التحليل البُعدي

على سبيل المثال، بُعد الكمية الفيزيائية للسرعة v هو $${\displaystyle \operatorname {dim} v={\frac {\text{length}}{\text{time}}}={\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {T}}^{-1}{\mathsf {L}}.}$$

بُعد الكمية الفيزيائية للتسارع a هو $${\displaystyle \operatorname {dim} a={\frac {\text{السرعة}}{\text{الزمن}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-1}{\mathsf {L}}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}.}$$

بُعد الكمية الفيزيائية للقوة F هو $${\displaystyle \operatorname {dim} F={\text{mass}}\times {\text{acceleration}}={\mathsf {M}}\times {\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}.}$$

بُعد الكمية الفيزيائية للضغط P هو $${\displaystyle \operatorname {dim} P={\frac {\text{force}}{\text{area}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}}{{\mathsf {L}}^{2}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}^{-1}{\mathsf {M}}.}$$

بُعد كمية الطاقة الفيزيائية E هو $${\displaystyle \operatorname {dim} E={\text{force}}\times {\text{displacement}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}\times {\mathsf {L}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}.}$$

بُعد الكمية الفيزيائية للقوة P هو $${\displaystyle \operatorname {dim} P={\frac {\text{الطاقة}}{\text{الزمن}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}.}$$

بُعد الكمية الفيزيائية للشحنة الكهربائية Q هو $${\displaystyle \operatorname {dim} Q={\text{current}}\times {\text{time}}={\mathsf {T}}{\mathsf {I}}.}$$

بُعد الكمية الفيزيائية للجهد V هو $${\displaystyle \operatorname {dim} V={\frac {\text{power}}{\text{current}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}}{\mathsf {I}}}={\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}{\mathsf {I}}^{-1}.}$$

بُعد الكمية الفيزيائية السعة C هو $${\displaystyle \operatorname {dim} C={\frac {\text{electric charge}}{\text{electric potential difference}}}={\frac {{\mathsf {T}}{\mathsf {I}}}{{\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}{\mathsf {I}}^{-1}}}={\mathsf {T^{4}}}{\mathsf {L^{-2}}}{\mathsf {M^{-1}}}{\mathsf {I^{2}}}.}$$

في التحليل البُعدي، تُعدّ طريقة رايلي أداةً مفاهيميةً تُستخدم في الفيزياء والكيمياء والهندسة . وهي تُعبّر عن علاقة دالية بين بعض المتغيرات في صورة معادلة أسية . وقد سُمّيت نسبةً إلى اللورد رايلي .

تتضمن هذه الطريقة الخطوات التالية:

1. اجمع كل المتغيرات المستقلة التي من المحتمل أن تؤثر على المتغير التابع .
2. إذا كان R متغيرًا يعتمد على المتغيرات المستقلة R ₁ ، R ₂ ، R ₃ ، ... ، R _n ، فيمكن كتابة المعادلة الوظيفية على النحو التالي R = F ( R ₁ ، R ₂ ، R ₃ ، ... ، R _n ) .
3. اكتب المعادلة أعلاه على شكل R = C R ₁ ^a R ₂ ^b R ₃ ^c ... R _n ^m ، حيث C ثابت بلا أبعاد و a ، b ، c ، ... ، m هي أسس اختيارية.
4. عبّر عن كل كمية من الكميات في المعادلة بوحدات أساسية معينة حيث يكون الحل مطلوباً.
5. باستخدام التجانس البُعدي ، احصل على مجموعة من المعادلات الآنية التي تتضمن الأسس a و b و c و ... و m .
6. قم بحل هذه المعادلات للحصول على قيم الأسس a و b و c و ... و m .
7. قم باستبدال قيم الأسس في المعادلة الرئيسية، وقم بتكوين المعلمات غير البعدية عن طريق تجميع المتغيرات ذات الأسس المتشابهة.

ومن عيوب طريقة رايلي أنها لا توفر أي معلومات تتعلق بعدد المجموعات عديمة الأبعاد التي يمكن الحصول عليها نتيجة للتحليل البُعدي.

النسب المئوية كميات بلا أبعاد، لأنها نسب بين كميتين لهما نفس الأبعاد. بعبارة أخرى،  يمكن قراءة علامة النسبة المئوية (%) على أنها "أجزاء من مئة"، لأن 1% = 1/100 .

يؤدي حساب المشتقة بالنسبة لكمية ما إلى قسمة البعد على بعد المتغير الذي يتم الاشتقاق بالنسبة له. وبالتالي:

• للموضع ( x ) البعد L (الطول)؛
• مشتق الموضع بالنسبة للزمن ( dx / dt ، السرعة ) له بُعد T ⁻¹ L - الطول من الموضع، والزمن الناتج عن المشتق؛
• المشتقة الثانية ( d2x / dt2 = d ( dx ^/ dt ) / dt ^، التسارع ) لها بُعد T ^−2L .

وبالمثل، فإن إجراء التكامل يضيف بُعد المتغير الذي يتم التكامل بالنسبة إليه، ولكن في البسط.

• القوة لها البعد T ⁻² L M (الكتلة مضروبة في التسارع)؛
• تكامل القوة بالنسبة للمسافة ( s ) التي قطعها الجسم ( ⁠${\displaystyle \textstyle \int F\ ds}$⁠ ، العمل ) له بُعد T ⁻² L ² M .

في علم الاقتصاد، يميز المرء بين المخزونات والتدفقات : المخزون له وحدة (على سبيل المثال، الأدوات أو الدولارات)، بينما التدفق هو مشتق من المخزون، وله وحدة على شكل هذه الوحدة مقسومة على الزمن (على سبيل المثال، دولارات/سنة).

في بعض السياقات، تُعبّر الكميات ذات الأبعاد عن نفسها ككميات أو نسب مئوية لا بُعدية بحذف بعض الأبعاد. على سبيل المثال، تُعبّر نسب الدين إلى الناتج المحلي الإجمالي عمومًا كنسب مئوية: إجمالي الدين القائم (بُعد العملة) مقسومًا على الناتج المحلي الإجمالي السنوي (بُعد العملة) - ولكن يمكن القول إنه عند مقارنة رصيد بتدفق، يجب أن يكون للناتج المحلي الإجمالي السنوي أبعاد العملة/الزمن (دولار/سنة، على سبيل المثال)، وبالتالي يجب أن تكون وحدة الدين إلى الناتج المحلي الإجمالي هي السنة، مما يشير إلى أن نسبة الدين إلى الناتج المحلي الإجمالي هي عدد السنوات اللازمة لسداد الدين مع ثبات الناتج المحلي الإجمالي، إذا تم إنفاق كل الناتج المحلي الإجمالي على الدين وبقي الدين دون تغيير.

