القطب والقطبي

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 32 صور
الموسوعة الحرة
الخط القطبي q إلى قطب Q بالنسبة لدائرة مركزها النقطة O. النقطة P هي نقطة انعكاس Q ؛ والخط القطبي هو الخط المار بـ P والعمودي على الخط الذي يحتوي على O و P و Q.

في الهندسة ، القطب والقطبي هما على التوالي نقطة وخط لهما علاقة تبادلية فريدة بالنسبة لقسم مخروطي معين .

التحويل القطبي المتبادل في مقطع مخروطي معين هو تحويل كل نقطة في المستوى إلى خطها القطبي، وكل خط في المستوى إلى قطبه. في الهندسة الإسقاطية ، يوفر هذا تطابقًا تامًا بين النقاط والخطوط في المستوى الإسقاطي. ويراعي هذا التطابق التلاقي، بمعنى أن النقطةP{\displaystyle P}يقع على خطل{\displaystyle l}إذا وفقط إذا كان قطبل{\displaystyle l}الإعجابات على القطب الشمالي لـP{\displaystyle P}.

ملكيات

للقطبية والقطبية العديد من الخصائص المفيدة:

  • إذا كانت نقطةP{\displaystyle P}يقع على القطب الشمالي لنقطةسؤال{\displaystyle Q}، ثمسؤال{\displaystyle Q}يقع على القطب الشماليP{\displaystyle P}(نظرية لا هير)
  • إذا كانت نقطةP{\displaystyle P}يتحرك على طول خطل{\displaystyle l}قطبيهاص{\displaystyle p}يدور حول القطبل{\displaystyle L}من الخطل{\displaystyle l}.
  • إذا أمكن رسم خطين مماسين من نقطة إلى القطع المخروطي، فإن مساره القطبي يمر عبر كلتا النقطتين المماستين.
  • إذا كانت نقطة ما تقع على القطع المخروطي، فإن قطبها هو المماس المار بهذه النقطة للقطع المخروطي.
  • إذا كانت نقطةP{\displaystyle P}تقع على خطها القطبي الخاص، إذنP{\displaystyle P}يقع على القطع المخروطي.
  • لكل خط، بالنسبة إلى مقطع مخروطي غير منحط، قطب واحد بالضبط؛ ولكل نقطة خط قطبي واحد بالضبط.
  • إذا كان هناك خطل{\displaystyle l}يتقاطع مع قطع مخروطيج{\displaystyle C}في بعض النقاطأ{\displaystyle A}وب{\displaystyle B}، وP{\displaystyle P}هي نقطة علىل{\displaystyle l}ثم تقاطعل{\displaystyle l}والقطبيةP{\displaystyle P}بالنسبة إلىج{\displaystyle C}هو المرافق التوافقي لـP{\displaystyle P}بالنسبة إلىأ{\displaystyle A}وب{\displaystyle B}.

حالة خاصة من الدوائر

قطب الخط q في الدائرة C هو النقطة Q التي تمثل انعكاس النقطة P على q الأقرب إلى مركز الدائرة في الدائرة (انظر الشكل على اليمين). وبالعكس، فإن قطب النقطة Q في الدائرة C هو الخط q الذي تكون أقرب نقطة P إليه من مركز الدائرة هي انعكاس النقطة Q في الدائرة . قطب مركز الدائرة هو الخط عند اللانهاية ، وقطب هذا الخط هو مركز الدائرة. تقع أقطاب الخطوط المارة بمركز الدائرة على الخط عند اللانهاية.

إذا كانت النقطة A تقع على الخط القطبي q للنقطة Q ، فإن Q تقع على الخط القطبي a للنقطة A. ويُشار إلى هذا أحيانًا بنظرية لاهير. وبشكل أعم، يجب أن تمر الخطوط القطبية لجميع النقاط الواقعة على الخط q بقطبه Q.

