معامل الارتباط الثنائي النقطي

معامل الارتباط الثنائي النقطي ( r _pb ) هو معامل ارتباط يُستخدم عندما يكون أحد المتغيرات (مثل Y ) ثنائي القيمة ؛ إذ يمكن أن يكون Y ثنائي القيمة "طبيعيًا"، كما هو الحال عند رمي قطعة نقدية والحصول على صورة أو كتابة، أو متغيرًا ثنائي القيمة مصطنعًا. في معظم الحالات، لا يُنصح بتقسيم المتغيرات إلى فئتين اصطناعيًا. ^{[ 1 ]} عند تقسيم متغير جديد إلى فئتين اصطناعيًا، يمكن اعتبار هذا المتغير الجديد ذا استمرارية كامنة. في هذه الحالة، يكون حساب الارتباط الثنائي هو الأنسب.

إن معامل الارتباط الثنائي النقطي مكافئ رياضياً لمعامل ارتباط بيرسون (معامل ارتباط العزم المنتج) ؛ أي أنه إذا كان لدينا متغير X مقاس بشكل مستمر ومتغير Y ثنائي القيمة ، فإن r _XY = r _pb . ويمكن إثبات ذلك بتعيين قيمتين عدديتين مختلفتين للمتغير الثنائي القيمة.

لحساب r _pb ، افترض أن المتغير الثنائي Y له القيمتان 0 و1. إذا قمنا بتقسيم مجموعة البيانات إلى مجموعتين، المجموعة 1 التي حصلت على القيمة "1" على Y والمجموعة 2 التي حصلت على القيمة "0" على Y ، فسيتم حساب معامل الارتباط الثنائي النقطي على النحو التالي:

${\displaystyle r_{pb}={\frac {M_{1}-M_{0}}{s_{n}}}{\sqrt {\frac {n_{1}n_{0}}{n^{2}}}},}$

حيث يمثل s _n الانحراف المعياري المستخدم عندما تكون البيانات متاحة لكل فرد من أفراد المجتمع:

${\displaystyle s_{n}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}}\,,}$

يمثل M1 متوسط ​​قيمة المتغير المستمر X لجميع نقاط البيانات في المجموعة 1، بينما يمثل _{M0 متوسط} ​​قيمة المتغير المستمر X لجميع نقاط البيانات في المجموعة 2. كذلك، يمثل n1 عدد نقاط البيانات في المجموعة 1، _ويمثل n0 _عدد نقاط البيانات في المجموعة 2، _ويمثل n إجمالي حجم العينة. هذه الصيغة هي صيغة حسابية مشتقة من صيغة rXY بهدف تقليل خطوات الحساب؛ فهي أسهل في الحساب من rXY _.

توجد صيغة مكافئة تستخدم s _{n −1} :

${\displaystyle r_{pb}={\frac {M_{1}-M_{0}}{s_{n-1}}}{\sqrt {\frac {n_{1}n_{0}}{n(n-1)}}},}$

حيث يمثل s _{n −1} الانحراف المعياري المستخدم عندما تكون البيانات متاحة فقط لعينة من السكان:

${\displaystyle s_{n-1}={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}}.}$

يُعد استخدام الصيغة التي تستخدم s _{n −1} مفيدًا إذا كان المرء يحسب معاملات الارتباط الثنائي النقطي في لغة برمجة أو بيئة تطوير أخرى حيث توجد دالة متاحة لحساب s _{n −1} ، ولكن لا توجد دالة متاحة لحساب s _n . ^{[ 2 ]}

كما يمكن كتابة مربع معامل الارتباط الثنائي النقطي على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {(M_{1}-M_{0})^{2}}{\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}}\left({\frac {n_{1}n_{0}}{n}}\right)\,.}$

يمكننا اختبار الفرضية الصفرية التي تنص على أن الارتباط يساوي صفرًا في المجتمع الإحصائي. وبإجراء بعض العمليات الجبرية، يتضح أن الصيغة المعتادة لتقييم دلالة معامل الارتباط، عند تطبيقها على r _pb ، هي نفسها صيغة اختبار t للعينات غير المترابطة ، وبالتالي

${\displaystyle r_{pb}{\sqrt {\frac {n_{1}+n_{0}-2}{1-r_{pb}^{2}}}}}$

يتبع توزيع t للطالب مع ( n1 + n0 _- 2 ₎ درجة حرية عندما تكون الفرضية الصفرية صحيحة.

