الإجهاد (الميكانيكا)

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "Stress" mechanics – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (August 2021) (Learn how and when to remove this message)

ضغط
يتم الكشف عن الضغوط المتبقية داخل المنقلة البلاستيكية بواسطة الضوء المستقطب .
الرموز الشائعة	سي
وحدة النظام الدولي للوحدات	باسكال
وحدات أخرى	رطل/بوصة مربعة ، بار
في وحدات النظام الدولي للوحدات الأساسية	باسكال = كجم ⋅ م −1 ⋅ ثانية −2
البعد	${\displaystyle {\mathsf {L}}^{-1}{\mathsf {M}}{\mathsf {T}}^{-2}}$

Part of a series on
Continuum mechanics
${\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi }{dx}}}$ Fick's laws of diffusion
Laws Conservations Mass Momentum Energy Inequalities Clausius–Duhem (entropy)
Solid mechanics Deformation Elasticity linear Plasticity Hooke's law Stress Strain Finite strain Infinitesimal strain Compatibility Bending Contact mechanics frictional Material failure theory Fracture mechanics
Fluid mechanics Fluids Statics · Dynamics Archimedes' principle · Bernoulli's principle Navier–Stokes equations Poiseuille equation · Pascal's law Viscosity (Newtonian · non-Newtonian) Buoyancy · Mixing · Pressure Liquids Adhesion Capillary action Chromatography Cohesion (chemistry) Surface tension Gases Atmosphere Boyle's law Charles's law Combined gas law Fick's law Gay-Lussac's law Graham's law Plasma
Rheology Viscoelasticity Rheometry Rheometer Smart fluids Electrorheological Magnetorheological Ferrofluids
Scientists Bernoulli Boyle Cauchy Charles Euler Fick Gay-Lussac Graham Hooke Newton Navier Noll Pascal Stokes Truesdell
v t e

في ميكانيكا المتصل ، الإجهاد هو كمية فيزيائية تصف القوى الموجودة أثناء التشوه . على سبيل المثال، يتعرض الجسم الذي يتم سحبه بعيدًا، مثل شريط مطاطي ممتد، لإجهاد الشد وقد يخضع للاستطالة . يتعرض الجسم الذي يتم دفعه معًا، مثل الإسفنج المكوم، لإجهاد الضغط وقد يخضع للتقصير. ^{[1] [2]} كلما زادت القوة وكلما كانت مساحة المقطع العرضي للجسم الذي تعمل عليه أصغر، زاد الإجهاد. للإجهاد بُعد القوة لكل مساحة، بوحدات النظام الدولي للوحدات نيوتن لكل متر مربع (نيوتن/م ² ) أو باسكال (باسكال). ^[1]

يعبر الإجهاد عن القوى الداخلية التي تمارسها الجسيمات المجاورة لمادة متصلة على بعضها البعض، في حين أن الانفعال هو مقياس التشوه النسبي للمادة. ^[3] على سبيل المثال، عندما يدعم قضيب عمودي صلب وزنًا علويًا ، فإن كل جسيم في القضيب يدفع الجسيمات الموجودة أسفله مباشرة. عندما يكون السائل في وعاء مغلق تحت الضغط ، يتم دفع كل جسيم ضده بواسطة جميع الجسيمات المحيطة. تدفع جدران الوعاء والسطح المحفز للضغط (مثل المكبس) ضدها في تفاعل (نيوتوني) . هذه القوى العيانية هي في الواقع النتيجة الصافية لعدد كبير جدًا من القوى بين الجزيئات والتصادمات بين الجسيمات في تلك الجزيئات . غالبًا ما يتم تمثيل الإجهاد بالحرف اليوناني الصغير سيجما ( σ ) . ^[3]

قد ينشأ الانفعال داخل المادة من خلال آليات مختلفة، مثل الإجهاد المطبق بواسطة قوى خارجية على المادة السائبة (مثل الجاذبية ) أو على سطحها (مثل قوى التلامس أو الضغط الخارجي أو الاحتكاك ). أي انفعال (تشوه) لمادة صلبة يولد إجهادًا مرنًا داخليًا ، مشابهًا لقوة رد فعل الزنبرك ، والذي يميل إلى استعادة المادة إلى حالتها الأصلية غير المشوهة. في السوائل والغازات ، فقط التشوهات التي تغير الحجم تولد إجهادًا مرنًا مستمرًا. إذا تغير التشوه تدريجيًا بمرور الوقت، فحتى في السوائل سيكون هناك عادةً بعض الإجهاد اللزج الذي يعارض هذا التغيير. عادة ما يتم الجمع بين الإجهاد المرن واللزج تحت اسم الإجهاد الميكانيكي .

