نظام الأعداد الثلاثي
| جزء من سلسلة عن |
| أنظمة الأرقام |
|---|
| قائمة الأنظمة العددية |
نظام الأعداد الثلاثي (يسمى أيضًا بالأساس 3 أو الثلاثي [ 1 ] ) له الأساس 3. وعلى غرار البت ، فإن الرقم الثلاثي هو تريت ( ثلاثي ) . تريت واحد يعادل لوغاريتم 2 3 ( حوالي 1.58496 ) بت من المعلومات .
على الرغم من أن الثلاثي يشير غالبًا إلى نظام تكون فيه الأرقام الثلاثة كلها أرقامًا غير سالبة؛ على وجه التحديد 0 و 1 و 2 ، فإن الصفة تُقرض اسمها أيضًا للنظام الثلاثي المتوازن ؛ الذي يتألف من الأرقام −1 و0 و+1، المستخدمة في منطق المقارنة وأجهزة الكمبيوتر الثلاثية .
مقارنة مع القواعد الأخرى
لا تصبح تمثيلات الأعداد الصحيحة في النظام الثلاثي طويلة بشكل مزعج بنفس السرعة كما هو الحال في النظام الثنائي . على سبيل المثال، يتوافق النظام العشري 365 (10) أو النظام العشري 1 405 (6) مع النظام الثنائي 1 0110 1101 (2) (تسعة بتات ) والنظام الثلاثي 111 112 (3) (ستة أرقام). ومع ذلك، فهي لا تزال أقل إحكاما بكثير من التمثيلات المقابلة في القواعد مثل النظام العشري - انظر أدناه للحصول على طريقة مضغوطة لترميز النظام الثلاثي باستخدام النظام غير الأساسي (القاعدة 9) والنظام السبعيني (القاعدة 27).
| × | 1 | 2 | 10 | 11 | 12 | 20 | 21 | 22 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 10 | 11 | 12 | 20 | 21 | 22 | 100 |
| 2 | 2 | 11 | 20 | 22 | 101 | 110 | 112 | 121 | 200 |
| 10 | 10 | 20 | 100 | 110 | 120 | 200 | 210 | 220 | 1000 |
| 11 | 11 | 22 | 110 | 121 | 202 | 220 | 1001 | 1012 | 1 100 |
| 12 | 12 | 101 | 120 | 202 | 221 | 1010 | 1022 | 1 111 | 1 200 |
| 20 | 20 | 110 | 200 | 220 | 1010 | 1 100 | 1 120 | 1 210 | 2000 |
| 21 | 21 | 112 | 210 | 1001 | 1022 | 1 120 | 1 211 | 2002 | 2 100 |
| 22 | 22 | 121 | 220 | 1012 | 1 111 | 1 210 | 2002 | 2 101 | 2 200 |
| 100 | 100 | 200 | 1000 | 1 100 | 1 200 | 2000 | 2 100 | 2 200 | 10000 |
الأعداد من 0 إلى 3 3 − 1 في النظام الثلاثي القياسي ثلاثي 0 1 2 10 11 12 20 21 22 ثنائي 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 سيناري 0 1 2 3 4 5 10 11 12 عشري 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ثلاثي 100 101 102 110 111 112 120 121 122 ثنائي 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 10001 سيناري 13 14 15 20 21 22 23 24 25 عشري 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ثلاثي 200 201 202 210 211 212 220 221 222 ثنائي 10010 10011 1 0100 1 0101 1 0110 1 0111 1 1000 1 1001 1 1010 سيناري 30 31 32 33 34 35 40 41 42 عشري 18 19 20 21 22 23 24 25 26
قوى الرقم 3 في الثلاثي ثلاثي 1 10 100 1000 10000 ثنائي 1 11 1001 1 1011 1010001 سيناري 1 3 13 43 213 عشري 1 3 9 27 81 قوة 3 0 3 1 3 2 3 3 3 4 ثلاثي 100000 1000000 10000000 100000000 1 000 000 000 ثنائي 1111 0011 10 1101 1001 1000 1000 1011 1 1001 1010 0001 100 1100 1110 0011 سيناري 1043 3 213 14043 50 213 231 043 عشري 243 729 2 187 6 561 19683 قوة 3 5 3 6 3 7 3 8 3 9
أما بالنسبة للأعداد النسبية ، فإن الثلاثية توفر طريقة ملائمة لتمثيل1/3مثله كمثل السيناري (على عكس تمثيله المرهق كسلسلة لا نهائية من الأرقام المتكررة في النظام العشري)؛ ولكن العيب الرئيسي هو أن الثلاثي بدوره لا يقدم تمثيلًا محدودًا لـ1/2( ولا لـ1/4 , 1/8، إلخ)، لأن 2 ليس عاملًا أوليًا للقاعدة؛ كما هو الحال مع القاعدة اثنين، فإن واحدًا على عشرة (عدد عشري )1/10, سيناري1/14) لا يمكن تمثيله بدقة (سيحتاج ذلك إلى رقم عشري على سبيل المثال)؛ ولا يمكن تمثيل السدس (سيناري ) بدقة1/10, عدد عشري1/6) .
