الثابت الأولي

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 22 صور
الموسوعة الحرة

الثابت الأولي هو عدد حقيقيρ{\displaystyle \rho }لمنن{\displaystyle n}الرقم الثنائي رقم هو 1 إذان{\displaystyle n}يكون عددًا أوليًا ويكون 0 إذا كانن{\displaystyle n}هو مركب أو 1. [ 1 ]

بعبارة أخرى،ρ{\displaystyle \rho }هو العدد الذي يتوافق تمثيله الثنائي مع دالة المؤشر لمجموعة الأعداد الأولية . أي ،

ρ=∑ص12ص=∑ن=1∞χP(ن)2ن{\displaystyle \rho =\sum _{p}{\frac {1}{2^{p}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi _{\mathbb {P} }(n)}{2^{n}}}}

أينص{\displaystyle p}يشير إلى علامة أولية وχP{\displaystyle \chi _{\mathbb {P} }}هي الدالة المميزة للمجموعةP{\displaystyle \mathbb {P} }من الأعداد الأولية.

بداية التوسع العشري لـ ρ هي:ρ=0.414682509851111660248109622...{\displaystyle \rho =0.414682509851111660248109622\ldots }(التسلسل A051006 في OEIS ) [ 1 ]

بداية التوسع الثنائي هي:ρ=0.011010100010100010100010000...2{\displaystyle \rho =0.011010100010100010100010000\ldots _{2}}(التسلسل A010051 في OEIS )

اللاعقلانية

الرقمρ{\displaystyle \rho }غير منطقي . [ 2 ]

البرهان بالتناقض

يفترضρ{\displaystyle \rho }كانوا عقلانيين .

يشير إلىك{\displaystyle k}الرقم n من التمثيل الثنائي لـρ{\displaystyle \rho }بواسطةرك{\displaystyle r_{k}}ثم بما أنρ{\displaystyle \rho }بافتراض أن العدد نسبي، فإن تمثيله الثنائي يكون دوريًا في النهاية، وبالتالي توجد أعداد صحيحة موجبةشمال{\displaystyle N}وك{\displaystyle k}بحيث رن=رن+أناك{\displaystyle r_{n}=r_{n+ik}}للجميعن>شمال{\displaystyle n>N}وكل شيءأنا∈شمال{\displaystyle i\in \mathbb {N} }.

بما أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية، فيمكننا اختيار عدد أوليص>شمال{\displaystyle p>N}بحسب التعريف نرى أنرص=1{\displaystyle r_{p}=1}كما ذكرنا، لدينارص=رص+أناك{\displaystyle r_{p}=r_{p+ik}}للجميعأنا∈شمال{\displaystyle i\in \mathbb {N} }والآن، لننظر في الحالةأنا=ص{\displaystyle i=p}لدينارص+أنا⋅ك=رص+ص⋅ك=رص(ك+1)=0{\displaystyle r_{p+i\cdot k}=r_{p+p\cdot k}=r_{p(k+1)}=0}، منذص(ك+1){\displaystyle p(k+1)}مركب لأنك+1≥2{\displaystyle k+1\geq 2}. منذرص≠رص(ك+1){\displaystyle r_{p}\neq r_{p(k+1)}}نرى ذلكρ{\displaystyle \rho }غير منطقي.

مراجع

  1. 1 2 وايسشتاين، إريك دبليو. "الثابت الأولي" . mathworld.wolfram.com . تم الاسترجاع في 31 يناير 2025 .
  2. ↑ هاردي، جي إتش (2008). مقدمة في نظرية الأعداد . إي إم رايت ، دي آر هيث-براون، جوزيف إتش. سيلفرمان ( الطبعة السادسة). أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN  978-0-19-921985-8. OCLC 214305907 .