Bernoulli number

تستند أعداد برنولي إلى التاريخ المبكر لحساب مجاميع القوى الصحيحة، والتي كانت موضع اهتمام علماء الرياضيات منذ العصور القديمة.

كانت طرق حساب مجموع أول n عدد صحيح موجب، ومجموع مربعات ومكعبات أول n عدد صحيح موجب معروفة، ولكن لم تكن هناك "صيغ" حقيقية، بل مجرد أوصاف لفظية. ومن بين كبار علماء الرياضيات في العصور القديمة الذين تناولوا هذه المسألة: فيثاغورس (حوالي 572-497  قبل الميلاد، اليونان)، وأرخميدس (287-212  قبل الميلاد، إيطاليا)، وأريابهاتا (مواليد 476، الهند)، والكرجي (توفي 1019، بلاد فارس)، وابن الهيثم (965-1039، العراق).

خلال أواخر القرن السادس عشر وأوائل القرن السابع عشر، حقق علماء الرياضيات تقدماً ملحوظاً. في الغرب، لعب كل من توماس هاريوت (1560-1621) من إنجلترا، ويوهان فولهاوبر (1580-1635) من ألمانيا، وبيير دي فيرما (1601-1665)، وزميله عالم الرياضيات الفرنسي بليز باسكال (1623-1662) أدواراً مهمة.

يبدو أن توماس هاريوت كان أول من اشتقّ وكتب صيغًا لمجاميع القوى باستخدام الترميز الرمزي، لكنه لم يحسب إلا حتى مجموع القوى الرابعة. وقدّم يوهان فولهاوبر صيغًا لمجاميع القوى حتى القوة السابعة عشرة في كتابه " أكاديميا الجبر" عام 1631 ، وهو أعلى بكثير مما قدّمه أي شخص سبقه، لكنه لم يقدّم صيغة عامة.

أثبت بليز باسكال في عام 1654 هوية باسكال التي تربط ( n + 1) ^{k + 1} بمجموع القوى p لأول n عدد صحيح موجب لـ p = 0، 1، 2، ...، k .

كان عالم الرياضيات السويسري جاكوب برنولي ( 1654-1705) أول من أدرك وجود سلسلة واحدة من الثوابت B0 _، B1 _، B2 _، ... والتي توفر صيغة موحدة لجميع مجاميع القوى. ^{[ 9 ]}

يمكن ملاحظة مدى السعادة التي شعر بها برنولي عندما اكتشف النمط اللازم لحساب معاملات صيغته لمجموع القوى من الرتبة c لأي عدد صحيح موجب c بسرعة وسهولة من خلال تعليقه. كتب:

"بمساعدة هذا الجدول، استغرقت أقل من نصف ربع ساعة لأجد أن جمع القوى العشرية لأول 1000 رقم سيعطي المجموع 91,409,924,241,424,243,424,241,924,242,500."

نُشرت نتيجة برنولي بعد وفاته في كتاب Ars Conjectandi عام 1713. اكتشف سيكي تاكاكازو بشكل مستقل أعداد برنولي ونُشرت نتيجته قبل ذلك بعام، أيضًا بعد وفاته، في عام 1712. ^{[ 2 ]} ومع ذلك، لم يقدم سيكي طريقته كصيغة تستند إلى سلسلة من الثوابت.

تُعدّ صيغة برنولي لمجموع القوى الصيغة الأكثر فائدة وقابلية للتعميم حتى الآن. وتُسمى المعاملات في صيغة برنولي الآن بأعداد برنولي، وذلك بناءً على اقتراح أبراهام دي مويفر .

تُعرف صيغة برنولي أحيانًا باسم صيغة فولهاوبر نسبةً إلى يوهان فولهاوبر الذي اكتشف طرقًا رائعة لحساب مجموع القوى، لكنه لم يذكر صيغة برنولي. ووفقًا لكنوت ^{[ 9 ]،} فقد نُشر برهان دقيق لصيغة فولهاوبر لأول مرة على يد كارل جاكوبي عام 1834. ^{[ 10 ]} وخلصت دراسة كنوت المتعمقة لصيغة فولهاوبر إلى ما يلي:

لم يكتشف فولهاوبر أعداد برنولي؛ أي أنه لم يدرك أن سلسلة واحدة من الثوابت B0 ، B1 _، B2 _، ... ستوفر _{توزيعًا} منتظمًا

$\textstyle \sum n^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(B_{0}n^{m+1}-{\binom {m+1}{1}}B_{1}n^{m}+{\binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}-\cdots +(-1)^{m}{\binom {m+1}{m}}B_{m}n\right)}$

لجميع مجاميع القوى. لم يذكر قط، على سبيل المثال، حقيقة أن ما يقرب من نصف المعاملات تبين أنها تساوي صفرًا بعد أن قام بتحويل صيغه لـ Σ n ^m من كثيرات الحدود في N إلى كثيرات الحدود في n . ^{[ 11 ]}

في ما سبق، كان المقصود بـ Knuth هو${\displaystyle B_{1}^{-}}$بدلاً من استخدام${\displaystyle B_{1}^{+}}$تتجنب الصيغة عملية الطرح:

$\textstyle \sum n^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(B_{0}n^{m+1}+{\binom {m+1}{1}}B_{1}^{+}n^{m}+{\binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}+\cdots +{\binom {m+1}{m}}B_{m}n\right).}$

