القطع المكافئ

في الإحداثيات الديكارتية ، إذا كان الرأس${\displaystyle V}$⁠ هي نقطة الأصل، والمعادلة هي معادلة الدليل${\displaystyle y=-f}$ثم، من خلال دراسة الحالة${\displaystyle x=0}$، التركيز${\displaystyle F}$⁠ على الجانب الإيجابي ⁠${\displaystyle y}$المحور - مع${\displaystyle F=(0,f)}$، حيث${\displaystyle f}$⁠ هو البعد البؤري.

يشير التوصيف الهندسي المذكور أعلاه إلى أن النقطة ${\displaystyle P=(x,y)}$يقع على القطع المكافئ إذا وفقط إذا $${\displaystyle x^{2}+(yf)^{2}=(y+f)^{2}.}$$حل لـ${\displaystyle y}$العائد $${\displaystyle y={\frac {1}{4f}}x^{2}.}$$

هذا القطع المكافئ على شكل حرف U ( مفتوح من الأعلى ).

يقع الوتر الأفقي المار بالبؤرة على خط المعادلة .${\displaystyle y=f}$( انظر الصورة في القسم الافتتاحي)؛ يُسمى هذا الجزء بالعضلة المستقيمة العريضة ؛ ونصفه يُسمى نصف العضلة المستقيمة العريضة . العضلة المستقيمة العريضة موازية للدليل. يُرمز لنصف العضلة المستقيمة العريضة بـ${\displaystyle p}$من المعادلة التي تحققها نهايتا العضلة المستقيمة العريضة، نحصل على $${\displaystyle p=2f.}$$ وبالتالي، فإن نصف المستقيم اللبني هو المسافة من البؤرة إلى الدليل. باستخدام المعامل${\displaystyle p}$يمكن إعادة كتابة معادلة القطع المكافئ على النحو التالي $${\displaystyle x^{2}=2py.}$$

وبشكل أعم، إذا كان الرأس${\displaystyle V=(v_{1},v_{2})}$، التركيز${\displaystyle F=(v_{1},v_{2}+f)}$والمديرة${\displaystyle y=v_{2}-f}$، ومن ثم نحصل على المعادلة $${\displaystyle y={\frac {1}{4f}}(x-v_{1})^{2}+v_{2}={\frac {1}{4f}}x^{2}-{\frac {v_{1}}{2f}}x+{\frac {v_{1}^{2}}{4f}}+v_{2}.}$$

ملاحظات :

• لو${\displaystyle f<0}$في المعادلات أعلاه نحصل على قطع مكافئ بفتحة هابطة.
• الفرضية القائلة بأن المحور موازٍ لـ${\displaystyle y}$يشير المحور السيني إلى أن القطع المكافئ هو تمثيل بياني لدالة تربيعية . وعلى العكس من ذلك، فإن التمثيل البياني لأي دالة تربيعية هو قطع مكافئ (انظر القسم التالي).
• إذا قام المرء بالتبادل${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$، فنحصل على معادلات من الشكل${\displaystyle y^{2}=2px}$تفتح هذه القطوع المكافئة إلى اليسار (إذا${\displaystyle p<0}$) أو إلى اليمين (إذا${\displaystyle p>0}$).

إذا كان التركيز${\displaystyle F=(f_{1},f_{2})}$والمديرة${\displaystyle ax+by+c=0}$ثم نحصل على المعادلة $${\displaystyle {\frac {(ax+by+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}=(x-f_{1})^{2}+(y-f_{2})^{2}}$$

(يستخدم الجانب الأيسر من المعادلة الشكل الطبيعي لهيس للخط لحساب المسافة)${\displaystyle |Pl|}$).

للحصول على معادلة بارامترية للقطع المكافئ في الوضع العام، انظر §  كصورة أفينية للقطع المكافئ الواحدي .

تُعرَّف المعادلة الضمنية للقطع المكافئ بواسطة متعددة حدود غير قابلة للاختزال من الدرجة الثانية: $${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0,}$$ بحيث${\displaystyle b^{2}-4ac=0,}$أو، على نحو مماثل، بحيث${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$هو مربع كثير الحدود الخطي .

يمثل الرسم التخطيطي مخروطًا محوره AV ، ونقطة A هي رأسه . يميل مقطع عرضي مائل للمخروط، موضح باللون الوردي، عن المحور بنفس الزاوية θ التي يميل بها جانب المخروط. ووفقًا لتعريف القطع المكافئ بأنه مقطع مخروطي، فإن حدود هذا المقطع العرضي الوردي EPD هي قطع مكافئ.