من عيوب معامل التوزيع الثنائي النقطي أنه كلما ابتعد توزيع Y عن التوزيع الطبيعي (50/50)، كلما ضاق نطاق القيم التي يمكن أن يأخذها المعامل. إذا افترضنا أن المتغير الثنائي Y يتبع التوزيع الطبيعي، فإن معامل التوزيع الثنائي يُعد مؤشرًا وصفيًا أفضل : ^{[ 3 ]}

${\displaystyle r_{b}={\frac {M_{1}-M_{0}}{s_{n-1}}}{\frac {n_{1}n_{0}}{n^{2}\phi \left(\Phi ^{-1}\left(n_{1}/n\right)\right)}}{\sqrt {\frac {n}{n-1}}},}$

أين${\displaystyle \phi }$هي كثافة التوزيع الطبيعي بمتوسط ​​صفر وتباين يساوي واحدًا و${\displaystyle \Phi ^{-1}}$هو دالة التوزيع التراكمي العكسية . ليس من السهل حساب ذلك، ومعامل التتابع الثنائي لا يُستخدم على نطاق واسع في الممارسة العملية.

تحدث حالة خاصة من الارتباط الثنائي عندما يكون X هو مجموع عدد من المتغيرات الثنائية، Y أحدها. مثال على ذلك هو عندما يكون X هو الدرجة الإجمالية لشخص ما في اختبار يتكون من n بندًا مُصنفًا ثنائيًا. الإحصائية المهمة (وهي مؤشر التمييز) هي الارتباط بين الاستجابات لبند معين ودرجات الاختبار الإجمالية المقابلة. هناك ثلاث طرق حسابية شائعة الاستخدام، ^{[ 4 ]} تُسمى جميعها الارتباط الثنائي النقطي : (i) ارتباط بيرسون بين درجات البنود ودرجات الاختبار الإجمالية بما في ذلك درجات البنود، (ii) ارتباط بيرسون بين درجات البنود ودرجات الاختبار الإجمالية باستثناء درجات البنود، و(iii) ارتباط مُعدَّل للتحيز الناتج عن تضمين درجات البنود في درجات الاختبار. الارتباط (iii) هو

${\displaystyle r_{upb}={\frac {M_{1}-M_{0}-1}{\sqrt {{\frac {n^{2}s_{n}^{2}}{n_{1}n_{0}}}-2(M_{1}-M_{0})+1}}}.}$

يُعدّ معامل الرتبة الثنائية صيغةً مختلفةً قليلاً عن معامل الرتبة الثنائية النقطية، ويظهر عندما يتكون المتغير X من رتب بينما يكون Y ثنائي القيمة. يمكننا حساب المعامل بنفس طريقة حسابه عندما يكون X متصلاً، ولكن سيظلّ يعاني من نفس العيب، وهو أن نطاق القيم التي يمكن أن يأخذها يصبح أكثر تقييدًا كلما ازداد تباين توزيع Y. ولتجاوز هذه المشكلة، نلاحظ أن المعامل سيبلغ أكبر قيمة له عندما تكون أصغر الرتب جميعها مقابل الصفر، وأكبر الرتب جميعها مقابل الواحد. أما أصغر قيمة له فتكون عندما يكون العكس صحيحًا. هاتان القيمتان هما على التوالي زائد وناقص ( _n1 + n0 ) /2. وبالتالي _، يمكننا استخدام مقلوب هذه القيمة لإعادة قياس الفرق بين متوسط ​​الرتب المرصودة على الفترة من زائد واحد إلى ناقص واحد. والنتيجة هي  

${\displaystyle r_{rb}=2{\frac {M_{1}-M_{0}}{n_{1}+n_{0}}},}$

حيث يمثل M1 و M0 على التوالي متوسطي الرتب المقابلة للقيمتين 1 و0 للمتغير الثنائي. هذه الصيغة، التي تُبسط الحساب من خلال عدّ حالات الاتفاق والانقلاب، تعود إلى جين ف. جلاس (1966 _{) .}

يمكن استخدام هذا لاختبار الفرضية الصفرية لانعدام الارتباط في المجتمع الذي سُحبت منه العينة. إذا حُسبت قيمة r _{rb كما سبق، فإن القيمة الأصغر من}

${\displaystyle (1+r_{rb}){\frac {n_{1}n_{0}}{2}}}$

و

${\displaystyle (1-r_{rb}){\frac {n_{1}n_{0}}{2}}}$

يتم توزيعها وفقًا لتوزيع مان-ويتني U بأحجام عينات n ₁ و n ₀ عندما تكون الفرضية الصفرية صحيحة.

• معامل الارتباط الثنائي النقطي (كيث كالكنز، 2005)