الكسور في الثلاثي جزء 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10 1/11 1/12 1/13 ثلاثي 0.1 0.1 0.02 0.0121 0.0 1 0.010212 0.01 0.01 0.0022 0.00211 0.0 02 0.002 ثنائي 0.1 0.01 0.01 0.0011 0.0 01 0.001 0.001 0.000111 0.0 0011 0. 0001011101 0.00 01 0. 000100111011 سيناري 0.3 0.2 0.13 0.1 0.1 0.05 0.043 0.04 0.0 3 0. 0313452421 0.03 0. 024340531215 عشري 0.5 0.3 0.25 0.2 0.1 6 0. 142857 0.125 0.1 0.1 0.09 0.08 3 0.076923
مجموع الأرقام في النظام الثلاثي مقابل النظام الثنائي
قيمة العدد الثنائي الذي يحتوي على n بت كلها 1 هي 2 n − 1 .
وبالمثل، بالنسبة لعدد N ( b , d ) مع القاعدة b والأرقام d ، والتي تمثل جميعها القيمة القصوى للرقم b − 1 ، يمكننا أن نكتب:
- ن ( ب ، د ) = ( ب − 1) ب د −1 + ( ب − 1) ب د −2 + … + ( ب − 1) ب 1 + ( ب − 1) ب 0 ،
- ن ( ب ، د ) = ( ب − 1)( ب د −1 + ب د −2 + … + ب 1 + 1)،
- ن ( ب ، د ) = ( ب − 1) م .
- bM = b d + b d −1 + … + b 2 + b 1 و
- − م = − ب د −1 − ب د −2 − ... − ب 1 − 1 ، لذا
- bM − M = b d − 1 ، أو
- م = ب د − 1/ب − 1 .
ثم
- ن ( ب ، د ) = ( ب − 1) م ،
- ن ( ب ، د ) =( ب − 1)( ب د − 1)/ب − 1 ,
- ن ( ب ، د ) = ب د − 1.
بالنسبة لعدد ثلاثي مكون من ثلاثة أرقام، N (3، 3) = 3 3 − 1 = 26 = 2 × 3 2 + 2 × 3 1 + 2 × 3 0 = 18 + 6 + 2 .
تمثيل ثلاثي مضغوط: القاعدة 9 و27
يمكن استخدام النظام غير العددي (القاعدة 9، كل رقم هو رقمين ثلاثيين) أو النظام السبعيني (القاعدة 27، كل رقم هو ثلاثة أرقام ثلاثية) للتمثيل المضغوط للثلاثي، على غرار كيفية استخدام الأنظمة الثمانية والسادسة عشرية بدلاً من الثنائية .
الاستخدام العملي
في بعض المنطق التناظري، غالبًا ما يتم التعبير عن حالة الدائرة على أنها ثلاثية. يُرى هذا بشكل شائع في دوائر CMOS ، وأيضًا في منطق الترانزستور-الترانزستور مع خرج القطب الطوطم . يُقال إن الخرج إما منخفض ( مؤرض ) أو مرتفع أو مفتوح ( مرتفع- Z ). في هذا التكوين، لا يكون خرج الدائرة متصلًا في الواقع بأي مرجع جهد على الإطلاق. عندما تكون الإشارة مؤرضة عادةً بمرجع معين، أو عند مستوى جهد معين، يُقال إن الحالة عالية المقاومة لأنها مفتوحة وتخدم مرجعها الخاص. وبالتالي، يكون مستوى الجهد الفعلي غير متوقع في بعض الأحيان.