يُعدّ حساب حجم كرة ذات n بُعد (الكرة الصلبة في n بُعدًا)، أو مساحة سطحها ( الكرة ذات n بُعدًا )، تطبيقًا بسيطًا لتحليل الأبعاد في الرياضيات ^. وبما أن الشكل ذو n بُعد، فإن حجمه يتناسب طرديًا مع xⁿ ^، بينما تتناسب مساحة سطحه، كونه ذا ( n -1) بُعدًا، طرديًا مع xⁿ⁻¹ . وبالتالي، فإن حجم الكرة ذات n ^بُعدًا _بدلالة نصف قطرها هو Cₙrₙ ^، حيث Cₙ ثابت. يتطلب تحديد هذا الثابت رياضيات أكثر تعقيدًا، ولكن _يمكن استنتاج الصيغة والتحقق منها باستخدام تحليل الأبعاد وحده.

في مجالات التمويل والاقتصاد والمحاسبة، يُشار إلى التحليل البُعدي عادةً من حيث التمييز بين المخزونات والتدفقات . وبشكل أعم، يُستخدم التحليل البُعدي في تفسير مختلف النسب المالية والاقتصادية والمحاسبية.

• على سبيل المثال، نسبة السعر إلى الأرباح لها أبعاد زمنية (الوحدة: سنة)، ويمكن تفسيرها على أنها "سنوات الأرباح لكسب السعر المدفوع".
• في علم الاقتصاد، نسبة الدين إلى الناتج المحلي الإجمالي لها أيضًا وحدة السنة (الدين له وحدة عملة، والناتج المحلي الإجمالي له وحدة عملة/سنة).
• سرعة تداول النقود لها وحدة 1/سنوات (الناتج المحلي الإجمالي/عرض النقود له وحدة عملة/سنة على العملة): عدد مرات تداول وحدة العملة في السنة.
• غالبًا ما تُعبّر معدلات الفائدة السنوية المركبة باستمرار ومعدلات الفائدة البسيطة عن نفسها كنسبة مئوية (كمية غير بُعدية)، بينما يُعبّر عن الزمن ككمية غير بُعدية تتكون من عدد السنوات. مع ذلك، إذا كان الزمن يتضمن السنة كوحدة قياس، فإن بُعد المعدل هو 1/سنة. بالطبع، لا يوجد ما يميز استخدام السنة كوحدة زمنية (بصرف النظر عن الاصطلاح المعتاد): إذ يمكن استخدام أي وحدة زمنية أخرى. علاوة على ذلك، إذا كان كل من المعدل والزمن يتضمنان وحدات قياسهما، فإن استخدام وحدات مختلفة لكل منهما لا يُشكل إشكالًا. في المقابل، يجب أن يشير كل من المعدل والزمن إلى فترة زمنية مشتركة إذا كانا غير بُعديين. (تجدر الإشارة إلى أن معدلات الفائدة الفعلية لا يمكن تعريفها إلا ككميات غير بُعدية).
• في التحليل المالي، يُمكن تعريف مدة السند بأنها ( dV / dr ) / V ، حيث V هي قيمة السند (أو المحفظة)، و r هو معدل الفائدة المركب باستمرار، و dV / dr هو مشتق. وبناءً على ما سبق، فإن بُعد r هو 1/الزمن. وبالتالي، فإن بُعد المدة هو الزمن (عادةً ما يُعبّر عنه بالسنوات) لأن dr موجود في "مقام" المشتق.

في ميكانيكا الموائع ، يُجرى التحليل البُعدي للحصول على مُعاملات أو مجموعات باي عديمة الأبعاد. وفقًا لمبادئ التحليل البُعدي، يُمكن وصف أي نموذج أولي بسلسلة من هذه المُعاملات أو المجموعات التي تصف سلوك النظام. باستخدام مُعاملات أو مجموعات باي المُناسبة، يُمكن تطوير مجموعة مُماثلة من مُعاملات باي لنموذج له نفس العلاقات البُعدية. ^{[ 9 ]} بعبارة أخرى، تُوفر مُعاملات باي طريقة مُختصرة لتطوير نموذج يُمثل نموذجًا أوليًا مُعينًا. تشمل المجموعات عديمة الأبعاد الشائعة في ميكانيكا الموائع ما يلي:

• رقم رينولدز ( Re )، وهو مهم بشكل عام في جميع أنواع مشاكل السوائل:$${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho \,ud}{\mu }}.}$$
• رقم فرود ( Fr )، نمذجة التدفق مع سطح حر:$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {g\,L}}}.}$$
• عدد أويلر ( Eu )، المستخدم في المسائل التي يكون فيها الضغط ذا أهمية:$${\displaystyle \mathrm {Eu} ={\frac {\Delta p}{\rho u^{2}}}.}$$
• رقم ماخ ( Ma )، وهو مهم في التدفقات عالية السرعة حيث تقترب السرعة من سرعة الصوت المحلية أو تتجاوزها:$${\displaystyle \mathrm {Ma} ={\frac {u}{c}},}$$حيث c هي سرعة الصوت المحلية.

ما هو زمن التذبذب T لكتلة m متصلة بنابض خطي مثالي ثابت مرونته k، معلقة في جاذبية مقدارها g ؟ يمثل هذا الزمن حلاً لمعادلة لا بُعدية بدلالة T ، m ، k ، و g . للكميات الأربع الأبعاد التالية: T (T)، m (M)، k (M/T² )، و g (L/T² ^{) . ومن هذه الأبعاد ،} يمكننا تكوين حاصل ضرب لا بُعدي واحد لقوى المتغيرات المختارة، G₁ = _T²k / m (حيث T² ^· M/T² ^/ M = 1) ، وبوضع G₁ = C ، حيث C ثابت لا بُعدي، _نحصل على المعادلة اللا بُعدية المطلوبة. يُشار أحيانًا إلى حاصل الضرب اللا بُعدي لقوى المتغيرات باسم مجموعة لا بُعدية من المتغيرات؛ حيث يُقصد بكلمة "مجموعة" هنا "تجميعًا" وليس " مجموعة رياضية". كما تُسمى هذه المجموعات غالبًا بالأعداد اللا بُعدية .

لا يظهر المتغير g في المجموعة. من السهل ملاحظة أنه من المستحيل تكوين حاصل ضرب قوى عديم الأبعاد يجمع g مع k و m و T ، لأن g هي الكمية الوحيدة التي تتضمن البعد L. هذا يعني أن g غير ذي صلة في هذه المسألة. قد يُسفر التحليل البُعدي أحيانًا عن استنتاجات قوية حول عدم أهمية بعض الكميات في مسألة ما، أو الحاجة إلى معلمات إضافية. إذا اخترنا عددًا كافيًا من المتغيرات لوصف المسألة وصفًا دقيقًا، فيمكننا من هذه الحجة أن نستنتج أن دورة الكتلة على الزنبرك مستقلة عن g : فهي نفسها على الأرض أو القمر. يمكن كتابة المعادلة التي تُثبت وجود حاصل ضرب قوى لمسألتنا بطريقة مكافئة تمامًا :${\displaystyle T=\kappa {\sqrt {\tfrac {m}{k}}}}$، بالنسبة لثابت عديم الأبعاد κ (يساوي${\displaystyle {\sqrt {C}}}$(من المعادلة الأصلية عديمة الأبعاد).