يمر مقطع عرضي عمودي على محور المخروط برأس القطع المكافئ P. هذا المقطع دائري، ولكنه يبدو بيضاويًا عند النظر إليه بشكل مائل، كما هو موضح في الرسم. مركزه V، و PK قطره. سنسمي نصف قطره r . 

يوجد مقطع عرضي دائري آخر للمخروط، عمودي على المحور، أبعد عن الرأس A من المقطع الموصوف سابقًا. ويتكون هذا المقطع من وتر DE يصل بين نقطتي تقاطع القطع المكافئ مع الدائرة. أما الوتر BC فهو المنصف العمودي للوتر DE ، وبالتالي فهو قطر للدائرة. يتقاطع هذان الوتران مع محور تناظر القطع المكافئ PM عند النقطة  M.

جميع النقاط المحددة، باستثناء النقطتين D و E، تقع في مستوى واحد . وهي تقع في مستوى تناظر الشكل بأكمله. ويشمل ذلك النقطة F، التي لم تُذكر أعلاه. سيتم تعريفها ومناقشتها لاحقًا في قسم "  موضع البؤرة" .

لنسمي طول DM و EM x ، وطول PM y . 

أطوال BM و CM هي:

باستخدام نظرية الأوتار المتقاطعة على الوترين BC و DE ، نحصل على $${\displaystyle {\overline {\mathrm {BM} }}\cdot {\overline {\mathrm {CM} }}={\overline {\mathrm {DM} }}\cdot {\overline {\mathrm {EM} }}.}$$

الاستبدال: $${\displaystyle 4ry\cos \theta =x^{2}.}$$

إعادة الترتيب: $${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{4r\cos \theta }}.}$$

بالنسبة لأي مخروط وقطع مكافئ، يُعتبر كل من r و θ ثابتين، بينما يُعتبر كل من x و y متغيرين يعتمدان على الارتفاع الذي يُرسم عنده المقطع العرضي الأفقي BECD. توضح المعادلة الأخيرة العلاقة بين هذه المتغيرات. ويمكن تفسيرها على أنها إحداثيات ديكارتية للنقطتين D و E، في نظام إحداثيات يقع في المستوى الوردي، ونقطة الأصل فيه هي P. وبما أن x مربع في المعادلة، فإن كون D و E على جانبين متقابلين من المحور y لا يُؤثر على النتيجة. إذا تحرك المقطع العرضي الأفقي لأعلى أو لأسفل، باتجاه أو بعيدًا عن رأس المخروط، فإن D و E تتحركان على طول القطع المكافئ، مع الحفاظ دائمًا على العلاقة بين x و y الموضحة في المعادلة. وبالتالي، فإن المنحنى القطعي المكافئ هو المحل الهندسي للنقاط التي تتحقق عندها المعادلة، مما يجعله تمثيلًا ديكارتيًا للدالة التربيعية في المعادلة.

لقد ثبت في قسم سابق أنه إذا ^كان رأس القطع المكافئ عند نقطة الأصل، وكان مفتوحًا في الاتجاه الموجب لمحور y ، فإن معادلته هي y = x² / 4f ، حيث f هي البعد البؤري. ^{[ ب ] بمقارنة هذه المعادلة مع المعادلة الأخيرة أعلاه} ، يتضح أن البعد البؤري للقطع المكافئ في المخروط هو r cos θ .

في الرسم التوضيحي أعلاه، تمثل النقطة  V مسقط العمود النازل من رأس القطع المكافئ على محور المخروط. وتمثل النقطة  F مسقط العمود النازل من النقطة  V على مستوى القطع المكافئ. ^{[ ج ]} وبسبب التناظر، تقع F على محور تناظر القطع المكافئ. الزاوية VPF متممة للزاوية θ ، والزاوية PVF متممة للزاوية VPF، وبالتالي فإن قياس الزاوية PVF هو θ . بما أن طول PV هو r ، فإن المسافة بين F ورأس القطع المكافئ هي r sin θ . وقد تبين أعلاه أن هذه المسافة تساوي البعد البؤري للقطع المكافئ، وهو المسافة من الرأس إلى البؤرة. وبالتالي، فإن البؤرة والنقطة  F متساويتان في البعد عن الرأس، وتقعان على نفس الخط، مما يعني أنهما نفس النقطة. لذلك، فإن النقطة  F، كما عُرّفت أعلاه، هي بؤرة القطع المكافئ .

بدأ هذا النقاش بتعريف القطع المكافئ كقطع مخروطي، ولكنه تطور الآن إلى وصفه بأنه رسم بياني لدالة تربيعية. وهذا يدل على أن هذين الوصفين متكافئان، إذ يُعرّفان منحنيات لها نفس الشكل تمامًا.