قد يوجد إجهاد كبير حتى عندما يكون التشوه مهملاً أو غير موجود (افتراض شائع عند نمذجة تدفق المياه). قد يوجد الإجهاد في غياب القوى الخارجية؛ مثل هذا الإجهاد المدمج مهم، على سبيل المثال، في الخرسانة المجهدة مسبقًا والزجاج المقسّى . يمكن أيضًا فرض الإجهاد على مادة دون تطبيق قوى صافية ، على سبيل المثال عن طريق التغيرات في درجة الحرارة أو التركيب الكيميائي ، أو عن طريق المجالات الكهرومغناطيسية الخارجية (كما هو الحال في المواد الكهرضغطية والمغناطيسية ).

يمكن أن تكون العلاقة بين الإجهاد الميكانيكي والانفعال ومعدل الانفعال معقدة للغاية، على الرغم من أن التقريب الخطي قد يكون كافياً في الممارسة العملية إذا كانت الكميات صغيرة بدرجة كافية. سيؤدي الإجهاد الذي يتجاوز حدود قوة معينة للمادة إلى تشوه دائم (مثل التدفق البلاستيكي ، الكسر ، التجويف ) أو حتى تغيير بنيتها البلورية وتركيبها الكيميائي .

لقد عرف البشر عن الإجهاد داخل المواد منذ العصور القديمة. وحتى القرن السابع عشر، كان هذا الفهم بديهيًا وتجريبيًا إلى حد كبير، على الرغم من أن هذا لم يمنع تطوير تقنيات متقدمة نسبيًا مثل القوس المركب ونفخ الزجاج . ^[4]

على مدى آلاف السنين، تعلم المهندسون المعماريون والبناؤون على وجه الخصوص كيفية تجميع عوارض خشبية وكتل حجرية مصممة بعناية لتحمل ونقل وتوزيع الضغوط بالطريقة الأكثر فعالية، باستخدام أجهزة مبتكرة مثل التيجان والأقواس والقباب والعوارض والدعامات الطائرة للكاتدرائيات القوطية .

لقد طور المهندسون المعماريون القدماء والعصور الوسطى بعض الأساليب الهندسية والصيغ البسيطة لحساب الأحجام المناسبة للأعمدة والعوارض، لكن الفهم العلمي للإجهاد أصبح ممكنًا فقط بعد اختراع الأدوات اللازمة في القرنين السابع عشر والثامن عشر: الطريقة التجريبية الصارمة لغاليليو غاليلي ، وإحداثيات رينيه ديكارت والهندسة التحليلية ، وقوانين نيوتن للحركة والتوازن وحساب اللامتناهيات في الصغر . ^[5] باستخدام هذه الأدوات، تمكن أوغستين لويس كوشي من إعطاء أول نموذج رياضي صارم وعام لجسم مرن مشوه من خلال إدخال مفاهيم الإجهاد والانفعال. ^[6] لاحظ كوشي أن القوة عبر سطح وهمي هي دالة خطية لمتجهها العمودي؛ وعلاوة على ذلك، يجب أن تكون دالة متماثلة (بزخم إجمالي يساوي صفرًا). بدأ فهم الإجهاد في السوائل مع نيوتن، الذي قدم صيغة تفاضلية لقوى الاحتكاك (إجهاد القص) في التدفق الصفحي الموازي .

يُعرَّف الإجهاد بأنه القوة المؤثرة عبر حدود صغيرة لكل وحدة مساحة من تلك الحدود، لجميع اتجاهات الحدود. ^[7] يشتق الإجهاد من كمية فيزيائية أساسية (القوة) وكمية هندسية بحتة (المساحة)، وهو أيضًا كمية أساسية، مثل السرعة أو عزم الدوران أو الطاقة ، والتي يمكن قياسها وتحليلها دون مراعاة صريحة لطبيعة المادة أو أسبابها الفيزيائية.

وفقًا للمقدمات الأساسية لميكانيكا المتصل، فإن الإجهاد هو مفهوم كلي . أي أن الجسيمات التي تم أخذها في الاعتبار في تعريفه وتحليله يجب أن تكون صغيرة بما يكفي لمعاملتها على أنها متجانسة في التركيب والحالة، ولكنها لا تزال كبيرة بما يكفي لتجاهل التأثيرات الكمومية والحركات التفصيلية للجزيئات. وبالتالي، فإن القوة بين جسيمين هي في الواقع متوسط ​​عدد كبير جدًا من القوى الذرية بين جزيئاتهما؛ ويُفترض أن الكميات الفيزيائية مثل الكتلة والسرعة والقوى التي تعمل من خلال كتلة الأجسام ثلاثية الأبعاد، مثل الجاذبية، موزعة بسلاسة عليها. ^{[8] : 90-106} اعتمادًا على السياق، قد يفترض المرء أيضًا أن الجسيمات كبيرة بما يكفي للسماح بمتوسط ​​الميزات المجهرية الأخرى، مثل حبيبات قضيب معدني أو ألياف قطعة من الخشب .