عند مواجهة حالة يرفض فيها التحليل البُعدي متغيرًا ( g هنا) يُتوقع بديهيًا أن يكون جزءًا من الوصف الفيزيائي للموقف، ثمة احتمال آخر هو أن يكون المتغير المرفوض ذا صلة بالفعل، ولكن تم إغفال متغير آخر ذي صلة، والذي قد يتحد مع المتغير المرفوض لتكوين كمية لا بُعدية. إلا أن هذا ليس هو الحال هنا.

عندما ينتج عن التحليل البُعدي مجموعة واحدة فقط بدون أبعاد، كما هو الحال هنا، فلا توجد دوال غير معروفة، ويقال إن الحل "كامل" - على الرغم من أنه قد لا يزال يتضمن ثوابت غير معروفة بدون أبعاد، مثل κ .

لنفترض سلكًا مهتزًا طوله ℓ (L) بسعة اهتزاز A ( L). يتميز السلك بكثافة خطية ρ (M/L) ويخضع لشد مقداره s (LM/T² ⁾ ، ونريد معرفة الطاقة E (L² ^/ M/T² ⁾ فيه. لنفترض أن π₁ و π₂ هما حاصل ضرب قوى متغيرات مختارة، بدون أبعاد، معطى بالعلاقة _{التالية :}

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}&={\frac {E}{As}}\\\pi _{2}&={\frac {\ell }{A}}.\end{aligned}}}$

لا تُؤخذ الكثافة الخطية للسلك في الاعتبار. يمكن دمج المجموعتين اللتين تم التوصل إليهما في صيغة مكافئة كمعادلة.

${\displaystyle F\left({\frac {E}{As}},{\frac {\ell }{A}}\right)=0,}$

حيث F دالة غير معروفة، أو بصورة مكافئة كما يلي:

${\displaystyle E=Asf\left({\frac {\ell }{A}}\right),}$

حيث f دالة أخرى مجهولة. تشير الدالة المجهولة هنا إلى أن حلنا غير مكتمل، لكن التحليل البُعدي كشف لنا أمرًا ربما لم يكن واضحًا: الطاقة تتناسب طرديًا مع القوة الأولى للتوتر. في غياب المزيد من التحليل، يمكننا اللجوء إلى التجارب لاكتشاف صيغة الدالة المجهولة f . لكن تجاربنا أبسط مما هي عليه في غياب التحليل البُعدي. لن نجري أي تجارب للتحقق من أن الطاقة تتناسب طرديًا مع التوتر. أو ربما نخمن أن الطاقة تتناسب طرديًا مع ℓ ، ومن ثم نستنتج أن E = ℓs . تتضح هنا أهمية التحليل البُعدي كأداة مساعدة في التجارب وصياغة الفرضيات.  

تتجلى قوة التحليل البُعدي بوضوح عند تطبيقه على حالات أكثر تعقيدًا، على عكس الحالات المذكورة سابقًا، حيث تكون مجموعة المتغيرات غير واضحة، والمعادلات الأساسية بالغة التعقيد. لنأخذ على سبيل المثال حصاة صغيرة مستقرة في قاع نهر. إذا كان جريان النهر سريعًا بما يكفي، فسيرفع الحصاة ويجعلها تنجرف مع الماء. ما هي السرعة الحرجة التي يحدث عندها هذا؟ ليس من السهل تحديد المتغيرات المُفترضة كما في السابق. لكن التحليل البُعدي يُعد أداةً فعّالة لفهم مسائل كهذه، وعادةً ما يكون أول أداة تُستخدم في المسائل المعقدة التي تكون فيها المعادلات والقيود الأساسية غير مفهومة جيدًا. في مثل هذه الحالات، قد يعتمد الحل على رقم لا بُعدي، مثل رقم رينولدز ، والذي يمكن تفسيره باستخدام التحليل البُعدي.

لنفترض قرصًا دوارًا رقيقًا وصلبًا ومتوازي الأضلاع، بسماكة محورية t (L) ونصف قطر R (L). يتميز القرص بكثافة ρ (M/L³ ⁾ ، ويدور بسرعة زاوية ω (T⁻¹ ⁾ ، مما يؤدي إلى إجهاد S (T⁻²L⁻¹M ^{) في المادة. يوجد} حل نظري مرن خطي، قدمه لاميه، لهذه المسألة عندما يكون القرص رقيقًا نسبيًا لنصف قطره، وتكون أسطح القرص حرة الحركة محوريًا، ويمكن افتراض صحة العلاقات التكوينية للإجهاد المستوي. عندما يصبح القرص أكثر سمكًا نسبيًا لنصف قطره، ينهار حل الإجهاد المستوي. إذا كان القرص مقيدًا محوريًا على أسطحه الحرة، فسيحدث انفعال مستوي. مع ذلك، إذا لم يكن الأمر كذلك، فلا يمكن تحديد حالة الإجهاد إلا من خلال دراسة المرونة ثلاثية الأبعاد، ولا يوجد حل نظري معروف لهذه الحالة. لذا، قد يهتم المهندس بإيجاد علاقة بين المتغيرات الخمسة. ويؤدي التحليل البُعدي في هذه الحالة إلى المجموعات غير البُعدية التالية ( 5 - 3 = 2 ):

الطلب / السعة = ρR²ω² ^{/ S}

نسبة السُمك إلى نصف القطر أو نسبة الأبعاد = t / R

باستخدام التجارب العددية، كطريقة العناصر المحدودة على سبيل المثال ، يمكن تحديد طبيعة العلاقة بين المجموعتين غير البعديتين كما هو موضح في الشكل. ولأن هذه المسألة لا تتضمن سوى مجموعتين غير بعديتين، فإن الصورة الكاملة تُعرض في رسم بياني واحد، ويمكن استخدامه كمخطط تصميم/تقييم للأقراص الدوارة. ^{[ 22 ]}

الأبعاد التي يمكن تكوينها من مجموعة معينة من الأبعاد الفيزيائية الأساسية، مثل T وL وM، تُشكل ^زمرة تبديلية : العنصر المحايد هو 1؛ L₀ = 1 ، ومعكوس L هو 1/L أو L⁻¹ ^. L مرفوعًا لأي قوة صحيحة p هو عنصر من عناصر الزمرة، ومعكوسه هو L⁻ⁿ ^أو 1/Lⁿ ^. عملية الزمرة هي الضرب، وتخضع للقواعد المعتادة للتعامل مع الأسس ( Lⁿ ^× L⁼ = Lⁿ ^{+ m )} . فيزيائيًا، يمكن تفسير 1/L على أنه ^{مقلوب الطول} ، و1/T على أنه مقلوب الزمن (انظر مقلوب الثانية ).

الزمرة الأبيلية مكافئة لوحدة على الأعداد الصحيحة، حيث يرمز للوحدة البُعدية T ⁱ L ^j M ^k بالزوج ( i , j , k ) . عند ضرب أو قسمة كميات فيزيائية مقاسة (سواء كانت متماثلة الأبعاد أو مختلفة الأبعاد) على بعضها البعض، تُضرب أو تُقسم وحداتها البُعدية بالمثل؛ وهذا يُقابل الجمع أو الطرح في الوحدة. عند رفع كميات قابلة للقياس إلى قوة عددية صحيحة، يُفعل الشيء نفسه مع الرموز البُعدية المرتبطة بتلك الكميات؛ وهذا يُقابل الضرب القياسي في الوحدة.

