البعد الكسري

11.5 × 200 كم = 2300 كم

28 × 100 كم = 2800 كم

70 × 50 كم = 3500 كم

الشكل 1. مع تصغير طول عصا القياس أكثر فأكثر، يزداد الطول الإجمالي للساحل المقاس (انظر مفارقة الساحل ).

في نظرية القياس الهندسي ، تُمكّن الأبعاد الكسورية من الحصول على مؤشرات إحصائية متسقة لتعقيد الأنماط . وبما أن الأنماط الكسورية يمكن أن تتغير بتغير المقياس ، فمن المفترض أن يكون قياس سعة ملء الفراغ ممكنًا في الأبعاد غير الصحيحة (الكسورية). ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

للفكرة الأساسية للأبعاد "المجزأة" تاريخ طويل في الرياضيات، لكن المصطلح نفسه برز بفضل بينوا ماندلبروت استنادًا إلى بحثه المنشور عام 1967 حول التشابه الذاتي ، حيث ناقش الأبعاد الكسرية . ^{[ 4 ]} في ذلك البحث، استشهد ماندلبروت بعمل سابق للويس فراي ريتشاردسون يصف المفهوم غير البديهي القائل بأن طول خط الساحل المقاس يتغير بتغير طول عصا القياس المستخدمة (انظر الشكل  1 ). وبناءً على هذا المفهوم، يحدد البعد الكسري لخط الساحل كيفية تغير عدد عصي القياس المتدرجة المطلوبة لقياس خط الساحل بتغير المقياس المطبق على العصا. ^{[ 5 ]} هناك العديد من التعريفات الرياضية الرسمية للبعد الكسري التي تستند إلى هذا المفهوم الأساسي لتغير التفاصيل بتغير المقياس، انظر قسم  الأمثلة أدناه.

في نهاية المطاف، أصبح مصطلح " البُعد الكسري" هو المصطلح الذي شعر ماندلبروت نفسه بالراحة التامة عند استخدامه لتلخيص معنى كلمة "كسري" ، وهو مصطلح ابتكره. بعد عدة محاولات على مر السنين، استقر ماندلبروت على هذا الاستخدام للغة: "استخدام كلمة "كسري" دون تعريف دقيق، واستخدام "البُعد الكسري" كمصطلح عام ينطبق على جميع المتغيرات". ^{[ 6 ]}

أحد الأمثلة غير البديهية هو البُعد الكسري لندفة ثلج كوخ . يبلغ بُعدها الطوبولوجي 1، لكنها غير قابلة للتصحيح بأي حال من الأحوال : فطول المنحنى بين أي نقطتين على ندفة ثلج كوخ لانهائي . لا يوجد جزء صغير منها يشبه الخط، بل يتكون من عدد لا نهائي من القطع المتصلة بزوايا مختلفة. يمكن تفسير البُعد الكسري للمنحنى بشكل بديهي من خلال اعتبار الخط الكسري كائنًا شديد التفصيل بحيث لا يمكن أن يكون أحادي البعد، ولكنه في الوقت نفسه شديد البساطة بحيث لا يمكن أن يكون ثنائي البعد. ^{[ 7 ]} لذلك، قد يكون من الأنسب وصف بُعده ليس ببعده الطوبولوجي المعتاد وهو 1، بل ببعده الكسري، الذي غالبًا ما يكون عددًا بين واحد واثنين؛ وفي حالة ندفة ثلج كوخ، يبلغ تقريبًا 1.2619.

البُعد الكسري هو مؤشر لتوصيف الأنماط أو المجموعات الكسرية من خلال قياس تعقيدها كنسبة بين التغير في التفاصيل والتغير في المقياس. ^{[ 5 ] : 1} يمكن قياس عدة أنواع من الأبعاد الكسرية نظريًا وتجريبيًا (انظر الشكل 2 ). ^{[ 3 ] [ 9 ]} تُستخدم الأبعاد الكسرية لتوصيف طيف واسع من الأشياء، بدءًا من الظواهر المجردة ^{[ 1 ] [ 3 ]} وصولًا إلى الظواهر العملية، بما في ذلك الاضطراب، ^{[ 5 ] : 97-104} شبكات الأنهار، ^{: 246-247} النمو الحضري، ^{[ 10 ] [ 11 ]} فسيولوجيا الإنسان، ^{[ 12 ] [ 13 ]} الطب، ^{[ 9 ]} واتجاهات السوق. ^{[ 14 ]} إن الفكرة الأساسية للأبعاد الكسرية أو الكسورية لها تاريخ طويل في الرياضيات يمكن تتبعه إلى القرن السابع عشر، ^{[ 5 ] : 19 [ 15 ]} ولكن مصطلحي الكسوري والبعد الكسوري صاغهما عالم الرياضيات بينوا ماندلبروت في عام 1975. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 5 ] [ 9 ] [ 14 ] [ 16 ]} 

