مبدأ بونترياغين الأقصى

يُستخدم مبدأ بونترياغين الأقصى في نظرية التحكم الأمثل لإيجاد أفضل تحكم ممكن لنقل نظام ديناميكي من حالة إلى أخرى، خاصةً في وجود قيود على التحكم في الحالة أو المدخلات. وينص هذا المبدأ على أنه من الضروري لأي تحكم أمثل، إلى جانب مسار الحالة الأمثل، حل ما يُسمى بنظام هاميلتوني، وهو مسألة قيمة حدية ثنائية النقاط ، بالإضافة إلى شرط أقصى لهاميلتوني التحكم . ^{[ أ ]} تصبح هذه الشروط الضرورية كافية في ظل شروط تحدب معينة على دالتي الهدف والقيود. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

صاغ عالم الرياضيات الروسي ليف بونترياغين وطلابه مبدأ القيمة القصوى عام 1956، ^{[ 3 ] [ 4 ]} وكان تطبيقه الأولي على تعظيم السرعة النهائية لصاروخ. ^{[ 5 ]} وقد استُنتجت النتيجة باستخدام أفكار من حساب التفاضل والتكامل الكلاسيكي . ^{[ 6 ]} بعد إجراء تعديل طفيف على التحكم الأمثل، يُؤخذ في الاعتبار الحد من الدرجة الأولى لتوسيع تايلور بالنسبة لهذا التعديل؛ ويؤدي جعل التعديل يساوي صفرًا إلى متباينة تباينية يُستنتج منها مبدأ القيمة القصوى. ^{[ 7 ]}

يُعتبر مبدأ بونترياغين الأقصى علامة فارقة في نظرية التحكم الأمثل ، وتكمن أهميته في سهولة تعظيم دالة هاميلتون مقارنةً بمسألة التحكم الأصلية ذات الأبعاد اللانهائية؛ فبدلاً من التعظيم على فضاء الدوال ، تُحوّل المسألة إلى تحسين نقطي . ^{[ 8 ]} ويؤدي منطق مشابه إلى مبدأ بيلمان للأمثلية ، وهو نهج ذو صلة بمسائل التحكم الأمثل، ينص على أن المسار الأمثل يظل أمثل عند نقاط زمنية وسيطة. ^{[ 9 ]} توفر معادلة هاميلتون-جاكوبي-بيلمان الناتجة شرطًا ضروريًا وكافيًا للأمثلية، وتسمح بتوسيعها بسهولة لتشمل مسائل التحكم الأمثل العشوائي، على عكس مبدأ بونترياغين الأقصى. ^{[ 7 ]} ومع ذلك، وعلى عكس معادلة هاميلتون-جاكوبي-بيلمان، التي يجب أن تتحقق على كامل فضاء الحالة لتكون صالحة، فإن مبدأ بونترياغين الأقصى أكثر كفاءة حسابية، إذ إن الشروط التي يحددها لا تحتاج إلا إلى التحقق على مسار معين.

لـ مجموعة${\displaystyle {\mathcal {U}}}$والوظائف

${\displaystyle \Psi$ :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } ,

${\displaystyle H:\mathbb {R} ^{n}\times {\mathcal {U}}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$،

${\displaystyle L:\mathbb {R} ^{n}\times {\mathcal {U}}\to \mathbb {R} }$،

${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\times {\mathcal {U}}\to \mathbb {R} ^{n}}$،

نستخدم الرموز التالية:

$\displaystyle \Psi _{T}(x(T))=\left.{\frac {\partial \Psi (x)}{\partial T}}\right|_{x=x(T)}\,}$،

$\displaystyle \Psi _{x}(x(T))={\begin{bmatrix}\left.{\frac {\partial \Psi (x)}{\partial x_{1}}}\right|_{x=x(T)}&\cdots &\left.{\frac {\partial \Psi (x)}{\partial x_{n}}}\right|_{x=x(T)}\end{bmatrix}}}$،

${\displaystyle H_{x}(x^{*},u^{*},\lambda ^{*},t)={\begin{bmatrix}\left.{\frac {\partial H}{\partial x_{1}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*},\lambda =\lambda ^{*}}&\cdots &\left.{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*},\lambda =\lambda ^{*}}\end{bmatrix}}}$،

${\displaystyle L_{x}(x^{*},u^{*})={\begin{bmatrix}\left.{\frac {\partial L}{\partial x_{1}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}&\cdots &\left.{\frac {\partial L}{\partial x_{n}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}\end{bmatrix}}}$،

${\displaystyle f_{x}(x^{*},u^{*})={\begin{bmatrix}\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}&\cdots &\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\left.{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}&\ldots &\left.{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}\end{bmatrix}}}$.

يتم هنا عرض الشروط اللازمة لتقليل دالة ما.

