvE..71a6117D . doi : 10.1103/PhysRevE.71.016117 . PMID 15697668 . 
  68. 1 2 3 4 5 6 7 ديهل، هـ. و.؛ ب. م. لام (1989). "نموذج بوتس شبه اللانهائي والترشيح على الأسطح". مجلة الفيزياء ب . 74 (3): 395-401 . رمز Bibcode : 1989ZPhyB..74..395D . doi : 10.1007/BF01307889 . S2CID 121559161 . 
  69. ↑ هانسن، أ؛ لام، ب.م؛ رو، س. (1981). "معامل ترتيب السطح في الترشيح ثلاثي الأبعاد". مجلة الفيزياء أ: الرياضيات العامة 22 ( 13): 2635. doi : 10.1088/0305-4470/22/13/056 .
  70. ↑ دينغ، يوجين؛ إتش. بلوت (2004). "الحد غير المتناحي لنموذج ترشيح الروابط والثبات المطابق في الأشكال الهندسية المنحنية". مجلة فيزيكال ريفيو إي . 69 (6) 066129. رمز Bibcode : 2004PhRvE..69f6129D . doi : 10.1103/PhysRevE.69.066129 . PMID 15244689 . 
  71. 1 2 3 بايك، سيونغ كي؛ بيتر مينهاجن؛ بيوم جون كيم (2010). "الحرجية السطحية والداخلية في ترشيح نقطة المنتصف". مجلة فيزيكال ريفيو إي . 81 (4) 041108. arXiv : 1004.2622 . Bibcode : 2010PhRvE..81d1108B . doi : 10.1103/PhysRevE.81.041108 . PMID 20481678. S2CID 18938058 .  
  72. ↑ رينتول، دكتور في الطب؛ هـ. ناكانيشي (1992). "تحديد دقيق للبعد الكسري الأساسي على تجمعات الترشيح ثنائية الأبعاد". مجلة الفيزياء أ: الرياضيات العامة 25 ( 15): L945. رمز Bibcode : 1992JPhA...25L.945R . doi : 10.1088/0305-4470/25/15/008 .
  73. ↑ دينغ، يوجين؛ هينك دبليو جيه بلوت؛ برنارد نينهاوس (2004). "أسس العمود الفقري لنموذج بوتس ثنائي الأبعاد ذي الحالة q: دراسة مونت كارلو" . مجلة الفيزياء E. 69 ( 2) 026114. رمز Bibcode : 2004PhRvE..69b6114D . doi : 10.1103/PhysRevE.69.026114 . PMID 14995527 . 
  74. ↑ شو، شياو؛ وانغ، جونفنغ؛ تشو، تسونغ تشنغ؛ غاروني، تيموثي م.؛ دينغ، يوجين (2014). "البنية الهندسية لتجمعات الترشيح". مجلة Physical Review E. 89 ( 1) 012120. arXiv : 1309.7244 . Bibcode : 2014PhRvE..89a2120X . doi : 10.1103/PhysRevE.89.012120 . PMID 24580185. S2CID 25468743 .  
  75. ↑ رينتول، دكتور في الطب؛ هـ. ناكانيشي (1994). "توصيف دقيق للهياكل الأساسية ثلاثية الأبعاد المتخللة". مجلة الفيزياء أ: الرياضيات العامة 27 ( 16): 5445-5454 . رمز Bibcode : 1994JPhA...27.5445R . doi : 10.1088/0305-4470/27/16/011 .
  76. 1 2 موكارزل، سي. (1994). "خوارزمية سريعة للهياكل الأساسية". المجلة الدولية للفيزياء الحديثة ج . 9 (6): 887-895 . arXiv : cond-mat/9801102 . doi : 10.1142/S0129183198000844 . S2CID 14077176 . 
  77. ↑ غراسبرغر، ب. (1985). "حول انتشار الترشيح ثنائي الأبعاد". مجلة الفيزياء أ: الرياضيات العامة 18 ( 4): L215– L219. رمز Bibcode : 1985JPhA...18L.215G . doi : 10.1088/0305-4470/18/4/005 .
  78. 1 2 هيرمان، هانز ج.؛ هـ. يوجين ستانلي (1988). "البعد الكسري للمسار الأدنى في الترشيح ثنائي وثلاثي الأبعاد". مجلة الفيزياء أ: الرياضيات العامة 21 ( 5): L829– L833. Bibcode : 1984JPhA...17L.261H . doi : 10.1088/0305-4470/17/5/008 . S2CID 16510317 . 
