التفاضل اللوغاريتمي

باستخدام صيغة Faà di Bruno ، فإن المشتق اللوغاريتمي من الرتبة n هو، $$\displaystyle \frac {d^{n}}{dx^{n}}\ln f(x)=\sum _{m_{1}+2m_{2}+\cdots +nm_{n}=n}{\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,\cdots \,m_{n}!}}\cdot {\frac {(-1)^{m_{1}+\cdots +m_{n}-1}(m_{1}+\cdots +m_{n}-1)!}{f(x)^{m_{1}+\cdots +m_{n}}}}\cdot \prod _{j=1}^{n}\left({\frac {f^{(j)}(x)}{j!}}\right)^{m_{j}}.}$$ باستخدام هذا، تكون المشتقات الأربعة الأولى كما يلي: $$\displaystyle \begin{aligned}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\ln f(x)&={\frac {f''(x)}{f(x)}}-\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)^{2}\\[1ex]{\frac {d^{3}}{dx^{3}}}\ln f(x)&={\frac {f^{(3)}(x)}{f(x)}}-3{\frac {f'(x)f''(x)}{f(x)^{2}}}+2\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)^{3}\\[1ex]{\frac {d^{4}}{dx^{4}}}\ln f(x)&={\frac {f^{(4)}(x)}{f(x)}}-4{\frac {f'(x)f^{(3)}(x)}{f(x)^{2}}}-3\left({\frac {f''(x)}{f(x)}}\right)^{2}+12{\frac {f'(x)^{2}f''(x)}{f(x)^{3}}}-6\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)^{4}\end{aligned}}}$$

يتم تطبيق اللوغاريتم الطبيعي على حاصل ضرب دالتين $${\displaystyle f(x)=g(x)h(x)}$$ لتحويل الناتج إلى مجموع $${\displaystyle \ln(f(x))=\ln(g(x)h(x))=\ln(g(x))+\ln(h(x)).}$$ يؤدي التفاضل بتطبيق قاعدة السلسلة وقاعدة الجمع إلى $${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}},}$$ وبعد إعادة الترتيب، ينتج ^{[ 5 ]}$${\displaystyle f'(x)=f(x)\times \left\{{\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}\right\}=g(x)h(x)\times \left\{{\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}\right\}=g'(x)h(x)+g(x)h'(x),}$$ وهي قاعدة الضرب للمشتقات.

يتم تطبيق اللوغاريتم الطبيعي على ناتج قسمة دالتين $${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}}$$ لتحويل القسمة إلى طرح $${\displaystyle \ln(f(x))=\ln \left({\frac {g(x)}{h(x)}}\right)=\ln(g(x))-\ln(h(x))}$$ يؤدي التفاضل بتطبيق قاعدة السلسلة وقاعدة الجمع إلى $${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}},}$$ وبعد إعادة الترتيب، ينتج $${\displaystyle f'(x)=f(x)\times \left\{{\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}\right\}={\frac {g(x)}{h(x)}}\times \left\{{\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}\right\}={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}},}$$

وهي قاعدة القسمة للمشتقات.

بالنسبة لدالة من الشكل $${\displaystyle f(x)=g(x)^{h(x)}}$$اللوغاريتم الطبيعي يحول الأس إلى حاصل ضرب $${\displaystyle \ln(f(x))=\ln \left(g(x)^{h(x)}\right)=h(x)\ln(g(x))}$$ يؤدي التفاضل بتطبيق قواعد السلسلة والضرب إلى $${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}=h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}},}$$ وبعد إعادة الترتيب، ينتج $${\displaystyle f'(x)=f(x)\times \left\{h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}\right\}=g(x)^{h(x)}\times \left\{h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}\right\}.}$$ ويمكن الحصول على النتيجة نفسها عن طريق إعادة كتابة f بدلالة exp وتطبيق قاعدة السلسلة.