أبعاد هاوسدورف

في الرياضيات ، يُعدّ بُعد هاوسدورف مقياسًا للخشونة ، أو تحديدًا البُعد الكسري ، وقد طُوّر عام 1918 على يد عالم الرياضيات فيليكس هاوسدورف . ^{[ 2 ]} على سبيل المثال، بُعد هاوسدورف لنقطة واحدة يساوي صفرًا، ولقطعة مستقيمة يساوي 1، وللمربع يساوي 2، وللمكعب يساوي 3. أي أنه بالنسبة لمجموعات النقاط التي تُشكّل شكلًا أملسًا أو شكلًا ذا عدد قليل من الزوايا - وهي أشكال الهندسة والعلوم التقليدية - يكون بُعد هاوسدورف عددًا صحيحًا يتوافق مع المفهوم المعتاد للبُعد، المعروف أيضًا بالبُعد الطوبولوجي . مع ذلك، طُوّرت أيضًا صيغ تسمح بحساب بُعد أشكال أخرى أقل بساطة، حيث يُمكن، بالاعتماد فقط على خصائصها من حيث القياس والتشابه الذاتي ، استنتاج أن أشكالًا مُحدّدة - بما في ذلك الأشكال الكسرية - لها أبعاد هاوسدورف غير صحيحة. بسبب التقدم التقني الكبير الذي حققه أبرام سامويلوفيتش بيسيكوفيتش والذي يسمح بحساب أبعاد المجموعات غير المنتظمة أو "الخشنة" للغاية، يُشار إلى هذا البعد أيضًا باسم بُعد هاوسدورف-بيسيكوفيتش.

وبشكل أكثر تحديدًا، فإن بُعد هاوسدورف هو عدد بُعدي مرتبط بفضاء متري ، أي مجموعة تُحدد فيها المسافات بين جميع عناصرها. ويُستمد هذا البُعد من الأعداد الحقيقية الموسعة .${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$، على عكس المفهوم الأكثر بديهية للبعد، والذي لا يرتبط بالفضاءات المترية العامة، ولا يأخذ إلا قيمًا في الأعداد الصحيحة غير السالبة.

رياضيًا، يُعمم بُعد هاوسدورف مفهوم بُعد الفضاء المتجهي الحقيقي . أي أن بُعد هاوسدورف لفضاء الضرب الداخلي ذي البُعد n يساوي n . وهذا ما يُؤكد القول السابق بأن بُعد هاوسدورف للنقطة يساوي صفرًا، وللخط يساوي واحدًا، وهكذا، وأن المجموعات غير المنتظمة قد يكون لها أبعاد هاوسدورف غير صحيحة. على سبيل المثال، تُبنى ندفة ثلج كوخ الموضحة على اليمين من مثلث متساوي الأضلاع؛ ففي كل تكرار، تُقسم قطعها المستقيمة المكونة لها إلى 3 قطع متساوية الطول، وتُستخدم القطعة الوسطى المُنشأة حديثًا كقاعدة لمثلث متساوي الأضلاع جديد يتجه للخارج، ثم تُحذف هذه القطعة الأساسية ليتبقى شكل نهائي من التكرار بطول وحدة يساوي 4. ^{[ 3 ]} أي أنه بعد التكرار الأول، تُستبدل كل قطعة مستقيمة أصلية بـ N=4، حيث يكون طول كل نسخة ذاتية التشابه 1/S = 1/3 من طول الأصل. ^{[ 1 ] بعبارة أخرى، لقد أخذنا جسمًا ذا بُعد إقليدي، D ،} وقللنا مقياسه الخطي بمقدار 1/3 في كل اتجاه، بحيث يزداد طوله إلى N=S ^{D. [ 4} ] يمكن حل هذه المعادلة بسهولة لإيجاد D، مما ينتج عنه نسبة اللوغاريتمات (أو اللوغاريتمات الطبيعية ) التي تظهر في الأشكال، ويعطي - في حالة كوخ وغيرها من الحالات الكسورية - أبعادًا غير صحيحة لهذه الأجسام.

يُعد بُعد هاوسدورف خليفةً لبُعد عد المربعات أو بُعد مينكوفسكي-بوليغاند الأبسط، ولكنه عادةً ما يكون مكافئًا له .

المفهوم البديهي لبُعد شكل هندسي X هو عدد المعاملات المستقلة اللازمة لتحديد نقطة فريدة داخله. مع ذلك، يمكن تحديد أي نقطة بمعاملين بمعامل واحد فقط، لأن عدد عناصر المستوى الحقيقي يساوي عدد عناصر خط الأعداد الحقيقية (ويمكن إثبات ذلك من خلال دمج أرقام عددين للحصول على رقم واحد يحمل نفس المعلومات). يُظهر مثال المنحنى الذي يملأ الفراغ أنه يمكن حتى رسم خط الأعداد الحقيقية على المستوى الحقيقي بشكل شامل (بأخذ عدد حقيقي واحد في زوج من الأعداد الحقيقية بحيث يتم تغطية جميع أزواج الأعداد) وبشكل متصل ، بحيث يملأ شكل أحادي البعد شكلاً متعدد الأبعاد بشكل كامل.