  79. ↑ دينغ، يوجين؛ وي تشانغ؛ تيموثي إم. غاروني؛ آلان دي. سوكال؛ أندريا سبورتيلو (2010). "بعض الأسس الهندسية الحرجة للترشيح ونموذج التكتل العشوائي". مجلة Physical Review E. 81 ( 2): 020102(R). arXiv : 0904.3448 . Bibcode : 2010PhRvE..81b0102D . doi : 10.1103/PhysRevE.81.020102 . PMID 20365513. S2CID 1746746 .  
  80. 1 2 تشو، زونغ تشنغ؛ جي يانغ؛ يوجين دينغ؛ روبرت م. زيف (2012). "البعد الكسري لأقصر مسار للترشيح في بعدين وثلاثة أبعاد". مجلة Physical Review E. 86 ( 6) 061101. arXiv : 1110.1955 . Bibcode : 2012PhRvE..86a1101G . doi : 10.1103/PhysRevE.86.061101 . PMID 23367887. S2CID 37986944 .  
  81. ↑ غراسبرغر، بيتر (1999). "ترابط الأزواج وتوسيع أقصر مسار في الترشيح الحرج". مجلة الفيزياء أ: الرياضيات العامة 32 ( 35): 6233-6238 . arXiv : cond-mat/9906309 . Bibcode : 1999JPhA...32.6233G . doi : 10.1088/0305-4470/32/35/301 . S2CID 17663911 . 
  82. ↑ بريرتون، تيم؛ كريستيان هيرش؛ فولكر شميدت؛ ديرك كروز (2014). "معامل حرج لتوسيع أقصر مسار في ترشيح الوسط المتصل". مجلة الفيزياء أ: الرياضيات النظرية . 47 (50) 505003. رمز Bibcode : 2014JPhA...47X5003B . doi : 10.1088/1751-8113/47/50/505003 . S2CID 14191555 . 
  83. ↑ بريرتون، تيم؛ هيرش، كريستيان؛ شميدت، فولكر؛ كروز، ديرك (19 ديسمبر 2014). "معامل حرج لتوسيع أقصر مسار في ترشيح الطيف المتصل" . مجلة الفيزياء أ: الرياضية والنظرية . 47 (50) 505003. رمز Bibcode : 2014JPhA...47X5003B . doi : 10.1088/1751-8113/47/50/505003 . ISSN 1751-8113 . 
  84. 1 2 3 4 5 غراسبرغر، ب.؛ ي. تشانغ (1996). "صياغة "ذاتية التنظيم" لظواهر الترشيح القياسية. Physica A. 224 ( 1–2 ) : 169. Bibcode : 1996PhyA..224..169G . doi : 10.1016/0378-4371(95)00321-5 .
  85. 1 2 جانسن، هـ.ك.؛ تاوبر، يو.سي. (2005). "مقاربة نظرية المجال لعمليات الترشيح". حوليات الفيزياء . 315 (1): 147-192 . arXiv : cond-mat/0409670 . Bibcode : 2005AnPhy.315..147J . doi : 10.1016/j.aop.2004.09.011 . S2CID 19033621 . 
  86. ^ أدزيميان، لوران تس؛ حناتيتش، ميشال؛ إيفانوفا، إيلا ف؛ كومبانيتس، ميخائيل ف. لوتشيفيانسكي، تومش؛ ميزين، لوكاش (2023). “التحليل النظري الميداني للترشيح الموجه: تقريب ثلاثي الحلقات”. فيز. القس إي . 107 (6) 064138. أرخايف : 2306.17057 . دوى : 10.1103/PhysRevE.107.064138 . بميد 37464654 . 
  87. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 جنسن، آي. (1999). "متسلسلات توسع الكثافة المنخفضة للترشيح الموجه: الجزء الأول. خوارزمية جديدة فعالة مع تطبيقات على الشبكة المربعة". مجلة الفيزياء أ . 32 (48): 5233-5249 . arXiv : cond-mat/9906036 . Bibcode : 1999JPhA...32.5233J . doi : 10.1088/0305-4470/32/28/304 . S2CID 2681356 . 
  88. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 وانغ، جونفنغ ؛ زونج تشنغ تشو؛ تشينغكوان ليو؛ تيموثي م. جاروني؛ يوجين دينغ (2013). “دراسة مونت كارلو عالية الدقة للترشيح الموجه في أبعاد (d + 1)”. فيز. القس إي . 88 (4) 042102. أرخايف : 1201.3006 . بيب كود : 2013PhRvE..88d2102W . دوى : 10.1103/PhysRevE.88.042102 . بميد 24229111 . S2CID 43011467 .  
  89. 1 2 3 4 5 فويغت، سي. أ.؛ زيف، ر. م. (1997). "تحليل وبائي للانتقال من الدرجة الثانية في نموذج تفاعل السطح زيف-غولاري-بارشاد". مجلة فيزيكال ريفيو إي . 56 (6): R6241– R6244. arXiv : cond-mat/9710211 . Bibcode : 1997PhRvE..56.6241V . doi : 10.1103/PhysRevE.56.R6241 . S2CID 118952705 . 