استُخدمت الأبعاد الكسورية في البداية كمؤشر لتمييز الأشكال الهندسية المعقدة التي تبدو فيها التفاصيل أكثر أهمية من الصورة العامة. ^{[ 16 ]} بالنسبة للمجموعات التي تصف الأشكال الهندسية العادية، يساوي البعد الكسوري النظري البعد الإقليدي أو الطوبولوجي المألوف للمجموعة . وبالتالي، يكون صفرًا للمجموعات التي تصف النقاط (مجموعات صفرية الأبعاد)؛ وواحدًا للمجموعات التي تصف الخطوط (مجموعات أحادية الأبعاد لها طول فقط)؛ واثنين للمجموعات التي تصف الأسطح (مجموعات ثنائية الأبعاد لها طول وعرض)؛ وثلاثة للمجموعات التي تصف الأحجام (مجموعات ثلاثية الأبعاد لها طول وعرض وارتفاع). لكن هذا يتغير بالنسبة للمجموعات الكسورية. إذا تجاوز البعد الكسوري النظري لمجموعة ما بعد بُعدها الطوبولوجي، تُعتبر المجموعة ذات هندسة كسورية. ^{[ 17 ]}

على عكس الأبعاد الطوبولوجية، يمكن أن يأخذ مؤشر الفراكتال قيمًا غير صحيحة ، ^{[ 18 ]} مما يشير إلى أن المجموعة تملأ حيزها نوعيًا وكميًا بشكل مختلف عن المجموعة الهندسية العادية. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} على سبيل المثال، يتصرف منحنى ذو بُعد فراكتالي قريب جدًا من 1، ولنقل 1.10، تمامًا مثل خط عادي، بينما يلتف منحنى ذو بُعد فراكتالي 1.9 بشكل متعرج عبر الفضاء، يكاد يكون مثل سطح. وبالمثل، يملأ سطح ذو بُعد فراكتالي 2.1 الفضاء بشكل مشابه جدًا لسطح عادي، بينما ينطوي سطح ذو بُعد فراكتالي 2.9 ويتدفق ليملأ الفضاء بشكل أقرب إلى حجم. ^{[ 17 ] : 48 [ ملاحظات 1 ]} يمكن رؤية هذه العلاقة العامة في الصورتين لمنحنيات الفراكتال في الشكل  2 والشكل 3  - فالمحيط المكون من 32 جزءًا في الشكل 2 ، والمعقد والمملوء بالفراغ، له بُعد فراكتالي يبلغ 1.67، مقارنة بمنحنى كوخ الأقل تعقيدًا بشكل ملحوظ في الشكل 3، والذي يبلغ بُعده الفراكتالي حوالي 1.2619.   

قد يُفهم من العلاقة بين زيادة البُعد الكسري وملء الفراغ أن البُعد الكسري يقيس الكثافة، لكن هذا غير صحيح؛ فليس هناك ارتباط وثيق بينهما. ^{[ 8 ]} بل يقيس البُعد الكسري التعقيد، وهو مفهوم يرتبط ببعض السمات الرئيسية للكسور: التشابه الذاتي والتفاصيل أو عدم الانتظام . ^{[ ملاحظات 2 ]} تتجلى هذه السمات في المثالين لمنحنيات كسورية. كلاهما منحنيات ذات بُعد طوبولوجي يساوي 1، لذا قد يأمل المرء في قياس طولهما ومشتقاتهما بنفس طريقة قياس المنحنيات العادية. لكن لا يمكننا فعل أيٍّ من هذين الأمرين، لأن المنحنيات الكسورية تتميز بتعقيد يتمثل في التشابه الذاتي والتفاصيل التي تفتقر إليها المنحنيات العادية. ^{[ 5 ]} يكمن التشابه الذاتي في التوسيع اللانهائي، بينما تكمن التفاصيل في العناصر المُحدِّدة لكل مجموعة. المسافة بين أي نقطتين على هذه المنحنيات لانهائية، مهما تقاربت النقطتان، مما يعني استحالة تقريب طول هذا المنحنى بتقسيمه إلى أجزاء صغيرة متعددة. ^{[ 19 ]} يتكون كل جزء أصغر من عدد لا نهائي من الأجزاء المتدرجة التي تُطابق تمامًا الجزء الأول. هذه المنحنيات غير قابلة للتصحيح ، أي لا يمكن قياسها بتقسيمها إلى أجزاء تُقارب أطوالها. ولا يمكن وصفها بدقة بإيجاد أطوالها ومشتقاتها. مع ذلك، يمكن تحديد أبعادها الكسورية، مما يُظهر أنها تشغل حيزًا أكبر من الخطوط العادية وأقل من الأسطح، ويسمح بمقارنتها من هذه الناحية.