يُطلق على أساس وحدة الرموز البُعدية هذه اسم مجموعة الكميات الأساسية ، وتُسمى جميع المتجهات الأخرى بالوحدات المشتقة. وكما هو الحال في أي وحدة، يمكن اختيار أسس مختلفة ، مما ينتج عنه أنظمة وحدات مختلفة (على سبيل المثال، اختيار ما إذا كانت وحدة الشحنة مشتقة من وحدة التيار، أو العكس).

هوية المجموعة، بُعد الكميات عديمة الأبعاد، تتوافق مع الأصل في هذه الوحدة، (0، 0، 0) .

في بعض الحالات، يمكن تعريف الأبعاد الكسرية، وتحديدًا من خلال التعريف الرسمي للقوى الكسرية للفضاءات المتجهة أحادية البعد، مثل V ^{L 1/2} . ^{[ 23 ]} ومع ذلك، لا يمكن أخذ قوى كسرية عشوائية للوحدات، بسبب عوائق نظرية التمثيل . ^{[ 24 ]}

يمكن التعامل مع الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المعطاة دون الحاجة إلى استخدام وحدات (تتوافق مع أنظمة إحداثيات الفضاءات المتجهة). على سبيل المثال، إذا كانت الأبعاد M و L معطاة ، فإن الفضاءين المتجهين هما V M و V L  ، ويمكن تعريف V ML  := V M  ⊗ V L على أنه حاصل الضرب الموتري . وبالمثل، يمكن تفسير الفضاء الثنائي على أنه ذو أبعاد "سالبة". [ 25 ] وهذا يتوافق مع حقيقة أنه في ظل الاقتران الطبيعي بين الفضاء المتجه وفضاءه الثنائي، تُحذف الأبعاد، تاركةً كمية قياسية عديمة الأبعاد .

تُقابل مجموعة وحدات الكميات الفيزيائية الداخلة في مسألة ما مجموعة من المتجهات (أو مصفوفة). يصف الفراغ عددًا من الطرق (مثلًا، m ) التي يمكن من خلالها دمج هذه المتجهات لإنتاج متجه صفري. تُقابل هذه الطرق إنتاج عدد من الكميات عديمة الأبعاد، {π₁ _, ..., πₘ _} ، انطلاقًا من القياسات . (في الواقع، تُغطي هذه الطرق بالكامل الفضاء الجزئي الصفري لفضاء آخر مختلف، وهو فضاء قوى القياسات). يمكن التعبير عن كل طريقة ممكنة لضرب (ورفع ) الكميات المقاسة معًا لإنتاج شيء له نفس وحدة كمية مشتقة X بالصيغة العامة.

${\displaystyle X=\prod _{i=1}^{m}(\pi _{i})^{k_{i}}\,.}$

وبالتالي، يمكن إعادة كتابة كل معادلة متناسبة ممكنة لفيزياء النظام بالشكل التالي:

${\displaystyle f(\pi _{1},\pi _{2},...,\pi _{m})=0\,.}$

إن معرفة هذا القيد يمكن أن تكون أداة قوية للحصول على رؤى جديدة حول النظام.

يمكن التعبير عن أبعاد الكميات الفيزيائية ذات الأهمية في الميكانيكا بدلالة الأبعاد الأساسية T و L و M، والتي تُشكل فضاءً متجهيًا ثلاثي الأبعاد. هذا ليس الخيار الوحيد الصحيح للأبعاد الأساسية، ولكنه الأكثر شيوعًا. على سبيل المثال، يمكن اختيار القوة والطول والكتلة كأبعاد أساسية (كما فعل البعض)، مع الأبعاد المرتبطة بها F و L و M؛ وهذا يُقابل أساسًا مختلفًا، ويمكن التحويل بين هذه التمثيلات بتغيير الأساس . لذا، يُعد اختيار مجموعة الأبعاد الأساسية اصطلاحًا، لما يوفره من فائدة وسهولة في الاستخدام. ولا يُعتبر اختيار الأبعاد الأساسية عشوائيًا تمامًا، إذ يجب أن تُشكل أساسًا : أي يجب أن تُغطي الفضاء، وأن تكون مستقلة خطيًا .

على سبيل المثال، تشكل F و L و M مجموعة من الأبعاد الأساسية لأنها تشكل أساسًا مكافئًا لـ T و L و M: يمكن التعبير عن الأول على أنه [F = LM/T ² ]، L، M، بينما يمكن التعبير عن الأخير على أنه [T = (LM/F) ^1/2 ]، L، M.

من ناحية أخرى، لا يشكل الطول والسرعة والزمن (T، L، V) مجموعة من الأبعاد الأساسية للميكانيكا، وذلك لسببين:

• لا توجد طريقة للحصول على الكتلة - أو أي شيء مشتق منها، مثل القوة - دون إدخال بُعد أساسي آخر (وبالتالي، فإنها لا تمتد عبر الفضاء ).
• السرعة، كونها قابلة للتعبير عنها من حيث الطول والزمن ( V = L/T )، هي زائدة عن الحاجة (المجموعة ليست مستقلة خطيًا ).

بحسب مجال الفيزياء، قد يكون من المفيد اختيار مجموعة موسعة من الرموز البُعدية. ففي الكهرومغناطيسية، على سبيل المثال، قد يكون من المفيد استخدام أبعاد T وL وM وQ، حيث يُمثل Q بُعد الشحنة الكهربائية . وفي الديناميكا الحرارية ، غالبًا ما تُوسّع المجموعة الأساسية من الأبعاد لتشمل بُعد درجة الحرارة، Θ. أما في الكيمياء، فكمية المادة (عدد الجزيئات مقسومًا على ثابت أفوجادرو ، ≈يُعرَّف (6.02 × 10²³ ^مول⁻¹  ) أيضًا كبعد أساسي، N. في تفاعل ^{البلازما} النسبية مع نبضات الليزر القوية، يُنشأ مُعامل تشابه نسبي عديم الأبعاد ، مرتبط بخصائص التناظر لمعادلة فلاسوف عديمة التصادم، من كثافات البلازما والإلكترونات والحالة الحرجة، بالإضافة إلى الكمون الشعاعي الكهرومغناطيسي. يُعد اختيار الأبعاد، أو حتى عددها، المستخدمة في مختلف مجالات الفيزياء أمرًا اعتباطيًا إلى حد ما، لكن الاتساق في الاستخدام وسهولة التواصل من السمات الشائعة والضرورية.

تُقيّد نظرية بريدجمان نوع الدالة التي يمكن استخدامها لتعريف كمية فيزيائية، من الكميات العامة (المركبة بُعديًا) إلى حاصل ضرب قوى هذه الكميات فقط، إلا إذا جُمعت بعض الكميات المستقلة جبريًا لتكوين مجموعات لا بُعدية، تُجمع دوالها معًا في عامل ضرب عددي لا بُعدي. ^{[ 26 ] [ 27 ]} ويستثني هذا كثيرات الحدود التي تحتوي على أكثر من حد واحد أو الدوال المتسامية التي لا تتبع هذا الشكل.