يمكن تقديم برهان بديل باستخدام كرات داندلين . يعمل هذا البرهان دون حسابات ويستخدم اعتبارات هندسية أساسية فقط (انظر الاشتقاق أدناه).

تقاطع مخروط قائم مع مستوى${\displaystyle \pi }$، الذي يكون ميله عن الوضع الرأسي هو نفسه ميل الخط المولد (المعروف أيضًا باسم خط المولد، وهو خط يحتوي على قمة المخروط ونقطة على سطحه).${\displaystyle m_{0}}$المخروط، هو قطع مكافئ (المنحنى الأحمر في الرسم التخطيطي).

هذه المولدة${\displaystyle m_{0}}$هي المولد الوحيد للمخروط الموازي للمستوى${\displaystyle \pi }$وإلا، فإذا وُجدت منحنيتان مولدتان متوازيتان مع مستوى التقاطع، فسيكون منحنى التقاطع قطعًا زائدًا (أو قطعًا زائدًا منحلًا ، إذا كانت المنحنيتان المولدتان تقعان في مستوى التقاطع). أما إذا لم توجد منحنيات مولدة موازية لمستوى التقاطع، فسيكون منحنى التقاطع قطعًا ناقصًا أو دائرة (أو نقطة ).

دع الطائرة${\displaystyle \sigma }$ليكن المستوى الذي يحتوي على المحور الرأسي للمخروط والخط${\displaystyle m_{0}}$ميل المستوى${\displaystyle \pi }$من العمودي هو نفسه من الخط${\displaystyle m_{0}}$يعني ذلك أنه عند النظر من الجانب (أي من الطائرة)${\displaystyle \pi }$عمودي على المستوى${\displaystyle \sigma }$)${\displaystyle m_{0}\parallel \pi }$.

لإثبات خاصية الدليل للقطع المكافئ (انظر §  التعريف كموقع للنقاط أعلاه)، يتم استخدام كرة داندلين${\displaystyle d}$وهي كرة تلامس المخروط على طول دائرة${\displaystyle c}$والطائرة${\displaystyle \pi }$عند النقطة${\displaystyle F}$المستوى الذي يحتوي على الدائرة${\displaystyle c}$يتقاطع مع المستوى${\displaystyle \pi }$عند السطر${\displaystyle l}$يوجد تناظر انعكاسي في النظام المكون من مستوى${\displaystyle \pi }$، كرة الهندباء${\displaystyle d}$والمخروط ( مستوى التناظر هو${\displaystyle \sigma }$).

بما أن المستوى الذي يحتوي على الدائرة${\displaystyle c}$عمودي على المستوى${\displaystyle \sigma }$، و${\displaystyle \pi \perp \sigma }$خط تقاطعهم${\displaystyle l}$يجب أن يكون عموديًا على المستوى أيضًا${\displaystyle \sigma }$منذ الخط${\displaystyle m_{0}}$هو في الطائرة${\displaystyle \sigma }$،${\displaystyle l\perp m_{0}}$.

اتضح أن${\displaystyle F}$هي بؤرة القطع المكافئ، و${\displaystyle l}$هي دليل القطع المكافئ.

1. يترك${\displaystyle P}$لتكن نقطة عشوائية على منحنى التقاطع.
2. مولد المخروط الذي يحتوي${\displaystyle P}$يتقاطع مع الدائرة${\displaystyle c}$عند النقطة${\displaystyle A}$.
3. القطع المستقيمة${\displaystyle {\overline {PF}}}$و${\displaystyle {\overline {PA}}}$تكون مماسية للكرة${\displaystyle d}$وبالتالي فهي متساوية في الطول.
4. جنرال${\displaystyle m_{0}}$يتقاطع مع الدائرة${\displaystyle c}$عند النقطة${\displaystyle D}$القطع المستقيمة${\displaystyle {\overline {ZD}}}$و${\displaystyle {\overline {ZA}}}$تكون مماسية للكرة${\displaystyle d}$وبالتالي فهي متساوية في الطول.
5. ليت لاين${\displaystyle q}$ليكن الخط الموازي لـ${\displaystyle m_{0}}$والمرور عبر النقطة${\displaystyle P}$. منذ${\displaystyle m_{0}\parallel \pi }$، ونقطة${\displaystyle P}$هو في الطائرة${\displaystyle \pi }$، خط${\displaystyle q}$يجب أن يكون في الطائرة${\displaystyle \pi }$. منذ${\displaystyle m_{0}\perp l}$نعلم أن${\displaystyle q\perp l}$أيضًا.
6. لنبدأ${\displaystyle B}$ليكن سفح العمود النازل من النقطة${\displaystyle P}$إلى الخط${\displaystyle l}$، إنه،${\displaystyle {\overline {PB}}}$هو جزء من خط${\displaystyle q}$وبالتالي${\displaystyle {\overline {PB}}\parallel {\overline {ZD}}}$.
7. من نظرية التقاطع و${\displaystyle {\overline {ZD}}={\overline {ZA}}}$نحن نعلم ذلك${\displaystyle {\overline {PA}}={\overline {PB}}}$. منذ${\displaystyle {\overline {PA}}={\overline {PF}}}$نعلم أن${\displaystyle {\overline {PF}}={\overline {PB}}}$وهذا يعني أن المسافة من${\displaystyle P}$إلى التركيز${\displaystyle F}$يساوي المسافة من${\displaystyle P}$إلى المديرة${\displaystyle l}$.

