وحدة فرعية نقية

في الرياضيات ، وخاصةً في مجال نظرية الوحدات ، يُقدّم مفهوم الوحدة الفرعية النقية تعميمًا للمُجمِّع المباشر ، وهو نوع من الأجزاء ذات السلوك المُنضبط في الوحدة . تُكمّل الوحدات النقية الوحدات المُسطّحة وتُعمّم مفهوم بروفر للمجموعات الفرعية النقية . فبينما تُعرّف الوحدات المُسطّحة بأنها تلك الوحدات التي تُبقي المتتاليات التامة القصيرة تامة بعد عملية الضرب الموتري ، تُعرّف الوحدة الفرعية النقية متتالية تامة قصيرة (تُعرف بالمتتالية التامة النقية ) تبقى تامة بعد الضرب الموتري مع أي وحدة. وبالمثل، تُعدّ الوحدة المُسطّحة نهاية مباشرة للوحدات الإسقاطية ، وتُعدّ المتتالية التامة النقية نهاية مباشرة للمتتاليات التامة المُجزّأة .

يترك${\displaystyle R}$أن تكون حلقة (ترابطية، مع${\displaystyle 1}$)، يترك${\displaystyle M}$كن وحدة (يسارية) فوق${\displaystyle R}$ودع${\displaystyle P}$أن تكون وحدة فرعية من${\displaystyle M}$مع${\displaystyle \iota \colon P\hookrightarrow M}$لتكن الخريطة الحقنية الطبيعية . ثم${\displaystyle P}$هو وحدة فرعية خالصة من${\displaystyle M}$إذا، لأي (حق)${\displaystyle R}$-وحدة${\displaystyle X}$الخريطة المستحثة الطبيعية${\displaystyle \mathrm {id} _{X}\otimes _{R}\iota \colon X\otimes _{R}P\to X\otimes _{R}M}$هو حقني.

وبالمثل، تسلسل دقيق قصير

${\displaystyle 0\longrightarrow A\,\ {\stackrel {f}{\longrightarrow }}\ B\,\ {\stackrel {g}{\longrightarrow }}\ C\longrightarrow 0}$

من (يسار)${\displaystyle R}$تكون الوحدات النمطية دقيقة تمامًا إذا ظل التسلسل دقيقًا عند ضربه بأي موتر (يمين).${\displaystyle R}$-وحدة${\displaystyle X}$وهذا يعادل القول بأن${\displaystyle f(A)}$هو وحدة فرعية خالصة من${\displaystyle B}$.

يمكن التعبير عن نقاء الوحدة الفرعية أيضًا على مستوى العناصر؛ فهو في الواقع بيان حول قابلية حل أنظمة معينة من المعادلات الخطية. على وجه التحديد،${\displaystyle P}$نقي في${\displaystyle M}$إذا وفقط إذا تحقق الشرط التالي: لأي${\displaystyle m}$-بواسطة-${\displaystyle n}$مصفوفة${\displaystyle (a_{ij})}$مع إدخالات في${\displaystyle R}$وأي مجموعة${\displaystyle y_{1},\cdots ,y_{m}}$من عناصر${\displaystyle P}$، إذا كانت هناك عناصر${\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n}}$في${\displaystyle M}$بحيث

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}=y_{i}\qquad {\mbox{ for }}i=1,\ldots ,m}$

ثم توجد عناصر أيضًا${\displaystyle x'_{1},\cdots ,x'_{n}}$في${\displaystyle P}$بحيث

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}x'_{j}=y_{i}\qquad {\mbox{ for }}i=1,\ldots ,m}$

ومن خصائصها الأخرى: أن المتتالية تكون تامة تمامًا إذا وفقط إذا كانت النهاية المشتركة المُرشَّحة (المعروفة أيضًا بالنهاية المباشرة ) لمتتاليات تامة منقسمة

${\displaystyle 0\longrightarrow A_{i}\longrightarrow B_{i}\longrightarrow C_{i}\longrightarrow 0.}$^{[ 1 ]}

• كل عنصر مباشر في M يكون عنصرًا نقيًا في M. وبالتالي، فإن كل فضاء جزئي من فضاء متجهي فوق حقل ما يكون نقيًا.

يفترض ${\displaystyle 0\longrightarrow A\,\ {\stackrel {f}{\longrightarrow }}\ B\,\ {\stackrel {g}{\longrightarrow }}\ C\longrightarrow 0}$ هي سلسلة قصيرة دقيقة من${\displaystyle R}$-الوحدات، ثم:

1. ${\displaystyle C}$تكون وحدة مسطحة إذا وفقط إذا كان التسلسل التام تامًا بحتًا لكل${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$ومن هذا نستنتج أنه على حلقة فون نيومان المنتظمة ، كل وحدة فرعية من كل${\displaystyle R}$الوحدة النمطية نقية. وذلك لأن كل وحدة نمطية فوق حلقة فون نيومان منتظمة مسطحة. والعكس صحيح أيضاً. ^{[ 2 ]}
2. يفترض${\displaystyle B}$إذا كانت مسطحة، فإن المتتالية تكون تامة بحتة إذا وفقط إذا${\displaystyle C}$مسطحة. ومن هذا يمكن استنتاج أن الوحدات الفرعية النقية للوحدات المسطحة مسطحة.
3. يفترض${\displaystyle C}$مسطح. ثم${\displaystyle B}$يكون مسطحًا إذا وفقط إذا${\displaystyle A}$مسطح.

لو ${\displaystyle 0\longrightarrow A\,\ {\stackrel {f}{\longrightarrow }}\ B\,\ {\stackrel {g}{\longrightarrow }}\ C\longrightarrow 0}$ هو دقيق تمامًا، و${\displaystyle F}$هو عرض محدود${\displaystyle R}$-وحدة، ثم كل تشاكل من${\displaystyle F}$ل${\displaystyle C}$يمكن رفعه إلى${\displaystyle B}$أي لكل${\displaystyle u\colon F\to C}$يوجد${\displaystyle v\colon F\to B}$بحيث${\displaystyle gv=u}$.

• فوكس، لازلو (2015)، الزمر الأبيلية ، سلسلة دراسات سبرينغر في الرياضيات، سبرينغر، رقم ISBN 9783319194226
• لام، تسيت-يوين (1999)، محاضرات في الوحدات والحلقات ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات رقم 189، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-98428-5MR 1653294​