كميًا، يتم التعبير عن الإجهاد بواسطة متجه الجر كوشي T الذي يُعرَّف بأنه قوة الجر F بين الأجزاء المتجاورة من المادة عبر سطح فاصل وهمي S ، مقسومًا على مساحة S. ^{[9] : 41–50} في السائل الساكن تكون القوة عمودية على السطح، وهي الضغط المألوف . في مادة صلبة ، أو في تدفق سائل لزج ، قد لا تكون القوة F عمودية على S ؛ وبالتالي يجب اعتبار الإجهاد عبر السطح كمية متجهة، وليس عددًا قياسيًا. علاوة على ذلك، يعتمد الاتجاه والحجم بشكل عام على اتجاه S. وبالتالي، يجب وصف حالة إجهاد المادة بواسطة موتر ، يسمى موتر الإجهاد (كوشي) ؛ وهي دالة خطية تربط المتجه العمودي n لسطح S بمتجه الجر T عبر S. فيما يتعلق بأي نظام إحداثيات مختار ، يمكن تمثيل موتر إجهاد كوشي كمصفوفة متماثلة من 3 × 3 أعداد حقيقية. حتى داخل جسم متجانس ، قد يختلف موتر الإجهاد من مكان إلى آخر، وقد يتغير بمرور الوقت؛ لذلك، فإن الإجهاد داخل المادة هو، بشكل عام، مجال موتر متغير مع الزمن .

بشكل عام، يمكن أن يكون للإجهاد T الذي يطبقه جسيم P على جسيم آخر Q عبر سطح S أي اتجاه بالنسبة إلى S. يمكن اعتبار المتجه T بمثابة مجموع مكونين: الإجهاد العمودي ( الضغط أو الشد ) العمودي على السطح، وإجهاد القص الموازي للسطح.

إذا افترضنا أن متجه الوحدة العمودي n للسطح (يشير من Q نحو P ) ثابت، فيمكن التعبير عن المكون العمودي برقم واحد، وهو حاصل الضرب النقطي T · n . سيكون هذا الرقم موجبًا إذا كان P "يسحب" على Q (إجهاد الشد)، وسالبًا إذا كان P "يدفع" ضد Q (إجهاد الانضغاط). يكون مكون القص بعد ذلك هو المتجه T − ( T · n ) n .

إن بُعد الإجهاد هو بُعد الضغط ، وبالتالي تُقاس إحداثياته ​​بنفس وحدات قياس الضغط: أي باسكال (Pa، أي نيوتن لكل متر مربع ) في النظام الدولي ، أو رطل لكل بوصة مربعة (psi) في النظام الإمبراطوري . ولأن الإجهادات الميكانيكية تتجاوز بسهولة مليون باسكال، فإن ميجا باسكال، التي تعني ميجا باسكال، هي وحدة قياس الإجهاد الشائعة.

قد يكون الإجهاد في جسم مادي ناتجًا عن أسباب فيزيائية متعددة، بما في ذلك التأثيرات الخارجية والعمليات الفيزيائية الداخلية. تؤثر بعض هذه العوامل (مثل الجاذبية والتغيرات في درجة الحرارة والطور والحقول الكهرومغناطيسية) على الجزء الأكبر من المادة، وتتغير باستمرار مع الموضع والوقت. قد تخلق عوامل أخرى (مثل الأحمال الخارجية والاحتكاك والضغط المحيط وقوى التلامس) إجهادات وقوى تتركز على أسطح أو خطوط أو نقاط معينة؛ وربما أيضًا على فترات زمنية قصيرة جدًا (كما في النبضات الناتجة عن الاصطدامات). في المادة النشطة ، يولد الدفع الذاتي للجسيمات المجهرية أنماط إجهاد عيانية. ^[11] بشكل عام، يتم التعبير عن توزيع الإجهاد في الجسم كدالة مستمرة متقطعة للمكان والزمان.

على العكس من ذلك، يرتبط الإجهاد عادةً بتأثيرات مختلفة على المادة، بما في ذلك ربما تغييرات في الخصائص الفيزيائية مثل ازدواجية الانكسار والاستقطاب والنفاذية . عادةً ما يؤدي فرض الإجهاد بواسطة عامل خارجي إلى خلق بعض الإجهاد (التشوه) في المادة، حتى لو كان صغيرًا جدًا بحيث لا يمكن اكتشافه. في مادة صلبة، سيولد هذا الإجهاد بدوره إجهادًا مرنًا داخليًا، مشابهًا لقوة رد فعل زنبرك ممتد ، ويميل إلى استعادة المادة إلى حالتها الأصلية غير المشوهة. يمكن للمواد السائلة (السوائل والغازات والبلازما ) بحكم التعريف فقط معارضة التشوهات التي من شأنها تغيير حجمها. إذا تغير التشوه بمرور الوقت، فحتى في السوائل سيكون هناك عادةً بعض الإجهاد اللزج الذي يعارض هذا التغيير. يمكن أن تكون هذه الضغوط إما قصية أو طبيعية في الطبيعة. تم تقديم الأصل الجزيئي لإجهادات القص في السوائل في المقالة حول اللزوجة . يمكن العثور على نفس الشيء بالنسبة للإجهادات اللزجة الطبيعية في شارما (2019). ^[12]