النقطة E هي نقطة اختيارية على القطع المكافئ. البؤرة هي F، والرأس هو A (نقطة الأصل)، والمستقيم FA هو محور التناظر. المستقيم EC موازٍ لمحور التناظر، ويقطع المحور السيني عند النقطة D، ويقطع الدليل عند النقطة C. النقطة B هي منتصف القطعة المستقيمة FC .

الرأس A متساوي البعد عن البؤرة F وعن الدليل. بما أن C تقع على الدليل، فإن إحداثيات y لكل من F وC متساوية في القيمة المطلقة ومتعاكسة في الإشارة. B هي منتصف FC ، وإحداثيها x يساوي نصف إحداثي ^x للنقطة D، أي x /2 . ميل الخط BE هو حاصل قسمة طولي ED و BD ، وهو x² / x /2 = 2x . لكن 2x هو أيضًا ميل (المشتقة الأولى) القطع المكافئ عند E. لذلك، فإن الخط BE هو المماس للقطع المكافئ عند E.

المسافة بين النقطتين EF و EC متساوية لأن النقطة E تقع على القطع المكافئ، والنقطة F هي البؤرة، والنقطة C تقع على الدليل. وبما أن B هي منتصف FC ، فإن المثلثين △FEB و△CEB متطابقان (لأنهما متطابقان من حيث الأضلاع الثلاثة)، مما يعني أن الزوايا المحددة بـ α متطابقة. (الزاوية فوق E تقابل الزاوية ∠BEC بالرأس). هذا يعني أن شعاع الضوء الذي يدخل القطع المكافئ ويصل إلى E موازياً لمحور التناظر سينعكس عن الخط BE، وبالتالي سيسير على طول الخط EF ، كما هو موضح باللون الأحمر في الرسم (بافتراض أن الخطوط تعكس الضوء بطريقة ما). بما أن BE هو المماس للقطع المكافئ عند E، فإن نفس الانعكاس سيحدث بواسطة قوس متناهي الصغر من القطع المكافئ عند E. لذلك، فإن الضوء الذي يدخل القطع المكافئ ويصل إلى E وهو يسير موازياً لمحور تناظر القطع المكافئ ينعكس بواسطة القطع المكافئ نحو بؤرته.

ينطبق هذا الاستنتاج بشأن الضوء المنعكس على جميع النقاط على القطع المكافئ، كما هو موضح على الجانب الأيسر من الرسم التخطيطي. هذه هي خاصية الانعكاس.

هناك نظريات أخرى يمكن استنتاجها ببساطة من الحجة المذكورة أعلاه.

نقطة تقاطع مماس وعمودي من البؤرة

بما أن المثلثين △FBE و△CBE متطابقان، فإن FB عمودي على المماس BE . ولأن النقطة B تقع على المحور السيني ، وهو المماس للقطع المكافئ عند رأسه، فإن نقطة تقاطع أي مماس للقطع المكافئ مع العمود النازل من بؤرته على ذلك المماس تقع على الخط المماس للقطع المكافئ عند رأسه. انظر الرسم التوضيحي المتحرك ^{[ 8 ]} ومنحنى الدواسة .

تستخدم البراهين السابقة لخاصيتي التنصيف الانعكاسي والمماسي خطًا من حساب التفاضل والتكامل. فيما يلي برهان هندسي.

في هذا الرسم، F هي بؤرة القطع المكافئ، وتقع النقطتان T وU على دليله. P نقطة اختيارية على القطع المكافئ. PT عمودي على الدليل، والمستقيم MP ينصف الزاوية ∠FPT. Q نقطة أخرى على القطع المكافئ، و QU عمودي على الدليل. نعلم أن FP  = PT و FQ = QU . من الواضح أن QT > QU ، لذا QT > FQ . جميع النقاط على المنصف MP متساوية البعد عن F وT، لكن Q أقرب إلى F منها إلى T. هذا يعني أن Q تقع على يسار MP ، أي على نفس جانب البؤرة. وينطبق الأمر نفسه لو كانت Q تقع في أي مكان آخر على القطع المكافئ (باستثناء النقطة P)، لذا فإن القطع المكافئ بأكمله، باستثناء النقطة P، يقع على جانب البؤرة من MP . لذلك، فإن MP هو المماس للقطع المكافئ عند النقطة P. وبما أنه ينصف الزاوية ∠FPT، فإن هذا يثبت خاصية تنصيف المماس.       