لنفترض نظامًا ديناميكيًا ذا أبعاد n ، مع متغير حالة${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$، ومتغير التحكم${\displaystyle u\in {\mathcal {U}}}$، أين${\displaystyle {\mathcal {U}}}$هي مجموعة الضوابط المسموح بها. يتحدد تطور النظام من خلال الحالة والتحكم، وفقًا للمعادلة التفاضلية${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,u)}$لنفترض أن الحالة الابتدائية للنظام هي${\displaystyle x_{0}}$ودع تطور النظام يخضع للتحكم خلال الفترة الزمنية بقيم${\displaystyle t\in [0,T]}$ويتم تحديد الأخير بواسطة المعادلة التفاضلية التالية :

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,u),\quad x(0)=x_{0},\quad u(t)\in {\mathcal {U}},\quad t\in [0,T]}$

مسار التحكم${\displaystyle u:[0,T]\to {\mathcal {U}}}$يتم الاختيار وفقًا لهدف محدد. هذا الهدف وظيفي.${\displaystyle J}$محدد بواسطة

${\displaystyle J=\Psi (x(T))+\int _{0}^{T}L{\big (}x(t),u(t){\big )}\,dt}$،

أين${\displaystyle L(x,u)}$يمكن تفسير ذلك على أنه معدل تكلفة ممارسة السيطرة${\displaystyle u}$في الولاية${\displaystyle x}$، و${\displaystyle \Psi (x)}$يمكن تفسير ذلك على أنه ثمن الوصول إلى حالة الدولة${\displaystyle x}$الاختيار المحدد لـ${\displaystyle L,\Psi }$يعتمد ذلك على التطبيق.

يمكن إلحاق القيود المفروضة على ديناميكيات النظام بالدالة اللاغرانجية.${\displaystyle L}$عن طريق إدخال متجه مضاعف لاغرانج المتغير مع الزمن${\displaystyle \lambda }$، والتي تُسمى عناصرها بالحالات المرافقة للنظام. وهذا ما يحفز بناء الهاميلتوني${\displaystyle H}$محدد للجميع${\displaystyle t\in [0,T]}$بواسطة:

${\displaystyle H{\big (}x(t),u(t),\lambda (t),t{\big )}=\lambda ^{\rm {T}}(t)\cdot f{\big (}x(t),u(t){\big )}+L{\big (}x(t),u(t){\big )}}$

أين${\displaystyle \lambda ^{\rm {T}}}$هو منقول${\displaystyle \lambda }$.

ينص مبدأ بونترياجين الأدنى على أن مسار الحالة الأمثل${\displaystyle x^{*}}$التحكم الأمثل${\displaystyle u^{*}}$، ومتجه مضاعف لاغرانج المقابل${\displaystyle \lambda ^{*}}$يجب تقليل الهاميلتوني${\displaystyle H}$لهذا السبب.

${\displaystyle H{\big (}x^{*}(t),u^{*}(t),\lambda ^{*}(t),t{\big )}\leq H{\big (}x^{*}(t),u,\lambda ^{*}(t),t{\big )}}$

1

إلى الأبد${\displaystyle t\in [0,T]}$وبالنسبة لجميع مدخلات التحكم المسموح بها${\displaystyle u\in {\mathcal {U}}}$هنا، مسار متجه مضاعف لاغرانج${\displaystyle \lambda }$هو حل معادلة الحالة المرافقة :

${\displaystyle -{\dot {\lambda }}^{\rm {T}}(t)=H_{x}{\big (}x^{*}(t),u^{*}(t),\lambda (t),t{\big )}=\lambda ^{\rm {T}}(t)\cdot f_{x}{\big (}x^{*}(t),u^{*}(t){\big )}+L_{x}{\big (}x^{*}(t),u^{*}(t){\big )}}$

2

تعتمد الشروط الحدية على ما إذا كانت الحالة النهائية${\displaystyle x(T)}$والمرة الأخيرة${\displaystyle T}$ثابتة. يتم تحديد هذه الشروط من خلال النظر في كيفية عمل الوظيفة${\displaystyle J}$(بشكل تفاضلي) يختلف عندما${\displaystyle x(T)}$و${\displaystyle T}$تتغير (بشكل تفاضلي). بافتراض أن الحالة النهائية والزمن مستقلان عن بعضهما البعض،${\displaystyle x(T)}$عدم إصلاحها يؤدي إلى الحالة

${\displaystyle \lambda ^{\rm {T}}(T)=\Psi _{x}(x(T)),}$

3

و${\displaystyle T}$عدم إصلاحها يؤدي إلى الحالة

${\displaystyle \Psi _{T}(x(T))+H(T)=0}$

4

هذه الشروط الأربعة في (1)-(4) هي الشروط الضرورية للتحكم الأمثل.

• معاملات لاغرانج على فضاءات باناخ ، طريقة لاغرانج في حساب التفاضل والتكامل.

• جيرينغ، إتش بي (2007). التحكم الأمثل مع تطبيقات هندسية . سبرينغر. رقم ISBN 978-3-540-69437-3.
• كيرك، دي إي (1970). نظرية التحكم الأمثل: مقدمة . برنتيس هول. ISBN 0-486-43484-2.
• لي، إي بي؛ ماركوس، إل. (1967). أسس نظرية التحكم الأمثل . نيويورك: وايلي.
• سيريستاد، أتلي؛ سيدسيتر، كنوت (1987). نظرية التحكم الأمثل مع تطبيقات اقتصادية . أمستردام: نورث هولاند. ISBN 0-444-87923-4.

• "مبدأ بونترياجين الأقصى" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]