إن العلاقة بين الإجهاد وتأثيراته وأسبابه، بما في ذلك التشوه ومعدل تغير التشوه، يمكن أن تكون معقدة للغاية (على الرغم من أن التقريب الخطي قد يكون كافياً في الممارسة العملية إذا كانت الكميات صغيرة بما يكفي). إن الإجهاد الذي يتجاوز حدود قوة معينة للمادة سيؤدي إلى تشوه دائم (مثل التدفق البلاستيكي ، الكسر ، التجويف ) أو حتى تغيير بنيتها البلورية وتركيبها الكيميائي .

في بعض المواقف، يمكن وصف الإجهاد داخل الجسم بشكل كافٍ برقم واحد، أو بمتجه واحد (رقم واتجاه). هناك ثلاثة مواقف إجهاد بسيطة ، والتي غالبًا ما نصادفها في التصميم الهندسي، وهي الإجهاد العمودي أحادي المحور ، وإجهاد القص البسيط ، والإجهاد العمودي المتساوي الخواص . ^[13]

الموقف الشائع مع نمط الإجهاد البسيط هو عندما يتعرض قضيب مستقيم، بمادة موحدة ومقطع عرضي، للشد بواسطة قوى متعاكسة من حيث المقدار على طول محوره. إذا كان النظام في حالة توازن ولا يتغير بمرور الوقت، ويمكن إهمال وزن القضيب، فيجب أن يسحب الجزء العلوي من خلال كل مقطع عرضي للقضيب الجزء السفلي بنفس القوة، F مع الاستمرارية عبر مساحة المقطع العرضي الكاملة ، A. لذلك، يمكن التعبير عن الإجهاد σ في جميع أنحاء القضيب، عبر أي سطح أفقي، ببساطة من خلال الرقم الفردي σ، المحسوب ببساطة بحجم تلك القوى، F ، ومساحة المقطع العرضي، A. من ناحية أخرى، إذا تخيل المرء أن القضيب مقطوع على طوله، بالتوازي مع المحور، فلن تكون هناك قوة (وبالتالي لا يوجد إجهاد) بين النصفين عبر القطع. يمكن تسمية هذا النوع من الإجهاد بالإجهاد العمودي (البسيط) أو الإجهاد أحادي المحور؛ على وجه التحديد، إجهاد الشد (أحادي المحور، البسيط، إلخ). ^[13] إذا كان الحمل عبارة عن ضغط على الشريط، وليس شدّه، يكون التحليل هو نفسه باستثناء أن القوة F وإشارة الإجهاد تتغيران، ويسمى الإجهاد إجهادًا ضاغطًا. ${\displaystyle F}$$${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}}$$${\displaystyle \sigma }$

يفترض هذا التحليل أن الإجهاد موزع بالتساوي على المقطع العرضي بأكمله. في الممارسة العملية، اعتمادًا على كيفية تثبيت الشريط في الأطراف وكيفية تصنيعه، قد لا يكون هذا الافتراض صحيحًا. في هذه الحالة، ستكون القيمة = F / A هي الإجهاد المتوسط ​​فقط، والذي يسمى الإجهاد الهندسي أو الإجهاد الاسمي . إذا كان طول الشريط L هو عدة مرات قطره D ، ولم يكن به عيوب جسيمة أو إجهاد مدمج، فيمكن افتراض أن الإجهاد موزع بالتساوي على أي مقطع عرضي يزيد عن بضع مرات D من كلا الطرفين. (تُعرف هذه الملاحظة بمبدأ سانت فينان ). ${\displaystyle \sigma }$

يحدث الإجهاد الطبيعي في العديد من المواقف الأخرى إلى جانب الشد المحوري والضغط. إذا تم ثني قضيب مرن بمقطع عرضي موحد ومتماثل في أحد مستويات تماثله، فإن إجهاد الانحناء الناتج سيظل طبيعيًا (عموديًا على المقطع العرضي)، لكنه سيختلف عبر المقطع العرضي: سيكون الجزء الخارجي تحت إجهاد الشد، بينما سيتم ضغط الجزء الداخلي. هناك نوع آخر من الإجهاد الطبيعي وهو إجهاد الطوق الذي يحدث على جدران الأنبوب الأسطواني أو الوعاء المملوء بسائل مضغوط.