يمكن تطبيق منطق الفقرة الأخيرة لتعديل البرهان السابق لخاصية الانعكاس. فهو يثبت فعلياً أن الخط BE هو مماس للقطع المكافئ عند النقطة E إذا كانت الزوايا α متساوية. وتتبع خاصية الانعكاس كما هو موضح سابقاً.

يمكن وصف أي قطع مكافئ في نظام إحداثيات مناسب بواسطة معادلة${\displaystyle y=ax^{2}}$.

يترك${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2}),\ P_{3}=(x_{3},y_{3}),\ P_{4}=(x_{4},y_{4})}$أربع نقاط على القطع المكافئ${\displaystyle y=ax^{2}}$، و${\displaystyle Q_{2}}$تقاطع الخط القاطع${\displaystyle P_{1}P_{4}}$مع السطر${\displaystyle x=x_{2},}$ودع${\displaystyle Q_{1}}$ليكن تقاطع الخط القاطع${\displaystyle P_{2}P_{3}}$مع السطر${\displaystyle x=x_{1}}$(انظر الصورة). ثم خط القاطع${\displaystyle P_{3}P_{4}}$موازٍ للخط${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$(السطور)${\displaystyle x=x_{1}}$و${\displaystyle x=x_{2}}$(موازية لمحور القطع المكافئ.)

البرهان: حساب مباشر للقطع المكافئ الواحدي${\displaystyle y=x^{2}}$.

التطبيق: يمكن استخدام خاصية النقاط الأربع للقطع المكافئ لإنشاء نقطة${\displaystyle P_{4}}$، بينما${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3}}$و${\displaystyle Q_{2}}$يتم تقديمها.

ملاحظة: خاصية النقاط الأربع للقطع المكافئ هي نسخة تآلفية من انحلال النقاط الخمس لنظرية باسكال.

يترك${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0}),P_{1}=(x_{1},y_{1}),P_{2}=(x_{2},y_{2})}$لنفترض ثلاث نقاط على القطع المكافئ ذي المعادلة${\displaystyle y=ax^{2}}$و${\displaystyle Q_{2}}$تقاطع الخط القاطع${\displaystyle P_{0}P_{1}}$مع السطر${\displaystyle x=x_{2}}$و${\displaystyle Q_{1}}$تقاطع الخط القاطع${\displaystyle P_{0}P_{2}}$مع السطر${\displaystyle x=x_{1}}$(انظر الصورة). ثم المماس عند النقطة${\displaystyle P_{0}}$موازٍ للخط${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$(السطور)${\displaystyle x=x_{1}}$و${\displaystyle x=x_{2}}$(موازية لمحور القطع المكافئ.)

البرهان: يمكن إجراؤه على القطع المكافئ ذي الوحدة${\displaystyle y=x^{2}}$تُظهر عملية حسابية بسيطة ما يلي: الخط${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$له ميل${\displaystyle 2x_{0}}$وهو ميل المماس عند النقطة${\displaystyle P_{0}}$.

التطبيق: يمكن استخدام خاصية المماس الواحد لثلاث نقاط في القطع المكافئ لإنشاء المماس عند النقطة${\displaystyle P_{0}}$، بينما${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{0}}$يتم تقديمها.

ملاحظة: خاصية 3-نقاط-1-مماس للقطع المكافئ هي نسخة تآلفية من انحلال 4-نقاط لنظرية باسكال.

يترك${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2})}$لنفترض نقطتين على القطع المكافئ ذي المعادلة${\displaystyle y=ax^{2}}$، و${\displaystyle Q_{2}}$نقطة تقاطع المماس عند النقطة${\displaystyle P_{1}}$مع السطر${\displaystyle x=x_{2}}$، و${\displaystyle Q_{1}}$نقطة تقاطع المماس عند النقطة${\displaystyle P_{2}}$مع السطر${\displaystyle x=x_{1}}$(انظر الصورة). ثم القاطع${\displaystyle P_{1}P_{2}}$موازٍ للخط${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$(السطور)${\displaystyle x=x_{1}}$و${\displaystyle x=x_{2}}$(موازية لمحور القطع المكافئ.)

