قاعدة القسمة

بالنظر إلى${\displaystyle \textstyle h(x)={\frac {e^{x}}{x^{2}}}}$، دع​${\displaystyle f(x)=e^{x}}$،​​${\displaystyle g(x)=x^{2}}$ثم باستخدام قاعدة القسمة: $$\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {e^{x}}{x^{2}}}\right)&={\frac {\left({\frac {d}{dx}}e^{x}\right)(x^{2})-(e^{x})\left({\frac {d}{dx}}x^{2}\right)}{(x^{2})^{2}}}\\&={\frac {(e^{x})(x^{2})-(e^{x})(2x)}{x^{4}}}\\&={\frac {x^{2}e^{x}-2xe^{x}}{x^{4}}}\\&={\frac {xe^{x}-2e^{x}}{x^{3}}}\\&={\frac {e^{x}(x-2)}{x^{3}}}.\end{aligned}}}$$

يمكن استخدام قاعدة القسمة لإيجاد مشتقة${\textstyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}}$على النحو التالي: $$\begin{aligned} \frac{d}{dx} \tan x = \frac{d}{dx} \left(\frac{sin x}{cos x} \right) \frac{d}{dx} \sin x \right) \frac{d}{dx} \cos x \right) \cos x ... ^{2}x.\end{aligned}}}$$

دع​${\displaystyle \textstyle h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}}$بتطبيق تعريف المشتقة وخصائص النهايات، نحصل على البرهان التالي، مع الحد${\displaystyle f(x)g(x)}$تمت إضافة وطرح القيم للسماح بالتقسيم والتحليل في الخطوات اللاحقة دون التأثير على القيمة: $${\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{k\to 0}{\frac {h(x+k)-h(x)}{k}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {{\frac {f(x+k)}{g(x+k)}}-{\frac {f(x)}{g(x)}}}{k}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x+k)}{k\cdot g(x)g(x+k)}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x+k)}{k}}\cdot \lim _{k\to 0}{\frac {1}{g(x)g(x+k)}}\\&=\lim _{k\to 0}\left[{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+k)}{k}}\right]\cdot {\frac {1}{[g(x)]^{2}}}\\&=\left[\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x)}{k}}-\lim _{k\to 0}{\frac {f(x)g(x+k)-f(x)g(x)}{k}}\right]\cdot {\frac {1}{[g(x)]^{2}}}\\&=\left[\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)-f(x)}{k}}\cdot g(x)-f(x)\cdot \lim _{k\to 0}{\frac {g(x+k)-g(x)}{k}}\right]\cdot {\frac {1}{[g(x)]^{2}}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}.\end{aligned}}}$$ تقييم الحد${\textstyle \lim _{k\to 0}{\frac {1}{g(x+k)g(x)}}={\frac {1}{[g(x)]^{2}}}}$يبرر ذلك بقابلية التفاضل لـ${\displaystyle g(x)}$، مما يعني الاستمرارية، والتي يمكن التعبير عنها على النحو التالي${\displaystyle \textstyle \lim _{k\to 0}g(x+k)=g(x)}$⁠ .

دع​${\displaystyle \textstyle h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}}$، بحيث​${\displaystyle f(x)=g(x)h(x)}$⁠ .

ثم تعطي قاعدة الضرب ⁠${\displaystyle f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)}$⁠ .

حل لـ${\displaystyle h'(x)}$والاستبدال بـ${\displaystyle h(x)}$أعطِ: $${\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&={\frac {f'(x)-g'(x)h(x)}{g(x)}}\\&={\frac {f'(x)-g'(x)\cdot {\frac {f(x)}{g(x)}}}{g(x)}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}.\end{aligned}}}$$

دع​${\displaystyle \textstyle h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}=f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}}$⁠ .

ثم تعطي قاعدة الضرب ⁠${\displaystyle \textstyle h'(x)=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{g(x)}}\right]}$⁠ .

لتقييم المشتقة في الحد الثاني، قم بتطبيق قاعدة المقلوب ، أو قاعدة القوة بالإضافة إلى قاعدة السلسلة : $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{g(x)}}\right]&=-{\frac {1}{g(x)^{2}}}\cdot g'(x)\\&={\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}.\end{aligned}}}$$

بتعويض النتيجة في التعبير نحصل على $${\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot \left[{\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}\right]\\&={\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}\\&={\frac {g(x)}{g(x)}}\cdot {\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}.\end{aligned}}}$$

دع​${\displaystyle \textstyle h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}}$بأخذ القيمة المطلقة واللوغاريتم الطبيعي لكلا طرفي المعادلة نحصل على $${\displaystyle \ln |h(x)|=\ln \left|{\frac {f(x)}{g(x)}}\right|.}$$

بتطبيق خصائص القيمة المطلقة واللوغاريتمات، $${\displaystyle \ln |h(x)|=\ln |f(x)|-\ln |g(x)|.}$$

بأخذ المشتقة اللوغاريتمية لكلا الطرفين، $${\displaystyle {\frac {h'(x)}{h(x)}}={\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}.}$$

حل لـ${\displaystyle h'(x)}$والاستبدال مرة أخرى${\displaystyle {\tfrac {f(x)}{g(x)}}}$ل${\displaystyle h(x)}$أعطِ: $${\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=h(x)\left[{\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right]\\&={\frac {f(x)}{g(x)}}\left[{\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right]\\&={\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}.\end{aligned}}}$$

يُعدّ أخذ القيمة المطلقة للدوال ضروريًا للتفاضل اللوغاريتمي للدوال التي قد تأخذ قيمًا سالبة، لأن اللوغاريتمات لا تأخذ إلا قيمًا حقيقية للوسائط الموجبة. وهذا ممكن لأن${\displaystyle \textstyle {\frac {d}{dx}}(\ln \vert u\vert )={\frac {u'}{u}}}$، مما يبرر أخذ القيمة المطلقة للدوال من أجل التفاضل اللوغاريتمي.