مضاعف لاغرانج

يترك${\displaystyle \ M\ }$ليكن متعدد الأبعاد أملسًا${\displaystyle \ m~.}$لنفترض أننا نرغب في إيجاد النقاط الثابتة${\displaystyle \ x\ }$دالة سلسة${\displaystyle \ f:M\to \mathbb {R} \ }$عندما يقتصر على الشعبة الفرعية${\displaystyle \ N\ }$محدد بواسطة${\displaystyle \ g(x)=0\ ,}$أين${\displaystyle \ g:M\to \mathbb {R} \ }$هي دالة سلسة يكون فيها الصفر قيمة منتظمة .

يترك${\displaystyle \ \operatorname {d} f\ }$و${\displaystyle \ \operatorname {d} g\ }$تكون المشتقات الخارجية لـ${\displaystyle \ f\ }$و${\displaystyle \ g\ }$. استقرار القيد${\displaystyle \ f|_{N}\ }$في${\displaystyle \ x\in N\ }$وسائل${\displaystyle \ \operatorname {d} (f|_{N})_{x}=0~.}$وبعبارة أخرى، النواة${\displaystyle \ \ker(\operatorname {d} f_{x})\ }$يتضمن${\displaystyle \ T_{x}N=\ker(\operatorname {d} g_{x})~.}$بعبارة أخرى،${\displaystyle \ \operatorname {d} f_{x}\ }$و${\displaystyle \ \operatorname {d} g_{x}\ }$هي أشكال تناسبية من الدرجة الأولى. ولذلك، من الضروري والكافي أن يكون النظام التالي من${\displaystyle \ {\tfrac {1}{2}}m(m-1)\ }$المعادلة صحيحة: $${\displaystyle \operatorname {d} f_{x}\wedge \operatorname {d} g_{x}=0\in \Lambda ^{2}(T_{x}^{\ast }M)}$$ أين${\displaystyle \ \wedge \ }$يشير إلى المنتج الخارجي . النقاط الثابتة${\displaystyle \ x\ }$هي حلول نظام المعادلات المذكور أعلاه بالإضافة إلى القيد${\displaystyle \ g(x)=0~.}$لاحظ أن${\displaystyle \ {\tfrac {1}{2}}m(m-1)\ }$المعادلات ليست مستقلة، لأن الطرف الأيسر من المعادلة ينتمي إلى مجموعة فرعية من${\displaystyle \ \Lambda ^{2}(T_{x}^{\ast }M)\ }$يتكون من عناصر قابلة للتحلل .

في هذه الصيغة، ليس من الضروري إيجاد مُضاعِف لاغرانج صراحةً، وهو عدد${\displaystyle \ \lambda \ }$بحيث${\displaystyle \ \operatorname {d} f_{x}=\lambda \cdot \operatorname {d} g_{x}~.}$

يترك${\displaystyle \ M\ }$و${\displaystyle \ f\ }$يكون الأمر كما هو موضح في القسم أعلاه فيما يتعلق بحالة القيد الواحد. بدلاً من الدالة${\displaystyle g}$كما هو موضح هناك، لنفترض الآن دالة سلسة${\displaystyle \ G:M\to \mathbb {R} ^{p}(p>1)\ ,}$مع وظائف المكونات${\displaystyle \ g_{i}:M\to \mathbb {R} \ ,}$والتي${\displaystyle 0\in \mathbb {R} ^{p}}$هي قيمة منتظمة . ليكن${\displaystyle N}$ليكن التشعب الفرعي لـ${\displaystyle \ M\ }$محدد بواسطة${\displaystyle \ G(x)=0~.}$