يُظهر المنحنيان الكسريان الموصوفان أعلاه نوعًا من التشابه الذاتي الدقيق، بوحدة تفصيلية متكررة يسهل تصورها. يمكن تعميم هذا النوع من البنية على فضاءات أخرى (على سبيل المثال، الكساري الذي يمتد من منحنى كوخ إلى الفضاء ثلاثي الأبعاد له قيمة نظرية D = 2.5849). مع ذلك، يُعد هذا التعقيد القابل للعد بدقة مثالًا واحدًا فقط على التشابه الذاتي والتفصيل الموجودين في الكساريات. ^{[ 3 ] [ 14 ]} فعلى سبيل المثال، يُظهر خط ساحل بريطانيا تشابهًا ذاتيًا لنمط تقريبي ذي مقياس تقريبي. ^{[ 5 ] : 26} عمومًا، تُظهر الكساريات أنواعًا ودرجاتٍ متعددة من التشابه الذاتي والتفصيل، والتي قد لا يسهل تصورها. تشمل هذه الأمثلة، على سبيل المثال لا الحصر، الجاذبات الغريبة ، التي وُصفت تفاصيلها بأنها في جوهرها أجزاء ناعمة تتراكم، ^{[ 17 ] : 49} ومجموعة جوليا ، التي يمكن اعتبارها دوامات معقدة فوق دوامات، ومعدلات ضربات القلب، التي هي أنماط من الارتفاعات الحادة المتكررة والمتغيرة مع الزمن. ^{[ 20 ]} قد لا يكون من الممكن دائمًا تحليل التعقيد الكسري إلى وحدات تفصيلية ومقياسية يسهل فهمها دون استخدام أساليب تحليلية معقدة، ولكنه لا يزال قابلاً للقياس الكمي من خلال الأبعاد الكسرية. ^{[ 5 ] : 197، 262}

صاغ ماندلبروت مصطلحي "البُعد الكسري" و "الكسيري" عام 1975، ^{[ 16 ]} بعد نحو عقد من نشره بحثه حول التشابه الذاتي في سواحل بريطانيا. وينسب إليه العديد من المؤرخين الفضل في دمج قرون من الرياضيات النظرية المعقدة والأعمال الهندسية وتطبيقها بطريقة جديدة لدراسة الأشكال الهندسية المعقدة التي استعصت على الوصف بالمصطلحات الخطية المعتادة. ^{[ 15 ] [ 21 ] [ 22 ]} وتعود الجذور الأولى لما ابتكره ماندلبروت تحت مسمى "البُعد الكسري" بوضوح إلى كتابات حول الدوال غير القابلة للتفاضل والمتشابهة ذاتيًا إلى ما لا نهاية، والتي تُعدّ مهمة في التعريف الرياضي للكسيريات، وذلك في الفترة التي اكتُشف فيها حساب التفاضل والتكامل في منتصف القرن السابع عشر. ^{[ 5 ] : 405} شهدت الأعمال المنشورة حول هذه الدوال فترة ركود بعد ذلك، ثم انتعاشًا بدءًا من أواخر القرن التاسع عشر مع نشر الدوال والمجموعات الرياضية التي تُعرف اليوم باسم الفراكتلات الكلاسيكية (مثل أعمال فون كوخ ^{[ 19 ]} ، وسيربينسكي ، وجوليا التي تحمل الاسم نفسه )، ولكنها كانت تُعتبر في وقت صياغتها بمثابة "وحوش" رياضية متناقضة. ^{[ 15 ] [ 22 ]} وقد رافق هذه الأعمال ربما أهم نقطة محورية في تطوير مفهوم البُعد الفراكتالي من خلال عمل هاوسدورف في أوائل القرن العشرين، الذي عرّف بُعدًا "كسريًا" سُمّي باسمه، ويُستخدم بكثرة في تعريف الفراكتلات الحديثة . ^{[ 4 ] [ 5 ] : 44 [ 17 ] [ 21 ]}

