وحدة (الرياضيات)

في الرياضيات ، يُعدّ الموديول تعميمًا لمفهوم الفضاء المتجهي ، حيث يُستبدل حقل الأعداد القياسية بحلقة (ليست بالضرورة تبديلية ) . كما يُعمّم مفهوم الموديول مفهوم المجموعة الأبيلية ، لأن المجموعات الأبيلية هي تحديدًا الموديولات فوق حلقة الأعداد الصحيحة . ^{[ 1 ]}

مثل الفضاء المتجهي، فإن الوحدة النمطية هي مجموعة أبيلية جمعية، والضرب القياسي هو توزيعي على عمليات الجمع بين عناصر الحلقة أو الوحدة النمطية وهو متوافق مع ضرب الحلقة.

ترتبط الوحدات ارتباطًا وثيقًا بنظرية تمثيل المجموعات . كما أنها تُعدّ من المفاهيم المركزية في الجبر التبادلي والجبر المتماثل ، وتُستخدم على نطاق واسع في الهندسة الجبرية والطوبولوجيا الجبرية .

• إذا كان K حقلاً ، فإن K- وحدات تسمى فضاءات متجهة K ( فضاءات متجهة فوق K ).
• إذا كان K حقلاً، و K [ x ] حلقة متعددة الحدود أحادية المتغير ، فإنّ K [ x ]-module M هو K -module مع تأثير إضافي لـ x على M بواسطة تشاكل زمر يتبادل مع تأثير K على M. بعبارة أخرى، K [ x ]-module هو فضاء متجهي K - M مُدمج مع تطبيق خطي من M إلى M. بتطبيق نظرية البنية للوحدات المولدة نهائيًا على مجال مثالي رئيسي على هذا المثال، يتضح وجود الصيغ القانونية النسبية وصيغ جوردان .
• يتوافق مفهوم الوحدة النمطية Z مع مفهوم المجموعة الأبيلية. أي أن كل مجموعة أبيلية هي وحدة نمطية على حلقة الأعداد الصحيحة Z بطريقة فريدة. بالنسبة لـ n > 0 ، ليكن n ⋅ x = x + x + ... + x ( حيث n عدد الحدود)، و 0 ⋅ x = 0 ، و (− n ) ⋅ x = −( n ⋅ x ) . لا يشترط أن يكون لهذه الوحدة النمطية أساس - فالمجموعات التي تحتوي على عناصر التواء لا تمتلك أساسًا. (على سبيل المثال، في مجموعة الأعداد الصحيحة بتردد 3، لا يمكن إيجاد عنصر واحد يحقق تعريف المجموعة المستقلة خطيًا ، لأنه عند ضرب عدد صحيح مثل 3 أو 6 في عنصر، تكون النتيجة 0. مع ذلك، إذا اعتبرنا حقلًا منتهيًا وحدة نمطية على نفس الحقل المنتهي المأخوذ كحلقة، فإنه يكون فضاءً متجهيًا وله أساس).
• تشكل الكسور العشرية ( بما فيها السالبة) وحدةً فوق الأعداد الصحيحة. المجموعات المستقلة خطيًا هي فقط تلك التي تحتوي على عناصر مفردة ، ولكن لا توجد مجموعة مفردة يمكن أن تُستخدم كأساس، لذا فإن هذه الوحدة ليس لها أساس ولا رتبة ، بالمعنى المعتاد في الجبر الخطي. مع ذلك، فإن رتبة هذه الوحدة خالية من الالتواء وتساوي 1.
• إذا كانت R أي حلقة و n عددًا طبيعيًا ، فإن حاصل الضرب الديكارتي Rⁿ يكون وحدة نمطية يسارية ويمينية على R باستخدام عمليات العناصر. لذا، عندما n = 1 ، تكون R وحدة نمطية على R ، حيث يكون الضرب القياسي هو ضرب الحلقة فقط. أما الحالة n = 0 فتنتج الوحدة النمطية التافهة على R {0} التي تتكون فقط من عنصرها المحايد. تُسمى الوحدات النمطية من هذا النوع حرة ، وإذا كان لـ R عدد أساس ثابت (مثل أي حلقة أو حقل تبديلي)، فإن العدد n هو رتبة الوحدة النمطية الحرة.
• إذا كانت M n ( R ) هي حلقة المصفوفات من الرتبة n × n فوق الحلقة R ، وM هي وحدة نمطية M n ( R )، و e  i هي مصفوفة من الرتبة n × n تحتوي على 1 في العنصر ( i , i ) (وأصفار في باقي العناصر)، فإن e  i M هي وحدة نمطية R ، لأن re  im  = e  irm ∈ e  i  M. بالتالي، يمكن تقسيم M إلى مجموع مباشر لوحدات نمطية R ، أي M = e 1  M ⊕ ... ⊕ e  n M. وبالعكس، إذا كانت لدينا وحدة نمطية R ، فإن M  0  ⊕ n هي وحدة نمطية M n ( R ). في الواقع، فئة الوحدات النمطية R وفئة الوحدات النمطية M n ( R ) متكافئتان . الحالة الخاصة هي أن الوحدة النمطية M هي R كوحدة نمطية فوق نفسها، فحينها تكون R n وحدة نمطية M n ( R ).
• إذا كانت S مجموعة غير فارغة ، و M وحدة نمطية يسارية على R ، و MS هي مجموعة جميع الدوال f : S → M ، فمع تعريف الجمع والضرب القياسي في MS نقطيًا كما يلي : ( f + g )( s ) = f ( s ) + g ( s ) و ( rf )( s ) = rf ( s ) ، فإن MS هي وحدة نمطية يسارية على R. وينطبق الأمر نفسه على حالة الوحدات النمطية اليمينية على R. وبالتحديد، إذا كانت R تبديلية، فإن مجموعة تشاكلات الوحدات النمطية h : M → N (انظر أدناه) هي وحدة نمطية على R (وهي في الواقع وحدة نمطية فرعية من N M ).  
• إذا كان X فضاءً أملسًا ، فإن الدوال الملساء من X إلى الأعداد الحقيقية تُشكّل حلقة C∞ ( X ). تُشكّل مجموعة جميع حقول المتجهات الملساء المُعرّفة على X وحدةً نمطيةً على C∞ ( X )، وكذلك حقول الموترات والأشكال التفاضلية على X. وبشكلٍ أعم، تُشكّل مقاطع أي حزمة متجهات وحدةً نمطيةً إسقاطيةً على C∞ ( X )، وبحسب نظرية سوان ، فإن كل وحدة نمطية إسقاطية متماثلة مع وحدة مقاطع حزمة متجهات ما؛ وبالتالي فإن فئة الوحدات النمطية C∞ ( X ) وفئة حزم المتجهات على X متكافئتان .
• إذا كانت R أي حلقة و I أي مثالي يساري في R ، فإن I هو وحدة نمطية يسارية R ، وبالمثل فإن المثاليات اليمنى في R هي وحدات نمطية يمينية R.
• إذا كانت R حلقة، فيمكننا تعريف الحلقة المقابلة R op ، التي لها نفس المجموعة الأساسية ونفس عملية الجمع، ولكن مع عملية ضرب معاكسة: إذا كان ab = c في R ، فإن ba = c في R op . ويمكن اعتبار أي وحدة نمطية يسارية M على R وحدة نمطية يمينية على R op ، ويمكن اعتبار أي وحدة نمطية يمينية على R وحدة نمطية يسارية على R op .
• الوحدات النمطية فوق جبر لي هي (الجبر الترابطي) وحدات نمطية فوق جبر الغلاف الشامل الخاص به .
• إذا كانت R و S حلقتين مع تشاكل حلقي φ  : R → S ، فإن كل وحدة نمطية M على S هي وحدة نمطية على R بتعريف rm = φ ( r ) m . وعلى وجه الخصوص، فإن S نفسها هي وحدة نمطية على R.

لنفترض أن M هي وحدة نمطية يسارية R و N هي مجموعة جزئية من M. عندئذٍ تكون N وحدة نمطية جزئية (أو بشكل أكثر تحديدًا وحدة نمطية جزئية R ) إذا كان لأي n في N وأي r في R ، فإن حاصل ضرب r ⋅ n (أو n ⋅ r لوحدة نمطية يمينية R ) موجود في N.

إذا كانت X أي مجموعة جزئية من وحدة R -module M ، فإن الوحدة الجزئية التي تولدها X تُعرَّف على أنها${\textstyle \langle X\rangle =\,\bigcap _{N\supseteq X}N}$حيث يمتد N على الوحدات الفرعية لـ M التي تحتوي على X ، أو بشكل صريح${\textstyle {\bigl \{}\!\sum _{i=1}^{k}r_{i}x_{i}\mathrel {\big |} r_{i}\in R,\,x_{i}\in X{\bigr \}}}$، وهو أمر مهم في تعريف حاصل ضرب الموترات للوحدات . ^{[ 3 ]}

تشكل مجموعة الوحدات الفرعية لوحدة معينة M ، بالإضافة إلى العمليتين الثنائيتين + (الوحدة الممتدة بواسطة اتحاد الوسائط) و ∩، شبكة تحقق قانون الوحدات النمطية : بالنظر إلى الوحدات الفرعية U و N ₁ و N ₂ من M بحيث N ₁ ⊆ N ₂ ، فإن الوحدتين الفرعيتين التاليتين متساويتان: ( N ₁ + U ) ∩ N ₂ = N ₁ + ( U ∩ N ₂ ) .

إذا كانت M و N وحدات R- يسارية ، فإن التطبيق f  : M → N هو تشاكل بين وحدات R- إذا كان لأي m و n في M و r و s في R ،

${\displaystyle f(r\cdot m+s\cdot n)=r\cdot f(m)+s\cdot f(n)}$.

هذا، كأي تشاكل بين الكائنات الرياضية، هو مجرد تطبيق يحافظ على بنية الكائنات. ويُطلق على تشاكل وحدات R اسم التطبيق الخطي R.

يُطلق على التشاكل التقابلي بين الوحدات f  : M → N اسم تشاكل الوحدات، وتُسمى الوحدتان M و N متماثلتين . الوحدتان المتماثلتان متطابقتان عمليًا، ولا يختلفان إلا في ترميز عناصرهما.

نواة تشاكل الوحدات f  : M → N هي الوحدة الفرعية من M التي تتكون من جميع العناصر التي يتم إرسالها إلى الصفر بواسطة f، وصورة f هي الوحدة الفرعية من N التي تتكون من قيم f ( m ) لجميع العناصر m من M. ^{[ 4 ]} إن نظريات التشاكل المألوفة من المجموعات والفضاءات المتجهة صالحة أيضًا لوحدات R.

بالنظر إلى حلقة R ، فإن مجموعة جميع وحدات R اليسرى مع تماثلاتها تشكل فئة تبديلية ، ويرمز لها بـ R - Mod (انظر فئة الوحدات ).

مولد نهائي

تكون الوحدة النمطية R - M مولدة بشكل نهائي إذا كان هناك عدد محدود من العناصر x ₁ ، ... ، x _n في M بحيث يكون كل عنصر من M عبارة عن تركيبة خطية لتلك العناصر بمعاملات من الحلقة R.

دوري

يُطلق على الوحدة النمطية اسم الوحدة النمطية الدورية إذا تم توليدها بواسطة عنصر واحد.

حر

الوحدة النمطية الحرة R هي وحدة نمطية لها أساس، أو بشكل مكافئ، أساس متماثل مع مجموع مباشر لنسخ من الحلقة R. هذه هي الوحدات النمطية التي تتصرف بشكل مشابه جدًا للفضاءات المتجهة.

إسقاطي

الوحدات الإسقاطية هي مجموعات مباشرة من الوحدات الحرة وتشترك في العديد من خصائصها المرغوبة.

حقنة

يتم تعريف الوحدات الحقنية بشكل مزدوج للوحدات الإسقاطية.

مستوي

يُطلق على الوحدة اسم "مسطحة" إذا كان أخذ حاصل الضرب الموتري لها مع أي تسلسل دقيق من وحدات R يحافظ على الدقة.

بدون التواء

يُطلق على الوحدة اسم "غير ملتوية" إذا تم تضمينها في ثنائيتها الجبرية .

بسيط

الوحدة البسيطة S هي وحدة ليست {0} ووحداتها الفرعية الوحيدة هي {0} و S. تسمى الوحدات البسيطة أحيانًا بالوحدات غير القابلة للاختزال . ^{[ 5 ]}

شبه بسيط

الوحدة شبه البسيطة هي مجموع مباشر (محدود أو غير محدود) لوحدات بسيطة. تاريخياً، تُسمى هذه الوحدات أيضاً بالوحدات القابلة للاختزال كلياً .

غير قابل للتحلل

الوحدة غير القابلة للتحليل هي وحدة غير صفرية لا يمكن كتابتها كمجموع مباشر لوحدتين فرعيتين غير صفريتين. كل وحدة بسيطة غير قابلة للتحليل، ولكن توجد وحدات غير قابلة للتحليل ليست بسيطة (مثل الوحدات المنتظمة ).

مخلص

الوحدة الأمينة M هي وحدة يكون فيها تأثير كل عنصر r ≠ 0 في R على M غير تافه (أي r ⋅ x ≠ 0 لبعض x في M ). وبصورة مكافئة، فإن مُفني M هو المثالي الصفري .

خالٍ من الالتواء

الوحدة الخالية من الالتواء هي وحدة فوق حلقة بحيث يكون 0 هو العنصر الوحيد الذي يتم إفناؤه بواسطة عنصر منتظم (ليس قاسمًا للصفر ) من الحلقة، أو بشكل مكافئ rm = 0 يعني r = 0 أو m = 0 .

النوثيرية

الوحدة النويثرية هي وحدة تحقق شرط السلسلة التصاعدية على الوحدات الفرعية، أي أن كل سلسلة متزايدة من الوحدات الفرعية تصبح ثابتة بعد عدد محدود من الخطوات. وبصورة مكافئة، يتم توليد كل وحدة فرعية بشكل نهائي.

أرتينيان

الوحدة الأرتينية هي وحدة تحقق شرط السلسلة التنازلية على الوحدات الفرعية، أي أن كل سلسلة متناقصة من الوحدات الفرعية تصبح ثابتة بعد عدد محدود من الخطوات.

تم التقييم

الوحدة المتدرجة هي وحدة فوق حلقة متدرجة R = ⨁ _x R _x مع تحليل المجموع المباشر M = ⨁ _x M _x بحيث R _x M _y ⊆ M _{x + y} لجميع x و y .

زي مُوحد

الوحدة النمطية المنتظمة هي وحدة نمطية يكون فيها تقاطع جميع أزواج الوحدات النمطية الفرعية غير الصفرية غير صفري.

• وحدة G
• حلقة المجموعة
• الجبر (نظرية الحلقات)
• وحدة (نظرية النموذج)
• طيف الوحدة
• المُبيد

• إف دبليو أندرسون وكيه آر فولر: الحلقات وفئات الوحدات ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 13، الطبعة الثانية، سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك، 1992، رقم ISBN 0-387-97845-3، ISBN 3-540-97845-3
• ناثان جاكوبسون . بنية الحلقات . منشورات كولكيوم، المجلد 37، الطبعة الثانية، مكتبة الجمعية الأمريكية للرياضيات، 1964، رقم ISBN 978-0-8218-1037-8

• "الوحدة النمطية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• وحدة في مختبر ن