يحدث نوع بسيط آخر من الإجهاد عندما يتم ربط طبقة سميكة موحدة من مادة مرنة مثل الغراء أو المطاط بقوة بجسمين صلبين يتم سحبهما في اتجاهين متعاكسين بواسطة قوى موازية للطبقة ؛ أو قسم من قضيب معدني ناعم يتم قطعه بواسطة فكي أداة تشبه المقص . دع F يكون مقدار تلك القوى، و M يكون المستوى الأوسط لتلك الطبقة. تمامًا كما هو الحال في حالة الإجهاد الطبيعي، يجب أن يسحب جزء الطبقة على أحد جانبي M الجزء الآخر بنفس القوة F. بافتراض أن اتجاه القوى معروف، يمكن التعبير عن الإجهاد عبر M ببساطة بالرقم الفردي ، المحسوب ببساطة بمقدار تلك القوى، F ومساحة المقطع العرضي، A. على عكس الإجهاد الطبيعي، يتم توجيه إجهاد القص البسيط هذا بالتوازي مع المقطع العرضي المعتبر، بدلاً من أن يكون عموديًا عليه. ^[13] بالنسبة لأي مستوى S عمودي على الطبقة، فإن القوة الداخلية الصافية عبر S ، وبالتالي الإجهاد، ستكون صفرًا. ${\displaystyle \tau }$$${\displaystyle \tau ={\frac {F}{A}}}$$

كما هو الحال في قضيب محمل محوريًا، في الممارسة العملية قد لا يتم توزيع إجهاد القص بشكل موحد على الطبقة؛ لذلك، كما في السابق، ستكون النسبة F / A مجرد إجهاد متوسط ​​("اسمي"، "هندسي") غالبًا ما يكون هذا المتوسط ​​كافيًا للأغراض العملية. ^{[14] : 292} يُلاحظ إجهاد القص أيضًا عندما يتعرض قضيب أسطواني مثل العمود لعزم دوران معاكس في طرفيه. في هذه الحالة، يكون إجهاد القص على كل مقطع عرضي موازيًا للمقطع العرضي، ولكنه موجه بشكل مماسي بالنسبة للمحور، ويزداد مع المسافة من المحور. يحدث إجهاد قص كبير في اللوحة الوسطى ("الشبكة") من عوارض I تحت أحمال الانحناء، بسبب الشبكة التي تقيد اللوحات النهائية ("الحواف").

وهناك نوع آخر بسيط من الإجهاد يحدث عندما يكون الجسم المادي تحت ضغط أو شد متساويين في جميع الاتجاهات. وهذا هو الحال، على سبيل المثال، في جزء من سائل أو غاز ساكن، سواء كان محصوراً في حاوية ما أو كجزء من كتلة أكبر من السائل؛ أو داخل مكعب من مادة مرنة يتم ضغطها أو سحبها على جميع الوجوه الستة بقوى عمودية متساوية ــ بشرط أن تكون المادة في كلتا الحالتين متجانسة، وخالية من الإجهاد المدمج، وأن يكون من الممكن إهمال تأثير الجاذبية والقوى الخارجية الأخرى.

في هذه المواقف، يتبين أن الإجهاد عبر أي سطح داخلي وهمي متساوي في المقدار وموجه دائمًا بشكل عمودي على السطح بغض النظر عن اتجاه السطح. يمكن تسمية هذا النوع من الإجهاد بالإجهاد الطبيعي المتساوي الخواص أو المتساوي الخواص فقط ؛ إذا كان ضاغطًا، فيُطلق عليه الضغط الهيدروستاتيكي أو مجرد ضغط . لا تستطيع الغازات بحكم التعريف تحمل إجهادات الشد، ولكن بعض السوائل قد تتحمل كميات كبيرة جدًا من إجهادات الشد المتساوية الخواص في بعض الظروف. انظر أنبوب Z.

الأجزاء ذات التناظر الدوراني ، مثل العجلات والمحاور والأنابيب والأعمدة، شائعة جدًا في الهندسة. غالبًا ما يكون لأنماط الإجهاد التي تحدث في مثل هذه الأجزاء تناظر دوراني أو حتى أسطواني . يمكن لتحليل مثل هذه الإجهادات الأسطوانية الاستفادة من التناظر لتقليل أبعاد المجال و/أو موتر الإجهاد.

غالبًا ما تتعرض الأجسام الميكانيكية لأكثر من نوع واحد من الإجهاد في نفس الوقت؛ وهذا ما يسمى بالإجهاد المركب . في الإجهاد العادي وإجهاد القص، تكون قيمة الإجهاد هي الحد الأقصى للأسطح العمودية على اتجاه معين ، وتساوي صفرًا عبر أي أسطح موازية لـ . عندما يكون إجهاد القص صفرًا فقط عبر الأسطح العمودية على اتجاه معين واحد، يسمى الإجهاد ثنائي المحور ، ويمكن اعتباره مجموع إجهادين عموديين أو إجهاد قص. في الحالة الأكثر عمومية، والتي تسمى الإجهاد الثلاثي المحاور ، يكون الإجهاد غير صفري عبر كل عنصر من عناصر السطح. ${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$

لا يمكن وصف الإجهادات المركبة بمتجه واحد. وحتى إذا تعرضت المادة للإجهاد بنفس الطريقة في جميع أنحاء حجم الجسم، فإن الإجهاد عبر أي سطح وهمي سوف يعتمد على اتجاه ذلك السطح، بطريقة غير تافهة.

