التفكير النسبي

توجد أنماط استدلال مماثلة للتناسب العكسي.

لنفترض أن T هو طول السيد الطويل وS هو طول السيد القصير، عندئذٍ يمكن التعبير عن استراتيجية الضرب الصحيحة بالصيغة T/S = 3/2؛ وهي علاقة نسبة ثابتة. أما استراتيجية الجمع الخاطئة فيمكن التعبير عنها بالصيغة T – S = 2؛ وهي علاقة فرق ثابتة. إليكم الرسم البياني لهاتين المعادلتين. بالنسبة للقيم العددية الواردة في نص المسألة، فإن هذين الرسمين البيانيين "متشابهان"، ومن السهل فهم سبب اعتبار البعض إجاباتهم الخاطئة منطقية تمامًا.

لننظر الآن إلى التناسب العكسي باستخدام "مثلث الماء". لنفترض أن L هو ارتفاع الماء على الجانب الأيسر وR هو ارتفاع الماء على الجانب الأيمن، عندها يمكن التعبير عن استراتيجية الضرب الصحيحة بالصيغة L × R = 24؛ وهي علاقة ضرب ثابتة. أما استراتيجية الجمع الخاطئة فيمكن التعبير عنها بالصيغة L + R = 10؛ وهي علاقة جمع ثابتة. إليكم الرسم البياني لهاتين المعادلتين. بالنسبة للقيم العددية الواردة في نص المسألة، فإن هذين الرسمين البيانيين "متشابهان"، ومن السهل فهم سبب اعتبار البعض إجاباتهم الخاطئة منطقية تمامًا.

من الأهمية بمكان أن يدرك الطلاب بأنفسهم أن أسلوب تفكيرهم الحالي، كالتفكير الجمعي مثلاً، غير مناسب لحل مسألة ضربية. وقد وضع روبرت كاربلوس نموذجاً للتعلم أطلق عليه اسم "دورة التعلم"، وهو نموذج يُسهّل اكتساب مهارات التفكير الجديدة.

1. المرحلة الأولى هي مرحلة استكشافية يتعلم فيها الطلاب من خلال أفعالهم وردود أفعالهم مع الحد الأدنى من التوجيه. يجب تصميم بيئة التعلم بعناية لتركيز انتباه الطلاب على القضايا ذات الصلة. قد يشعر المتعلمون ببعض التنافر المعرفي إذا اكتشفوا أن استراتيجيتهم السابقة لا تتوافق مع النتائج الملاحظة. قد يؤدي هذا إلى أسئلة لا يستطيعون الإجابة عنها بأفكارهم أو أنماط تفكيرهم الحالية.
2. في المرحلة الثانية، يتم تقديم المفهوم وشرحه. هنا يكون المعلم أكثر نشاطاً، ويتحقق التعلم من خلال الشرح.
3. وأخيرًا، في المرحلة الثالثة، يُطبَّق المفهوم على مواقف جديدة، ويتسع نطاق تطبيقه. ويتحقق التعلّم من خلال التكرار والممارسة، ما يتيح للأفكار الجديدة وأساليب التفكير الجديدة الوقت الكافي للاستقرار.

تُعدّ الأنشطة العملية مفيدة للغاية في عملية التعلّم. فبعد التنبؤ بطول السيد الطويل باستخدام مشابك الورق، يمكن تقديم أدوات القياس ليختبر الطلاب استراتيجياتهم. بالنسبة للطالب الذي يستخدم علاقة الفرق الثابت، سيُظهر القياس الفعلي أن طول السيد الطويل يبلغ تسعة مشابك ورق، مما سيُحدث لديه نوعًا من التنافر المعرفي.

وينطبق الأمر نفسه على العلاقات العكسية. إليكم صورة لطالبين يعملان على "مثلث الماء". بالنظر إلى المسألة المذكورة أعلاه، يتوقع معظم الطلاب أن ينخفض ​​مستوى الماء على الجانب الأيسر إلى وحدتين عند إمالة مثلث الماء. وعندما يُجرون التجربة ويجدون أن الإجابة هي 3 وحدات، يُحدث ذلك نوعًا من التنافر المعرفي. هذه فرصة مثالية للمعلم للانتقال بالدرس إلى المرحلة الثانية من دورة التعلم.

