كودومين

في الرياضيات ، يُعرف المجال المقابل أو مجموعة الوجهة للدالة بأنه المجموعة التي تقع ضمنها جميع مخرجات الدالة. وهي المجموعة Y في الترميز f : X → Y. يُستخدم مصطلح المدى أحيانًا بشكل ملتبس للإشارة إما إلى المجال المقابل أو إلى صورة الدالة. 

المجال المقابل هو جزء من الدالة f إذا عُرّفت f على أنها ثلاثية ( X , Y , G ) ، حيث يُسمى X مجال f ، و Y مجالها المقابل ، و G رسمها البياني . ^{[ 1 ]} تُسمى مجموعة جميع العناصر التي تأخذ الشكل f ( x ) ، حيث x يقع على عناصر المجال X ، صورة f . صورة الدالة هي مجموعة جزئية من مجالها المقابل، لذا قد لا تتطابق معه. بمعنى آخر، الدالة غير الشاملة لها عناصر y في مجالها المقابل لا يوجد لها حل للمعادلة f ( x ) = y .

لا يُعدّ المجال المقابل جزءًا من الدالة f إذا عُرّفت f على أنها مجرد رسم بياني. ^{[ 2 ] [ 3 ]} على سبيل المثال، في نظرية المجموعات، يُفضّل أن يكون مجال الدالة فئةً حقيقيةً X ، وفي هذه الحالة لا يوجد رسميًا ما يُسمى بالثلاثية ( X , Y , G ) . مع هذا التعريف، لا تمتلك الدوال مجالًا مقابلًا، على الرغم من أن بعض المؤلفين ما زالوا يستخدمونه بشكل غير رسمي بعد تقديم دالة على ^الصورة f : X → Y. ^{[ 4} ]

لوظيفة

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$

محدد بواسطة

${\displaystyle f\colon \,x\mapsto x^{2},}$أو ما يعادل ذلك${\displaystyle f(x)\ =\ x^{2},}$

المجال المقابل للدالة f هو${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} }$لكن f لا تُقابل أي عدد سالب. وبالتالي فإن صورة f هي المجموعة${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} _{0}^{+}}$أي الفترة [ 0، ∞) .

يتم تعريف الدالة البديلة g على النحو التالي:

${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}}$

${\displaystyle g\colon \,x\mapsto x^{2}.}$

على الرغم من أن الدالتين f و g تربطان قيمة x معينة بنفس العدد، إلا أنهما ليستا، من هذا المنظور، نفس الدالة لأن لهما نطاقين مختلفين. ويمكن تعريف دالة ثالثة h لتوضيح السبب.

${\displaystyle h\colon \,x\mapsto {\sqrt {x}}.}$

لا يمكن أن يكون مجال h${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} }$لكن يمكن تعريفها على أنها${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} _{0}^{+}}$:

${\displaystyle h\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\rightarrow \mathbb {R} .}$

يُشار إلى هذه المؤلفات بـ

${\displaystyle h\circ f,}$

${\displaystyle h\circ g.}$

بالتدقيق، نجد أن h ∘ f غير مفيد. صحيح، ما لم يُعرّف خلاف ذلك، أن صورة f غير معروفة؛ المعروف فقط أنها مجموعة جزئية من${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} }$لهذا السبب، من الممكن أن تتلقى الدالة h ، عند تركيبها مع f ، وسيطًا لا يتم تعريف مخرجاته - فالأعداد السالبة ليست عناصر من مجال الدالة h ، وهي دالة الجذر التربيعي .

لذلك فإن تركيب الدوال هو مفهوم مفيد فقط عندما يكون المجال المقابل للدالة على الجانب الأيمن من التركيب (وليس صورتها ، التي هي نتيجة للدالة ويمكن أن تكون غير معروفة على مستوى التركيب) مجموعة فرعية من مجال الدالة على الجانب الأيسر.

يؤثر المجال المقابل على ما إذا كانت الدالة شاملة ، حيث تكون الدالة شاملة إذا وفقط إذا كان مجالها المقابل يساوي صورتها. في المثال، الدالة g شاملة بينما الدالة f ليست كذلك. لا يؤثر المجال المقابل على ما إذا كانت الدالة أحادية .

مثال آخر على الفرق بين المجال المقابل والصورة يتضح من خلال التحويلات الخطية بين فضاءين متجهيين - على وجه الخصوص، جميع التحويلات الخطية من${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$إلى نفسها، والتي يمكن تمثيلها بمصفوفات 2 ×2 ذات معاملات حقيقية. تمثل كل مصفوفة تطبيقًا مع المجال${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$والمجال المشترك${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ومع ذلك، فإن الصورة غير مؤكدة. قد تكون صورة بعض التحويلات مساوية للمجال المقابل بأكمله (في هذه الحالة، المصفوفات ذات الرتبة 2 )، لكن العديد منها لا يكون كذلك، بل يُسقط على فضاء فرعي أصغر (المصفوفات ذات الرتبة 1 أو 0 ). خذ على سبيل المثال المصفوفة T المعطاة بـ

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}}$

وهو ما يمثل تحويلاً خطياً ينقل النقطة ( x , y ) إلى ( x , x ) . النقطة (2, 3) ليست في صورة T ، ولكنها لا تزال في المجال المقابل لأن التحويلات الخطية من${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ل${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ذات صلة واضحة. وكما هو الحال مع جميع المصفوفات من الرتبة 2×2 ، يُمثل T عنصرًا من تلك المجموعة. غالبًا ما يكون فحص الاختلافات بين الصورة والمجال المقابل مفيدًا لاكتشاف خصائص الدالة قيد الدراسة. على سبيل المثال، يمكن استنتاج أن T ليس لها رتبة كاملة لأن صورتها أصغر من المجال المقابل بأكمله.

• التناظر التقابلي – التناظر الأحادي 
• التشوه §  المجال المشترك
• الوظيفة الداخلية – وظيفة لها نفس المجال والمجال المشترك 

• بورباكي، نيكولاس (1970). نظرية المجموعات . عناصر الرياضيات. سبرينغر. رقم ISBN 9783540340348.
• إيكلز، بيتر ج. (1997)، مقدمة في الاستدلال الرياضي: الأعداد والمجموعات والدوال ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-59718-0
• فورستر، توماس (2003)، المنطق والاستقراء والمجموعات ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-53361-4
• ماك لين، سوندرز (1998)، التصنيفات للرياضيين العاملين (  الطبعة الثانية)، سبرينغر، رقم ISBN 978-0-387-98403-2
• سكوت، دانا س .؛ جيتش، توماس ج. (1967)، نظرية المجموعات البديهية ، ندوة في الرياضيات البحتة، الجمعية الرياضية الأمريكية، ISBN 978-0-8218-0245-8
• شارما، أ.ك. (2004)، مقدمة في نظرية المجموعات ، دار ديسكفري للنشر، رقم ISBN 978-81-7141-877-0
• ستيوارت، إيان ؛ تال، ديفيد أورم (1977)، أسس الرياضيات ، مطبعة جامعة أكسفورد، ISBN 978-0-19-853165-4