كل منحنى يملأ الفراغ يمر ببعض النقاط عدة مرات، ولا يمتلك معكوسًا متصلًا. من المستحيل تحويل بُعدين إلى بُعد واحد بطريقة متصلة وقابلة للعكس باستمرار. يُفسر البُعد الطوبولوجي، أو بُعد تغطية ليبيغ ، السبب. هذا البُعد هو أكبر عدد صحيح n بحيث يوجد في كل تغطية لـ X بكرات مفتوحة صغيرة نقطة واحدة على الأقل تتداخل فيها n  +  1 كرة. على سبيل المثال، عند تغطية خط بفواصل مفتوحة قصيرة، يجب تغطية بعض النقاط مرتين، مما يُعطي البُعد n = 1.   

لكن البُعد الطوبولوجي هو مقياس تقريبي جدًا للحجم المحلي للفضاء (الحجم بالقرب من نقطة). قد يكون للمنحنى الذي يكاد يملأ الفضاء بُعد طوبولوجي يساوي واحدًا، حتى لو كان يشغل معظم مساحة منطقة ما. أما الفركتل، فله بُعد طوبولوجي صحيح، لكن من حيث مقدار الفضاء الذي يشغله، فإنه يتصرف كفضاء ذي أبعاد أعلى.

يقيس بُعد هاوسدورف الحجم المحلي للفضاء مع مراعاة المسافة بين النقاط، أي المقياس . لنفترض أن لدينا العدد N ( r ) من الكرات التي لا يتجاوز نصف قطرها r واللازمة لتغطية الفضاء X بالكامل. عندما تكون قيمة r صغيرة جدًا، ينمو N ( r ) بشكل متعدد الحدود مع 1/ r . بالنسبة للفضاء X ذي الخصائص المنتظمة ، يكون بُعد هاوسدورف هو العدد الوحيد d الذي يجعل N( r ) ينمو بمعدل 1/ r ^d عندما تقترب r من الصفر. بتعبير أدق، يُعرّف هذا بُعد عدّ المربعات ، والذي يساوي بُعد هاوسدورف عندما تكون قيمة d حدًا حرجًا بين معدلات النمو غير الكافية لتغطية الفضاء، ومعدلات النمو الزائدة.

بالنسبة للأشكال الملساء، أو الأشكال ذات الزوايا القليلة، وهي الأشكال الشائعة في الهندسة والعلوم التقليدية، يكون بُعد هاوسدورف عددًا صحيحًا يتوافق مع البُعد الطوبولوجي. لكن لاحظ بينوا ماندلبروت أن الفراكتلات ، وهي مجموعات ذات أبعاد هاوسدورف غير صحيحة، موجودة في كل مكان في الطبيعة. ولاحظ أن التجسيد الأمثل لمعظم الأشكال الخشنة التي نراها لا يكون من خلال أشكال مثالية ملساء، بل من خلال أشكال مثالية فراكتلية.

الغيوم ليست كرات، والجبال ليست مخاريط، والخطوط الساحلية ليست دوائر، ولحاء الأشجار ليس أملس، كما أن البرق لا يسير في خط مستقيم. ^{[ 5 ]}

بالنسبة للكسور الهندسية الموجودة في الطبيعة، يتطابق بُعد هاوسدورف وبُعد عدّ المربعات . أما بُعد التعبئة فهو مفهوم مشابه آخر يعطي القيمة نفسها للعديد من الأشكال، ولكن توجد استثناءات موثقة جيدًا حيث تختلف جميع هذه الأبعاد.

يتم التوصل إلى التعريف الرسمي لبُعد هاوسدورف من خلال تعريف مقياس هاوسدورف ذي البُعد d أولاً ، وهو نظير ذو بُعد كسري لمقياس ليبيغ . أولاً، يتم إنشاء مقياس خارجي : ليكن${\displaystyle X}$ليكن فضاءً متريًا . إذا${\displaystyle S\subset X}$و${\displaystyle d\in [0,\infty )}$،

${\displaystyle H_{\delta }^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }(\operatorname {diam} U_{i})^{d}:\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i}\supseteq S,\operatorname {diam} U_{i}<\delta \right\},}$