من المهم ألا يُفرط الطلاب في تطبيق استراتيجيات الضرب التي يتعلمونها. لذا، قد لا تعتمد بعض الأنشطة العملية على علاقة ضربية. إليكم صورة لطالبين يعملان بجهاز تكون فيه علاقة المجموع الثابت صحيحة.

ليس من الممكن أو العملي دائمًا توفير أنشطة عملية مصممة بعناية للطلاب. كما أن كبار السن لا يتفاعلون دائمًا بشكل جيد مع التجارب العملية. ومع ذلك، غالبًا ما يكون من الممكن إحداث تنافر معرفي من خلال التجارب الفكرية .

في جميع التجارب المذكورة أعلاه، يوجد متغيران تتغير قيمهما بناءً على علاقة ثابتة. لننظر في المسألة التالية المشابهة لمسألة السيد الطويل والسيد القصير.

هذه صورة لأب وابنته. في هذه الصورة، يبلغ  طول الابنة 4 سم، بينما يبلغ طول الأب 6  سم. قررا تكبير الصورة، فأصبح  طول الابنة 6 سم في الصورة المكبرة. ما هو طول الأب في الصورة المكبرة؟

من الإجابات الشائعة جدًا لمن يستخدم علاقة الجمع هي 8  سم، لأن طول الأب دائمًا  يزيد عن طول ابنته بمقدار 2 سم. والآن، اسأل هذا الطالب السؤال التالي:

لنفترض أنهم صنعوا نسخة مصغرة جداً من الصورة الأصلية، وفي هذه الصورة المصغرة يبلغ طول الأب 2  سم. ما هو طول الابنة في هذه الصورة المصغرة؟

يدرك الطالب سريعًا أن استراتيجية "الأب دائمًا أطول من ابنته بمقدار 2 سم" غير صحيحة. ويمكن تحقيق ذلك أيضًا من خلال استكشاف الحالة المعاكسة، حيث تُكبّر الصورة الأصلية إلى حجم ملصق، ويكون  طول الابنة 100 سم. ما هو طول الأب في هذا الملصق؟ الطالب الذي يجيب بـ 102  سم يدرك أن طول الأب والابنة متقارب جدًا، وهذا غير منطقي. عند ظهور هذا التناقض المعرفي، يمكن للمعلم توضيح العلاقة الصحيحة، وهي النسبة الثابتة.

يمكن تشجيع الطالب على إجراء تجارب فكرية خاصة به، مثل: "ماذا لو تضاعف طول الابنة، ماذا سيحدث لطول الأب؟" سيجيب معظم الطلاب، بمن فيهم من لا يزالون في مرحلة العمليات المادية، بسرعة أن طول الأب سيتضاعف أيضًا. أما التجربة الفكرية المجردة فهي: "لنفترض أن أحد المتغيرات تضاعفت قيمته، كيف سيتغير المتغير الآخر؟" إذا كانت الإجابة "تضاعف"، فقد تكون هذه مسألة نسبة ثابتة. أما إذا لم تكن الإجابة "تضاعفت"، كما في مسألة العمر مع السيد الطويل والسيد القصير المذكورة أعلاه، فهي ليست مسألة نسبة ثابتة.

بالنسبة للعلاقات العكسية، مثل "مثلث الماء"، يمكن أن تؤدي الحالات الحدية أيضًا إلى حدوث تنافر معرفي. على سبيل المثال:

بالنظر إلى الشروط الأولية حيث يكون مستوى الماء على اليسار عند 4 وحدات ومستوى الماء على اليمين عند 6 وحدات، توقع ما هو مستوى الماء على اليسار إذا تم إمالة المثلث حتى يصبح مستوى الماء على اليمين 10 وحدات.

سيتخلى الطلاب عن استراتيجية الجمع عند هذه النقطة لإدراكهم أن الصفر ليس الإجابة الصحيحة. يمكن إجراء تجربة فكرية للعلاقات العكسية. إذا تضاعفت قيمة أحد المتغيرات، فماذا يحدث للمتغير الآخر؟ إذا كانت الإجابة ½ ، فقد تكون هذه علاقة ضرب ثابتة (أي تناسب عكسي).

يُعدّ تمثيل قيم المتغيرات بيانيًا أداةً قيّمةً لتحديد ما إذا كان هناك تناسب طردي بين متغيرين أم لا. فإذا كانا متناسبين طرديًا، فإن قيمهما تقع على خط مستقيم يتقاطع مع نقطة الأصل.