هناك "نقطة ثلاثية" نادرة الاستخدام في الإحصائيات الدفاعية في لعبة البيسبول الأمريكية (عادةً للرامين فقط )، للإشارة إلى أجزاء كسرية من الجولة. نظرًا لأن الفريق المهاجم مسموح له بثلاثة أشواط ، فإن كل شوط يعتبر ثلث جولة دفاعية ويشار إليه بـ .1 . على سبيل المثال، إذا قام لاعب برمي جميع الأشواط الرابعة والخامسة والسادسة، بالإضافة إلى تحقيق 2 أشواط في الجولة السابعة، فسيتم إدراج عمود أشواطه التي رميها لتلك المباراة على أنه 3.2 ، وهو ما يعادل 3 أشواط .+2 ⁄ 3 (يستخدمه أحيانًا بعض القائمين على حفظ السجلات كبديل). في هذا الاستخدام، يُكتب الجزء الكسري فقط من الرقم في شكل ثلاثي. [2] [3]
يمكن استخدام الأعداد الثلاثية لنقل الهياكل المتشابهة ذاتيًا مثل مثلث سيربينسكي أو مجموعة كانتور بشكل ملائم. بالإضافة إلى ذلك، اتضح أن التمثيل الثلاثي مفيد لتحديد مجموعة كانتور ومجموعات النقاط ذات الصلة، بسبب الطريقة التي تم بها إنشاء مجموعة كانتور. تتكون مجموعة كانتور من النقاط من 0 إلى 1 التي تحتوي على تعبير ثلاثي لا يحتوي على أي مثيل للرقم 1. [4] [5] أي توسع نهائي في النظام الثلاثي يعادل التعبير المتطابق حتى المصطلح الذي يسبق آخر مصطلح غير صفري يليه المصطلح الأقل بمقدار واحد من آخر مصطلح غير صفري للتعبير الأول، يليه ذيل لا نهائي من اثنين. على سبيل المثال: 0.1020 يعادل 0.1012222... لأن التوسعات هي نفسها حتى "اثنين" في التعبير الأول، تم تقليل الاثنين في التوسع الثاني، وتم استبدال الأصفار اللاحقة باثنين لاحقة في التعبير الثاني.
الثلاثي هو الأساس الصحيح الذي يتمتع بأقل اقتصاد أساسي ، يليه الثنائي والرباعي عن كثب . ويرجع هذا إلى قربه من الثابت الرياضي e . وقد تم استخدامه لبعض أنظمة الحوسبة بسبب هذه الكفاءة. كما يتم استخدامه لتمثيل أشجار ذات ثلاثة خيارات ، مثل أنظمة قائمة الهاتف، والتي تسمح بمسار بسيط إلى أي فرع.
شكل من أشكال التمثيل الثنائي الزائد يسمى نظام الأرقام الثنائية الموقعة، وهو شكل من أشكال التمثيل بالأرقام الموقعة ، يستخدم أحيانًا في البرامج والأجهزة منخفضة المستوى لإنجاز عملية الجمع السريع للأعداد الصحيحة لأنه يمكنه التخلص من الحمل . [6]
ترميز ثنائي ثلاثي
يمكن أن تتضمن محاكاة أجهزة الكمبيوتر الثلاثية باستخدام أجهزة الكمبيوتر الثنائية، أو الربط بين أجهزة الكمبيوتر الثلاثية والثنائية، استخدام أرقام ثلاثية مشفرة ثنائيًا (BCT)، مع استخدام اثنين أو ثلاثة بتات لتشفير كل تريت. [7] [8] يشبه ترميز BCT الترميز العشري الثنائي (BCD). إذا تم ترميز قيم تريت 0 و1 و2 بـ 00 و01 و10، فيمكن إجراء التحويل في أي اتجاه بين الثلاثي المشفر ثنائيًا والثنائي في وقت لوغاريتمي . [9] تتوفر مكتبة من أكواد C تدعم حسابيات BCT. [10]
تريتي
حددت بعض أجهزة الكمبيوتر الثلاثية مثل Setun التريت ليكون ستة تريتات [11] أو ما يقرب من 9.5 بت (تحمل معلومات أكثر من البايت الثنائي الفعلي ). [12]
انظر أيضا
مراجع
- ^ كيندرا، فلاديمير؛ روجاليف، نيكولاي؛ أوسيبوف، سيرجي؛ زليفكو، أولجا؛ نوموف، فلاديمير (2022). "البحث والتطوير لدورات الطاقة الثلاثية". الاختراعات . 7 (3): 56. doi : 10.3390/inventions7030056 . ISSN 2411-5134.
