دالة رامانوجان تاو

دالة رامانوجان تاو ، التي درسها رامانوجان  (1916)، هي الدالة التي تم تعريفها بالهوية التالية: ${\displaystyle \tau :\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n\geq 1}\left(1-q^{n}\right)^{24} =q\phi (q)^{24}=\eta (z)^{24}=\Delta (z),}$

حيث q = exp(2 πiz ) مع Im z > 0 ، هي دالة أويلر ، وη هي دالة ديديكيند إيتا ، والدالة Δ( z ) هي شكل قمة مجسمة ذات وزن 12 ومستوى 1، تُعرف بالشكل المعياري المميز (يكتب بعض المؤلفين، ولا سيما أبوستول ، بدلاً من ). يظهر فيما يتعلق بـ "مصطلح الخطأ" المتضمن في حساب عدد طرق التعبير عن عدد صحيح كمجموع 24 مربعًا. تم تقديم صيغة تعود إلى إيان جي ماكدونالد في دايسون (1972).${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Delta /(2\pi )^{12}}$${\displaystyle \دلتا }$

يتم إعطاء القيم القليلة الأولى لدالة tau في الجدول التالي (التسلسل A000594 في OEIS ):

ن	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
τ ( ن )	1	-24	252	-1472	4830	-6048	-16744	84480	-113643	-115920	534612	-370944	-577738	401856	1217160	987136

حساب هذه الدالة على عدد مربع فردي (أي عدد ثماني مركزي ) يعطي عددًا فرديًا، بينما بالنسبة لأي عدد آخر تعطي الدالة عددًا زوجيًا. ^[1]

لاحظ رامانوجان (1916) الخصائص الثلاث التالية لـ τ ( n ) لكنه لم يثبتها :

• τ ( mn ) = τ ( m ) τ ( n ) إذا gcd( m , n ) = 1 (بمعنى أن τ ( n ) دالة ضربية )
• τ ( p ^{r + 1} ) = τ ( p ) τ ( p ^r ) − p ¹¹ τ ( p ^{r − 1} ) لـ p رئيسي و r > 0 .
• | τ ( p ) | ≤ 2 p ^11/2 لجميع الأعداد الأولية p .

تم إثبات الخاصيتين الأوليين بواسطة مورديل (1917) وتم إثبات الخاصية الثالثة، والتي تسمى تخمين رامانوجان ، بواسطة ديلين في عام 1974 كنتيجة لإثباته لتخمينات ويل (على وجه التحديد، استنتجها من خلال تطبيقها على تنوع كوجا-ساتو).

بالنسبة لـ k ∈${\displaystyle \mathbb {Z} }$ و n ∈ _>0${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ، فإن دالة المقسوم σ _k ( n ) هي مجموع القوى k لقواسم n . وتلبي دالة tau العديد من علاقات التطابق؛ ويمكن التعبير عن العديد منها من حيث σ _k ( n ) . وفيما يلي بعضها: ^[2]

1. ${\displaystyle \tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{11}{\text{ for }}n\equiv 1\ {\bmod {\ } }8}$^[3]
2. ${\displaystyle \tau (n)\equiv 1217\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{13}{\text{ for }}n\equiv 3\ {\bmod {\ }}8}$^[3]
3. ${\displaystyle \tau (n)\equiv 1537\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{12}{\text{ for }}n\equiv 5\ {\bmod {\ }}8}$^[3]
4. ${\displaystyle \tau (n)\equiv 705\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{14}{\text{ for }}n\equiv 7\ {\bmod {\ }}8}$^[3]
5. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{6}{\text{ for }}n\equiv 1\ {\bmod {\ }}3}$^[4]
6. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{7}{\text{ for }}n\equiv 2\ {\bmod {\ }}3}$^[4]
7. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-30}\sigma _{71}(n)\ {\bmod {\ }}5^{3}{\text{ for }}n\not \equiv 0\ {\bmod {\ }}5}$^[5]
8. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7}$^[6]
9. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7^{2}{\text{ for }}n\equiv 3,5,6\ {\bmod {\ }}7}$^[6]
10. ${\displaystyle \tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}691.}$^[7]

