العدد شبه الكامل الأولي

في الرياضيات ، وخاصة في نظرية الأعداد ، يُعتبر العدد N عددًا شبه كامل أوليًا إذا حقق معادلة الكسور المصرية

${\displaystyle {\frac {1}{N}}+\sum _{p\,|\;\!N}{\frac {1}{p}}=1,}$

حيث يكون المجموع على القواسم الأولية فقط لـ N.

بصورة مكافئة، يكون العدد N عددًا شبه كامل أوليًا إذا حقق الشرط التالي:

${\displaystyle 1+\sum _{p\,|\;\!N}{\frac {N}{p}}=N.}$

باستثناء العدد شبه الكامل الأساسي N  =  2، فإن هذا التعبير يُعطي تمثيلاً لـ N كمجموع قواسم مختلفة لـ N. لذلك، فإن كل عدد شبه كامل أساسي N (باستثناء N  =  2) هو أيضاً عدد شبه كامل .

الأعداد العشرة الأولية المعروفة شبه الكاملة هي

2 ، 6 ، 42 ، 1806، 47058، 2214502422، 52495396602، 5998279018951962402، 8490421583559688410706771261086، 35979351189199316534587473905773572006 (التسلسل A054377 في OEIS ) .

الأعداد الأربعة الأولى من هذه الأعداد أقل بواحد من الأعداد المناظرة لها في متتالية سيلفستر ، لكن المتتاليتين تتباعدان بعد ذلك . وقد يكون أكبر عددين معروفين من الأعداد الأولية شبه الكاملة غير مرتبين.

من غير المعروف ما إذا كان هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية شبه الكاملة، أو ما إذا كان هناك أي أعداد أولية شبه كاملة فردية .

قد تُقدّم العوامل الأولية للأعداد شبه الكاملة الأولية أحيانًا حلولًا لمسألة زنام ، حيث تكون جميع عناصر مجموعة الحلول أولية. على سبيل المثال، تُشكّل العوامل الأولية للعدد شبه الكامل الأولي 47058 مجموعة الحلول {2، 3، 11، 23، 31} لمسألة زنام. مع ذلك، لا تُمثّل الأعداد شبه الكاملة الأولية الأصغر 2، 6، 42، و1806 حلولًا لمسألة زنام بهذه الطريقة، لأن مجموعات عواملها الأولية تُخالف الشرط الذي ينص على أنه لا يُمكن لأي عدد في المجموعة أن يُساوي واحدًا زائد حاصل ضرب الأعداد الأخرى. تُلاحظ آن (1998) وجود مجموعة حلول واحدة فقط من هذا النوع تحتوي على k عددًا أوليًا، لكل k ≤ 8، وتُخمّن أن الأمر نفسه ينطبق على قيم k الأكبر .

إذا كان العدد N، وهو عدد شبه كامل أولي، أقل بواحد من عدد أولي، فإن حاصل ضرب N في ( N  +  1) هو أيضًا عدد شبه كامل أولي. على سبيل المثال، 47058 هو عدد شبه كامل أولي، و47059 هو عدد أولي، لذا فإن حاصل ضرب 47058 × 47059 = 2214502422 هو أيضًا عدد شبه كامل أولي.

قام بوتسكي، جاجي ، ومايرنيك (2000) بدراسة وتسمية الأعداد شبه الكاملة الأولية . وباستخدام تقنيات البحث الحاسوبية، أثبتوا نتيجةً لافتةً مفادها أنه لكل عدد صحيح موجب r حتى 8، يوجد عدد شبه كامل أولي واحد فقط له r عوامل أولية مختلفة، وهو العدد شبه الكامل الأولي المعروف رقم r . وتُشكل هذه الأعداد، التي يكون فيها 2 ≤ r ≤ 8، عند اختزالها بتردد 288، المتتابعة الحسابية 6، 42، 78، 114، 150، 186، 222، كما لاحظ سوندو وماكميلان (2017) . وقد اكتشف وانغ (2026) العدد شبه الكامل الأولي التاسع المعروف .

• رقم جيوجا

• آن بريمشاند (1998)، "الكسور المصرية ومسألة الميراث"، مجلة الرياضيات الجامعية ، 29 (4)، الرابطة الرياضية الأمريكية : 296-300 ، doi : 10.2307/2687685 ، JSTOR 2687685 .

• بوتسكي، ويليام؛ جاي، ليندا م.؛ مايرنيك، دانيال ر. (2000)، "حول المعادلة${\displaystyle \scriptstyle \sum _{p|N}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{N}}=1}$"الأعداد شبه الكاملة، والرسوم البيانية الموزونة تمامًا"، مجلة الرياضيات الحاسوبية ، 69 : 407-420 ، doi : 10.1090/S0025-5718-99-01088-1.

• سوندو، جوناثان؛ ماكميلان، كيرين (2017)، "الأعداد شبه الكاملة الأولية، والمتتابعات الحسابية، ومعادلة إردوش-موسر"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 124 (3): 232-240 ، arXiv : 1812.06566 ، doi : 10.4169/amer.math.monthly.124.3.232 ، S2CID 119618783 .

• وانغ، هان (2026). "ملء المنافذ للأعداد شبه الكاملة الأولية". arXiv : 2605.21518 [ math.NT ]..

• العدد شبه الكامل الأساسي في موقع PlanetMath .
• وايسشتاين، إريك دبليو. "العدد شبه الكامل الأولي" . عالم الرياضيات .