التحجيم (الهندسة)

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 30 صور
الموسوعة الحرة

تحتوي كل دورة من دورات مثلث سيربينسكي على مثلثات مرتبطة بالدورة التالية بمعامل قياس مقداره 1/2
تمدد المربع بمقدار ثابتك>1{\displaystyle K>1}وانكماش هذا المربع نفسه بمقدار ثابت0<ك<1{\displaystyle 0<k<1}.

في الهندسة الأفينية ، يُعدّ التكبير المنتظم (أو التكبير المتساوي الخواص [ 1 ] ) تحويلاً خطياً يُكبّر (يزيد) أو يُصغّر (يُقلّص) الأجسام بمعامل تكبير متساوٍ في جميع الاتجاهات ( متساوي الخواص ). وتكون نتيجة التكبير المنتظم مشابهة (بالمعنى الهندسي) للشكل الأصلي. ويُسمح عادةً بمعامل تكبير يساوي 1، بحيث تُصنّف الأشكال المتطابقة أيضاً على أنها متشابهة. ويحدث التكبير المنتظم، على سبيل المثال، عند تكبير أو تصغير صورة فوتوغرافية ، أو عند إنشاء نموذج مصغر لمبنى أو سيارة أو طائرة، إلخ.

يُعدّ تغيير الحجم باستخدام عامل قياس منفصل لكل اتجاه محوري أكثر عمومية . ويحدث تغيير الحجم غير المنتظم ( أو غير المتناحي ) عندما يختلف عامل قياس واحد على الأقل عن العوامل الأخرى؛ ومن الحالات الخاصة تغيير الحجم الاتجاهي أو التمديد (في اتجاه واحد). يُغيّر تغيير الحجم غير المنتظم شكل الجسم؛ فعلى سبيل المثال، قد يتحول المربع إلى مستطيل، أو إلى متوازي أضلاع إذا لم تكن أضلاع المربع موازية لمحاور تغيير الحجم (مع الحفاظ على الزوايا بين الخطوط الموازية للمحاور، ولكن ليس جميع الزوايا). ويحدث هذا، على سبيل المثال، عند النظر إلى لوحة إعلانية بعيدة من زاوية مائلة ، أو عندما يسقط ظل جسم مسطح على سطح غير موازٍ له.

عندما يكون عامل المقياس أكبر من 1 (سواء كان منتظمًا أو غير منتظم)، يُطلق على عملية تغيير المقياس أحيانًا اسم التمدد أو التكبير . وعندما يكون عامل المقياس عددًا موجبًا أصغر من 1، يُطلق على عملية تغيير المقياس أحيانًا اسم الانكماش أو التصغير .

بالمعنى الأكثر عمومية، يشمل التكبير والتصغير الحالة التي لا تكون فيها اتجاهات التكبير والتصغير متعامدة. كما يشمل الحالة التي يكون فيها عامل تكبير أو أكثر يساوي صفرًا ( الإسقاط )، والحالة التي يكون فيها عامل تكبير أو أكثر سالبًا (التكبير والتصغير الاتجاهي بمقدار -1 يعادل الانعكاس ) .

التوسيع هو تحويل خطي ، وهو حالة خاصة من التحويل المتجانس (التوسيع حول نقطة). في معظم الحالات، تكون التحويلات المتجانسة تحويلات غير خطية.

مقياس موحد

عامل المقياس هو عادةً عدد عشري يُستخدم لتغيير حجم كمية ما. في المعادلة y  = Cx ، يُمثل C عامل المقياس لـ x . كما يُمثل C معامل x ، ويُمكن تسميته ثابت التناسب بين y و x . على سبيل المثال، مُضاعفة المسافات تُقابلها مُعامل مقياس يساوي اثنين للمسافة، بينما تقطيع الكعكة إلى نصفين يُنتج قطعتين بمُعامل مقياس يساوي نصف الحجم. المعادلة الأساسية لذلك هي: الصورة مقسومة على الصورة الأصلية.

في مجال القياسات، يُشار أحيانًا إلى عامل المقياس لجهاز ما باسم الحساسية. كما تُسمى نسبة أي طولين متناظرين في شكلين هندسيين متشابهين بالمقياس.

تمثيل المصفوفة

يمكن تمثيل عملية تغيير الحجم بواسطة مصفوفة تغيير الحجم . لتغيير حجم كائن ما بواسطة متجه v = ( v x , v y , v z )، يجب ضرب كل نقطة p = ( p x , p y , p z ) بمصفوفة تغيير الحجم هذه:

Sv=[vx000vy000vz].{\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}.}

كما هو موضح أدناه، ستعطي عملية الضرب النتيجة المتوقعة:

Svص=[vx000vy000vz][صxصyصz]=[vxصxvyصyvzصz].{\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\ p_ {y}\\p_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z}p_{z}\end{bmatrix}}.}

يؤدي هذا التغيير في الحجم إلى تغيير قطر الجسم بمعامل يقع بين معاملات المقياس، وتغيير المساحة بمعامل يقع بين أصغر وأكبر ناتج لمعاملين من معاملات المقياس، وتغيير الحجم بمعامل ناتج عن جميع المعاملات الثلاثة.