راجع تاريخ الفراكتلات لمزيد من المعلومات

يمكن اشتقاق التعريف الرياضي للبعد الكسري من خلال ملاحظة تأثير البعد التقليدي على تغيرات القياس عند تغيير المقياس، ثم تعميم هذا التأثير. ^{[ 24 ]} على سبيل المثال، لنفترض أن لديك خطًا وعصا قياس متساويين في الطول. الآن، صغّر العصا إلى ثلث حجمها؛ يمكنك الآن وضع 3  عصي قياس داخل الخط. وبالمثل، في بُعدين، لنفترض أن لديك مربعًا ومربع قياس مطابقًا له. الآن، صغّر ضلع مربع القياس إلى ثلث طوله؛ يمكنك الآن وضع 3² = 9  مربعات قياس داخل المربع. تخضع علاقات تغيير المقياس المألوفة هذه للمعادلة ( 1 ) ، حيث  ${\displaystyle \varepsilon }$هو عامل القياس،${\displaystyle D}$البعد، و${\displaystyle N}$عدد الوحدات الناتجة (العصي، المربعات، إلخ) في الجسم المقاس:

${\displaystyle N=\varepsilon ^{-D}.}$

1

في مثال الخط، البعد${\displaystyle D=1}$لأن هناك${\displaystyle N=3}$الوحدات عند عامل القياس${\displaystyle \varepsilon =1/3}$في مثال المربع،${\displaystyle D=2}$لأن${\displaystyle N=9}$متى${\displaystyle \varepsilon =1/3}$.

يُعمم البعد الكسري البعد التقليدي من حيث أنه يمكن أن يكون كسريًا، ولكنه يرتبط بنفس العلاقة مع القياس التي يرتبط بها البعد التقليدي؛ في الواقع، يتم اشتقاقه ببساطة عن طريق إعادة ترتيب المعادلة ( 1 ) :

${\displaystyle D=-\log _{\varepsilon }N=-{\frac {\log N}{\log \varepsilon }}.}$

2

${\displaystyle D}$يمكن اعتبارها قوة عامل القياس لحجم الجسم بالنظر إلى بعض القياس لـ "نصف قطره".

فعلى سبيل المثال، ندفة ثلج كوخ${\displaystyle D=1.26185\ldots }$مما يشير إلى أن زيادة نصف قطره تزيد من قياسه بشكل أسرع مما لو كان شكلاً أحادي البعد (مثل المضلع)، ولكن بشكل أبطأ مما لو كان شكلاً ثنائي البعد (مثل المضلع المظلل). ^{[ 3 ]}

تجدر الإشارة إلى أن الصور المعروضة في هذه الصفحة ليست كسورًا حقيقية لأن التحجيم الموصوف بواسطة${\displaystyle D}$لا يمكنها الاستمرار بعد أصغر مكوناتها، وهي البكسل. ومع ذلك، فإن الأنماط النظرية التي تمثلها الصور لا تحتوي على أجزاء منفصلة تشبه البكسل، بل تتكون من عدد لا نهائي من المقاطع ذات الأحجام اللانهائية، ولها بالفعل الأبعاد الكسورية المزعومة. ^{[ 5 ] [ 24 ]}

كما هو الحال مع الأبعاد المحددة للخطوط والمربعات والمكعبات، فإن الأبعاد الكسورية هي مؤشرات عامة لا تُعرّف الأنماط بشكلٍ فريد. ^{[ 24 ] [ 25 ]} فعلى سبيل المثال، تُحدد قيمة D لكسورية كوخ المذكورة أعلاه مقياس النمط المتأصل، لكنها لا تصفه بشكلٍ فريد ولا تُوفر معلومات كافية لإعادة بنائه. يمكن إنشاء العديد من الهياكل أو الأنماط الكسورية التي لها نفس علاقة المقياس ولكنها تختلف اختلافًا كبيرًا عن منحنى كوخ، كما هو موضح في الشكل  6 .

للاطلاع على أمثلة حول كيفية إنشاء الأنماط الكسورية، انظر: Fractal ، مثلث سيربينسكي ، مجموعة ماندلبروت ، التجميع المحدود بالانتشار ، نظام L.