البرهان: حساب مباشر للقطع المكافئ الواحدي${\displaystyle y=x^{2}}$.

التطبيق: يمكن استخدام خاصية النقطتين والمماسين لإنشاء مماس القطع المكافئ عند النقطة${\displaystyle P_{2}}$، لو${\displaystyle P_{1},P_{2}}$والمماس عند${\displaystyle P_{1}}$يتم تقديمها.

ملاحظة 1: خاصية النقطتين والمماسين للقطع المكافئ هي نسخة تآلفية من انحلال النقاط الثلاث لنظرية باسكال.

ملاحظة 2: يجب عدم الخلط بين خاصية النقطتين والمماسين مع الخاصية التالية للقطع المكافئ، والتي تتعامل أيضًا مع نقطتين ومماسين، ولكنها لا ترتبط بنظرية باسكال.

تفترض العبارات المذكورة أعلاه معرفة اتجاه محور القطع المكافئ، وذلك لإنشاء النقاط${\displaystyle Q_{1},Q_{2}}$تحدد الخاصية التالية النقاط${\displaystyle Q_{1},Q_{2}}$باستخدام نقطتين معطيتين ومماساتهما فقط، والنتيجة هي أن الخط${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$موازٍ لمحور القطع المكافئ.

يترك

1. ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2})}$لنفترض نقطتين على القطع المكافئ${\displaystyle y=ax^{2}}$، و${\displaystyle t_{1},t_{2}}$تكون مماساتها؛
2. ${\displaystyle Q_{1}}$ليكن تقاطع المماسات${\displaystyle t_{1},t_{2}}$،
3. ${\displaystyle Q_{2}}$أن تكون نقطة تقاطع الخط الموازي لـ${\displaystyle t_{1}}$خلال${\displaystyle P_{2}}$مع الخط الموازي لـ${\displaystyle t_{2}}$خلال${\displaystyle P_{1}}$(انظر الصورة).

ثم الخط${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$موازٍ لمحور القطع المكافئ وله المعادلة التالية${\displaystyle x=(x_{1}+x_{2})/2.}$

البرهان: يمكن القيام بذلك (مثل الخصائص المذكورة أعلاه) للقطع المكافئ الواحدي${\displaystyle y=x^{2}}$.

التطبيق: يمكن استخدام هذه الخاصية لتحديد اتجاه محور القطع المكافئ، إذا عُلمت نقطتان ومماساتهما. وهناك طريقة بديلة تتمثل في تحديد منتصفات وترين متوازيين، انظر قسم الأوتار المتوازية .

ملاحظة: هذه الخاصية هي نسخة أفينية من نظرية مثلثين منظورين لقطع مخروطي غير منحل. ^{[ 10 ]}

ذات صلة: الأوتار${\displaystyle P_{1}P_{2}}$له خاصيتان إضافيتان:

1. ميلها هو المتوسط ​​التوافقي لميول المماسات${\displaystyle t_{1}}$و${\displaystyle t_{2}}$.
2. وهو موازٍ للمماس عند نقطة التقاطع${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$مع القطع المكافئ.

وضع شتاينر الإجراء التالي لإنشاء قطع مخروطي غير منحط (انظر القطع المخروطي لشتاينر ):

أعطيت قلمين رصاص${\displaystyle B(U),B(V)}$خطوط عند نقطتين${\displaystyle U,V}$(جميع الأسطر التي تحتوي على${\displaystyle U}$و${\displaystyle V}$على التوالي) ورسم الخرائط الإسقاطية ولكن ليس المنظورية${\displaystyle \pi }$ل${\displaystyle B(U)}$على${\displaystyle B(V)}$تشكل نقاط تقاطع الخطوط المتناظرة مقطعًا مخروطيًا إسقاطيًا غير متدهور.

يمكن استخدام هذا الإجراء لإنشاء نقاط بسيطة على القطع المكافئ${\displaystyle y=ax^{2}}$:

• تخيل القلم عند الرأس${\displaystyle S(0,0)}$ومجموعة الخطوط${\displaystyle \Pi _{y}}$والتي تكون موازية للمحور y .
  1. يترك${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$لتكن نقطة على القطع المكافئ، و${\displaystyle A=(0,y_{0})}$،${\displaystyle B=(x_{0},0)}$.
  2. القطعة المستقيمة${\displaystyle {\overline {BP}}}$ينقسم إلى n من الأجزاء المتباعدة بالتساوي، ويتم إسقاط هذا التقسيم (في الاتجاه${\displaystyle BA}$) على قطعة الخط${\displaystyle {\overline {AP}}}$(انظر الشكل). ينتج عن هذا الإسقاط عملية إسقاطية${\displaystyle \pi }$من قلم رصاص${\displaystyle S}$على القلم الرصاص${\displaystyle \Pi _{y}}$.
  3. تقاطع الخط${\displaystyle SB_{i}}$والنقطة i الموازية للمحور y هي نقطة على القطع المكافئ.

