تطابقات رامانوجان

في الرياضيات ، تطابقات رامانوجان هي تطابقات دالة التقسيم p ( n ) التي اكتشفها سرينيفاسا رامانوجان :

${\displaystyle {\begin{aligned}p(5k+4)&\equiv 0{\pmod {5}},\\p(7k+5)&\equiv 0{\pmod {7}},\\p(11k+6)&\equiv 0{\pmod {11}}.\end{aligned}}}$

وبكلمات واضحة، على سبيل المثال، يعني التطابق الأول أنه إذا كان الرقم أكبر بمقدار 4 من مضاعف 5، أي أنه موجود في المتتالية

4، 9، 14، 19، 24، 29، . . .

ثم يكون عدد أقسامه مضاعفا لـ 5.

وفي وقت لاحق تم اكتشاف تطابقات أخرى من هذا النوع، بالنسبة للأعداد ووظائف تاو .

في ورقته البحثية لعام 1919، ^[1] أثبت التطابقين الأولين باستخدام الهويات التالية (باستخدام تدوين الرمز q-Pochhammer ):

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{k=0}^{\infty }p(5k+4)q^{k}=5{\frac {(q^{5})_{\infty }^{5}}{(q)_{\infty }^{6}}},\\[4pt]&\sum _{k=0}^{\infty }p(7k+5)q^{k}=7{\frac {(q^{7})_{\infty }^{3}}{(q)_{\infty }^{4}}}+49q{\frac {(q^{7})_{\infty }^{7}}{(q)_{\infty }^{8}}}.\end{aligned}}}$

ثم ذكر أنه "يبدو أنه لا توجد خصائص بسيطة بنفس القدر لأي معاملات تتضمن أعدادًا أولية أخرى غير هذه".

بعد وفاة رامانوجان في عام 1920، استخرج جي إتش هاردي أدلة لجميع التطابقات الثلاثة من مخطوطة غير منشورة لرامانوجان على p ( n ) (رامانوجان، 1921). يستخدم الدليل في هذه المخطوطة سلسلة آيزنشتاين .

في عام 1944، عرّف فريمان دايسون دالة الرتبة للقسم وتكهن بوجود دالة "كرنك" للقسمات من شأنها أن توفر دليلاً تركيبيًا لتطابقات رامانوجان modulo 11. وبعد أربعين عامًا، وجد جورج أندروز وفرانك جارفان مثل هذه الدالة، وأثبتا النتيجة الشهيرة التي تفيد بأن الكرنك "يفسر" في نفس الوقت تطابقات رامانوجان الثلاثة modulo 5 و7 و11.

في ستينيات القرن العشرين، اكتشف AOL Atkin من جامعة إلينوي في شيكاغو تطابقات إضافية لمعاملات الأعداد الأولية الصغيرة. على سبيل المثال:

${\displaystyle p(11^{3}\cdot 13k+237)\equiv 0{\pmod {13}}.}$

وبتوسيع نتائج أ. أتكين، أثبت كين أونو في عام 2000 أن هناك تطابقات رامانوجان مثل هذه بتعديل كل عدد أولي صحيح حتى 6. على سبيل المثال، تعطي نتائجه

${\displaystyle p(107^{4}\cdot 31k+30064597)\equiv 0{\pmod {31}}.}$

لاحقًا، افترض كين أونو أن العمود المرفقي المراوغ يلبي أيضًا نفس أنواع التطابقات العامة تمامًا. وقد أثبت ذلك طالب الدكتوراه كارل ماهلبورج في ورقته البحثية لعام 2005 بعنوان " تطابقات التقسيم وعمود أندروز-غارفان-دايسون" ، والتي يمكن الاطلاع عليها في الرابط أدناه. فازت هذه الورقة البحثية بجائزة أفضل ورقة بحثية في وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . ^[2]

تم اكتشاف تفسير مفاهيمي لملاحظة رامانوجان أخيرًا في يناير 2011 ^[3] من خلال النظر في بُعد هاوسدورف للوظيفة التالية في طوبولوجيا l-adic : ${\displaystyle P}$

${\displaystyle P_{\ell }(b;z):=\sum _{n=0}^{\infty }p\left({\frac {\ell ^{b}n+1}{24}}\right)q^{n/24}.}$

يُرى أن لها بعدًا 0 فقط في الحالات التي يكون فيها ℓ  = 5 أو 7 أو 11 وبما أنه يمكن كتابة دالة التقسيم كتركيبة خطية من هذه الوظائف ^[4] فيمكن اعتبار ذلك صياغة وإثباتًا لملاحظة رامانوجان.

في عام 2001، قدم RL Weaver خوارزمية فعالة لإيجاد تطابقات دالة التقسيم، وقام بجدولة 76065 تطابقًا. ^[5] تم توسيع هذا في عام 2012 بواسطة F. Johansson إلى 22474608014 تطابقًا، ^[6] أحد الأمثلة الكبيرة هو

${\displaystyle p(999959^{4}\cdot 29k+28995221336976431135321047)\equiv 0{\pmod {29}}.}$

• أونو، كين (2000). "توزيع دالة التقسيم modulo m". حوليات الرياضيات . السلسلة الثانية. 151 (1): 293-307. arXiv : math/0008140 . Bibcode :2000math......8140O. doi :10.2307/121118. JSTOR  121118. S2CID  119750203. Zbl  0984.11050.
• أونو، كين (2004). شبكة الوحدات النمطية: حساب معاملات الأشكال النمطية والمتسلسلات q . سلسلة مؤتمرات CBMS الإقليمية في الرياضيات. المجلد 102. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية . رقم ISBN 978-0-8218-3368-1. زبل  1119.11026.
• رامانوجان، س. (1919). "بعض خصائص p(n)، عدد أقسام n". وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج . 19 : 207-210. JFM  47.0885.01.

• Mahlburg, K. (2005). "Partition Congruences and the Andrews–Garvan–Dyson Crank" (PDF) . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . 102 (43): 15373–76. Bibcode :2005PNAS..10215373M. doi : 10.1073/pnas.0506702102 . PMC  1266116. PMID  16217020 .
• رتبة دايسون، مرفقه، ومساعده. قائمة المراجع.