ازدواجية تيت

في الرياضيات ، ازدواجية تيت أو ازدواجية بواتو-تيت هي نظرية ازدواجية لمجموعات غالوا المتماثلة للوحدات النمطية على مجموعة غالوا لحقل عددي جبري أو حقل محلي ، قدمها جون تيت ( 1962 ) وجورج بواتو ( 1967 ) .  

بالنسبة للحقل المحلي p -adic${\displaystyle k}$تنص ثنائية تيت المحلية على وجود اقتران مثالي للمجموعات المنتهية الناشئة عن علم التماثل لغالوا:

${\displaystyle \displaystyle H^{r}(k,M)\times H^{2-r}(k,M')\rightarrow H^{2}(k,\mathbb {G} _{m})=\mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$

أين${\displaystyle M}$هو مخطط مجموعة منتهية،${\displaystyle M'}$ثنائيته${\displaystyle \operatorname {Hom} (M,\mathbb {G} _{m})}$، و${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$هي المجموعة الضربية . بالنسبة لحقل محلي ذي خاصية${\displaystyle p>0}$العبارة مشابهة، باستثناء أن الاقتران يأخذ قيمًا في${\displaystyle H^{2}(k,\mu )=\bigcup _{p\nmid n}{\tfrac {1}{n}}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} }$[ ^{1 ] ينطبق} هذا البيان أيضًا عندما${\displaystyle k}$هو حقل أرخميدس ، على الرغم من أن تعريف مجموعات التماثل يبدو مختلفًا إلى حد ما في هذه الحالة.

بالنظر إلى مخطط مجموعة منتهية${\displaystyle M}$على نطاق عالمي${\displaystyle k}$ترتبط ثنائية تيت العالمية بتجانس التماثل لـ${\displaystyle M}$مع ذلك من${\displaystyle M'=\operatorname {Hom} (M,\mathbb {G} _{m})}$باستخدام الاقترانات المحلية التي تم إنشاؤها أعلاه. ويتم ذلك عبر خرائط التوطين.

${\displaystyle \alpha _{r,M}:H^{r}(k,M)\rightarrow {\prod _{v}}'H^{r}(k_{v},M),}$

أين${\displaystyle v}$يختلف ذلك في جميع أنحاء أماكن${\displaystyle k}$وحيث${\displaystyle \prod '}$يشير إلى حاصل ضرب مقيد بالنسبة لمجموعات التماثل غير المتفرعة. ويؤدي جمع الاقترانات المحلية إلى اقتران مثالي قانوني.

${\displaystyle {\prod _{v}}'H^{r}(k_{v},M)\times {\prod _{v}}'H^{2-r}(k_{v},M')\rightarrow \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .}$

ينص أحد جوانب ثنائية بواتو-تيت على أنه في ظل هذا الاقتران، فإن صورة${\displaystyle H^{r}(k,M)}$له مُبيد يساوي صورة${\displaystyle H^{2-r}(k,M')}$ل${\displaystyle r=0,1,2}$.

الخريطة${\displaystyle \alpha _{r,M}}$لها نواة محدودة لجميع${\displaystyle r}$كما يقوم تيت أيضاً بإنشاء اقتران مثالي نموذجي.

${\displaystyle {\text{ker}}(\alpha _{1,M})\times \ker(\alpha _{2,M'})\rightarrow \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .}$

غالباً ما تُعرض هذه الثنائيات في شكل متتالية تامة مكونة من تسعة حدود

${\displaystyle 0\rightarrow H^{0}(k,M)\rightarrow {\prod _{v}}'H^{0}(k_{v},M)\rightarrow H^{2}(k,M')^{*}}$

${\displaystyle \rightarrow H^{1}(k,M)\rightarrow {\prod _{v}}'H^{1}(k_{v},M)\rightarrow H^{1}(k,M')^{*}}$

${\displaystyle \rightarrow H^{2}(k,M)\rightarrow {\prod _{v}}'H^{2}(k_{v},M)\rightarrow H^{0}(k,M')^{*}\rightarrow 0.}$

هنا، تشير العلامة النجمية إلى ثنائي بونترياجين لمجموعة أبيلية محلية مضغوطة معينة.

قدم تيت جميع هذه التصريحات بصورة أكثر عمومية اعتمادًا على مجموعة من الأماكن${\displaystyle S}$ل${\displaystyle k}$، حيث تمثل العبارات المذكورة أعلاه شكل نظرياته في الحالة التي${\displaystyle S}$يحتوي على جميع أماكن${\displaystyle k}$. للحصول على النتيجة الأكثر عمومية، انظر على سبيل المثال Neukirch و Schmidt و Wingberg (2000 ، النظرية 8.4.4) .

من بين أمور أخرى، تُثبت ثنائية بواتو-تيت وجود اقتران مثالي بين مجموعات شافاريفيتش معينة . بالنظر إلى حقل عالمي${\displaystyle k}$، مجموعة S من الأعداد الأولية، والامتداد الأقصى${\displaystyle k_{S}}$والتي لا تتفرع خارج S ، فإن مجموعات شافاريفيتش تجسد، بشكل عام، تلك العناصر في علم التماثل لـ${\displaystyle \operatorname {Gal} (k_{S}/k)}$والتي تختفي في علم التماثل لغالوا للحقول المحلية المتعلقة بالأعداد الأولية في S. ^{[ 2 ]}

امتداد للحالة التي تكون فيها حلقة الأعداد الصحيحة S${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$يتم استبدالها بمخطط منتظم من نوع محدود على${\displaystyle \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{S}}$وقد أظهر ذلك جيسر وشميدت (2018) . ويُعزى تعميم آخر إلى تشيسنافيتشوس، الذي خفف الشرط المفروض على مجموعة التحديد S باستخدام علم التماثل المسطح على المنحنيات الملساء المناسبة. ^{[ 3 ]}

• ثنائية أرتين-فيردييه
• تيت بيرفيو

• جيسر، توماس هـ.؛ شميدت، ألكسندر (2018)، "ازدواجية بواتو-تيت للمخططات الحسابية"، كومبوزيتيو ماثيماتيكا ، 154 (9): 2020-2044 ، arXiv : 1709.06913 ، Bibcode : 2017arXiv170906913G ، doi : 10.1112/S0010437X18007340 ، S2CID 119735104 
• هابرلاند، كلاوس (1978)، علم تجانس جالوا لحقول الأعداد الجبرية ، VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften ، ISBN 9780685872048، MR 0519872 
• نيوكيرش، يورغن؛ شميدت، ألكسندر؛ وينغبيرغ، كاي (2000)، علم التماثل لحقول الأعداد ، سبرينغر، ISBN 3-540-66671-0MR 1737196​ 
• بواتو ، جورج (1967)، “الخصائص العالمية للوحدات النهائية”، Cohomologie galoisienne des الوحدات النهائية ، ندوة معهد الرياضيات في ليل، تحت إشراف جي. بواتو. Travaux et Recherches Mathématiques، المجلد.  13، باريس: دونود، الصفحات 255-277 ، السيد 0219591  
• تيت، جون (1962)، "نظريات الازدواجية في علم التماثل لغالوا على حقول الأعداد" ، وقائع المؤتمر الدولي للرياضيات (ستوكهولم، 1962) ، ديورشولم: معهد ميتاغ-ليفلر، ص 288-295 ، MR 0175892 ، مؤرشف من الأصل بتاريخ 17-07-2011