لاحظ كوشي أن متجه الإجهاد عبر سطح سيكون دائمًا دالة خطية لمتجه السطح العمودي ، وهو المتجه ذو الوحدة الطولية العمودي عليه. أي ، حيث تفي الدالة بأي متجه وأي أعداد حقيقية . تصف الدالة ، التي تسمى الآن موتر الإجهاد (كوشي) ، حالة الإجهاد لجسم مجهد بشكل موحد تمامًا. (اليوم، يُطلق على أي اتصال خطي بين كميتين متجهتين فيزيائيتين اسم موتر ، مما يعكس الاستخدام الأصلي لكوشي لوصف "التوترات" (الإجهادات) في مادة ما.) في حساب الموتر ، يتم تصنيفه على أنه موتر من الدرجة الثانية من النوع (0,2) أو (1,1) حسب الاتفاقية. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle T={\boldsymbol {\sigma }}(n)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\alpha u+\beta v)=\alpha {\boldsymbol {\sigma }}(u)+\beta {\boldsymbol {\sigma }}(v)}$$${\displaystyle u,v}$${\displaystyle \alpha ,\beta }$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$

مثل أي خريطة خطية بين المتجهات، يمكن تمثيل موتر الإجهاد في أي نظام إحداثيات ديكارت مختار بمصفوفة 3×3 من الأعداد الحقيقية. اعتمادًا على ما إذا كانت الإحداثيات مرقمة أو مسماة ، يمكن كتابة المصفوفة على النحو التالي أو متجه الإجهاد عبر سطح مع متجه عمودي (وهو متغير - "صف؛ أفقي" - متجه) مع الإحداثيات هو حاصل ضرب مصفوفة (حيث T في الفهرس العلوي هو النقل ، ونتيجة لذلك نحصل على متجه متغير (صف)) (انظر إلى موتر الإجهاد لكوشي )، أي ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$${\displaystyle x,y,z}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle T={\boldsymbol {\sigma }}(n)}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3}}$${\displaystyle T=n\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{1}&T_{2}&T_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{21}&\sigma _{31}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{32}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}$$

العلاقة الخطية بين و تتبع القوانين الأساسية لحفظ الزخم الخطي و التوازن الساكن للقوى، وبالتالي فهي دقيقة رياضيا، لأي مادة وأي موقف إجهاد. مكونات موتر الإجهاد كوشي في كل نقطة في المادة تلبي معادلات التوازن ( معادلات كوشي للحركة لتسارع صفري). وعلاوة على ذلك، فإن مبدأ حفظ الزخم الزاوي يعني أن موتر الإجهاد متماثل ، أي ، ، و . وبالتالي، يمكن تحديد حالة الإجهاد للوسط في أي نقطة ولحظة بستة معلمات مستقلة فقط، بدلاً من تسعة. يمكن كتابة هذه حيث تسمى العناصر الإجهادات العمودية المتعامدة (بالنسبة لنظام الإحداثيات المختار)، وإجهادات القص المتعامدة . ^{[ بحاجة لمصدر ]}${\displaystyle T}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{21}}$${\displaystyle \sigma _{13}=\sigma _{31}}$${\displaystyle \sigma _{23}=\sigma _{32}}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{xy}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{xz}&\tau _{yz}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle \sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z}}$${\displaystyle \tau _{xy},\tau _{xz},\tau _{yz}}$

يخضع موتر كوشي للإجهاد لقانون تحويل الموتر عند حدوث تغيير في نظام الإحداثيات. والتمثيل البياني لقانون التحويل هذا هو دائرة توزيع الإجهاد لمور .

كمصفوفة حقيقية متناظرة 3×3، يحتوي موتر الإجهاد على ثلاثة متجهات ذاتية متعامدة متبادلة الطول وثلاث قيم ذاتية حقيقية ، بحيث . لذلك، في نظام إحداثيات به محاور ، يكون موتر الإجهاد مصفوفة قطرية، وله فقط المكونات الثلاثة العمودية λ 1 وλ 2 وλ 3 {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}} الإجهادات الرئيسية . إذا كانت القيم الذاتية الثلاثة متساوية، يكون الإجهاد عبارة عن ضغط أو شد متساوي الخواص ، دائمًا عموديًا على أي سطح، ولا يوجد إجهاد قص، ويكون الموتر مصفوفة قطرية في أي إطار إحداثي. ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3}}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}e_{i}=\lambda _{i}e_{i}}$${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3}}$

بشكل عام، لا يتم توزيع الإجهاد بشكل موحد على جسم مادي، وقد يتغير مع الوقت. لذلك، يجب تحديد موتر الإجهاد لكل نقطة وكل لحظة، من خلال النظر إلى جسيم لا نهائي الصغر من الوسط المحيط بتلك النقطة، واعتبار متوسط ​​الإجهادات في ذلك الجسيم بمثابة الإجهادات عند النقطة.