يُستخدم مفهوم الفراكتالية بشكل متزايد في مجال علم الأسطح ، مما يوفر جسراً بين خصائص السطح وخواصه الوظيفية. ^{[ 26 ]} تُستخدم العديد من مؤشرات وصف الأسطح لتفسير بنية الأسطح المستوية ظاهرياً، والتي غالباً ما تُظهر خصائص ذاتية التشابه عبر أطوال متعددة. يُعد متوسط ​​خشونة السطح ، والذي يُرمز إليه عادةً بـ RA _، أكثر مؤشرات وصف الأسطح شيوعاً، ومع ذلك، تُستخدم بانتظام العديد من المؤشرات الأخرى، بما في ذلك متوسط ​​الميل، وجذر متوسط ​​مربع الخشونة (R _RMS )، وغيرها. ومع ذلك، وُجد أن العديد من الظواهر الفيزيائية للأسطح لا يُمكن تفسيرها بسهولة بالرجوع إلى هذه المؤشرات، ولذلك يُستخدم البُعد الفراكتالي بشكل متزايد لإيجاد علاقات بين بنية السطح من حيث سلوك القياس والأداء. ^{[ 27 ]} استُخدمت الأبعاد الفراكتالية للأسطح لشرح وفهم الظواهر بشكل أفضل في مجالات ميكانيكا التلامس ، ^{[ 28 ]} وسلوك الاحتكاك ، ^{[ 29 ]} ومقاومة التلامس الكهربائي ^{، [ 30 ]} وأكاسيد الموصلات الشفافة . ^{[ 31 ]}

يُقدّم مفهوم البُعد الكسري الموصوف في هذه المقالة نظرةً أساسيةً على بنيةٍ معقدة. وقد اختيرت الأمثلة المذكورة هنا لتوضيح المفهوم، وكانت وحدة القياس والنسب معروفةً مسبقًا. مع ذلك، عمليًا، يُمكن تحديد الأبعاد الكسرية باستخدام تقنيات تُقارب القياس والتفاصيل من الحدود المُقدّرة من خطوط الانحدار على رسوم بيانية لوغاريتمية للحجم مقابل المقياس. ترد أدناه عدة تعريفات رياضية رسمية لأنواع مختلفة من الأبعاد الكسرية. على الرغم من أن جميع هذه الأبعاد تتطابق بالنسبة للمجموعات المدمجة ذات التشابه الذاتي الأفيني التام، إلا أنها ليست متكافئة بشكل عام.

• يتم تقدير بُعد عدّ المربعات كأس لقانون القوة :

  ${\displaystyle D_{0}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log {\frac {1}{\varepsilon }}}}.}$

• يأخذ بُعد المعلومات في الاعتبار كيفية تناسب متوسط ​​المعلومات اللازمة لتحديد صندوق مشغول مع حجم الصندوق (${\displaystyle p}$(احتمالية):

  ${\displaystyle D_{1}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {-\langle \log p_{\varepsilon }\rangle }{\log {\frac {1}{\varepsilon }}}}.}$

• يعتمد بُعد الارتباط على${\displaystyle M}$باعتباره عدد النقاط المستخدمة لإنشاء تمثيل للكسر الهندسي و g _ε ، عدد أزواج النقاط الأقرب من ε إلى بعضها البعض:

  ${\displaystyle D_{2}=\lim _{M\to \infty }\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log(g_{\varepsilon }/M^{2})}{\log \varepsilon }}.}$

• الأبعاد المعممة، أو أبعاد ريني: يمكن اعتبار أبعاد عد المربعات والمعلومات والترابط حالات خاصة من طيف متصل من الأبعاد المعممة من الرتبة α، والمحددة بواسطة

  ${\displaystyle D_{\alpha }=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {{\frac {1}{\alpha -1}}\log(\sum _{i}p_{i}^{\alpha })}{\log \varepsilon }}.}$

• بُعد هيغوتشي ^{[ 32 ]}

  ${\displaystyle D={\frac {d\log L(k)}{d\log k}}.}$

• بُعد ليابونوف
• الأبعاد متعددة الكسور : حالة خاصة من أبعاد ريني حيث يختلف سلوك القياس في أجزاء مختلفة من النمط.
• معامل عدم اليقين
• بُعد هاوسدورف : لأي مجموعة جزئية${\displaystyle S}$في فضاء متري${\displaystyle X}$و${\displaystyle d\geq 0}$يُعرَّف محتوى هاوسدورف ذو البعد d للمجموعة S بواسطة$${\displaystyle C_{H}^{d}(S):=\inf {\Bigl \{}\sum _{i}r_{i}^{d}:{\text{ يوجد غطاء لـ }}S{\text{ بواسطة كرات ذات أنصاف أقطار }}r_{i}>0{\Bigr \}}.}$$يُعرَّف بُعد هاوسدورف للمجموعة S بواسطة