العلاقة بين الأقطاب والمتجهات القطبية علاقة تبادلية. فإذا كانت النقطة A تقع على الخط القطبي q للنقطة Q ، فإن النقطة Q تقع بالضرورة على الخط القطبي a للنقطة A. (نظرية لاهير). ولا يشترط أن يكون الخطان القطبيان a و q متوازيين.

يوجد وصف آخر للخط القطبي للنقطة P في حالة وقوعها خارج الدائرة C. في هذه الحالة، يوجد خطان يمران بالنقطة P ويماسان الدائرة ، ويكون الخط القطبي للنقطة P هو الخط الواصل بين نقطتي التماس (غير موضح هنا). يُبين هذا أن القطب والخط القطبي مفهومان في الهندسة الإسقاطية للمستوى ، ويمكن تعميمهما ليشمل أي قطع مخروطي غير شاذ مكان الدائرة C.

التبادل القطبي

توضيح للازدواجية بين النقاط والخطوط، والمعنى المزدوج لكلمة "الوقوع". إذا مر خطان a و k بنقطة واحدة Q ، فإن القطب q للنقطة Q يصل بين قطبي الخطين a و k ، A و K ، على التوالي.

تطورت مفاهيم القطب وخطه القطبي في الهندسة الإسقاطية . فعلى سبيل المثال، يمكن اعتبار الخط القطبي مجموعة من المرافقات التوافقية الإسقاطية لنقطة معينة، وهي القطب، بالنسبة إلى القطع المخروطي. وتُعرف عملية استبدال كل نقطة بخطها القطبي والعكس بالقطبية.

القطبية هي علاقة ارتباطية هي أيضاً انقلاب .

بالنسبة لنقطة ما P وقطبها p ، فإن أي نقطة أخرى Q على p هي قطب خط q يمر عبر P. وهذا يشكل علاقة تبادلية، وهي علاقة يتم فيها الحفاظ على حالات الوقوع. [ 1 ]

القطوع المخروطية العامة

الخط p هو الخط القطبي إلى النقطة P ، والخط l إلى النقطة L ، والخط m إلى النقطة M
يمثل p الخط القطبي إلى النقطة P  ؛ ويمثل m الخط القطبي إلى النقطة M

يمكن تعميم مفاهيم القطب، والقطبية، والتبادل من الدوائر إلى القطوع المخروطية الأخرى ، وهي القطع الناقص ، والقطع الزائد ، والقطع المكافئ . هذا التعميم ممكن لأن القطوع المخروطية تنتج عن تبادل دائرة داخل دائرة أخرى، والخصائص المرتبطة بها، مثل زاوية السقوط والنسبة التبادلية ، تبقى محفوظة تحت جميع التحويلات الإسقاطية .

حساب القطبية لنقطة

يمكن كتابة القطع المخروطي العام كمعادلة من الدرجة الثانية في الإحداثيات الديكارتية ( x ، y ) للمستوى

أxxx2+2أxyxy+أyyy2+2بxx+2بyy+ج=0{\displaystyle A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0}

حيث A xx و A xy و A yy و B x و B y و C هي ثوابت تُعرّف المعادلة. بالنسبة لهذا القطع المخروطي، يُعرّف الخط القطبي إلى نقطة قطبية معينة ( ξ , η ) بالمعادلة

دx+هـy+F=0{\displaystyle Dx+Ey+F=0\,}

حيث أن D و E و F هي ثوابت تعتمد على إحداثيات القطب ( ξ , η ).

د=أxxξ+أxyη+بxهـ=أxyξ+أyyη+بyF=بxξ+بyη+ج$

حساب قطب الخط

عمود الخط دx+هـy+F=0{\displaystyle Dx+Ey+F=0}، بالنسبة إلى المقطع المخروطي غير المتدهور أxxx2+2أxyxy+أyyy2+2بxx+2بyy+ج=0{\displaystyle A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0} يمكن حسابها على خطوتين.