يجب أن تكون الوسائط العددية للدوال المتسامية ، مثل الدوال الأسية والمثلثية واللوغاريتمية ، أو لكثيرات الحدود غير المتجانسة ، كمياتٍ لا بُعدية . (ملاحظة: يُخفف هذا الشرط نوعًا ما في تحليل سيانو التوجيهي الموصوف أدناه، حيث يكون مربع بعض الكميات ذات الأبعاد لا بُعدي).

بينما تُترجم معظم المتطابقات الرياضية المتعلقة بالأعداد عديمة الأبعاد بسهولة إلى الكميات ذات الأبعاد، يجب توخي الحذر عند التعامل مع لوغاريتمات النسب: فالمتطابقة log( a / b ) = log a − log b ، حيث يُؤخذ اللوغاريتم بأي أساس، صحيحة للأعداد عديمة الأبعاد a و b ، لكنها لا تصح إذا كانت a و b ذات أبعاد، لأنه في هذه الحالة يكون الطرف الأيسر مُعرَّفًا جيدًا بينما يكون الطرف الأيمن غير مُعرَّف. ^{[ 28 ]}

وبالمثل، في حين أنه يمكن تقييم أحاديات الحدود ( x ⁿ ) للكميات ذات الأبعاد، لا يمكن تقييم كثيرات الحدود ذات الدرجة المختلطة بمعاملات لا أبعاد لها على الكميات ذات الأبعاد: بالنسبة لـ x ² ، فإن التعبير (3 m) ² = 9 m ² له معنى (كمساحة)، بينما بالنسبة لـ x ² + x ، فإن التعبير (3 m) ² + 3 m = 9 m ² + 3 m ليس له معنى.

مع ذلك، يمكن أن تكون كثيرات الحدود ذات الدرجات المختلطة منطقية إذا كانت المعاملات عبارة عن كميات فيزيائية مختارة بشكل مناسب وليست بلا أبعاد. على سبيل المثال،

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {-9.8~m/s^{2}} )\cdot t^{2}+(\mathrm {500~m/s} )\cdot t.}$

هذا هو الارتفاع الذي يصل إليه جسم ما خلال الزمن t إذا كان تسارع الجاذبية الأرضية 9.8 متر في الثانية المربعة وسرعة الصعود الابتدائية 500 متر في الثانية . ليس من الضروري أن يكون t بالثواني . على سبيل المثال، لنفترض أن t = 0.01 دقيقة. عندها سيكون الحد الأول هو    

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {-9.8~m/s^{2}} )\cdot (\mathrm {0.01~min} )^{2}\\[10pt]={}&{\tfrac {1}{2}}\cdot -9.8\cdot \left(0.01^{2}\right)(\mathrm {min/s} )^{2}\cdot \mathrm {m} \\[10pt]={}&{\tfrac {1}{2}}\cdot -9.8\cdot \left(0.01^{2}\right)\cdot 60^{2}\cdot \mathrm {m} .\end{aligned}}}$

تُكتب قيمة الكمية الفيزيائية ذات الأبعاد Z على أنها حاصل ضرب وحدة [ Z ] ضمن البعد وقيمة عددية عديمة الأبعاد أو عامل عددي n . ^{[ 29 ]}

${\displaystyle Z=n\times [Z]=n[Z]}$

عند جمع أو طرح أو مقارنة كميات متماثلة الأبعاد، يُفضّل التعبير عنها بنفس الوحدة ليسهل جمع أو طرح قيمها العددية مباشرةً. ولكن من حيث المبدأ، لا توجد مشكلة في جمع كميات من نفس البُعد مُعبّر عنها بوحدات مختلفة. على سبيل المثال، متر واحد مُضافًا إليه قدم واحد يُشكّل طولًا، ولكن لا يُمكن استنتاج هذا الطول بمجرد جمع 1 و1. لذا، نحتاج إلى عامل تحويل ، وهو نسبة بين كميات متماثلة الأبعاد، ويساوي الوحدة (القيمة اللابُعدية).

${\displaystyle \mathrm {1\,ft} =\mathrm {0.3048\,m} }$هو نفسه${\displaystyle 1={\frac {\mathrm {0.3048\,m} }{\mathrm {1\,ft} }}.}$

العامل 0.3048  متر/قدم مطابق للعدد 1 عديم الأبعاد، لذا فإن الضرب بهذا العامل لا يُغير شيئًا. عند جمع كميتين لهما نفس البعد، ولكن بوحدات مختلفة، يُستخدم عامل التحويل المناسب، وهو في الأساس العدد 1 عديم الأبعاد، لتحويل الكميتين إلى نفس الوحدة، بحيث يمكن جمع أو طرح قيمهما العددية.

بهذه الطريقة فقط يكون من المنطقي الحديث عن جمع كميات متماثلة الأبعاد بوحدات مختلفة.

معادلة الكمية ، والتي تسمى أحيانًا بالمعادلة الكاملة ، هي معادلة تظل صالحة بغض النظر عن وحدة القياس المستخدمة عند التعبير عن الكميات الفيزيائية . ^{[ 30 ]}

في المقابل، في معادلة القيم العددية ، تظهر القيم العددية للكميات فقط، دون وحدات. لذا، فهي صالحة فقط عندما تُنسب كل قيمة عددية إلى وحدة محددة.

على سبيل المثال، ستكون معادلة كمية الإزاحة d كسرعة s مضروبة في فرق الزمن t كما يلي:

د = ق ت

عندما تكون قيمة s تساوي 5  م/ث، يمكن التعبير عن t و d بأي وحدات، مع تحويلها عند الضرورة. في المقابل، ستكون المعادلة العددية المقابلة كما يلي:

D = 5 T

حيث T هي القيمة العددية لـ t عند التعبير عنها بالثواني و D هي القيمة العددية لـ d عند التعبير عنها بالأمتار.

بشكل عام، يُنصح بتجنب استخدام المعادلات ذات القيم العددية. ^{[ 30 ]}

الثوابت عديمة الأبعاد التي تظهر في النتائج المُتحصَّل عليها، مثل C في مسألة قانون بوازوي و κ في مسائل الزنبرك المذكورة أعلاه، تنتج عن تحليل أكثر تفصيلًا للفيزياء الأساسية، وغالبًا ما تنشأ من تكامل معادلة تفاضلية. لا يُقدِّم التحليل البُعدي نفسه الكثير من المعلومات حول هذه الثوابت، ولكن من المفيد معرفة أن قيمتها غالبًا ما تكون من رتبة الواحد. تُتيح هذه الملاحظة أحيانًا إجراء حسابات تقريبية سريعة حول الظاهرة محل الاهتمام، وبالتالي تصميم تجارب أكثر كفاءة لقياسها، أو لتقييم أهميتها، وما إلى ذلك.