البرهان: عملية حسابية مباشرة.

ملاحظة: يتوفر توليد شتاينر أيضًا للقطع الناقصة والقطع الزائد .

يتكون القطع المكافئ المزدوج من مجموعة المماسات للقطع المكافئ العادي.

يمكن تطبيق توليد شتاينر للمخروط على توليد المخروط المزدوج عن طريق تغيير معاني النقاط والخطوط:

لنفترض مجموعتين من النقاط على خطين مستقيمين${\displaystyle u,v}$ورسم خرائط إسقاطية ولكن ليس منظورياً${\displaystyle \pi }$بين مجموعات النقاط هذه، تشكل الخطوط المتصلة للنقاط المتناظرة قطعًا مخروطيًا مزدوجًا غير منحط.

من أجل توليد عناصر القطع المكافئ المزدوج، يبدأ المرء بـ

1. ثلاث نقاط${\displaystyle P_{0},P_{1},P_{2}}$ليس على خط،
2. يقسم أقسام الخط${\displaystyle {\overline {P_{0}P_{1}}}}$و${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$كل منها في${\displaystyle n}$قطع مستقيمة متساوية المسافات، ثم جمع الأرقام كما هو موضح في الصورة.
3. ثم الخطوط${\displaystyle P_{0}P_{1},P_{1}P_{2},(1,1),(2,2),\dotsc }$هي مماسات لقطع مكافئ، وبالتالي فهي عناصر لقطع مكافئ مزدوج.
4. القطع المكافئ هو منحنى بيزير من الدرجة الثانية مع نقاط التحكم${\displaystyle P_{0},P_{1},P_{2}}$.

البرهان هو نتيجة لخوارزمية دي كاستيلجو لمنحنى بيزير من الدرجة 2.

لنفترض أن محور التناظر يقطع القطع المكافئ عند النقطة Q، ولنرمز إلى بؤرته بالنقطة F، وإلى المسافة بينها وبين النقطة Q بالرمز f . ولنفترض أن العمود على محور التناظر، المار بالبؤرة، يقطع القطع المكافئ عند النقطة T. عندئذٍ: (1) المسافة من F إلى T تساوي 2f ، و(2) مماس القطع المكافئ عند النقطة T يقطع محور التناظر بزاوية 45°. ^{[ 13 ] : 26}

إذا كان مماسان لقطع مكافئ متعامدين، فإنهما يتقاطعان على الدليل. والعكس صحيح، فالمماسان المتقاطعان على الدليل يكونان متعامدين. بعبارة أخرى، عند أي نقطة على الدليل، يكون القطع المكافئ بأكمله تقابل زاوية قائمة.

لنفترض أن ثلاثة مماسات لقطع مكافئ تُشكّل مثلثًا. تنص نظرية لامبرت على أن بؤرة القطع المكافئ تقع على الدائرة المحيطة بالمثلث. ^{[ 14 ] [ 8 ] : النتيجة 20}

تنص نظرية تسوكرمان العكسية لنظرية لامبرت على أنه إذا كانت هناك ثلاثة خطوط تحيط بمثلث، وكان اثنان من هذه الخطوط مماسين لقطع مكافئ تقع بؤرته على الدائرة المحيطة بالمثلث، فإن الخط الثالث يكون أيضًا مماسًا للقطع المكافئ. ^{[ 15 ]}

لنفترض أن وترًا يقطع قطعًا مكافئًا عموديًا على محور تناظره. ليكن طول الوتر بين نقطتي تقاطعه مع القطع المكافئ هو c ، والمسافة من رأس القطع المكافئ إلى الوتر، مقاسة على طول محور التناظر، هي d . يُعطى البعد البؤري، f ، للقطع المكافئ بالعلاقة التالية:$${\displaystyle f={\frac {c^{2}}{16d}}.}$$

المساحة المحصورة بين القطع المكافئ والوتر (انظر الرسم التوضيحي) تساوي ثلثي مساحة متوازي الأضلاع المحيط به. أحد أضلاع متوازي الأضلاع هو الوتر، والضلع المقابل هو مماس للقطع المكافئ. ^{[ 16 ] [ 17 ]} ميل الأضلاع المتوازية الأخرى لا يؤثر على المساحة. غالبًا، كما هو الحال هنا، تُرسَم هذه الأضلاع موازية لمحور تناظر القطع المكافئ، ولكن هذا اختياري.