${\displaystyle \ x\ }$هي نقطة ثابتة لـ${\displaystyle f|_{N}}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \ \ker(\operatorname {d} f_{x})\ }$يتضمن${\displaystyle \ \ker(\operatorname {d} G_{x})~.}$للتسهيل، دعنا${\displaystyle \ L_{x}=\operatorname {d} f_{x}\ }$و${\displaystyle \ K_{x}=\operatorname {d} G_{x}\ ,}$أين${\displaystyle \ \operatorname {d} G}$يشير إلى خريطة المماس أو جاكوبيان${\displaystyle \ TM\to T\mathbb {R} ^{p}~}$(${\displaystyle \ T_{x}\mathbb {R} ^{p}}$يمكن تحديدها بشكل أساسي بـ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{p}}$). الفضاء الجزئي${\displaystyle \ker(K_{x})}$أبعاده أصغر من أبعاد${\displaystyle \ker(L_{x})}$، أي${\displaystyle \ \dim(\ker(L_{x}))=n-1\ }$و${\displaystyle \ \dim(\ker(K_{x}))=n-p~.}$${\displaystyle \ker(K_{x})}$ينتمي إلى${\displaystyle \ \ker(L_{x})\ }$إذا وفقط إذا${\displaystyle L_{x}\in T_{x}^{\ast }M}$ينتمي إلى صورة${\displaystyle \ K_{x}^{\ast }:\mathbb {R} ^{p\ast }\to T_{x}^{\ast }M~.}$من الناحية الحسابية، الشرط هو أن${\displaystyle L_{x}}$ينتمي إلى فضاء الصفوف لمصفوفة${\displaystyle \ K_{x}\ ,}$أو ما يعادله، فضاء أعمدة مصفوفة${\displaystyle K_{x}^{\ast }}$(المنقول). إذا${\displaystyle \ \omega _{x}\in \Lambda ^{p}(T_{x}^{\ast }M)\ }$يرمز إلى الضرب الخارجي لأعمدة مصفوفة${\displaystyle \ K_{x}^{\ast }\ ,}$الشرط الثابت لـ${\displaystyle \ f|_{N}\ }$في${\displaystyle \ x\ }$يصبح $${\displaystyle L_{x}\wedge \omega _{x}=0\in \Lambda ^{p+1}\left(T_{x}^{\ast }M\right)}$$ ومرة أخرى، في هذه الصيغة ليس من الضروري إيجاد معاملات لاغرانج بشكل صريح، الأرقام${\displaystyle \ \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{p}\ }$بحيث $${\displaystyle \ \operatorname {d} f_{x}=\sum _{i=1}^{p}\lambda _{i}\operatorname {d} (g_{i})_{x}~.}$$

لنفترض أننا نرغب في تحقيق أقصى قدر من${\displaystyle \ f(x,y)=x+y\ }$رهناً بالقيود${\displaystyle \ x^{2}+y^{2}=1~.}$مجموعة الحلول الممكنة هي دائرة الوحدة، ومجموعات مستوى الدالة f هي خطوط قطرية (بميل -1)، لذا يمكننا أن نرى بيانيًا أن القيمة القصوى تحدث عند${\displaystyle \ \left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}},{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)\ ,}$وأن الحد الأدنى يحدث عند${\displaystyle \ \left(-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}},-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)~.}$

بالنسبة لطريقة معاملات لاغرانج، فإن القيد هو $${\displaystyle g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1=0\ ,}$$ ومن ثم دالة لاغرانج، $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}(x,y,\lambda )&=f(x,y)+\lambda \cdot g(x,y)\\[4pt]&=x+y+\lambda (x^{2}+y^{2}-1)\ ,\end{aligned}}}$$ هي دالة مكافئة لـ${\displaystyle \ f(x,y)\ }$متى${\displaystyle \ g(x,y)\ }$تم ضبطه على 0 .

والآن يمكننا حساب التدرج: $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{x,y,\lambda }{\mathcal {L}}(x,y,\lambda )&=\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}},{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial y}},{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \lambda }}\right)\\[4pt]&=\left(1+2\lambda x,1+2\lambda y,x^{2}+y^{2}-1\right)\ \color {gray}{,}\end{aligned}}}$$ وبالتالي: $${\displaystyle \nabla _{x,y,\lambda }{\mathcal {L}}(x,y,\lambda )=0\quad \Leftrightarrow \quad {\begin{cases}1+2\lambda x=0\\1+2\lambda y=0\\x^{2}+y^{2}-1=0\end{cases}}}$$

لاحظ أن المعادلة الأخيرة هي القيد الأصلي.