على نحوٍ مُثيرٍ للدهشة، يُمكن أن يكون التحليل البُعدي أداةً مُفيدةً حتى لو كانت جميع مُعاملات النظرية الأساسية عديمة الأبعاد، فعلى سبيل المثال، يُمكن استخدام نماذج الشبكة، مثل نموذج إيزينغ، لدراسة التحولات الطورية والظواهر الحرجة. يُمكن صياغة هذه النماذج بطريقةٍ عديمة الأبعاد تمامًا. كلما اقتربنا من النقطة الحرجة، تزداد المسافة التي ترتبط فيها المُتغيرات في نموذج الشبكة (ما يُسمى بطول الارتباط، χ ). يُعد طول الارتباط مقياس الطول المُناسب للظواهر الحرجة، لذا يُمكن، على سبيل المثال، التكهن، استنادًا إلى "الأسس البُعدية"، بأن الجزء غير التحليلي من الطاقة الحرة لكل موقع في الشبكة يجب أن يكون ~ 1/ χd ^، حيث d هو بُعد الشبكة.

جادل بعض الفيزيائيين، مثل مايكل ج. داف [ ^{5 ] [ 31 ]، بأن} قوانين الفيزياء بطبيعتها عديمة الأبعاد. ووفقًا لهذا الرأي، فإن تخصيص أبعاد غير متوافقة للطول والزمن والكتلة هو مجرد اصطلاح، نابع من حقيقة أنه قبل ظهور الفيزياء الحديثة، لم تكن هناك طريقة لربط الكتلة والطول والزمن ببعضها. وعليه، يجب النظر إلى الثوابت الثلاثة المستقلة ذات الأبعاد: c و ħ و G ، في المعادلات الأساسية للفيزياء، على أنها مجرد عوامل تحويل لتحويل الكتلة والزمن والطول إلى بعضها البعض.

كما هو الحال مع الخصائص الحرجة لنماذج الشبكة، يمكن استعادة نتائج التحليل البُعدي في حد القياس المناسب؛ على سبيل المثال، يمكن اشتقاق التحليل البُعدي في الميكانيكا بإعادة إدخال الثوابت ħ و c و G (مع اعتبارها الآن عديمة الأبعاد) واشتراط وجود علاقة غير شاذة بين الكميات في حالة c → ∞ و ħ → 0 و G → 0. في المسائل التي تتضمن مجال جاذبية، يجب اختيار الحد الأخير بحيث يبقى المجال محدودًا.

تصف بعض مناقشات التحليل البُعدي جميع الكميات ضمنيًا بأنها متجهات رياضية، لكن هذا ليس صحيحًا. غالبًا ما تُستخدم الأرقام لتمثيل أشياء ليست عناصر في فضاءات متجهة، ولا ينبغي تطبيق التحليل البُعدي على هذه الأشياء. في الفيزياء، الكميات القياسية هي كميات موجبة مثل الوزن أو المسافة، ولها مقدار فقط دون اتجاه (مع أن العديد من المؤلفين يسمحون بشكل فضفاض بأن تكون الكميات القياسية سالبة)، ويمكن جمع المتجهات أو طرحها من متجهات أخرى، وضربها أو قسمتها على الكميات القياسية، من بين أمور أخرى. إذا استُخدم متجه لتحديد موقع، فهذا يفترض وجود نقطة مرجعية ضمنية: نقطة أصل . مع أن هذا مفيد وكافٍ في كثير من الأحيان، إذ يسمح باكتشاف العديد من الأخطاء المهمة، إلا أنه قد يفشل في نمذجة جوانب معينة من الفيزياء. يتطلب اتباع نهج أكثر دقة التمييز بين الموقع والإزاحة، والتاريخ والمدة، والاتجاه والزاوية، ودرجة الحرارة المطلقة وتغير درجة الحرارة.

لنفترض وجود نقاط على خط زمني، لكل منها تاريخ بالنسبة إلى نقطة بداية معينة، وفترات زمنية بينها. تمثل التواريخ نفسها تسميات للنقاط، بينما تمثل الفترات الزمنية بين النقاط بُعدًا زمنيًا.

• إضافة فترتين زمنيتين يجب أن ينتج عنها فترة زمنية جديدة (الانتظار لمدة عشرة أيام ثم عشرين يومًا يمنحك ثلاثين يومًا للأمام).
• إضافة مدة زمنية إلى تاريخ ما يجب أن ينتج عنها تاريخ جديد (الانتظار لمدة شهر واحد من 1 مارس 1900 سينقلك إلى 1 أبريل).
• طرح تاريخين يجب أن ينتج عنه مدة زمنية.
• لكن لا يجوز إضافة تاريخين (إضافة الأول من مارس إلى الأول من أبريل لا معنى له).

يوضح هذا التمييز الدقيق بين القيم الأفينية (عناصر الفضاء الأفيني ، مثل التاريخ) والقيم المتجهة (عناصر الفضاء المتجه ، مثل المدة).

• يمكن جمع المتجهات مع بعضها البعض، مما ينتج عنه متجه جديد، ويمكن إضافة متجه إلى كمية أفينية مناسبة ( يعمل فضاء متجهي على فضاء أفيني)، مما ينتج عنه كمية أفينية جديدة.
• لا يمكن جمع الكميات الأفينية، ولكن يمكن طرحها، مما ينتج عنه كميات نسبية عبارة عن متجهات، ويمكن بعد ذلك جمع هذه الفروق النسبية مع بعضها البعض أو مع كمية أفينية.

إذن، لا تُعتبر التواريخ والمواقع كمياتٍ ذات أبعاد، بل كمياتٍ خطية . أما المدد والإزاحات فهي كميات ذات أبعاد. لتمثيل الكميات ذات الأبعاد بالأرقام، يكفي اختيار وحدة مرجعية. ولتمثيل الكميات الخطية كالتاريخ والموقع بدلالة الكميات ذات الأبعاد، يجب أيضًا اختيار نقطة مرجعية ونظام إحداثيات بالإضافة إلى الوحدة المرجعية.

في حين أن بعض الكميات يتم تمثيلها بشكل جيد بواسطة الكميات المتجهة التي يمكن تطبيق التحليل البُعدي عليها، فإن البعض الآخر يتم تمثيله بشكل طبيعي أكثر في فضاء أفيني، وهناك كميات أخرى مثل الاتجاهات والاحتمالات هي عناصر من فضاءات أخرى.

يُعد هذا التمييز بالغ الأهمية، لا سيما في حالة درجة الحرارة، حيث لا تُمثل القيمة العددية للصفر المطلق نقطة الأصل (0) في بعض المقاييس. بالنسبة للصفر المطلق،

−273.15  °C ≘ 0  K = 0  °R ≘ −459.67  °F,

حيث يرمز الرمز ≘ إلى ما يتوافق مع ، لأنه على الرغم من أن هذه القيم على مقاييس درجة الحرارة المعنية تتوافق، إلا أنها تمثل كميات متميزة بنفس الطريقة التي تكون بها المسافات من نقاط بداية متميزة إلى نفس نقطة النهاية كميات متميزة، ولا يمكن مساواتها بشكل عام.

بالنسبة لفروق درجات الحرارة،

1  كلفن = 1  درجة مئوية ≠ 1  درجة فهرنهايت = 1  درجة رانكين.