حيث يتم تطبيق الحد الأدنى على جميع الأغطية القابلة للعد${\displaystyle U}$ل${\displaystyle S}$يُعرَّف المقياس الخارجي ذو الأبعاد d لهاوسدورف على النحو التالي:${\displaystyle {\mathcal {H}}^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)}$وتقييد عملية الربط بالمجموعات القابلة للقياس يبرر استخدامها كمقياس، يُطلق عليه اسم${\displaystyle d}$مقياس هاوسدورف ذو الأبعاد. ^{[ 6 ]}

• المجموعات القابلة للعد لها بُعد هاوسدورف 0. ^{[ 8 ]}
• الفضاء الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$له بُعد هاوسدورف${\displaystyle n}$والدائرة${\displaystyle S^{1}}$له بُعد هاوسدورف 1. ^{[ 8 ]}
• غالبًا ما تكون الفراكتلات فضاءات يتجاوز بُعدها الهاوسدورفي البُعد الطوبولوجي بشكلٍ صارم . ^{[ 5 ]} على سبيل المثال، مجموعة كانتور ، وهي فضاء طوبولوجي ذو بُعد صفري ، هي اتحاد نسختين منها، حيث تم تقليص كل نسخة بمعامل 1/3؛ وبالتالي، يمكن إثبات أن بُعدها الهاوسدورفي هو ln(2)/ln(3)  ≈  0.63. ^{[ 9 ]} مثلث سيربينسكي هو اتحاد ثلاث نسخ منه، حيث تم تقليص كل نسخة بمعامل  1/2؛ وهذا يُعطي بُعدًا هاوسدورفي قدره ln(3)/ln(2)  ≈  1.58. ^{[ 1 ]} ترتبط أبعاد هاوسدورف هذه بـ "الأس الحرج" لنظرية ماستر لحل العلاقات التكرارية في تحليل الخوارزميات .
• المنحنيات التي تملأ الفراغ مثل منحنى بيانو لها نفس بُعد هاوسدورف مثل الفراغ الذي تملأه.
• مسارات الحركة البراونية عبر الفضاء ذي البعد 2 وما فوق لها بعد هاوسدورف يساوي 2 بشكل شبه مؤكد . ^{[ 10 ]}

• أجرى لويس فراي ريتشاردسون تجارب مفصلة لقياس بُعد هاوسدورف التقريبي لخطوط ساحلية مختلفة. وقد تراوحت نتائجه من 1.02 لساحل جنوب إفريقيا إلى 1.25 للساحل الغربي لبريطانيا العظمى . ^{[ 5 ]}

تتميز العديد من المجموعات المُعرَّفة بشرط التشابه الذاتي بأبعاد يمكن تحديدها بشكل صريح. وبشكل عام، تكون المجموعة E متشابهة ذاتيًا إذا كانت النقطة الثابتة لتحويل متعدد القيم ψ، أي ψ( E ) = E ، على الرغم من أن التعريف الدقيق مُفصَّل أدناه.

نظرية . لنفترض

${\displaystyle \psi _{i}:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{n},\quad i=1,\ldots ,m}$

كل منها عبارة عن دالة انكماش على R ⁿ بثابت انكماش ri _< 1. عندئذٍ توجد مجموعة مضغوطة غير فارغة وحيدة A بحيث

${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(A).}$

تستنتج هذه النظرية من نظرية النقطة الثابتة للتحويل الانكماشي لستيفان باناش المطبقة على الفضاء المتري الكامل للمجموعات الفرعية المدمجة غير الفارغة من R ⁿ مع مسافة هاوسدورف . ^{[ 14 ]}

بالنسبة للمجموعات المتشابهة ذاتيًا التي تحقق شرط المجموعة المفتوحة ، فإن بُعد هاوسدورف${\displaystyle d}$يمكن تحديد ذلك باستخدام معادلة موران. إذا كان الشكل الكسري يتكون من${\displaystyle m}$نسخ متشابهة ذاتيًا بنسب انكماش${\displaystyle r_{1},r_{2},\dots ,r_{m}}$البعد${\displaystyle d}$هو الحل الإيجابي الوحيد للمعادلة:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}r_{i}^{d}=1}$

يُعد هذا الإطار مفيدًا بشكل خاص لحساب أبعاد الأشكال الكسورية الناتجة عن تبليط الاستبدال ، مثل تلك القائمة على عائلة المتوسط ​​المعدني . ^{[ 16 ]}

• قائمة الأشكال الكسورية حسب بُعد هاوسدورف. أمثلة على الأشكال الكسورية الحتمية والعشوائية والطبيعية.
• بُعد أسود ، وهو شكل آخر من أشكال البُعد الكسري، والذي يُعرَّف، مثل بُعد هاوسدورف، باستخدام التغطيات بالكرات.
• البعد الكسري
• البعد الجوهري
• أبعاد التعبئة

• بُعد هاوسدورف في موسوعة الرياضيات
• مقياس هاوسدورف في موسوعة الرياضيات