قواعد التفاضل

لأي قيمة من${\textstyle c}$، أين${\textstyle c\in \mathbb {R} }$، لو${\textstyle f(x)}$هي الدالة الثابتة المعطاة بواسطة${\textstyle f(x)=c}$، ثم${\textstyle {\frac {df}{dx}}=0}$[ ^{4 ]​}

شرح بديهي (هندسي)

مشتقة الدالة عند نقطة ما هي ميل الخط المماس للمنحنى عند تلك النقطة. ميل الدالة الثابتة يساوي صفرًا، لأن الخط المماس للدالة الثابتة أفقي وزاويته تساوي صفرًا.

بمعنى آخر، قيمة الدالة الثابتة،${\textstyle y}$لن تتغير قيمة${\textstyle x}$يزيد أو ينقص.

لأي وظائف${\textstyle f}$و${\textstyle g}$وأي أعداد حقيقية${\textstyle a}$و${\textstyle b}$، مشتقة الدالة${\textstyle h(x)=af(x)+bg(x)}$بالنسبة إلى${\textstyle x}$يكون${\textstyle h'(x)=af'(x)+bg'(x)}$.

في تدوين لايبنتز ، تُكتب هذه الصيغة على النحو التالي: $${\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}.}$$

تشمل الحالات الخاصة ما يلي:

• قاعدة العامل الثابت:

$${\displaystyle (af)'=af',}$$

• قاعدة الجمع:

$${\displaystyle (f+g)'=f'+g',}$$

• قاعدة الفرق:

$${\displaystyle (fg)'=f'-g'.}$$

بالنسبة للوظائف${\textstyle f}$و${\textstyle g}$، مشتقة الدالة${\textstyle h(x)=f(x)g(x)}$بالنسبة إلى${\textstyle x}$يكون: $${\displaystyle h'(x)=(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).}$$

تُكتب هذه الصيغة وفقًا لتدوين لايبنتز: $${\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}=g{\frac {df}{dx}}+f{\frac {dg}{dx}}.}$$

مشتقة الدالة${\textstyle h(x)=f(g(x))}$يكون: $${\displaystyle h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).}$$

في تدوين لايبنتز، تُكتب هذه الصيغة على النحو التالي: $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}h(x)=\left.{\frac {d}{dz}}f(z)\right|_{z=g(x)}\cdot {\frac {d}{dx}}g(x),}$$ غالباً ما يتم اختصارها إلى: $${\displaystyle {\frac {dh(x)}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}.}$$

بالتركيز على مفهوم الخرائط، وكون التفاضل خريطة${\textstyle {\text{D}}}$تُكتب هذه الصيغة بطريقة أكثر إيجازًا على النحو التالي: $${\displaystyle [{\text{D}}(f\circ g)]_{x}=[{\text{D}}f]_{g(x)}\cdot [{\text{D}}g]_{x}.}$$

إذا كانت الدالة${\textstyle f}$لها دالة عكسية${\textstyle g}$وهذا يعني أن${\textstyle g(f(x))=x}$و${\textstyle f(g(y))=y}$، ثم: $${\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}.}$$

في تدوين لايبنتز، تُكتب هذه الصيغة على النحو التالي: $${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}.}$$

لو${\textstyle f(x)=x^{r}}$، لأي عدد حقيقي${\textstyle r\neq 0}$، ثم: $${\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}.}$$

متى${\textstyle r=1}$تصبح هذه الصيغة حالة خاصة، إذا${\textstyle f(x)=x}$، ثم${\textstyle f'(x)=1}$.

إن الجمع بين قاعدة القوة وقواعد الجمع والمضاعفات الثابتة يسمح بحساب مشتقة أي متعدد حدود.

مشتق من${\textstyle h(x)={\frac {1}{f(x)}}}$لأي دالة (غير معدومة)${\textstyle f}$يكون: $${\displaystyle h'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}},}$$ أينما${\textstyle f}$ليس صفراً.

تُكتب هذه الصيغة وفقًا لتدوين لايبنتز: $${\displaystyle {\frac {d\left({\frac {1}{f}}\right)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}.}$$

يمكن اشتقاق قاعدة التبادل إما من قاعدة القسمة أو من الجمع بين قاعدة القوة وقاعدة السلسلة.

لو${\textstyle f}$و${\textstyle g}$إذا كانت دوالًا، فإن: $${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}},}$$ أينما${\textstyle g}$ليس صفراً.

يمكن استنتاج ذلك من قاعدة الضرب وقاعدة المقلوب.

تتوسع قاعدة القوة الأولية بشكل كبير. أما قاعدة القوة الأكثر عمومية فهي قاعدة القوة الوظيفية : لأي دوال${\textstyle f}$و${\textstyle g}$، $${\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad }$$ حيثما يكون كلا الجانبين محددين بشكل جيد.

حالات خاصة:

• لو${\textstyle f(x)=x^{a}}$، ثم${\textstyle f'(x)=ax^{a-1}}$متى${\textstyle a}$أي عدد حقيقي غير صفري و${\textstyle x}$إيجابي.
• يمكن اشتقاق قاعدة التبادل كحالة خاصة حيث${\textstyle g(x)=-1\!}$.

المشتقة اللوغاريتمية هي طريقة أخرى لصياغة قاعدة اشتقاق لوغاريتم الدالة (باستخدام قاعدة السلسلة): $${\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}},}$$ أينما${\textstyle f}$إيجابي.

التفاضل اللوغاريتمي هو أسلوب يستخدم اللوغاريتمات وقواعد التفاضل الخاصة بها لتبسيط بعض التعبيرات قبل تطبيق المشتقة فعليًا.

يمكن استخدام اللوغاريتمات لإزالة الأسس، وتحويل الضرب إلى مجاميع، وتحويل القسمة إلى طرح - وكل منها قد يؤدي إلى تعبير مبسط لأخذ المشتقات.

$${\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma '(x)&=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt\\&=\Gamma (x)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)\\&=\Gamma (x)\psi (x),\end{aligned}}}$$ مع${\textstyle \psi (x)}$وهي دالة ديغاما ، معبر عنها بالتعبير الموجود بين قوسين على يمين${\textstyle \Gamma (x)}$في السطر أعلاه.

$${\displaystyle \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta '(x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots \\&=-\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ prime}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}\end{aligned}}}$$

لو${\textstyle f}$و${\textstyle g}$نكون${\textstyle n}$قابلة للتفاضل مرات، إذن: $${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_{m}\}}f^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{k_{m}!}}\left(g^{(m)}(x)\right)^{k_{m}},}$$ أين${\textstyle r=\sum _{m=1}^{n-1}k_{m}}$والمجموعة${\textstyle \{k_{m}\}}$يتكون من جميع الحلول الصحيحة غير السالبة للمعادلة الديوفانتية${\textstyle \sum _{m=1}^{n}mk_{m}=n}$.

لو${\textstyle f}$و${\textstyle g}$نكون${\textstyle n}$قابلة للتفاضل مرات، إذن: $${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x).}$$