(هنا، تشير °R إلى مقياس رانكين ، وليس مقياس ريومور ). تحويل وحدات فروق درجات الحرارة يتم ببساطة عن طريق الضرب في، على سبيل المثال، 1  درجة فهرنهايت / 1  كلفن. ولكن نظرًا لأن بعض هذه المقاييس لها أصول لا تتوافق مع الصفر المطلق، فإن التحويل من مقياس درجة حرارة إلى آخر يتطلب مراعاة ذلك. ونتيجة لذلك، قد يؤدي التحليل البُعدي البسيط إلى أخطاء إذا كان من غير الواضح ما إذا كان 1  كلفن يعني درجة الحرارة المطلقة المقابلة لدرجة الحرارة المئوية -272.15  درجة مئوية، أو فرق درجة حرارة يساوي 1  درجة مئوية.

يشبه مفهوم نقطة المرجع مفهوم التوجيه: فالإزاحة في بعدين أو ثلاثة أبعاد ليست مجرد طول، بل هي طول مصحوب باتجاه . (في البعد الواحد، يُعادل هذا التمييز بين الموجب والسالب). لذا، لمقارنة أو دمج كميات ثنائية الأبعاد في فضاء إقليدي متعدد الأبعاد، نحتاج أيضًا إلى تحديد اتجاه: أي يجب مقارنتها بإطار مرجعي .

وهذا يؤدي إلى التوسعات التي نناقشها أدناه، وتحديداً أبعاد هانتلي الموجهة وتحليل سيانو التوجيهي.

أشار هانتلي إلى أن التحليل البُعدي يمكن أن يصبح أكثر قوة من خلال اكتشاف أبعاد مستقلة جديدة في الكميات قيد الدراسة، مما يزيد من رتبته.${\displaystyle m}$من المصفوفة ذات الأبعاد. ^{[ 54 ]}

وقدّم نهجين:

• يجب اعتبار مقادير مركبات المتجه مستقلة عن الأبعاد. على سبيل المثال، بدلاً من بُعد الطول غير المُتمايز L، قد يكون لدينا L _x يُمثل البُعد في اتجاه المحور x، وهكذا. ينبع هذا الشرط في الأساس من ضرورة أن تكون كل مركبة من معادلة ذات معنى فيزيائي (كمية قياسية، أو متجهة، أو موتر) متسقة الأبعاد.
• يجب اعتبار الكتلة كمقياس لكمية المادة مستقلة من حيث الأبعاد عن الكتلة كمقياس للقصور الذاتي.

كمية المادة

في منهج هانتلي الثاني، يرى أنه من المفيد أحيانًا (كما في ميكانيكا الموائع والديناميكا الحرارية) التمييز بين الكتلة كمقياس للقصور الذاتي ( الكتلة القصور الذاتي )، والكتلة كمقياس لكمية المادة. يُعرّف هانتلي كمية المادة بأنها كمية تتناسب طرديًا مع الكتلة القصور الذاتي فقط، دون أن تتضمن خصائص القصور الذاتي. ولم تُضَف أي قيود أخرى إلى تعريفها.

على سبيل المثال، لننظر في اشتقاق قانون بوازوي . نريد إيجاد معدل تدفق كتلة سائل لزج عبر أنبوب دائري. دون التمييز بين الكتلة القصور الذاتي والكتلة المادية، يمكننا اختيار المتغيرات التالية كمتغيرات ذات صلة:

رمز	عامل	الأبعاد
${\displaystyle {\dot {m}}}$	معدل تدفق الكتلة	T −1 M
${\displaystyle p_{\text{x}}}$	تدرج الضغط على طول الأنبوب	T −2 L −2 M
ρ	كثافة	L −3 M
η	لزوجة السوائل الديناميكية	T −1 L −1 M
ر	نصف قطر الأنبوب	ل

هناك ثلاثة متغيرات أساسية، لذا فإن المعادلات الخمس المذكورة أعلاه ستنتج متغيرين مستقلين بلا أبعاد:

${\displaystyle \pi _{1}={\frac {\dot {m}}{\eta r}}}$

${\displaystyle \pi _{2}={\frac {p_{\mathrm {x} }\rho r^{5}}{{\dot {m}}^{2}}}}$

إذا ميزنا بين الكتلة العطالية ذات البعد${\displaystyle M_{\text{i}}}$وكمية المادة ذات الأبعاد${\displaystyle M_{\text{m}}}$عندئذٍ، سيستخدم معدل تدفق الكتلة والكثافة كمية المادة كمعامل للكتلة، بينما سيستخدم تدرج الضغط ومعامل اللزوجة الكتلة القصور الذاتي. لدينا الآن أربعة معاملات أساسية، وثابت واحد عديم الأبعاد، بحيث يمكن كتابة المعادلة ذات الأبعاد على النحو التالي:

${\displaystyle C={\frac {p_{\mathrm {x} }\rho r^{4}}{\eta {\dot {m}}}}}$

حيث أن C هو الثابت غير المحدد (وُجد أنه يساوي${\displaystyle \pi /8}$(بطرق خارج نطاق التحليل البُعدي). يمكن حل هذه المعادلة لإيجاد معدل تدفق الكتلة للحصول على قانون بوازوي .

إن اعتراف هانتلي بكمية المادة كبعد كمي مستقل يُعدّ ناجحًا في المسائل التي ينطبق عليها، إلا أن تعريفه لكمية المادة قابل للتأويل، إذ يفتقر إلى التحديد بما يتجاوز الشرطين اللذين افترضهما. بالنسبة لمادة معينة، فإن بُعد كمية المادة في النظام الدولي للوحدات ، بوحدة المول ، يُلبي شرطي هانتلي كمقياس لكمية المادة، ويمكن استخدامه ككمية للمادة في أي مسألة من مسائل التحليل البُعدي التي ينطبق عليها مفهوم هانتلي.

تُعتبر الزوايا ، اصطلاحًا، كمياتٍ لا بُعدية (مع أن صحة هذا الأمر محل جدل). ^{[ 55 ]} على سبيل المثال، لنعد إلى مسألة المقذوفات حيث تُطلق كتلة نقطية من نقطة الأصل ( x , y ) = (0, 0) بسرعة v وزاوية θ فوق المحور x ، مع توجيه قوة الجاذبية على طول المحور y السالب. المطلوب هو إيجاد المدى R الذي تعود عنده الكتلة إلى المحور x . يُعطي التحليل التقليدي المتغير اللا بُعدي π = R g / v² ، ولكنه لا يُقدم ^أي فهم للعلاقة بين R و θ .