استنتج أرخميدس في القرن الثالث قبل الميلاد نظرية مكافئة لهذه النظرية، ولكنها تختلف عنها في التفاصيل. وقد استخدم مساحات المثلثات بدلاً من مساحات متوازي الأضلاع. ^{[ د ]} انظر: تربيع القطع المكافئ .

إذا كان طول الوتر b وكان عموديًا على محور تناظر القطع المكافئ، وكانت المسافة العمودية من رأس القطع المكافئ إلى الوتر h ، فإن متوازي الأضلاع يكون مستطيلًا، طول ضلعيه b و h . وبالتالي، فإن مساحة القطعة المكافئة A المحصورة بين القطع المكافئ والوتر هي $${\displaystyle A={\frac {2}{3}}bh.}$$

يمكن مقارنة هذه الصيغة بمساحة المثلث : 1 / 2 bh .

بشكل عام، يمكن حساب المساحة المحصورة كما يلي: أولًا، حدد النقطة على القطع المكافئ حيث يتساوى ميله مع ميل الوتر. يمكن القيام بذلك باستخدام حساب التفاضل والتكامل، أو باستخدام خط موازٍ لمحور تناظر القطع المكافئ ويمر بمنتصف الوتر. النقطة المطلوبة هي نقطة تقاطع هذا الخط مع القطع المكافئ. ^{[ هـ ]} ثم، باستخدام الصيغة الواردة في " المسافة من نقطة إلى خط" ، احسب المسافة العمودية من هذه النقطة إلى الوتر. اضرب هذه المسافة في طول الوتر للحصول على مساحة متوازي الأضلاع، ثم اضربها في 2/3 للحصول على المساحة المحصورة المطلوبة.

من نتائج المناقشة السابقة أنه إذا كان للقطع المكافئ عدة أوتار متوازية، فإن نقاط منتصفها تقع جميعها على خط موازٍ لمحور التناظر. وإذا رُسمت مماسات للقطع المكافئ تمر بنهايات أي من هذه الأوتار، فإن المماسين يتقاطعان على نفس الخط الموازي لمحور التناظر (انظر ^{اتجاه محور القطع} المكافئ ).

إذا كانت النقطة X تقع على قطع مكافئ ذي بُعد بؤري f ، وإذا كانت p هي المسافة العمودية من X إلى محور تناظر القطع المكافئ، فيمكن حساب أطوال أقواس القطع المكافئ التي تنتهي عند X من f و p كما يلي، بافتراض أن جميعها معبر عنها بنفس الوحدات. ^{[ g ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {p}{2}},\\q&={\sqrt {f^{2}+h^{2}}},\\s&={\frac {hq}{f}}+f\ln {\frac {h+q}{f}}.\end{aligned}}}$$

هذه الكمية s هي طول القوس بين X ورأس القطع المكافئ.

طول القوس بين X والنقطة المقابلة لها بشكل متناظر على الجانب الآخر من القطع المكافئ هو 2 ثانية .

يمكن إعطاء المسافة العمودية p إشارة موجبة أو سالبة لتحديد موقع النقطة X على محور التناظر. يؤدي عكس إشارة p إلى عكس إشارتي h و s دون تغيير قيمتيهما المطلقتين. إذا كانت هاتان الكميتان مُوَقَّعتين، فإن طول القوس بين أي نقطتين على القطع المكافئ يُظهر دائمًا الفرق بين قيمتي s لهما . يمكن تبسيط الحساب باستخدام خصائص اللوغاريتمات. $${\displaystyle s_{1}-s_{2}={\frac {h_{1}q_{1}-h_{2}q_{2}}{f}}+f\ln {\frac {h_{1}+q_{1}}{h_{2}+q_{2}}}.}$$

يمكن أن يكون هذا مفيدًا، على سبيل المثال، في حساب حجم المادة اللازمة لصنع عاكس مكافئ أو حوض مكافئ .

يمكن استخدام هذه الحسابات للقطع المكافئ في أي اتجاه، ولا تقتصر على الحالة التي يكون فيها محور التناظر موازياً للمحور الصادي .

التحويل الأفيني للمستوى الإقليدي له الشكل التالي${\displaystyle {\vec {x}}\to {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}}$، أين${\displaystyle A}$هي مصفوفة منتظمة ( محددها لا يساوي صفرًا)، و${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$هو متجه عشوائي. إذا${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$هي متجهات الأعمدة للمصفوفة${\displaystyle A}$، القطع المكافئ الوحدوي${\displaystyle (t,t^{2}),\ t\in \mathbb {R} }$يتم رسمها على القطع المكافئ $${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}t^{2},}$$ أين