أولاً، احسب الأعداد x و y و z من

[xyz]=[أxxأxyبxأxyأyyبyبxبyج]-1[دهـF]{\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{xx}&A_{xy}&B_{x}\\A_{xy}&A_{yy}&B_{y}\\B_{x}&B_{y}&C\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}D\\E\\F\end{bmatrix}}}

الآن، القطب هو النقطة ذات الإحداثيات(xz،yz){\displaystyle \left({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}}\right)}

جداول العلاقات بين الأقطاب

مخروطيمعادلةقطبية النقطةP=(x0،y0){\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}
دائرةx2+y2=ر2{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}x0x+y0y=ر2{\displaystyle x_{0}x+y_{0}y=r^{2}}
القطع الناقص(xأ)2+(yب)2=1{\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}x0xأ2+y0yب2=1{\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1}
القطع الزائد(xأ)2-(yب)2=1{\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}x0xأ2-y0yب2=1{\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1}
القطع المكافئy=أx2{\displaystyle y=ax^{2}}y+y0=2أx0x{\displaystyle y+y_{0}=2ax_{0}x}

مخروطيمعادلةقطب الخط ux + vy = w
دائرةx2+y2=ر2{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}(ر2uw،ر2vw){\displaystyle \left({\frac {r^{2}u}{w}},\;{\frac {r^{2}v}{w}}\right)}
القطع الناقص(xأ)2+(yب)2=1{\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}(أ2uw،ب2vw){\displaystyle \left({\frac {a^{2}u}{w}},\;{\frac {b^{2}v}{w}}\right)}
القطع الزائد(xأ)2-(yب)2=1{\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}(أ2uw،-ب2vw){\displaystyle \left({\frac {a^{2}u}{w}},\;-{\frac {b^{2}v}{w}}\right)}
القطع المكافئy=أx2{\displaystyle y=ax^{2}}(-u2أv،-wv){\displaystyle \left(-{\frac {u}{2av}},\;-{\frac {w}{v}}\right)}

عبر المربع الكامل

في الهندسة الإسقاطية ، يتقاطع خطان في مستوى واحد دائمًا. وبالتالي، إذا كانت لدينا أربع نقاط تشكل شكلًا رباعيًا كاملًا ، فإن الخطوط التي تربط هذه النقاط تتقاطع في ثلاث نقاط قطرية إضافية .

بفرض وجود نقطة Z لا تقع على القطع المخروطي C ، ارسم قاطعين من Z يمران عبر C ويتقاطعان في النقاط A و B و D و E. تشكل هذه النقاط الأربع شكلاً رباعياً كاملاً، وتقع Z عند إحدى نقاط القطر. الخط الواصل بين نقطتي القطر الأخريين هو قطب Z ، و Z هي قطب هذا الخط. [ 2 ]

التطبيقات

تم تعريف الأقطاب والمستقطبات بواسطة جوزيف دياز جيرجون، وتلعب دورًا مهمًا في حله لمشكلة أبولونيوس . [ 3 ]

في الديناميكا المستوية، يُمثل القطب مركز الدوران، بينما يُمثل الخط القطبي خط تأثير القوة، ويُمثل القطع المخروطي مصفوفة الكتلة والعزم. [ 4 ] تُستخدم علاقة القطب-الخط القطبي لتحديد مركز الارتطام لجسم صلب مستوٍ. إذا كان القطب هو نقطة الارتكاز، فإن الخط القطبي يُمثل خط تأثير الارتطام كما هو موضح في نظرية اللولب المستوي .

انظر أيضاً

فهرس

مراجع

  1. ↑ إدواردز، لورانس؛ الهندسة الإسقاطية ، الطبعة الثانية، فلوريس (2003). ص 125-126.
  2. ↑ جي بي هالستيد (1906) الهندسة الإسقاطية التركيبية ، صفحة 25 عبر أرشيف الإنترنت
  3. ↑ "مشكلة أبولونيوس: دراسة للحلول وعلاقاتها" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 4 يونيو 2013 .
  4. ↑ أطروحة جون أليكسيو، الفصل 5، الصفحات 80-108. مؤرشفة بتاريخ 19 يوليو 2011 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).