غالبًا ما تُصنع الأجسام المصنوعة من قبل الإنسان من ألواح خام من مواد مختلفة من خلال عمليات لا تغير من طابعها ثنائي الأبعاد بشكل أساسي، مثل القطع والحفر والانحناء اللطيف واللحام على طول الحواف. يمكن تبسيط وصف الإجهاد في مثل هذه الأجسام من خلال نمذجة هذه الأجزاء على أنها أسطح ثنائية الأبعاد بدلاً من أجسام ثلاثية الأبعاد.

في هذا المنظور، يُعاد تعريف "الجسيم" باعتباره رقعة لا متناهية الصغر من سطح اللوحة، بحيث يصبح الحد الفاصل بين الجسيمات المتجاورة عنصرًا خطيًا لا متناهي الصغر؛ وكلاهما ممتد ضمناً في البعد الثالث، عموديًا على اللوحة (مستقيمًا من خلاله). ثم يُعاد تعريف "الإجهاد" باعتباره مقياسًا للقوى الداخلية بين "جسيمين" متجاورين عبر عنصر الخط المشترك بينهما، مقسومًا على طول ذلك الخط. يمكن تجاهل بعض مكونات موتر الإجهاد، ولكن نظرًا لأن الجسيمات ليست لا متناهية الصغر في البعد الثالث، لم يعد بإمكاننا تجاهل عزم الدوران الذي يطبقه الجسيم على جيرانه. يتم نمذجة عزم الدوران هذا باعتباره إجهاد انحناء يميل إلى تغيير انحناء اللوحة. قد لا تصمد هذه التبسيطات عند اللحامات، عند الانحناءات الحادة والطيات (حيث يكون نصف قطر الانحناء قابلاً للمقارنة بسمك اللوحة).

يمكن تبسيط تحليل الإجهاد بشكل كبير أيضًا بالنسبة للقضبان أو العوارض أو الأسلاك الرقيقة ذات التركيب والمقطع العرضي الموحد (أو المتغير بسلاسة) والتي تخضع لانحناء والتواء معتدلين. بالنسبة لهذه الأجسام، قد نأخذ في الاعتبار فقط المقاطع العرضية العمودية على محور القضيب، ونعيد تعريف "الجسيم" على أنه قطعة من السلك بطول لا نهائي بين مقطعين عرضيين من هذا القبيل. ثم يتم تقليل الإجهاد العادي إلى عددي (شد أو ضغط للقضيب)، ولكن يجب أن نأخذ في الاعتبار أيضًا إجهاد الانحناء (الذي يحاول تغيير انحناء القضيب، في اتجاه ما عمودي على المحور) وإجهاد الالتواء (الذي يحاول التواءه أو فكه حول محوره).

تحليل الإجهاد هو فرع من الفيزياء التطبيقية التي تغطي تحديد التوزيع الداخلي للقوى الداخلية في الأجسام الصلبة. إنها أداة أساسية في الهندسة لدراسة وتصميم الهياكل مثل الأنفاق والسدود والأجزاء الميكانيكية والهياكل الهيكلية، تحت الأحمال المقررة أو المتوقعة. كما أنها مهمة في العديد من التخصصات الأخرى؛ على سبيل المثال، في الجيولوجيا، لدراسة ظواهر مثل الصفائح التكتونية والبراكين والانهيارات الجليدية ؛ وفي علم الأحياء، لفهم تشريح الكائنات الحية.

يهتم تحليل الإجهاد عمومًا بالأشياء والهياكل التي يمكن افتراض أنها في حالة توازن ثابت على المستوى الكلي . وفقًا لقوانين نيوتن للحركة ، يجب موازنة أي قوى خارجية يتم تطبيقها على مثل هذا النظام بقوى رد فعل داخلية، ^{[15] : 97} والتي تكون دائمًا تقريبًا قوى اتصال سطحية بين الجسيمات المتجاورة - أي كإجهاد. ^[9] نظرًا لأن كل جسيم يحتاج إلى أن يكون في حالة توازن، فإن إجهاد رد الفعل هذا ينتشر عمومًا من جسيم إلى آخر، مما يخلق توزيعًا للإجهاد في جميع أنحاء الجسم. تتمثل المشكلة النموذجية في تحليل الإجهاد في تحديد هذه الضغوط الداخلية، بالنظر إلى القوى الخارجية التي تؤثر على النظام. قد تكون الأخيرة قوى الجسم (مثل الجاذبية أو الانجذاب المغناطيسي)، والتي تؤثر في جميع أنحاء حجم المادة؛ ^{[16] : 42–81} أو الأحمال المركزة (مثل الاحتكاك بين المحور والمحمل ، أو وزن عجلة القطار على السكة الحديدية)، والتي يُتصور أنها تؤثر على منطقة ثنائية الأبعاد، أو على طول خط، أو عند نقطة واحدة.