المعادلتان الأوليان تعطيان $${\displaystyle x=y=-{\frac {1}{2\lambda }},\qquad \lambda \neq 0~.}$$ بالتعويض في المعادلة الأخيرة نحصل على: $${\displaystyle {\frac {1}{4\lambda ^{2}}}+{\frac {1}{4\lambda ^{2}}}-1=0\ ,}$$ لذا $${\displaystyle \lambda =\pm {\frac {1}{\sqrt {2\ }}}\ ,}$$ مما يعني أن النقاط الثابتة لـ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$نكون $${\displaystyle \left({\tfrac {\sqrt {2\ }}{2}},{\tfrac {\sqrt {2\ }}{2}},-{\tfrac {1}{\sqrt {2\ }}}\right),\qquad \left(-{\tfrac {\sqrt {2\ }}{2}},-{\tfrac {\sqrt {2\ }}{2}},{\tfrac {1}{\sqrt {2\ }}}\right)~.}$$

تقييم دالة الهدف f عند هذه النقاط ينتج عنه $${\displaystyle f\left({\tfrac {\sqrt {2\ }}{2}},{\tfrac {\sqrt {2\ }}{2}}\right)={\sqrt {2\ }}\ ,\qquad f\left(-{\tfrac {\sqrt {2\ }}{2}},-{\tfrac {\sqrt {2\ }}{2}}\right)=-{\sqrt {2\ }}~.}$$

وبالتالي فإن الحد الأقصى المقيد هو${\displaystyle \ {\sqrt {2\ }}\ }$والحد الأدنى المقيد هو${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$.

الآن نعدل دالة الهدف في المثال 1 بحيث نخفض ${\displaystyle \ f(x,y)=(x+y)^{2}\ }$بدلاً من${\displaystyle \ f(x,y)=x+y\ ,}$مرة أخرى على طول الدائرة${\displaystyle \ g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1=0~.}$الآن مجموعات المستويات من${\displaystyle f}$لا تزال هذه الخطوط ذات ميل -1، والنقاط على الدائرة المماسية لهذه المستويات هي مرة أخرى${\displaystyle \ ({\sqrt {2}}/2,{\sqrt {2}}/2)\ }$و${\displaystyle \ (-{\sqrt {2}}/2,-{\sqrt {2}}/2)~.}$تمثل نقاط التماس هذه القيم القصوى لـ${\displaystyle \ f~.}$

من ناحية أخرى، تحدث القيم الدنيا على مجموعة المستويات لـ${\displaystyle \ f=0\ }$(منذ بنائها)${\displaystyle \ f\ }$لا يمكن أن تأخذ قيمًا سالبة عند${\displaystyle \ ({\sqrt {2}}/2,-{\sqrt {2}}/2)\ }$و${\displaystyle \ (-{\sqrt {2}}/2,{\sqrt {2}}/2)\ ,}$حيث منحنيات المستوى لـ${\displaystyle \ f\ }$لا تكون مماسية للقيد. الشرط هو أن${\displaystyle \ \nabla _{x,y,\lambda }\left(f(x,y)+\lambda \cdot g(x,y)\right)=0\ }$يُحدد البرنامج جميع النقاط الأربع بشكل صحيح على أنها نقاط قصوى؛ وتتميز النقاط الدنيا بـ${\displaystyle \ \lambda =0\ }$والقيم القصوى بواسطة${\displaystyle \ \lambda =-2~.}$

يتناول هذا المثال حسابات أكثر تعقيدًا، ولكنه لا يزال مشكلة ذات قيد واحد.

لنفترض أن المرء يريد إيجاد القيم القصوى لـ $${\displaystyle f(x,y)=x^{2}y}$$ بشرط أن${\displaystyle \ x\ }$- و${\displaystyle \ y\ }$تقع الإحداثيات على الدائرة المحيطة بنقطة الأصل بنصف قطر${\displaystyle \ {\sqrt {3\ }}~.}$أي، رهناً بالقيد $${\displaystyle g(x,y)=x^{2}+y^{2}-3=0~.}$$

بما أن هناك قيدًا واحدًا فقط، فهناك مُضاعِف واحد، على سبيل المثال${\displaystyle \ \lambda ~.}$

القيد${\displaystyle \ g(x,y)\ }$يساوي الصفر تمامًا على الدائرة التي نصف قطرها${\displaystyle \ {\sqrt {3\ }}~.}$أي مضاعف لـ${\displaystyle \ g(x,y)\ }$يمكن إضافته إلى${\displaystyle \ g(x,y)\ }$مغادرة${\displaystyle \ g(x,y)\ }$دون تغيير في المنطقة محل الاهتمام (على الدائرة حيث يتم استيفاء القيد الأصلي).