- ^ Ashley MacLennan (2019-01-09). "دليل كامل للمبتدئين لإحصائيات البيسبول: إحصائيات الرمي وما تعنيه". Bless You Boys . تم الاسترجاع في 2020-07-30 .
- ^ "إحصائيات - فريق - رمي الكرة". MLB (دوري البيسبول الرئيسي) . تم الاسترجاع في 2020-07-30 .
- ^ Soltanifar, Mohsen (2006). "On A sequence of cantor fractals". مجلة روز هولمان للرياضيات الجامعية . 7 (1). ورقة رقم 9.
- ^ Soltanifar, Mohsen (2006). "وصف مختلف لعائلة من مجموعات كانتور المتوسطة ألفا". المجلة الأمريكية للأبحاث الجامعية . 5 (2): 9-12.
- ^ Phatak, DS; Koren, I. (1994). "Hybrid sign–digit number systems: a unified framework for redundant number representations with bounded carry propagation chains" (PDF) . IEEE Transactions on Computers . 43 (8): 880–891. CiteSeerX 10.1.1.352.6407 . doi :10.1109/12.295850.
- ^ فريدر، جدعون؛ لوك، كليمنت (فبراير 1975). "خوارزميات للعمليات الثلاثية المتوازنة والمشفرة ثنائيًا". معاملات معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات على الحاسبات . C-24 (2): 212–215. doi :10.1109/TC.1975.224188. S2CID 38704739.
- ^ Parhami, Behrooz; McKeown, Michael (2013-11-03). "Arithmetic with binary-encoded balance ternary numbers". 2013 Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers . Pacific Grove, California, US. ص. 1130–1133. doi :10.1109/ACSSC.2013.6810470. ISBN 978-1-4799-2390-8. S2CID 9603084.
{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link) - ^ جونز، دوغلاس دبليو. (يونيو 2016). "النظام الثلاثي المشفر ثنائيًا ومعكوسه".
- ^ جونز، دوغلاس دبليو. (2015-12-29). "أنواع البيانات الثلاثية لمبرمجي سي".
- ^ Impagliazzo, John; Proydakov, Eduard (2006). Perspectives on Soviet and Russian Computing. First IFIP WG 9.7 Conference, SoRuCom 2006. Petrozavodsk, Russia: Springer . ISBN 978-3-64222816-2.
- ^ Brousentsov, NP; Maslov, SP; Ramil Alvarez, J.; Zhogolev, EA "تطوير أجهزة الكمبيوتر الثلاثية في جامعة موسكو الحكومية" . تم الاسترجاع في 2010-01-20 .
قراءة إضافية
- هايز، برايان (نوفمبر-ديسمبر 2001). "القاعدة الثالثة" (PDF) . العالم الأمريكي . 89 (6). سيجما شي ، جمعية البحث العلمي: 490-494. doi :10.1511/2001.40.3268. مؤرشف من الأصل (PDF) في 2019-10-30 . تم الاسترجاع في 2020-04-12 .
روابط خارجية
- الحساب الثلاثي محفوظ في 2011-05-14 على موقع واي باك مشين
- الآلة الحاسبة الثلاثية لتوماس فاولر
- تحويل القاعدة الثلاثية – يتضمن الجزء الكسري، من كتاب Math Is Fun
- نظام الأرقام الثلاثية البديلة لجيديون فريدر