في تحليل الإجهاد، يتجاهل المرء عادةً الأسباب الفيزيائية للقوى أو الطبيعة الدقيقة للمواد. بدلاً من ذلك، يفترض المرء أن الإجهادات مرتبطة بالتشوه (وفي المشكلات غير الثابتة، بمعدل التشوه) للمادة من خلال معادلات تكوينية معروفة . ^[17]

يمكن إجراء تحليل الإجهاد تجريبيًا، من خلال تطبيق الأحمال على القطعة الأثرية الفعلية أو على نموذج المقياس، وقياس الإجهادات الناتجة، بأي من الطرق العديدة المتاحة. غالبًا ما يستخدم هذا النهج لإصدار شهادات السلامة والمراقبة. يتم تحليل معظم الإجهادات بالطرق الرياضية، وخاصة أثناء التصميم. يمكن صياغة مشكلة تحليل الإجهاد الأساسية من خلال معادلات أويلر للحركة للأجسام المستمرة (والتي هي عواقب لقوانين نيوتن للحفاظ على الزخم الخطي والزخم الزاوي ) ومبدأ إجهاد أويلر-كوشي ، جنبًا إلى جنب مع المعادلات التأسيسية المناسبة. وبالتالي، نحصل على نظام من المعادلات التفاضلية الجزئية التي تنطوي على مجال موتر الإجهاد وحقل موتر الانفعال ، كوظائف غير معروفة يجب تحديدها. تظهر قوى الجسم الخارجية كمصطلح مستقل ("الجانب الأيمن") في المعادلات التفاضلية، بينما تظهر القوى المركزة كشروط حدودية. وبالتالي فإن مشكلة تحليل الإجهاد الأساسية هي مشكلة قيمة حدودية .

يعتمد تحليل الإجهاد للهياكل المرنة على نظرية المرونة ونظرية الانفعال اللانهائي في الصغر . عندما تتسبب الأحمال المطبقة في تشوه دائم، يجب على المرء استخدام معادلات تكوينية أكثر تعقيدًا، والتي يمكن أن تفسر العمليات الفيزيائية المعنية ( التدفق البلاستيكي ، الكسر ، تغير الطور ، إلخ). عادةً ما يتم تصميم الهياكل الهندسية بحيث تكون أقصى الضغوط المتوقعة ضمن نطاق المرونة الخطية (تعميم قانون هوك للوسائط المستمرة)؛ أي أن التشوهات الناتجة عن الضغوط الداخلية مرتبطة بها خطيًا. في هذه الحالة تكون المعادلات التفاضلية التي تحدد موتر الإجهاد خطية، وتصبح المشكلة أسهل بكثير. أولاً، سيكون الإجهاد في أي نقطة دالة خطية للأحمال أيضًا. بالنسبة للإجهادات الصغيرة بدرجة كافية، يمكن عادةً افتراض أن الأنظمة غير الخطية خطية.

يتم تبسيط تحليل الإجهاد عندما تسمح الأبعاد الفيزيائية وتوزيع الأحمال بمعاملة الهيكل باعتباره أحادي أو ثنائي الأبعاد. في تحليل العوارض، على سبيل المثال، يمكن افتراض أن مجال الإجهاد موحد وأحادي المحور على كل عضو. ثم يتم تقليص المعادلات التفاضلية إلى مجموعة محدودة من المعادلات (خطية عادةً) ذات عدد محدود من المجهولات. في سياقات أخرى، قد يكون المرء قادرًا على تقليص المشكلة ثلاثية الأبعاد إلى مشكلة ثنائية الأبعاد، و/أو استبدال موتر الإجهاد والانفعال العام بنماذج أبسط مثل الشد/الضغط أحادي المحور، والقص البسيط، وما إلى ذلك.

مع ذلك، بالنسبة للحالات ثنائية الأبعاد أو ثلاثية الأبعاد، يجب حل مشكلة معادلة تفاضلية جزئية. يمكن الحصول على حلول تحليلية أو مغلقة الشكل لمعادلات التفاضل عندما تكون الهندسة والعلاقات التأسيسية والشروط الحدودية بسيطة بدرجة كافية. بخلاف ذلك، يجب اللجوء عمومًا إلى التقريبات العددية مثل طريقة العناصر المحدودة وطريقة الفروق المحدودة وطريقة العناصر الحدودية .

تتضمن مقاييس الإجهاد المفيدة الأخرى موتر إجهاد بيولا-كيرشوف الأول والثاني ، وموتر إجهاد بيو ، وموتر إجهاد كيرشوف .

Conjugate variables of thermodynamics

Pressure Volume (Stress) (Strain) Temperature Entropy Chemical potential Particle number