يؤدي تطبيق طريقة مضاعف لاغرانج العادية إلى $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}(x,y,\lambda )&=f(x,y)+\lambda \cdot g(x,y)\\&=x^{2}y+\lambda (x^{2}+y^{2}-3)\ ,\end{aligned}}}$$ ومنها يمكن حساب التدرج: $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{x,y,\lambda }{\mathcal {L}}(x,y,\lambda )&=\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}},{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial y}},{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \lambda }}\right)\\&=\left(2xy+2\lambda x,x^{2}+2\lambda y,x^{2}+y^{2}-3\right)~.\end{aligned}}}$$ وبالتالي: $${\displaystyle \nabla _{x,y,\lambda }{\mathcal {L}}(x,y,\lambda )=0\quad \iff \quad {\begin{cases}2xy+2\lambda x=0\\x^{2}+2\lambda y=0\\x^{2}+y^{2}-3=0\end{cases}}\quad \iff \quad {\begin{cases}x(y+\lambda )=0&{\text{(i)}}\\x^{2}=-2\lambda y&{\text{(ii)}}\\x^{2}+y^{2}=3&{\text{(iii)}}\end{cases}}}$$ (iii) هو القيد الأصلي فقط. (i) يستلزم${\displaystyle \ x=0\ }$أو${\displaystyle \ \lambda =-y~.}$لو${\displaystyle x=0}$ثم${\displaystyle \ y=\pm {\sqrt {3\ }}\ }$بواسطة (ثالثاً) وبالتالي ${\displaystyle \ \lambda =0\ }$من (ii). إذا${\displaystyle \ \lambda =-y\ ,}$وباستبدال هذا في (ii) ينتج${\displaystyle \ x^{2}=2y^{2}~.}$بتعويض هذا في (iii) وحل المعادلة لإيجاد${\displaystyle \ y\ }$أعطِ${\displaystyle \ y=\pm 1~.}$وبالتالي، توجد ست نقاط حرجة${\displaystyle \ {\mathcal {L}}\$ :} $${\displaystyle ({\sqrt {2\ }},1,-1);\quad (-{\sqrt {2\ }},1,-1);\quad ({\sqrt {2\ }},-1,1);\quad (-{\sqrt {2\ }},-1,1);\quad (0,{\sqrt {3\ }},0);\quad (0,-{\sqrt {3\ }},0)~.}$$

بتقييم الهدف عند هذه النقاط، يجد المرء أن $${\displaystyle f(\pm {\sqrt {2\ }},1)=2;\quad f(\pm {\sqrt {2\ }},-1)=-2;\quad f(0,\pm {\sqrt {3\ }})=0~.}$$

وبالتالي، تصل دالة الهدف إلى القيمة القصوى العالمية (مع مراعاة القيود) عند${\displaystyle \ (\pm {\sqrt {2\ }},1\ )}$والحد الأدنى العالمي عند${\displaystyle \ (\pm {\sqrt {2\ }},-1)~.}$النقطة${\displaystyle \ (0,{\sqrt {3\ }})\ }$هو الحد الأدنى المحلي لـ${\displaystyle \ f\ }$و${\displaystyle \ (0,-{\sqrt {3\ }})\ }$هي قيمة عظمى محلية لـ${\displaystyle \ f\ ,}$كما يمكن تحديده من خلال النظر في مصفوفة هيسيان لـ${\displaystyle \ {\mathcal {L}}(x,y,0)~.}$

لاحظ أنه بينما${\displaystyle \ ({\sqrt {2\ }},1,-1)\ }$تُعد نقطة حاسمة من${\displaystyle \ {\mathcal {L}}\ ,}$إنها ليست حالة قصوى محلية لـ${\displaystyle \ {\mathcal {L}}~.}$لدينا $${\displaystyle {\mathcal {L}}\left({\sqrt {2\ }}+\varepsilon ,1,-1+\delta \right)=2+\delta \left(\varepsilon ^{2}+\left(2{\sqrt {2\ }}\right)\varepsilon \right)~.}$$