اقترح سيانو استبدال الأبعاد الموجهة في هانتلي باستخدام الرموز الاتجاهية 1x _و  1 _{y و}  1 _z للدلالة على اتجاهات المتجهات، ورمزًا غير اتجاهي 10. _[ ^{56 ] وبذلك} ، يصبح Lx في هانتلي هو L1x _، حيث _يحدد L بُعد الطول، و 1 _x يحدد الاتجاه . كما يُبين سيانو أن للرموز الاتجاهية جبرًا خاصًا بها. ومع اشتراط أن 1i ₋ ¹ = _1i ، ينتج جدول الضرب التالي للرموز الاتجاهية:

	${\displaystyle \mathbf {1_{0}} }$	${\displaystyle \mathbf {1_{\text{x}}} }$	${\displaystyle \mathbf {1_{\text{y}}} }$	${\displaystyle \mathbf {1_{\text{z}}} }$
${\displaystyle \mathbf {1_{0}} }$	${\displaystyle 1_{0}}$	${\displaystyle 1_{\text{x}}}$	${\displaystyle 1_{\text{y}}}$	${\displaystyle 1_{\text{z}}}$
${\displaystyle \mathbf {1_{\text{x}}} }$	${\displaystyle 1_{\text{x}}}$	${\displaystyle 1_{0}}$	${\displaystyle 1_{\text{z}}}$	${\displaystyle 1_{\text{y}}}$
${\displaystyle \mathbf {1_{\text{y}}} }$	${\displaystyle 1_{\text{y}}}$	${\displaystyle 1_{\text{z}}}$	${\displaystyle 1_{0}}$	${\displaystyle 1_{\text{x}}}$
${\displaystyle \mathbf {1_{\text{z}}} }$	${\displaystyle 1_{\text{z}}}$	${\displaystyle 1_{\text{y}}}$	${\displaystyle 1_{\text{x}}}$	${\displaystyle 1_{0}}$

تشكل الرموز الاتجاهية مجموعة ( مجموعة كلاين الرباعية أو "Viergruppe"). في هذا النظام، يكون للكميات القياسية دائمًا نفس اتجاه عنصر الوحدة، بغض النظر عن "تناظر المسألة". الكميات الفيزيائية المتجهة لها الاتجاه المتوقع: القوة أو السرعة في اتجاه المحور z يكون اتجاهها 1/ _z . بالنسبة للزوايا، لنفترض زاوية θ تقع في المستوى z. نرسم مثلثًا قائم الزاوية في المستوى z بحيث تكون θ إحدى زواياه الحادة. يكون اتجاه الضلع المجاور للزاوية في المثلث القائم الزاوية 1/ _x ، بينما يكون اتجاه الضلع المقابل لها 1 _/y . بما أن tan( θ ) = θ + ... ~ 1/ _y / 1 _/x (باستخدام ~ للدلالة على التكافؤ الاتجاهي)، نستنتج أن الزاوية في المستوى xy يجب أن يكون اتجاهها 1/ _y / 1/ _x = 1/ _z ، وهو أمر منطقي. يؤدي الاستدلال القياسي إلى استنتاج أن دالة sin( θ ) لها اتجاه 1 _z بينما دالة cos( θ ) لها اتجاه 1 _0. وهما مختلفتان، لذا يُستنتج (بشكل صحيح)، على سبيل المثال، أنه لا توجد حلول للمعادلات الفيزيائية من الشكل a cos( θ ) + b sin( θ ) ، حيث a و b عددان حقيقيان. تعبير مثل  ${\displaystyle \sin(\theta +\pi /2)=\cos(\theta )}$لا يوجد تناقض في الأبعاد لأنه حالة خاصة من صيغة مجموع الزوايا، ويجب كتابته بشكل صحيح على النحو التالي:

${\displaystyle \sin \left(a\,1_{\text{z}}+b\,1_{\text{z}}\right)=\sin \left(a\,1_{\text{z}})\cos(b\,1_{\text{z}}\right)+\sin \left(b\,1_{\text{z}})\cos(a\,1_{\text{z}}\right),}$

والذي من أجل${\displaystyle a=\theta }$و${\displaystyle b=\pi /2}$النتائج​${\displaystyle \sin(\theta \,1_{\text{z}}+[\pi /2]\,1_{\text{z}})=1_{\text{z}}\cos(\theta \,1_{\text{z}})}$يميز سيانو بين الزوايا الهندسية، التي لها اتجاه في الفضاء ثلاثي الأبعاد، وزوايا الطور المرتبطة بالتذبذبات الزمنية، والتي ليس لها اتجاه مكاني، أي أن اتجاه زاوية الطور هو${\displaystyle 1_{0}}$⁠ .

يمكن استخدام تخصيص رموز اتجاهية للكميات الفيزيائية، واشتراط تجانس المعادلات الفيزيائية اتجاهيًا، بطريقة مشابهة للتحليل البُعدي، لاستخلاص معلومات إضافية حول الحلول المقبولة للمسائل الفيزيائية. في هذا النهج، تُحل المعادلة البُعدية قدر الإمكان. إذا كان أدنى أس لمتغير فيزيائي كسريًا، يُرفع طرفا الحل إلى أس بحيث تكون جميع الأسس صحيحة، ما يضعه في صورته القياسية . ثم تُحل المعادلة الاتجاهية لإعطاء شرط أكثر تقييدًا على الأسس المجهولة للرموز الاتجاهية. وبذلك يكون الحل أكثر اكتمالًا من الحل الذي يُقدمه التحليل البُعدي وحده. غالبًا ما تكون المعلومة الإضافية هي أن أحد أسس متغير معين زوجي أو فردي.

على سبيل المثال، بالنسبة لمسألة المقذوفات، باستخدام الرموز الاتجاهية، θ ، فإن التواجد في المستوى xy سيكون له البعد 1 _z وسيكون مدى المقذوف R على الشكل التالي:

${\displaystyle R=g^{a}\,v^{b}\,\theta ^{c}{\text{ which means }}{\mathsf {L}}\,1_{\mathrm {x} }\sim \left({\frac {{\mathsf {L}}\,1_{\text{y}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}\right)^{a}\left({\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}}\right)^{b}\,1_{\mathsf {z}}^{c}.\,}$

سيؤدي التجانس البُعدي الآن بشكل صحيح إلى a = −1 و b = 2 ، ويتطلب التجانس الاتجاهي أن${\displaystyle 1_{x}/(1_{y}^{a}1_{z}^{c})=1_{z}^{c+1}=1}$بمعنى آخر، يجب أن يكون c عددًا فرديًا. في الواقع، ستكون الدالة المطلوبة لـ θ هي sin( θ )cos( θ )، وهي متسلسلة تتكون من قوى فردية لـ θ .

يتضح أن متسلسلة تايلور لـ sin( θ ) و cos( θ ) متجانسة اتجاهيًا باستخدام جدول الضرب أعلاه، في حين أن التعبيرات مثل cos( θ ) + sin( θ ) و exp( θ ) ليست كذلك، وتعتبر (بشكل صحيح) غير فيزيائية.

يتوافق تحليل سيانو الاتجاهي مع المفهوم التقليدي للكميات الزاوية باعتبارها كميات لا بُعدية، وفي هذا التحليل، يُمكن اعتبار الراديان وحدةً لا بُعدية. يُجرى التحليل الاتجاهي لمعادلة كمية ما بشكل منفصل عن التحليل البُعدي العادي، مما يُوفر معلومات تُكمّل التحليل البُعدي.

• التغاير والتغاير العكسي للمتجهات
• الجبر الخارجي
• الجبر الهندسي
• حساب الكميات