  90. 1 2 3 4 جنسن، آي. (1992). "السلوك الحرج لعملية التلامس ثلاثية الأبعاد". مجلة فيزيكال ريفيو أ . 45 (2): R563– R566. Bibcode : 1992PhRvA..45..563J . doi : 10.1103/PhysRevA.45.R563 . PMID 9907104 . 
  91. 1 2 3 بيرلسمان، إي.؛ إس. هافلين (2002). "طريقة لتقدير الأسس الحرجة باستخدام الدراسات العددية" . EPL . 58 (2): 176-181 . Bibcode : 2002EL.....58..176P . doi : 10.1209/epl/i2002-00621-7 . S2CID 67818664 . 
  92. 1 2 غراسبرغر، ب. (1989). "الترشيح الموجه في بعدين مكانيين وبعد مكاني واحد". مجلة الفيزياء أ: الرياضيات العامة 22 ( 17): 3673-3679 . رمز Bibcode : 1989JPhA...22.3673G . doi : 10.1088/0305-4470/22/17/032 .
  93. 1 2 3 4 5 هنكل، م.؛ هـ. هينريشسن؛ س. لوبيك (2008). التحولات الطورية غير المتوازنة، المجلد. 1: استيعاب التحولات الطورية . سبرينغر، دوردريخت.
  94. 1 2 3 4 5 جانسن، هـ. ك. (1981). "حول الانتقال الطوري غير المتوازن في أنظمة التفاعل والانتشار ذات الحالة الثابتة الممتصة". حوليات الفيزياء . 42 (2): 151-154 . Bibcode : 1981ZPhyB..42..151J . doi : 10.1007/BF01319549 . S2CID 120819248 . 
  95. 1 2 جنسن، إيوان (1996). "متسلسلات توسع الكثافة المنخفضة للترشيح الموجه على الشبكات المربعة والمثلثة". مجلة الفيزياء أ: الرياضيات العامة 29 ( 22): 7013-7040 . رمز Bibcode : 1996JPhA...29.7013J . doi : 10.1088/0305-4470/29/22/007 .
  96. 1 2 أمارال، لان؛ أ. ل. باراباسي؛ س. ف. بولديريف؛ س. ت. هارينغتون؛ س. هافلين؛ ر. صدر لاهيجاني؛ هـ. إي. ستانلي (1995). "الانهيارات ونموذج التثبيت بالترشيح الموجه: تجارب، محاكاة، ونظرية". مجلة الفيزياء E. 51 ( 5): 4655-4673 . arXiv : cond - mat/9412047 . Bibcode : 1995PhRvE..51.4655A . doi : 10.1103/PhysRevE.51.4655 . PMID 9963178. S2CID 9953616 .  
  97. ↑ عصام، جيه دبليو؛ إيه جيه غوتمان؛ ك. دي بيل (1988). "حول الترشيح الموجه ثنائي الأبعاد". مجلة الفيزياء أ . 21 (19): 3815-3832 . رمز Bibcode : 1988JPhA...21.3815E . doi : 10.1088/0305-4470/21/19/018 .
  98. ↑ دار، ديباك؛ مستنصر بارما (1981). "محاكاة مونت كارلو للترشيح الموجه على شبكة مربعة". مجلة الفيزياء ج: فيزياء الحالة الصلبة . 14 (1): L1-L6. رمز Bibcode : 1981JPhC...14L...1D . doi : 10.1088/0022-3719/14/1/001 .
  99. 1 2 أوتشاريك، أ. ل.؛ أ. ريخنيتزر؛ ر. براك؛ أ. ج. غوتمان (1997). "حول أغلفة تجمعات الترشيح الموجه". مجلة الفيزياء أ . 30 (19): 6679. رمز Bibcode : 1997JPhA...30.6679O . doi : 10.1088/0305-4470/30/19/011 .
  100. 1 2 دينغ، يوجين؛ روبرت م. زيف (2022). "العمود الفقري المرن والموجه للترشيح". مجلة الفيزياء أ: الرياضيات النظرية . 55 (24): 244002. arXiv : 1805.08201 . Bibcode : 2022JPhA...55x4002D . doi : 10.1088/1751-8121/ac6843 . S2CID 73528075 . 

للمزيد من القراءة

  • ستوفر، د.؛ أهاروني، أ. (1994)، مقدمة في نظرية الترشيح (  الطبعة الثانية)، مطبعة سي آر سي، رقم ISBN 978-0-7484-0253-3