بالنسبة لـ p ≠ 23 أولي، لدينا ^{[2] [8]}

11. ${\displaystyle \tau (p)\equiv 0\ {\bmod {\ }}23{\text{ if }}\left({\frac {p}{23}}\right)=-1}$
12. ${\displaystyle \tau (p)\equiv \sigma _{11}(p)\ {\bmod {\ }}23^{2}{\text{ if }}p{\text{ is of the form }}a^{2}+23b^{2}}$^[9]
13. ${\displaystyle \tau (p)\equiv -1\ {\bmod {\ }}23{\text{ otherwise}}.}$

في عام 1975 أثبت دوجلاس نيبور صيغة صريحة لدالة رامانوجان تاو: ^[10]

${\displaystyle \tau (n)=n^{4}\sigma (n)-24\sum _{i=1}^{n-1}i^{2}(35i^{2}-52in+18n^{2})\sigma (i)\sigma (n-i).}$

حيث σ( n ) هو مجموع المقسومات الموجبة لـ n .

افترض أن f هي صيغة جديدة لعدد صحيح بوزن k وأن معاملات فورييه a ( n ) هي أعداد صحيحة. ضع في اعتبارك المسألة التالية:

بما أن f ليس لها عملية ضرب معقدة ، فهل تمتلك جميع الأعداد الأولية p تقريبًا الخاصية التي مفادها أن a ( p ) ≢ 0 (mod p ) ؟

في الواقع، يجب أن يكون لدى معظم الأعداد الأولية هذه الخاصية، ومن ثم يطلق عليها عادية . وعلى الرغم من التقدم الكبير الذي أحرزه ديلين وسيري في تمثيلات جالوا، والتي تحدد a ( n ) (mod p ) لعدد n من الأعداد الأولية المشتركة إلى p ، فمن غير الواضح كيفية حساب a ( p ) (mod p ) . والنظرية الوحيدة في هذا الصدد هي نتيجة إلكيز الشهيرة للمنحنيات الإهليلجية المعيارية، والتي تضمن وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية p بحيث a ( p ) = 0 ، والتي تتطابق بالتالي مع 0 modulo p . لا توجد أمثلة معروفة لـ f غير CM ذات وزن أكبر من 2 حيث a ( p ) ≢ 0 (mod p ) لعدد لا نهائي من الأعداد الأولية p (على الرغم من أنه يجب أن يكون صحيحًا لجميع p تقريبًا ). لا توجد أيضًا أمثلة معروفة حيث a ( p ) ≡ 0 (mod p ) لعدد لا نهائي من p . بدأ بعض الباحثين في الشك فيما إذا كانت a ( p ) ≡ 0 (mod p ) لعدد لا نهائي من p . وكدليل على ذلك، قدم العديد منهم τ ( p ) لرامانوجان (حالة الوزن 12). الحلول الوحيدة حتى 10 ¹⁰ للمعادلة τ ( p ) ≡ 0 (mod p ) هي 2 و3 و5 و7 و2411 و7 758 337 633 (التسلسل A007659 في OEIS ). ^[11]

افترض ليهمر (1947) أن τ ( n ) ≠ 0 لجميع n ، وهو تأكيد يُعرف أحيانًا باسم تخمين ليهمر. وقد تحقق ليهمر من التخمين بالنسبة لـ n حتى214 928 639 999 (Apostol 1997، ص 22). يلخص الجدول التالي التقدم المحرز في إيجاد قيم أكبر على التوالي لـ N حيث ينطبق هذا الشرط على جميع n ≤ N.

