نقطة بنقطة

📅 آخر تحديث: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 25 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُستخدم مصطلح "نقطة بنقطة" للإشارة إلى أن خاصية معينة تُعرَّف من خلال النظر في كل قيمة.و(x){\displaystyle f(x)}من وظيفة ماو.{\displaystyle f.}تُعدّ العمليات النقطية فئةً مهمةً من المفاهيم النقطية ، أي العمليات المُعرّفة على الدوال بتطبيقها على قيم الدوال بشكلٍ منفصل لكل نقطة في مجال التعريف. كما يُمكن تعريف العلاقات المهمة نقطيًا.

عمليات نقطية

مجموع (الرسم العلوي، بنفسجي) وحاصل ضرب (أخضر) دالتي الجيب ( الرسم السفلي، أزرق) واللوغاريتم الطبيعي (أحمر) عند نقطة معينة. يُظهر الجزء الرأسي المظلل الحساب عند النقطة x = 2π.

التعريف الرسمي

يمكن رفع العملية الثنائية o : Y × Y → Y على مجموعة Y نقطيًا إلى عملية O : ( X → Y ) × ( X → Y ) → ( X → Y ) على مجموعة X → Y لجميع الدوال من X إلى Y كما يلي: بفرض وجود دالتين f 1 : X → Y و f 2 : X → Y ، نُعرّف الدالة O ( f 1 , f 2 ): X → Y كما يلي:

( O ( f 1 , f 2 ))( x ) = o ( f 1 ( x ), f 2 ( x )) لجميع x ∈ X .

عادةً، يُرمز إلى o و O بنفس الرمز. ويُستخدم تعريف مماثل للعمليات الأحادية o ، وللعمليات ذات عدد المعاملات الأخرى .

أمثلة

الإضافة النقطيةو+ز{\displaystyle f+g}من وظيفتينو{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}يتم تعريف المجال والمجال المقابل المتماثلين كما يلي:

(و+ز)(x)=و(x)+ز(x).{\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x).}

الضرب النقطي أو الضرب النقطي هو:

(و⋅ز)(x)=و(x)⋅ز(x).{\displaystyle (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x).}

عادةً ما يُكتب الضرب النقطي مع عدد قياسي بحيث يكون الحد القياسي أولاً. وبالتالي، عندماλ{\displaystyle \lambda }هو قيمة عددية :

(λ⋅و)(x)=λ⋅و(x).{\displaystyle (\lambda \cdot f)(x)=\lambda \cdot f(x).}

ومن الأمثلة على العمليات التي تُجرى على الدوال والتي لا تُجرى على مستوى النقطة، عملية الالتفاف .

ملكيات

ترث العمليات النقطية خصائص مثل التجميعية والتبديلية والتوزيعية من العمليات المقابلة لها على المجال المقابل . إذاأ{\displaystyle A} هي بنية جبرية ما ، مجموعة جميع الدوالX{\displaystyle X}إلى مجموعة حاملة منأ{\displaystyle A}يمكن تحويلها إلى بنية جبرية من نفس النوع بطريقة مماثلة.

العمليات على مستوى المكونات

تُعرَّف العمليات على مستوى المكونات عادةً على المتجهات، حيث تكون المتجهات عناصر من المجموعةكن{\displaystyle K^{n}}لبعض الأعداد الطبيعيةن{\displaystyle n}وبعض الحقولك{\displaystyle K}إذا رمزنا إلىأنا{\displaystyle i}المكون رقم n لأي متجهv{\displaystyle v}مثلvأنا{\displaystyle v_{i}}ثم يكون الجمع العنصري هو(u+v)أنا=uأنا+vأنا{\displaystyle (u+v)_{i}=u_{i}+v_{i}}.

يمكن تعريف العمليات على مستوى المكونات في المصفوفات. جمع المصفوفات، حيث(أ+ب)أناج=أأناج+بأناج{\displaystyle (A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}}هي عملية تعتمد على مكوناتها، بينما ضرب المصفوفات ليس كذلك.

يمكن اعتبار المجموعة المرتبة بمثابة دالة، والمتجه هو مجموعة مرتبة. لذلك، أي متجهv{\displaystyle v}يتوافق مع الوظيفةو:ن→ك{\displaystyle f:n\to K}بحيثو(أنا)=vأنا{\displaystyle f(i)=v_{i}}، وأي عملية على مستوى المكونات على المتجهات هي عملية على مستوى النقاط على الدوال المقابلة لتلك المتجهات.

العلاقات النقطية

في نظرية الترتيب، من الشائع تعريف ترتيب جزئي نقطي على الدوال. مع مجموعتين جزئيتين A و B ، يمكن ترتيب مجموعة الدوال A → B بتعريف f ≤ g إذا كان (∀ x ∈ A) f ( x ) ≤ g ( x ) . يرث الترتيب النقطي أيضًا بعض خصائص المجموعات الجزئية الأساسية. على سبيل المثال، إذا كانت A وB شبكتين متصلتين ، فإن مجموعة الدوال A → B ذات الترتيب النقطي تكون كذلك. [ 1 ] باستخدام الترتيب النقطي على الدوال، يمكن تعريف مفاهيم مهمة أخرى بإيجاز، على سبيل المثال: [ 2 ]

من أمثلة العلاقات النقطية اللانهائية التقارب النقطي للدوال - وهو عبارة عن سلسلة من الدوال (ون)ن=1∞{\displaystyle (f_{n})_{n=1}^{\infty }} مع ون:X⟶Y{\displaystyle f_{n}:X\longrightarrow Y}تتقارب نقطيًا إلى دالة f إذا كان لكل x في Xليمن→∞ون(x)=و(x).{\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x).}

ملحوظات

  1. ↑ جيرز وآخرون، ص. xxxiii
  2. ↑ جيرز وآخرون، ص 26

مراجع

أمثلة على نظرية الترتيب:

  • تي إس بليث، الشبكات والهياكل الجبرية المرتبة ، سبرينغر، 2005، رقم ISBN 1-85233-905-5.
  • G. Gierz, KH Hofmann, K. Keimel, JD Lawson, M. Mislove, DS Scott : Continuous Lattices and Domains , Cambridge University Press, 2003.

تتضمن هذه المقالة مواد من موقع Pointwise على PlanetMath ، وهي مرخصة بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .