الحد المباشر

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، النهاية المباشرة هي طريقة لبناء كائن (كبير عادةً) من عدة كائنات (أصغر عادةً) مُجمّعة معًا بطريقة محددة. قد تكون هذه الكائنات زمرًا ، أو حلقات ، أو فضاءات متجهة ، أو بشكل عام كائنات من أي فئة . تُحدد طريقة تجميعها بواسطة نظام من التشاكلات ( تشاكل الزمر ، أو تشاكل الحلقات ، أو بشكل عام التشاكلات في الفئة) بين تلك الكائنات الأصغر. النهاية المباشرة لهذه الكائناتأأنا{\displaystyle A_{i}}، أينأنا{\displaystyle i}نطاقات على مجموعة موجهةأنا{\displaystyle I}، ويرمز إليه بـليم→⁡أأنا{\displaystyle \varinjlim A_{i}}. هذا الترميز يلغي نظام التشاكلات؛ ومع ذلك، فإن النهاية تعتمد على نظام التشاكلات.

النهايات المباشرة هي حالة خاصة من مفهوم النهاية المشتركة في نظرية الفئات . النهايات المباشرة هي ثنائية للنهايات العكسية ، والتي هي حالة خاصة من النهايات في نظرية الفئات.

التعريف الرسمي

سنقدم أولاً تعريفًا للهياكل الجبرية مثل المجموعات والوحدات ، ثم التعريف العام الذي يمكن استخدامه في أي فئة .

النهايات المباشرة للكائنات الجبرية

في هذا القسم ، يُفهم أن الكائنات تتكون من مجموعات أساسية مزودة ببنية جبرية معينة ، مثل المجموعات والحلقات والوحدات (على حلقة ثابتة) والجبر (على حقل ثابت )، وما إلى ذلك . مع وضع هذا في الاعتبار، يتم فهم التشاكلات في الإطار المقابل ( تشاكلات المجموعات ، وما إلى ذلك).

يترك⟨أنا،≤⟩{\displaystyle \langle I,\leq \rangle }لتكن مجموعة موجهة .{أأنا:أنا∈أنا}{\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}}لتكن عائلة من الكائنات المفهرسة بواسطةأنا{\displaystyle I\,}و وأناج:أأنا→أج{\displaystyle f_{ij}\colon A_{i}\rightarrow A_{j}}ليكن تشاكلاً لجميعأنا≤ج{\displaystyle i\leq j}بالخصائص التالية:

  1. وأناأنا{\displaystyle f_{ii}\,}هوية علىأأنا{\displaystyle A_{i}\,}، و
  2. وأناك=وجك∘وأناج{\displaystyle f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}}للجميعأنا≤ج≤ك{\displaystyle i\leq j\leq k}.

ثم الزوجان⟨أأنا،وأناج⟩{\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\rangle }يُطلق عليه اسم النظام المباشر علىأنا{\displaystyle I}.

الحد المباشر للنظام المباشر⟨أأنا،وأناج⟩{\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\rangle }يُرمز إليه بـليم→⁡أأنا{\displaystyle \varinjlim A_{i}}ويُعرَّف على النحو التالي. مجموعته الأساسية هي الاتحاد المنفصل لـأأنا{\displaystyle A_{i}}'s modulo a certain equidulence relationship∼{\displaystyle \sim \,}:

ليم→⁡أأنا=⨆أناأأنا/∼.{\displaystyle \varinjlim A_{i}=\bigsqcup _{i}A_{i}{\bigg /}\sim .}

هنا، إذاxأنا∈أأنا{\displaystyle x_{i}\in A_{i}}وxج∈أج{\displaystyle x_{j}\in A_{j}}، ثمxأنا∼xج{\displaystyle x_{i}\sim \,x_{j}}إذا وفقط إذا كان هناك بعضك∈أنا{\displaystyle k\in I}معأنا≤ك{\displaystyle i\leq k}وج≤ك{\displaystyle j\leq k}بحيثوأناك(xأنا)=وجك(xج){\displaystyle f_{ik}(x_{i})=f_{jk}(x_{j})\,}بشكل بديهي، يكون عنصران في الاتحاد المنفصل متكافئين إذا وفقط إذا "أصبحا متساويين في النهاية" في النظام المباشر. ويمكن صياغة صيغة مكافئة تُبرز الازدواجية مع النهاية العكسية ، وهي أن العنصر مكافئ لجميع صوره تحت خرائط النظام المباشر، أيxأنا∼وأناج(xأنا){\displaystyle x_{i}\sim \,f_{ij}(x_{i})}حينماأنا≤ج{\displaystyle i\leq j}.

يمكن الحصول من هذا التعريف على الدوال الأساسيةϕج:أج→ليم→⁡أأنا{\displaystyle \phi _{j}\colon A_{j}\rightarrow \varinjlim A_{i}}إرسال كل عنصر إلى فئة التكافؤ الخاصة به. العمليات الجبرية علىليم→⁡أأنا{\displaystyle \varinjlim A_{i}\,}تُعرَّف هذه الدوال بحيث تصبح متماثلات. رسميًا، النهاية المباشرة للنظام المباشر⟨أأنا،وأناج⟩{\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\rangle }يتكون من الكائنليم→⁡أأنا{\displaystyle \varinjlim A_{i}}بالإضافة إلى التشاكلات القانونيةϕج:أج→ليم→⁡أأنا{\displaystyle \phi _{j}\colon A_{j}\rightarrow \varinjlim A_{i}}.

حدود مباشرة في فئة عشوائية

يمكن تعريف الحد المباشر في فئة اعتباطيةج{\displaystyle {\mathcal {C}}}بواسطة خاصية شاملة . ليكن⟨Xأنا،وأناج⟩{\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }أن يكون نظامًا مباشرًا من الكائنات والتشاكلات فيج{\displaystyle {\mathcal {C}}}(كما هو مُعرّف أعلاه). الهدف هو زوج⟨X،ϕأنا⟩{\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }أينX{\displaystyle X\,}هو كائن فيج{\displaystyle {\mathcal {C}}}وϕأنا:Xأنا→X{\displaystyle \phi _{i}\colon X_{i}\rightarrow X}هي تشاكلات لكلأنا∈أنا{\displaystyle i\in I}بحيثϕأنا=ϕج∘وأناج{\displaystyle \phi _{i}=\phi _{j}\circ f_{ij}}حينما أنا≤ج{\displaystyle i\leq j}حد مباشر للنظام المباشر⟨Xأنا،وأناج⟩{\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }هو هدف طارد عالميًا⟨X،ϕأنا⟩{\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }بمعنى أن⟨X،ϕأنا⟩{\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }هو هدف ولكل هدف⟨Y،ψأنا⟩{\displaystyle \langle Y,\psi _{i}\rangle }يوجد شكل فريدu:X→Y{\displaystyle u\colon X\rightarrow Y}بحيثu∘ϕأنا=ψأنا{\displaystyle u\circ \phi _{i}=\psi _{i}}لكل i . الرسم التخطيطي التالي

ثم ستتبادل جميع قيم i و j .

يُشار غالبًا إلى الحد المباشر بـ

X=ليم→⁡Xأنا{\displaystyle X=\varinjlim X_{i}}

مع النظام المباشر⟨Xأنا،وأناج⟩{\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }والتشكلات القانونيةϕأنا{\displaystyle \phi _{i}}(أو، بتعبير أدق، الحقن المتعارف عليها)أناأنا{\displaystyle \iota _{i}}) أن يكون ذلك مفهوماً.

على عكس الكائنات الجبرية، لا يمتلك كل نظام مباشر في أي فئة حدًا مباشرًا. ولكن إذا كان يمتلك حدًا مباشرًا، فإن هذا الحد يكون فريدًا بمعنى قوي: فإذا أُعطي حد مباشر آخر X ′، يوجد تماثل فريد X ′ → X يتبادل مع التشكلات القانونية.

