المربع السحري التبادلي الأولي

المربع السحري المعكوس الأولي هو مربع سحري يستخدم الأرقام العشرية لمقلوب عدد أولي .

لنفترض كسرًا من النوع الواحد ، مثل 1/3 أو 1/7. في النظام العشري، يتكرر باقي قسمة 1/3، وبالتالي أرقامه، مرة واحدة: 0.3333.... أما باقي قسمة 1/7 فيتكرر على ستة أرقام، أو 7−1: 1/7 = 0· 1 42857 1 42857 1 42857... عند فحص مضاعفات 1/7، نجد أن كلًا منها عبارة عن تبديل دوري لهذه الأرقام الستة:$${\displaystyle {\begin{aligned}1/7&=0.142857\dots \\2/7&=0.285714\dots \\3/7&=0.428571\dots \\4/7&=0.571428\dots \\5/7&=0.714285\dots \\6/7&=0.857142\dots \end{aligned}}}$$

إذا تم ترتيب الأرقام على شكل مربع ، فإن مجموع كل صف وعمود يساوي 1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27. وهذا ينتج عنه أصغر مربع سحري معكوس أولي غير طبيعي في النظام العشري :

على عكس صفوفها وأعمدتها، فإن مجموع أقطار هذا المربع لا يساوي27 ؛ ومع ذلك، فإن متوسطهم هو27 ، حيث يُضاف قطر واحد إلى23 بينما يضيف الآخر إلى31 .

جميع المقلوبات الأولية في أي أساس مع${\displaystyle p-1}$ستولد الفترة مربعات سحرية حيث تنتج جميع الصفوف والأعمدة ثابتًا سحريًا ، ولن يكون سوى عدد قليل منها ممتلئًا ، بحيث تعطي أقطارها وصفوفها وأعمدتها مجتمعة مجاميع متساوية.

في مربع سحري متبادل كامل، أو مربع سحري أولي متبادل آخر مع${\displaystyle p-1}$في هذه الفترة، يتم ترتيب الصفوف الزوجية من الصفوف رقم k في المربع وفقًا لمضاعفات${\displaystyle 1/p}$— ليس بالضرورة بالتتابع — حيث يمكن الحصول على ثابت سحري.

على سبيل المثال، ينتج عن دورة متكررة زوجية من مقلوب عدد أولي فردي لـ p ، مقسمة إلى سلاسل مكونة من n رقمًا، أزواج من التسلسلات المتكاملة للأرقام التي تُنتج سلاسل من الرقم 9 (9 ) عند جمعهما معًا: $${\displaystyle {\begin{aligned}1/7=&{\text{ }}0.142\;857\dots \\+&{\text{ }}0.857\;142\ldots =6/7\\&------------\\&{\text{ }}0.999\;999\ldots \\\\1/13=&{\text{ }}0.076\;923\;076\;923\dots \\+&{\text{ }}0.923\;076\;923\;076\ldots =12/13\\&------------\\&{\text{ }}0.999\;999\;999\;999\ldots \\\\1/19=&{\text{ }}0.052631578\;947368421\dots \\+&{\text{ }}0.947368421\;052631578\ldots =18/19\\&------------\\&{\text{ }}0.999999999\;999999999\dots \end{aligned}}}$$

هذه نتيجة لنظرية ميدي . ^{[ 1 ] [ 2 ]} يتم توليد هذه المتتاليات التكميلية بين مضاعفات مقلوب الأعداد الأولية التي مجموعها يساوي 1.

وبشكل أكثر تحديداً، فإن العامل n في بسط مقلوب العدد الأولي p سيؤدي إلى تغيير المنازل العشرية في توسيعه العشري وفقاً لذلك: $${\displaystyle {\begin{aligned}1/23&=0.04347826\;08695652\;173913\ldots \\2/23&=0.08695652\;17391304\;347826\ldots \\4/23&=0.17391304\;34782608\;695652\ldots \\8/23&=0.34782608\;69565217\;391304\ldots \\16/23&=0.69565217\;39130434\;782608\ldots \end{aligned}}}$$

في هذه الحالة، عامل من2 يحرك الفاصلة العشرية المتكررة لـ 1 / 23 بمقدار ثمانية منازل.