يكون التدرج منتظمًا إذا وفقط إذا كانت عوامل التدرج متساوية ( vx = vy = vz ) . أما إذا كانت جميع عوامل التدرج تساوي 1 باستثناء واحد، فإننا نحصل على تدرج اتجاهي.

في الحالة التي يكون فيها v x = v y = v z = k ، فإن تغيير الحجم يزيد مساحة أي سطح بمعامل k 2 وحجم أي جسم صلب بمعامل k 3 .

التوسع في أبعاد عشوائية

فين{\displaystyle n}فضاء ذو ​​أبعادRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}، قياس موحد بمعاملv{\displaystyle v}يتم ذلك عن طريق الضرب القياسي معv{\displaystyle v}أي ضرب كل إحداثية من إحداثيات كل نقطة فيv{\displaystyle v}كحالة خاصة من التحويل الخطي، يمكن تحقيق ذلك أيضًا بضرب كل نقطة (تُعتبر متجهًا عموديًا) بمصفوفة قطرية تكون جميع عناصرها على القطر متساوية.v{\displaystyle v}، أيvأنا{\displaystyle viI}.

يتم تحقيق التحجيم غير المنتظم عن طريق الضرب بأي مصفوفة متناظرة . القيم الذاتية للمصفوفة هي عوامل التحجيم، والمتجهات الذاتية المقابلة هي المحاور التي ينطبق عليها كل عامل تحجيم. حالة خاصة هي المصفوفة القطرية، ذات الأعداد العشوائية.v1،v2،...vن{\displaystyle v_{1},v_{2},\ldots v_{n}}على طول القطر: تصبح محاور القياس هي محاور الإحداثيات، وتتغير مقاييس التحويل على طول كل محور.أنا{\displaystyle i}حسب العاملvأنا{\displaystyle v_{i}}.

في التحجيم المنتظم بمعامل تحجيم غير صفري، تحتفظ جميع المتجهات غير الصفرية باتجاهها (كما يُرى من نقطة الأصل)، أو ينعكس اتجاهها جميعًا، وذلك تبعًا لإشارة معامل التحجيم. أما في التحجيم غير المنتظم، فإن المتجهات التي تنتمي إلى فضاء ذاتي واحد فقط هي التي تحتفظ باتجاهها. المتجه الذي يُمثل مجموع متجهين أو أكثر غير صفريين ينتميان إلى فضاءات ذاتية مختلفة، يميل باتجاه الفضاء الذاتي ذي القيمة الذاتية الأكبر.

باستخدام الإحداثيات المتجانسة

في الهندسة الإسقاطية ، التي تُستخدم غالبًا في رسومات الحاسوب ، تُمثَّل النقاط باستخدام إحداثيات متجانسة . لتغيير حجم كائن ما باستخدام متجه v = (vx, vy, vz ) ، يجب ضرب كل متجه إحداثيات متجانسة p = ( px , py , pz , 1) بمصفوفة التحويل الإسقاطي التالية :

Sv=[vx0000vy0000vz00001].{\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}

كما هو موضح أدناه، ستعطي عملية الضرب النتيجة المتوقعة:

Svص=[vx0000vy0000vz00001][صxصyصz1]=[vxصxvyصyvzصz1].{\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{ x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z}p_{z}\\1\end{bmatrix}}.}

بما أن المكون الأخير من الإحداثيات المتجانسة يمكن اعتباره مقام المكونات الثلاثة الأخرى، فإنه يمكن تحقيق تغيير موحد في المقياس بواسطة عامل مشترك s (تغيير موحد في المقياس) باستخدام مصفوفة القياس هذه:

Sv=[1000010000100001s].{\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}.}

لكل متجه p = ( p x , p y , p z , 1) سيكون لدينا

Svص=[1000010000100001s][صxصyصz1]=[صxصyصz1s]،{\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}},}

وهو ما يعادل

[sصxsصysصz1].{\displaystyle {\begin{bmatrix}sp_{x}\\sp_{y}\\sp_{z}\\1\end{bmatrix}}.}

وظيفة التمدد والتقلص

بافتراض نقطةP(x،y){\displaystyle P(x,y)}، ويربط التمدد ذلك بالنقطةP′(x′،y′){\displaystyle P'(x',y')}من خلال المعادلات

{x′=مxy′=نy{\displaystyle {\begin{cases}x'=mx\\y'=ny\end{cases}}}لم،ن∈R+{\displaystyle m,n\in \mathbb {R} ^{+}}.

لذلك، بالنظر إلى دالةy=و(x){\displaystyle y=f(x)}معادلة الدالة المتمددة هي

y=نو(xم).{\displaystyle y=nf\left({\frac {x}{m}}\right).}

حالات خاصة

  • لون=1{\displaystyle n=1}يكون التحويل أفقيًا؛ عندمام>1{\displaystyle m>1}إنه تمدد، عندمام<1{\displaystyle m<1}، إنها اختصار.
  • لوم=1{\displaystyle m=1}يكون التحول رأسيًا؛ عندمان>1{\displaystyle n>1}إنه تمدد، عندمان<1{\displaystyle n<1}، إنها اختصار.

انظر أيضاً

الحواشي

  1. ↑ دوراند؛ كاتلر. "التحولات" (عرض تقديمي) . معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 12 سبتمبر 2008 .