سلسلة زيتا العقلانية

في الرياضيات ، تُعرف متسلسلة زيتا النسبية بأنها تمثيل أي عدد حقيقي بدلالة متسلسلة تتكون من أعداد نسبية ودالة زيتا لريمان أو دالة زيتا لهرويتز . وبالتحديد، إذا كان لدينا عدد حقيقي x ، فإن متسلسلة زيتا النسبية لـ x تُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle x=\sum _{n=2}^{\infty }q_{n}\zeta (n,m)}$

حيث يمثل كل عدد نسبي q _n ، وتُثبّت قيمة m ، و ζ ( s , m ) هي دالة زيتا لهورويتز. ليس من الصعب إثبات أنه يمكن توسيع أي عدد حقيقي x بهذه الطريقة. 

بالنسبة للأعداد الصحيحة m>1 ، يكون لدينا

${\displaystyle x=\sum _{n=2}^{\infty }q_{n}\left[\zeta (n)-\sum _{k=1}^{m-1}k^{-n}\right]}$

بالنسبة لـ m=2 ، فإن عددًا من الأرقام المهمة لها تعبير بسيط على شكل متسلسلة زيتا نسبية:

${\displaystyle 1=\sum _{n=2}^{\infty }\left[\zeta (n)-1\right]}$

و

${\displaystyle 1-\gamma =\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left[\zeta (n)-1\right]}$

حيث γ هو ثابت أويلر-ماسكيروني . السلسلة

${\displaystyle \log 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left[\zeta (2n)-1\right]}$

يتبع ذلك جمع توزيع غاوس-كوزمين . توجد أيضًا متسلسلات لـ π :

${\displaystyle \log \pi =\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {2(3/2)^{n}-3}{n}}\left[\zeta (n)-1\right]}$

و

${\displaystyle {\frac {13}{30}}-{\frac {\pi }{8}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4^{2n}}}\left[\zeta (2n)-1\right]}$

وتتميز هذه السلسلة الأخيرة بتقاربها السريع. وهي ناتجة عن الهوية العامة.

$\begin{signal.text{\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}t^{2n}\left[\zeta(2n)-1\right]=\frac{t^{2}}{1+t^{2}}}+\frac{1-\pit}{2}}-\frac{\pit}{e^{2\pit}-1}}}$

والذي بدوره ينتج عن الدالة المولدة لأعداد برنولي

${\displaystyle {\frac {t}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}}$

يقدم آدمتشيك وسريفاستافا سلسلة مماثلة

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{n}}\zeta (2n)=\log \left({\frac {\pi t}{\sin(\pi t)}}\right)}$

يمكن استخلاص عدد من العلاقات الإضافية من متسلسلة تايلور لدالة بوليغاما عند z  =  1، وهي:

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}(m+k)!\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}}}$.

تتقارب المعادلة أعلاه عندما تكون قيمة | z | أقل من 1. وهناك حالة خاصة هي  

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }t^{n}\left[\zeta (n)-1\right]=-t\left[\gamma +\psi (1-t)-{\frac {t}{1-t}}\right]}$

وهذا ينطبق عندما تكون قيمة | t | أقل من 2. هنا، ψ هي دالة ديغاما و ψ ^{( m )} هي دالة بوليغاما. يمكن اشتقاق العديد من المتسلسلات التي تتضمن معامل ذات الحدين :  

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{k+\nu +1 \choose k}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=\zeta (\nu +2)}$

حيث ν عدد مركب. وينتج ما سبق من متسلسلة تايلور لدالة زيتا لهورويتز.

${\displaystyle \zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x)}$

مأخوذة عند y  = − 1. يمكن الحصول على متسلسلات مماثلة عن طريق الجبر البسيط: 

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{k+\nu +1 \choose k+1}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=1}$

و

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{k+\nu +1 \choose k+1}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=2^{-(\nu +1)}}$

و

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{k+\nu +1 \choose k+2}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=\nu \left[\zeta (\nu +1)-1\right]-2^{-\nu }}$

و

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{k+\nu +1 \choose k}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=\zeta (\nu +2)-1-2^{-(\nu +2)}}$

بالنسبة للأعداد الصحيحة n ≥ 0، فإن المتسلسلة  

${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{k+n \choose k}\left[\zeta (k+n+2)-1\right]}$

يمكن كتابتها كمجموع محدود

${\displaystyle S_{n}=(-1)^{n}\left[1+\sum _{k=1}^{n}\zeta (k+1)\right]}$

ينتج ما سبق من علاقة التكرار البسيطة S _n  + S _{n + 1} = ζ ( n + 2). بعد ذلك، المتسلسلة       

${\displaystyle T_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{k+n-1 \choose k}\left[\zeta (k+n+2)-1\right]}$

يمكن كتابتها على النحو التالي

${\displaystyle T_{n}=(-1)^{n+1}\left[n+1-\zeta (2)+\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k}(n-k)\zeta (k+1)\right]}$

لأي عدد صحيح n ≥ 1. ينتج ما سبق من المتطابقة T _n + T _{n + 1} = S _n . يمكن تطبيق هذه العملية بشكل متكرر للحصول على متسلسلات منتهية للتعبيرات العامة من الشكل        

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{k+n-m \choose k}\left[\zeta (k+n+2)-1\right]}$

بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة m .

يمكن الحصول على متسلسلات مماثلة من خلال استكشاف دالة زيتا لهورويتز عند قيم نصف عدد صحيح. على سبيل المثال، لدينا

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\zeta (k+n+2)-1}{2^{k}}}{{n+k+1} \choose {n+1}}=\left(2^{n+2}-1\right)\left(\zeta (n+2)-1\right)-1}$

يقدم آدمتشيك وسريفاستافا

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }n^{m}\left[\zeta (n)-1\right]=1\,+\sum _{k=1}^{m}k!\;S(m+1,k+1)\zeta (k+1)}$

و

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }(-1)^{n}n^{m}\left[\zeta (n)-1\right]=-1\,+\,{\frac {1-2^{m+1}}{m+1}}B_{m+1}\,-\sum _{k=1}^{m}(-1)^{k}k!\;S(m+1,k+1)\zeta (k+1)}$

أين${\displaystyle B_{k}}$هي أرقام برنولي و${\displaystyle S(m,k)}$هي أعداد ستيرلينغ من النوع الثاني .

ومن الثوابت الأخرى التي لها متسلسلات زيتا نسبية ملحوظة ما يلي:

• ثابت خينشين
• ثابت أبيري

• جوناثان م. بورواين، ديفيد م. برادلي، ريتشارد إي. كراندال (2000). "استراتيجيات حسابية لدالة زيتا لريمان" (ملف PDF) . مجلة الحوسبة والرياضيات التطبيقية، 121 ( 1-2 ) : 247-296 . رمز Bibcode : 2000JCoAM.121..247B . doi : 10.1016/s0377-0427(00)00336-8 . مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 25 سبتمبر 2006. تاريخ الاسترجاع : 8 يوليو 2005 .{{cite journal}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
• فيكتور س. أدامشيك وHM سريفاستافا (1998). "بعض سلاسل زيتا والوظائف ذات الصلة" (PDF) . تحليل . 18 (2): 131-144 . سيتيسيركس 10.1.1.127.9800 . دوى : 10.1524/anly.1998.18.2.131 . S2CID 11370668 .