  ${\displaystyle \dim _{\operatorname {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.}$

• أبعاد التعبئة
• بُعد أسود
• البعد المتصل المحلي ^{[ 33 ]}
• يصف بُعد الدرجة الطبيعة الكسورية لتوزيع درجات الرسوم البيانية. ^{[ 34 ]}
• البعد المكافئ لهاوسدورف

تُظهر العديد من الظواهر الواقعية خصائصَ فركتالية محدودة أو إحصائية، وأبعادًا فركتالية تم تقديرها من بيانات مُستقاة باستخدام تقنيات تحليل فركتالية حاسوبية . عمليًا، تتأثر قياسات البعد الفركتالي بقضايا منهجية متنوعة، وتتأثر بالضوضاء العددية أو التجريبية، فضلًا عن محدودية كمية البيانات. ومع ذلك، فإن هذا المجال ينمو بسرعة حيث أن الأبعاد الكسورية المقدرة للظواهر المتشابهة ذاتيًا إحصائيًا قد يكون لها العديد من التطبيقات العملية في مختلف المجالات، بما في ذلك علم الفلك، ^{[ 35 ]} علم الصوت، ^{[ 36 ] [ 37 ]} الهندسة المعمارية، ^{[ 38 ] [ 39 ] [ 40 ]} الجيولوجيا وعلوم الأرض، ^{[ 41 ]} التصوير التشخيصي، ^{[ 42 ] [ 43 ] [ 44 ]} علم البيئة، ^{[ 45 ]} العمليات الكهروكيميائية، ^{[ 46 ]} تحليل الصور، ^{[ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]} علم الأحياء والطب، ^{[ 51 ] [ 52 ] [ 53 ]} علم الأعصاب، ^{[ 54 ] [ 13 ]} تحليل الشبكات ، علم وظائف الأعضاء، ^{[ 12 ]} الفيزياء، ^{[ 55 ] [ 56 ]} وأصفار زيتا ريمان . ^{[ 57 ]} كما تبين أن تقديرات البعد الكسري ترتبط بتعقيد ليمبل-زيف في مجموعات بيانات واقعية من علم النفس الصوتي وعلم الأعصاب. ^{[ 54 ] [ 36 ]}

يُعدّ استخدام نموذج رياضي يُحاكي تكوين جسم كسري حقيقي بديلاً عن القياس المباشر. في هذه الحالة، يُمكن التحقق من صحة النموذج بمقارنة خصائص أخرى غير الكسرية التي يُشير إليها، مع البيانات المقاسة. في فيزياء الغرويات ، تنشأ أنظمة مُكوّنة من جسيمات ذات أبعاد كسرية مُختلفة. لوصف هذه الأنظمة، من المُلائم الحديث عن ^توزيع الأبعاد الكسرية، وربما تطورها الزمني: وهي عملية مدفوعة بتفاعل مُعقد بين التجميع والاندماج . [ ^{58 ]}

• قائمة الأشكال الكسورية حسب بُعد هاوسدورف
• الفجوات - مصطلح في الهندسة والتحليل الفركتلي 
• المشتقة الكسرية – تعميم المشتقة على الكسريات 

• ماندلبروت، بينوا ب .؛ هدسون، ريتشارد ل. (2010). سلوك الأسواق (المُضلل): نظرة كسورية للمخاطر والخراب والمكافأة . بروفايل بوكس. ISBN 978-1-84765-155-6.

• يقوم برنامج Benoit من TruSoft ، وهو برنامج لتحليل الفراكتلات، بحساب أبعاد الفراكتلات ومعاملات هيرست.
• تطبيق جافا صغير لحساب الأبعاد الكسورية، مؤرشف بتاريخ ٢٦ يناير ٢٠١١ في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).
• مقدمة في تحليل الفراكتلات
• باولي، روجر (2009). "البعد الكسري" . ستون رمزاً . برادي هاران لجامعة نوتنغهام .
• " عادةً لا تكون الأشكال الكسورية متشابهة ذاتيًا" . 3Blue1Brown .