أمثلة

  • مجموعة من المجموعات الفرعيةمأنا{\displaystyle M_{i}}من مجموعةم{\displaystyle M}يمكن ترتيبها جزئيًا عن طريق التضمين. إذا كانت المجموعة موجهة، فإن حدها المباشر هو الاتحاد.⋃مأنا{\displaystyle \bigcup M_{i}}.
  • وبالمثل، فإن مجموعة المجموعات الفرعية المولدة بشكل نهائيحأنا{\displaystyle H_{i}}من مجموعة معينةجي{\displaystyle G}يمكن ترتيبها جزئيًا حسب الاحتواء. مجموعات منتهية من مجموعات فرعية مولدة بشكل منتهٍ{⟨X1⟩،⟨X2⟩،...⟨Xن⟩}{\displaystyle \{\langle X_{1}\rangle ,\langle X_{2}\rangle ,\dots \langle X_{n}\rangle \}}يتم احتواؤها في المجموعة الفرعية المولدة نهائيًا⟨∪Xأنا⟩{\displaystyle \langle \cup X_{i}\rangle }إذن، مجموعة الفهرس موجهة بالفعل. مع مورفيزمات التضمينوأنا،ج:حأنا→حج{\displaystyle f_{i,j}:H_{i}\to H_{j}}، النهاية المباشرة هي ببساطة (متماثلة مع)جي{\displaystyle G}وينطبق الأمر نفسه على الحلقات والوحدات والجبر وما إلى ذلك. لاحظ أنه يمكن تخفيف شرط التوليد المحدود، طالما أن مجموعة الفهرس تظل موجهة.
  • تُعرَّف الطوبولوجيا الضعيفة لمركب CW على أنها حد مباشر.
  • يتركأنا{\displaystyle I}ليكن أي مجموعة موجهة ذات عنصر أكبرم{\displaystyle m}الحد المباشرX{\displaystyle X}أي نظام مباشر مماثل يكون متماثلاً معXم{\displaystyle X_{m}}والتشكل الكنسيϕم:Xم→X{\displaystyle \phi _{m}:X_{m}\rightarrow X}هو تماثل.
  • ليكن K حقلاً. بالنسبة لعدد صحيح موجب n ، نعتبر المجموعة الخطية العامة GL( n;K ) التي تتكون من مصفوفات قابلة للعكس من الرتبة n × n ، عناصرها من K. لدينا تشاكل زمر GL( n;K ) → GL( n +1; K ) يُكبّر المصفوفات بوضع 1 في الزاوية السفلية اليمنى وأصفار في باقي الصف والعمود الأخيرين. النهاية المباشرة لهذا النظام هي المجموعة الخطية العامة لـ K ، والتي تُكتب GL( K ). يمكن اعتبار عنصر من GL( K ) مصفوفة لانهائية قابلة للعكس، تختلف عن مصفوفة الوحدة اللانهائية في عدد محدود فقط من العناصر. تُعدّ المجموعة GL( K ) ذات أهمية بالغة في نظرية K الجبرية .
  • ليكن p عددًا أوليًا . لنعتبر النظام المباشر المكون من مجموعات العواملZ/صنZ{\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }والتشاكلاتZ/صنZ→Z/صن+1Z{\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /p^{n+1}\mathbb {Z} }ناتج عن الضرب بواسطةص{\displaystyle p}تتكون النهاية المباشرة لهذا النظام من جميع جذور الوحدة من رتبة قوة معينة منص{\displaystyle p}وتسمى مجموعة بروفرZ(ص∞){\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}.
  • يوجد تماثل حلقي حقني (غير بديهي) من حلقة كثيرات الحدود المتناظرة فين{\displaystyle n}متغيرات لحلقة كثيرات الحدود المتناظرة فين+1{\displaystyle n+1}المتغيرات. يؤدي تكوين النهاية المباشرة لهذا النظام المباشر إلى حلقة الدوال المتناظرة .
  • ليكن F حزمة ذات قيم C على فضاء طوبولوجي X. لنثبت نقطة x في X. تشكل الجوارات المفتوحة لـ x مجموعة موجهة مرتبة بالاحتواء ( U ≤ V إذا وفقط إذا كانت U تحتوي على V ). النظام المباشر المقابل هو ( F ( U ), r ∈ U , V ) حيث r هي دالة التقييد. يُسمى الحد المباشر لهذا النظام ساق F عند x ، ويُرمز له بـ F( x) . لكل جوار U لـ x ، يربط التشاكل القانوني F ( U ) → F ( x) مقطعًا s من F فوق U بعنصر s( x) من الساق F( x ) يُسمى جرثومة s ( x) عند x .
  • يتم تحديد النهايات المباشرة في فئة الفضاءات الطوبولوجية عن طريق وضع الطوبولوجيا النهائية على النهاية المباشرة الأساسية لنظرية المجموعات.
  • المخطط الاستقرائي هو حد استقرائي للمخططات.