بالنظر إلى أي حي من${\displaystyle \ ({\sqrt {2\ }},1,-1)\ ,}$يمكن للمرء أن يختار جانبًا إيجابيًا صغيرًا${\displaystyle \ \varepsilon \ }$وصغير${\displaystyle \ \delta \ }$من أي من العلامتين للحصول على${\displaystyle \ {\mathcal {L}}}$القيم الأكبر والأصغر من${\displaystyle \ 2~.}$ويمكن ملاحظة ذلك أيضًا من خلال مصفوفة هيسيان الخاصة بـ${\displaystyle \ {\mathcal {L}}\ }$يتم تقييمها عند هذه النقطة (أو في الواقع عند أي من النقاط الحرجة) وهي مصفوفة غير محددة . كل نقطة من النقاط الحرجة لـ${\displaystyle \ {\mathcal {L}}\ }$هي نقطة سرجية${\displaystyle \ {\mathcal {L}}~.}$^{[ 4 ]}

لنفترض أننا نرغب في إيجاد التوزيع الاحتمالي المنفصل على النقاط${\displaystyle \ \{p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}\}\ }$مع أقصى إنتروبيا معلوماتية . وهذا يعني أننا نرغب في إيجاد أقل توزيع احتمالي منظم على النقاط${\displaystyle \ \{p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\}~.}$بمعنى آخر، نرغب في تعظيم معادلة إنتروبيا شانون : $${\displaystyle f(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n})=-\sum _{j=1}^{n}p_{j}\log _{2}p_{j}~.}$$

لكي يكون هذا توزيعًا احتماليًا، يجب أن يكون مجموع الاحتمالات${\displaystyle \ p_{i}\ }$عند كل نقطة${\displaystyle \ x_{i}\ }$يجب أن يساوي 1، لذا فإن قيدنا هو: $${\displaystyle g(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n})=\sum _{j=1}^{n}p_{j}=1~.}$$

نستخدم معاملات لاغرانج لإيجاد نقطة أقصى إنتروبيا،${\displaystyle \ {\vec {p}}^{\,*}\ ,}$عبر جميع التوزيعات الاحتمالية المنفصلة${\displaystyle \ {\vec {p}}\ }$على${\displaystyle \ \{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}~.}$نحن نشترط ما يلي: $${\displaystyle \left.{\frac {\partial }{\partial {\vec {p}}}}(f+\lambda (g-1))\right|_{{\vec {p}}={\vec {p}}^{\,*}}=0\ ,}$$ مما ينتج عنه نظام من n معادلة،${\displaystyle \ k=1,\ \ldots ,n\ ,}$بحيث: $${\displaystyle \left.{\frac {\partial }{\partial p_{k}}}\left\{-\left(\sum _{j=1}^{n}p_{j}\log _{2}p_{j}\right)+\lambda \left(\sum _{j=1}^{n}p_{j}-1\right)\right\}\right|_{p_{k}=p_{\star k}}=0~.}$$

بإجراء عملية التفاضل لهذه المعادلات n ، نحصل على $${\displaystyle -\left({\frac {1}{\ln 2}}+\log _{2}p_{\star k}\right)+\lambda =0~.}$$

هذا يدل على أن كل${\displaystyle \ p_{\star k}\ }$متساويتان (لأنهما تعتمدان على λ فقط). باستخدام القيد $${\displaystyle \sum _{j}p_{j}=1\ ,}$$ نجد $${\displaystyle p_{\star k}={\frac {1}{n}}~.}$$

وبالتالي، فإن التوزيع المنتظم هو التوزيع ذو أكبر إنتروبيا، من بين التوزيعات على n نقطة.