الحل المنتظم للمربع السحري المعكوس الأولي، سواء كان كاملاً أم لا، سيحتوي على صفوف ذات مضاعفات متتالية لـ${\displaystyle 1/p}$يمكن إنشاء مربعات سحرية أخرى لا تمثل صفوفها مضاعفات متتالية لـ${\displaystyle 1/p}$والتي مع ذلك تولد مبلغاً سحرياً.

المربعات السحرية المبنية على مقلوب الأعداد الأولية p في أساسات b ذات دورات${\displaystyle p-1}$لها مجموعات سحرية تساوي$${\displaystyle M=(b-1)\times {\frac {p-1}{2}}.}$$

ال${\displaystyle {\mathbf {\tfrac {1}{19}}}}$يحتوي المربع السحري ذو الدورة القصوى 18 على مجموع صفوف وأعمدة يساوي 81، وهو نفس المجموع الذي تحصل عليه الأقطار. وهذا يجعله أول مربع سحري معكوس أولي كامل غير طبيعي ذي أساس 10، حيث تتناسب مضاعفاته داخل المربعات السحرية المعكوسة.${\displaystyle k}$الصفوف رقم -: ^{[ 3 ] [ 4 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}1/19&=0.{\color {red}0}{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}{\color {red}1}\dots \\2/19&=0.1{\text{ }}{\color {red}0}{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}{\color {red}4}{\text{ }}2\dots \\3/19&=0.1{\text{ }}5{\text{ }}{\color {red}7}{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}{\color {red}2}{\text{ }}6{\text{ }}3\dots \\4/19&=0.2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}{\color {red}5}{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}{\color {red}3}{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4\dots \\5/19&=0.2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}{\color {red}5}{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}{\color {red}4}{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5\dots \\6/19&=0.3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}{\color {red}9}{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}{\color {red}2}{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6\dots \\7/19&=0.3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}{\color {red}0}{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}{\color {red}1}{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7\dots \\8/19&=0.4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}{\color {red}3}{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}{\color {red}7}{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8\dots \\9/19&=0.4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}{\color {red}0}{\text{ }}{\color {red}5}{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9\dots \\10/19&=0.5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}{\color {red}9}{\text{ }}{\color {red}4}{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0\dots \\11/19&=0.5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}{\color {red}6}{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}{\color {red}2}{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1\dots \\12/19&=0.6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}{\color {red}9}{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}{\color {red}8}{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2\dots \\13/19&=0.6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}{\color {red}0}{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}{\color {red}7}{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3\dots \\14/19&=0.7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}{\color {red}4}{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}{\color {red}5}{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4\dots \\15/19&=0.7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}{\color {red}4}{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}{\color {red}6}{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5\dots \\16/19&=0.8{\text{ }}4{\text{ }}{\color {red}2}{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}{\color {red}7}{\text{ }}3{\text{ }}6\dots \\17/19&=0.8{\text{ }}{\color {red}9}{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}{\color {red}5}{\text{ }}7\dots \\18/19&=0.{\color {red}9}{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}{\color {red}8}\dots \end{aligned}}}$$

الأعداد الأولية القليلة الأولى في النظام العشري التي يمكن استخدام مقلوباتها لإنتاج مربع سحري مقلوب أولي كامل غير طبيعي من هذا النوع هي ^{[ 5 ]}

{19, 383, 32327, 34061, 45341, 61967, 65699, 117541, 158771, 405817, ...} (التسلسل A072359 في OEIS ) .

أصغر عدد أولي ينتج عنه مربع سحري كهذا في النظام الثنائي هو 59 (111011 ₂ )، بينما في النظام الثلاثي هو 223 (22021 ₃ )؛ وهذه مدرجة في A096339 و A096660 .

• الرقم الدوري
• مقلوب الأعداد الأولية