ملكيات

ترتبط الحدود المباشرة بالحدود العكسية عبر

حoم(ليم→⁡Xأنا،Y)=ليم←⁡حoم(Xأنا،Y).{\displaystyle \mathrm {Hom} (\varinjlim X_{i},Y)=\varprojlim \mathrm {Hom} (X_{i},Y).}

من الخصائص المهمة أن أخذ النهايات المباشرة في فئة الوحدات هو دالة تامة . وهذا يعني أنه لأي نظام موجه من المتتاليات التامة القصيرة0→أأنا→بأنا→جأنا→0{\displaystyle 0\to A_{i}\to B_{i}\to C_{i}\to 0}، التسلسل0→ليم→⁡أأنا→ليم→⁡بأنا→ليم→⁡جأنا→0{\displaystyle 0\to \varinjlim A_{i}\to \varinjlim B_{i}\to \varinjlim C_{i}\to 0}كما أن النهايات المباشرة دقيقة أيضاً.

نلاحظ أن النظام المباشر في فئةج{\displaystyle {\mathcal {C}}}يقبل وصفًا بديلًا من حيث الدوال . أي مجموعة موجهة⟨أنا،≤⟩{\displaystyle \langle I,\leq \rangle }يمكن اعتبارها فئة صغيرةأنا{\displaystyle {\mathcal {I}}}والتي تكون عناصرها هيأنا{\displaystyle I}وهناك تماثل أنا→ج{\displaystyle i\rightarrow j}إذا وفقط إذاأنا≤ج{\displaystyle i\leq j}نظام مباشر عبرأنا{\displaystyle I}ويكون حينها مماثلاً للدالة المتغيرةأنا→ج{\displaystyle {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}}. النهاية المشتركة لهذا المؤثر هي نفسها النهاية المباشرة للنظام المباشر الأصلي.

هناك مفهوم وثيق الصلة بالنهايات المباشرة وهو النهايات المشتركة المُصفّاة . نبدأ هنا بدالة متغيرة.ج→ج{\displaystyle {\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}من فئة مُفلترةج{\displaystyle {\mathcal {J}}}إلى فئة ماج{\displaystyle {\mathcal {C}}}وتُشكّل هذه الحدود المشتركة لهذا المؤثر. يمكن إثبات أن فئة ما لها جميع الحدود الموجهة إذا وفقط إذا كانت لها جميع الحدود المشتركة المُصفّاة، وأن المؤثر المعرّف على هذه الفئة يتبادل مع جميع الحدود المباشرة إذا وفقط إذا كان يتبادل مع جميع الحدود المشتركة المُصفّاة. [ 1 ]

بالنظر إلى فئة عشوائيةج{\displaystyle {\mathcal {C}}}قد توجد أنظمة مباشرة فيج{\displaystyle {\mathcal {C}}}التي ليس لها حد مباشر فيج{\displaystyle {\mathcal {C}}}(على سبيل المثال، لنأخذ فئة المجموعات المنتهية، أو فئة الزمر الأبيلية المولدة نهائيًا ). في هذه الحالة، يمكننا دائمًا تضمينج{\displaystyle {\mathcal {C}}}في فئةالصناعة(ج){\displaystyle {\text{Ind}}({\mathcal {C}})}حيث توجد جميع الحدود المباشرة؛ موضوعات الصناعة(ج){\displaystyle {\text{Ind}}({\mathcal {C}})}تُسمى هذه الكائنات المستقلة بـ ج{\displaystyle {\mathcal {C}}}.

يُطلق على الثنائية الفئوية للنهاية المباشرة اسم النهاية العكسية . وكما ذُكر أعلاه، يمكن اعتبار النهايات العكسية نهايات لبعض الدوال، وهي ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالنهايات على الفئات المُرشَّحة.

مصطلحات

في الأدبيات، نجد مصطلحات مثل "النهاية الموجهة"، و"النهاية الاستقرائية المباشرة"، و"النهاية المشتركة الموجهة"، و"النهاية المشتركة المباشرة"، و"النهاية الاستقرائية" للإشارة إلى مفهوم النهاية المباشرة المُعرَّف أعلاه. إلا أن مصطلح "النهاية الاستقرائية" غامض، إذ يستخدمه بعض المؤلفين للدلالة على المفهوم العام للنهاية المشتركة.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ أداميك، ج.؛ روسيكي، ج. (1994). فئات قابلة للعرض والوصول محليًا . مطبعة جامعة كامبريدج. ص  15. ISBN 9780521422611.

مراجع