تقع النقاط الحرجة لدوال لاغرانج عند نقاط السرج ، وليس عند القيم العظمى (أو الصغرى) المحلية. ^{[ 4 ] [ 17 ]} لسوء الحظ، صُممت العديد من تقنيات التحسين العددي، مثل تسلق التلال ، وانحدار التدرج ، وبعض طرق شبه نيوتن ، وغيرها، لإيجاد القيم العظمى (أو الصغرى) المحلية وليس نقاط السرج. لهذا السبب، يجب إما تعديل الصيغة لضمان أنها مسألة تصغير (على سبيل المثال، عن طريق إيجاد القيمة القصوى لمربع تدرج دالة لاغرانج كما هو موضح أدناه)، أو استخدام تقنية تحسين تجد النقاط الثابتة (مثل طريقة نيوتن بدون بحث خطي عن القيم القصوى ) وليس بالضرورة القيم القصوى.

كمثال بسيط، لننظر في مشكلة إيجاد قيمة x التي تقلل من${\displaystyle \ f(x)=x^{2}\ ,}$مقيدة بحيث${\displaystyle \ x^{2}=1~.}$(هذه المشكلة غير نمطية إلى حد ما لأنه لا يوجد سوى قيمتين تحققان هذا القيد، لكنها مفيدة لأغراض التوضيح لأنه يمكن تصور الدالة غير المقيدة المقابلة في ثلاثة أبعاد.)

باستخدام معاملات لاغرانج، يمكن تحويل هذه المشكلة إلى مشكلة تحسين غير مقيدة: $${\displaystyle {\mathcal {L}}(x,\lambda )=x^{2}+\lambda (x^{2}-1)~.}$$

تحدث النقطتان الحرجتان عند نقاط السرج حيث x = 1 و x = −1 .

لحل هذه المشكلة باستخدام تقنية التحسين العددي، يجب أولاً تحويلها بحيث تقع النقاط الحرجة عند القيم الدنيا المحلية. ويتم ذلك بحساب مقدار تدرج مسألة التحسين غير المقيدة.

أولاً، نقوم بحساب المشتقة الجزئية للمسألة غير المقيدة بالنسبة لكل متغير: $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}=2x+2x\lambda \\[5pt]&{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \lambda }}=x^{2}-1~.\end{aligned}}}$$

إذا لم تكن الدالة المستهدفة قابلة للتفاضل بسهولة، فيمكن تقريب التفاضل بالنسبة لكل متغير على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\ \partial {\mathcal {L}}\ }{\partial x}}\approx {\frac {{\mathcal {L}}(x+\varepsilon ,\lambda )-{\mathcal {L}}(x,\lambda )}{\varepsilon }},\\[5pt]{\frac {\ \partial {\mathcal {L}}\ }{\partial \lambda }}\approx {\frac {{\mathcal {L}}(x,\lambda +\varepsilon )-{\mathcal {L}}(x,\lambda )}{\varepsilon }},\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle \varepsilon }$قيمة صغيرة.

بعد ذلك، نحسب مقدار التدرج، وهو الجذر التربيعي لمجموع مربعات المشتقات الجزئية: $${\displaystyle {\begin{aligned}h(x,\lambda )&={\sqrt {(2x+2x\lambda )^{2}+(x^{2}-1)^{2}\ }}\\[4pt]&\approx {\sqrt {\left({\frac {\ {\mathcal {L}}(x+\varepsilon ,\lambda )-{\mathcal {L}}(x,\lambda )\ }{\varepsilon }}\right)^{2}+\left({\frac {\ {\mathcal {L}}(x,\lambda +\varepsilon )-{\mathcal {L}}(x,\lambda )\ }{\varepsilon }}\right)^{2}\ }}~.\end{aligned}}}$$

(بما أن المقدار دائمًا غير سالب، فإن التحسين على أساس مربع المقدار يكافئ التحسين على أساس المقدار. وبالتالي، يمكن حذف "الجذر التربيعي" من هذه المعادلات دون أي فرق متوقع في نتائج التحسين.)

تحدث النقاط الحرجة للدالة h عند x = 1 و x = −1 ، تمامًا كما في${\displaystyle {\mathcal {L}}~.}$بخلاف النقاط الحرجة في${\displaystyle {\mathcal {L}}\,,}$ومع ذلك، فإن النقاط الحرجة في h تحدث عند الحد الأدنى المحلي، لذلك يمكن استخدام تقنيات التحسين العددي لإيجادها.

