موترات إجهاد بيولا-كيرشوف

في حالة التشوهات المحدودة ، تعبر موترات إجهاد بيولا-كيرشوف (نسبةً إلى غابريو بيولا وغوستاف كيرشوف ) عن الإجهاد بالنسبة إلى التكوين المرجعي. وهذا على عكس موتر إجهاد كوشي الذي يعبر عن الإجهاد بالنسبة إلى التكوين الحالي. أما بالنسبة للتشوهات والدورانات المتناهية الصغر، فإن موترات كوشي وبيولا-كيرشوف متطابقة. بينما موتر إجهاد كوشي${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$يربط هذا النموذج الإجهادات في التكوين الحالي، ويتم وصف تدرج التشوه وموترات الانفعال بربط الحركة بالتكوين المرجعي؛ وبالتالي، لا توجد جميع الموترات التي تصف حالة المادة في التكوين المرجعي أو الحالي. إن وصف الإجهاد والانفعال والتشوه إما في التكوين المرجعي أو الحالي من شأنه أن يُسهّل تعريف النماذج التكوينية (على سبيل المثال، يتغير موتر إجهاد كوشي مع الدوران المحض، بينما يكون موتر انفعال التشوه ثابتًا؛ مما يخلق مشاكل في تعريف نموذج تكويني يربط موترًا متغيرًا بموتر ثابت أثناء الدوران المحض؛ حيث أن النماذج التكوينية، بحكم تعريفها، يجب أن تكون ثابتة مع الدوران المحض). موتر إجهاد بيولا-كيرشوف الأول،${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$يُعد هذا أحد الحلول الممكنة لهذه المشكلة. فهو يُعرّف مجموعة من الموترات التي تصف تكوين الجسم إما في الحالة الحالية أو الحالة المرجعية.

أول موتر إجهاد بيولا-كيرشوف ،${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$، يربط القوى في التكوين الحالي ("المكاني") بالمناطق في التكوين المرجعي ("المادي").

${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}~{\boldsymbol {F}}^{-T}~}$

أين${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$هو تدرج التشوه و${\displaystyle J=\det {\boldsymbol {F}}}$هو المحدد اليعقوبي . بدلالة المركبات بالنسبة إلى أساس متعامد ، يُعطى إجهاد بيولا-كيرشوف الأول بالعلاقة التالية:

${\displaystyle P_{iL}=J~\sigma _{ik}~F_{Lk}^{-1}=J~\sigma _{ik}~{\cfrac {\partial X_{L}}{\partial x_{k}}}~\,\!}$

نظرًا لارتباطه بأنظمة إحداثيات مختلفة، يُعدّ إجهاد بيولا-كيرشوف الأول موترًا ثنائي النقاط . وهو غير متناظر عمومًا. يُمثّل إجهاد بيولا-كيرشوف الأول تعميمًا ثلاثي الأبعاد لمفهوم الإجهاد الهندسي أحادي البعد . إذا دارت المادة دون تغيير في حالة الإجهاد (دوران صلب)، فإنّ مركبات موتر إجهاد بيولا-كيرشوف الأول ستتغير بتغير اتجاه المادة. يرتبط إجهاد بيولا-كيرشوف الأول طاقيًا بتدرج التشوه، ويربط القوى في التكوين الحالي بالمساحات في التكوين المرجعي.

موتر الإجهاد الثاني لبيولا- كيرشوف ،${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$تربط هذه العلاقة القوى في التكوين المرجعي بالمساحات فيه. ويتم الحصول على القوة في التكوين المرجعي من خلال عملية ربط تحافظ على العلاقة النسبية بين اتجاه القوة والمتجه العمودي على المساحة في التكوين المرجعي.

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}~.}$

في تدوين المؤشر بالنسبة إلى أساس متعامد،

${\displaystyle S_{IL}=J~F_{Ik}^{-1}~F_{Lm}^{-1}~\sigma _{km}=J~{\cfrac {\partial X_{I}}{\partial x_{k}}}~{\cfrac {\partial X_{L}}{\partial x_{m}}}~\sigma _{km}\!\,\!}$

هذا الموتر، وهو موتر أحادي النقطة، متناظر. إذا دارت المادة دون تغيير في حالة الإجهاد (دوران صلب)، فإن مركبات موتر إجهاد بيولا-كيرشوف الثاني تظل ثابتة، بغض النظر عن اتجاه المادة. موتر إجهاد بيولا-كيرشوف الثاني هو المرافق الطاقي لموتر الانفعال المحدود لغرين-لاغرانج .

• J. Bonet and RW Wood, Nonlinear Continuum Mechanicals for Finite Element Analysis , Cambridge University Press.