ن	مرجع
3 316 799	ليهمر (1947)
214 928 639 999	ليهمر (1949)
1 000 000 000 000 000	سيري (1973، ص 98)، سيري (1985)
1 213 229 187 071 998	جينينجز (1993)
22 689 242 781 695 999	جوردان وكيلي (1999)
22 798 241 520 242 687 999	بوسمان (2007)
982 149 821 766 199 295 999	زينج ويين (2013)
816 212 624 008 487 344 127 999	ديريكس، فان هويج، وزينغ (2013)

يتم تعريف دالة رامانوجان L بواسطة

${\displaystyle L(s)=\sum _{n\geq 1}{\frac {\tau (n)}{n^{s}}}}$

إذا و بالاستمرار التحليلي خلاف ذلك. فهو يلبي المعادلة الوظيفية ${\displaystyle \Re s>6}$

${\displaystyle {\frac {L(s)\Gamma (s)}{(2\pi )^{s}}}={\frac {L(12-s)\Gamma (12-s)}{(2\pi )^{12-s}}},\quad s\notin \mathbb {Z} _{0}^{-},\,12-s\notin \mathbb {Z} _{0}^{-}}$

وله حاصل أويلر

${\displaystyle L(s)=\prod _{p\,{\text{prime}}}{\frac {1}{1-\tau (p)p^{-s}+p^{11-2s}}},\quad \Re s>7.}$

افترض رامانوجان أن جميع الأصفار غير التافهة لها جزء حقيقي يساوي . ${\displaystyle L}$${\displaystyle 6}$

• أبوستول، تي إم (1997)، "الدوال المعيارية وسلسلة دي ريتشليت في نظرية الأعداد"، نيويورك: سبرينغر فيرلاغ الطبعة الثانية.
• أشورث، إم إتش (1968)، التطابق والخصائص المتطابقة للأشكال المعيارية (أطروحة دكتوراه، أكسفورد)
• دايسون، ف. ج. (1972)، "الفرص الضائعة"، مجلة الرياضيات الأمريكية ، 78 (5): 635-652، doi : 10.1090/S0002-9904-1972-12971-9 ، Zbl  0271.01005
• Kolberg، O. (1962)، “Congruences for Ramanujan’s function τ( n )”، جامعة أربوك. بيرغن مات.-الطبيعة. سر. (11)، م.ر  0158873، زبل  0168.29502
• Lehmer, DH (1947)، "اختفاء دالة رامانوجان τ(n)"، مجلة ديوك للرياضيات ، 14 (2): 429–433، doi :10.1215/s0012-7094-47-01436-1، Zbl  0029.34502
• ليجروس، ن. (2010)، "حل جديد للمعادلة τ(p) ≡ 0 (mod p)" (PDF) ، مجلة تسلسلات الأعداد الصحيحة ، 13 : المقال 10.7.4
• مورديل، لويس ج. (1917)، "حول التوسعات التجريبية للسيد رامانوجان للوظائف المعيارية"، وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج ، 19 : 117-124، JFM  46.0605.01
• نيومان، م. (1972)، جدول τ (p) modulo p، p prime، 3 ≤ p ≤ 16067 ، المكتب الوطني للمعايير
• رانكين، روبرت أ. (1988)، "دالة تاو لرامانوجان وتعميماتها"، في أندروز، جورج إي. (محرر)، رامانوجان من جديد (أوربانا-شامبين، إلينوي، 1987)، بوسطن، ماساتشوستس: أكاديميك بريس ، ص 245-268، رقم ISBN 978-0-12-058560-1السيد 0938968 ​
• رامانوجان، سرينيفاسا (1916)، "حول بعض الدوال الحسابية"، ترانس كامب. فيلوس. سوسايتي ، 22 (9): 159-184، MR  2280861
• سيري، جي بي. (1968)، “تفسير التطابقات النسبية à la fonction τ {\displaystyle \tau } de Ramanujan”، ندوة ديلانج-بيسوت-بويتو ، 14
• سوينرتون-داير، HPF (1973)، "حول التمثيلات والتطابقات -اللادينية لمعاملات الأشكال المعيارية"، في كويك، ويليم؛ سير، جان بيير (المحررون)، الدوال المعيارية لمتغير واحد، المجلد الثالث ، ملاحظات المحاضرات في الرياضيات، المجلد 350، ص 1-55، doi :10.1007/978-3-540-37802-0، ISBN 978-3-540-06483-1، السيد  0406931
• ويلتون، جيه آر (1930)، "خصائص التطابق لدالة رامانوجان τ( n )"، وقائع الجمعية الرياضية في لندن ، 31 : 1-10، doi :10.1112/plms/s2-31.1.1