في ميكانيكا لاغرانج ، يمكن إضافة مُضاعِفات لاغرانج إلى معادلات أويلر-لاغرانج كوسيلة لفرض قيود فيزيائية على الأنظمة. ^{[ 18 ]} هذه الطريقة ليست ضرورية بشكل عام، لأن هناك طريقة بديلة تتمثل في اختيار مجموعة من الإحداثيات المعممة المستقلة خطيًا بحيث تُفرض القيود ضمنيًا.

عند استخدام معاملات لاغرانج، يجب حل معادلات القيد بالتزامن مع معادلات أويلر-لاغرانج. وبالتالي، تصبح المعادلات نظامًا من المعادلات التفاضلية الجبرية (بدلاً من نظام المعادلات التفاضلية العادية ). ^{[ 19 ]}

تُعدّ طريقة مُضاعِفات لاغرانج مفيدةً عندما يصعب كتابة دالة لاغرانج بدلالة مجموعة من الإحداثيات المعممة المستقلة خطيًا. على سبيل المثال، تُستخدم في خوارزميات نمذجة الأنظمة الديناميكية البرمجية، أو في نمذجة الأنظمة ذات السلاسل الحركية المغلقة. ^{[ 20 ]} كما أنها مفيدة لفرض قيود غير هولونومية. ^{[ 18 ] [ 20 ]}

بالنظر إلى مجموعة من معادلات القيود الهولونومية${\displaystyle f_{j}(\mathbf {q} ,t)=0}$ويمكن كتابة معادلات أويلر-لاغرانج مع مضاعفات لاغرانج على النحو التالي ^{[ 18 ] [ 19 ]}

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}+\underbrace {\sum _{j=1}^{C}\lambda _{j}{\frac {\partial f_{j}}{\partial q_{i}}}} _{-\tau _{i,{\text{constraint}}}}=\tau _{i}}$$

معنى${\displaystyle \tau _{i,{\text{constraint}}}}$يمكن تفسير ذلك بنقله إلى الجانب الآخر من المعادلة ودمجه في حد القوة المعممة${\displaystyle \tau _{i}}$في هذا التفسير، يمتلك النظام${\displaystyle C}$عدد من درجات الحرية الإضافية، ولا توجد قيود مفروضة إضافية، ولكن قوى القيد${\displaystyle \tau _{i,{\text{constraint}}}}$تصادف أن تكون لها القيم المناسبة بحيث تتحقق القيود. ^{[ 18 ] [ 19 ]}

في نظرية التحكم الأمثل ، يتم تفسير مضاعفات لاغرانج على أنها متغيرات الحالة المرافقة ، ويتم إعادة صياغة مضاعفات لاغرانج على أنها تقليل الهاميلتوني ، في مبدأ بونترياجين الأقصى .

تتضمن طريقة مُضاعِف لاغرانج عدة تعميمات. في البرمجة غير الخطية، توجد عدة قواعد للمُضاعِف، مثل قاعدة كاراثيودوري-جون للمُضاعِف وقاعدة المُضاعِف المحدب، لقيود المتباينات. ^{[ 21 ]}

في العديد من نماذج الاقتصاد الرياضي ، مثل نماذج التوازن العام ، يُعبَّر عن سلوك المستهلك بتعظيم المنفعة ، وعن سلوك الشركة بتعظيم الربح ، مع خضوع كلا الكيانين لقيود مثل قيود الميزانية وقيود الإنتاج . ويتم عادةً تحديد الحل الأمثل من خلال تعظيم دالة معينة، حيث تُفرض القيود باستخدام مُضاعِفات لاغرانج. ^{[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]}

تُستخدم الطرق القائمة على مضاعفات لاغرانج في أنظمة الطاقة ، على سبيل المثال في تحديد مواقع موارد الطاقة الموزعة (DER) وتخفيف الأحمال. ^{[ 26 ]}

تُطبَّق طريقة مُضاعِفات لاغرانج على عمليات اتخاذ القرار ماركوف المقيدة . ^{[ 27 ]} وهي تُنتج بشكل طبيعي خوارزميات ثنائية أولية قائمة على التدرج في التعلم المعزز الآمن. ^{[ 28 ]}

بالنظر إلى مسائل المعادلات التفاضلية الجزئية ذات القيود، أي دراسة خصائص الحلول المعيارية، فإن مضاعفات لاغرانج تلعب دورًا مهمًا.