... بعد ذلك، يمكن إجراء المزيد من التغييرات التدريجية، والتفاوض المتتابع يزين الجزء السفلي من الجسم: ملخص الحالة${\displaystyle \textstyle \int n={\frac {1}{2}}nn+{\frac {1}{2}}n}$${\displaystyle \textstyle \int nn={\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2}}nn+{\frac {1}{6}}n}$${\displaystyle \textstyle \int n^{3}={\frac {1}{4}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{3}+{\frac {1}{4}}nn}$${\displaystyle \textstyle \int n^{4}={\frac {1}{5}}n^{5}+{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{3}}n^{3}-{\frac {1}{30}}n}$${\displaystyle \textstyle \int n^{5}={\frac {1}{6}}n^{6}+{\frac {1}{2}}n^{5}+{\frac {5}{12}}n^{4}-{\frac {1}{12}}nn}$${\displaystyle \textstyle \int n^{6}={\frac {1}{7}}n^{7}+{\frac {1}{2}}n^{6}+{\frac {1}{2}}n^{5}-{\frac {1}{6}}n^{3}+{\frac {1}{42}}n}$${\displaystyle \textstyle \int n^{7}={\frac {1}{8}}n^{8}+{\frac {1}{2}}n^{7}+{\frac {7}{12}}n^{6}-{\frac {7}{24}}n^{4}+{\frac {1}{12}}nn}$${\displaystyle \textstyle \int n^{8}={\frac {1}{9}}n^{9}+{\frac {1}{2}}n^{8}+{\frac {2}{3}}n^{7}-{\frac {7}{15}}n^{5}+{\frac {2}{9}}n^{3}-{\frac {1}{30}}n}$${\displaystyle \textstyle \int n^{9}={\frac {1}{10}}n^{10}+{\frac {1}{2}}n^{9}+{\frac {3}{4}}n^{8}-{\frac {7}{10}}n^{6}+{\frac {1}{2}}n^{4}-{\frac {1}{12}}nn}$${\displaystyle \textstyle \int n^{10}={\frac {1}{11}}n^{11}+{\frac {1}{2}}n^{10}+{\frac {5}{6}}n^{9}-1n^{7}+1n^{5}-{\frac {1}{2}}n^{3}+{\frac {5}{66}}n}$من يستطيع أن يبدأ التقدم في الاهتمام بالتحليل، ويستمر في الاستمرار في القدرة على تحقيق التوازن في العمل: مجموع هذه الأشياء${\displaystyle c}$Pro Potestatis Cujuslibet الأس، مناسب لمجموع الأومنيوم${\displaystyle n^{c}}$seu${\displaystyle \textstyle \int n^{c}={\frac {1}{c+1}}n^{c+1}+{\frac {1}{2}}n^{c}+{\frac {c}{2}}An^{c-1}+{\frac {c\cdot c-1\cdot c-2}{2\cdot 3\cdot 4}}Bn^{c-3}}$${\displaystyle \qquad +{\frac {c\cdot c-1\cdot c-2\cdot c-3\cdot c-4}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}}Cn^{c-5}}$${\displaystyle \qquad +{\frac {c\cdot c-1\cdot c-2\cdot c-3\cdot c-4\cdot c-5\cdot c-6}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8}}Dn^{c-7}\ldots }$& ita deinceps، الأس القدرة على ipsius${\displaystyle n}$استمرار Minuendo Binario، quosque perveniatur ad${\displaystyle n}$vel${\displaystyle nn}$. Literæ capitales${\displaystyle A}$،${\displaystyle B}$،${\displaystyle C}$،${\displaystyle D}$& ج. ترتيب معاملات الدلالة النهائية للمحترفين${\displaystyle \textstyle \int nn}$،${\displaystyle \textstyle \int n^{4}}$،${\displaystyle \textstyle \int n^{6}}$،${\displaystyle \textstyle \int n^{8}}$إلخ. نيمبي${\displaystyle \textstyle A={\frac {1}{6}},B=-{\frac {1}{30}},C={\frac {1}{42}},D=-{\frac {1}{30}}.}$ من كتاب جاكوب برنولي Ars Conjectandi ، 1713 [ أ ] [ 13 ]

قدم جاكوب برنولي أعداد برنولي OEIS : A164555  (n)/ OEIS : A027642 (n) في كتابه "فن التخمين  _" (Ars Conjectandi) الذي نُشر بعد وفاته عام 1713. ^{[ 13 ]} يمكن الاطلاع على الصيغة الرئيسية في النصف الثاني من النسخة المصورة المقابلة. تُقابل المعاملات الثابتة التي رمز لها برنولي _بـ A و B و C و D بالترميز الشائع حاليًا: A = B² ، B = B⁴ ، C = B⁶ ، D = B⁸ . ويعني التعبير c · c⁻¹ · _c⁻² · c⁻³ _، c · ( c⁻¹ ) · ( c⁻² ) · ( c⁻³ ) - حيث تُستخدم النقاط الصغيرة كرموز تجميع. وباستخدام المصطلحات الحالية، تُعرف هذه التعبيرات بقوى مضروبية متناقصة c ^k . ويُستخدم الترميز المضروبي k ! استُخدم اختصار ∫ للمعادلة 1 × 2 × ... × k في وقت لاحق، عام 1808، على يد كريستيان كرامب . يعود رمز التكامل ∫ في الطرف الأيسر إلى غوتفريد فيلهلم لايبنتز عام 1675، الذي استخدمه كحرف S طويل للدلالة على "summa" (المجموع). ^{[ 14 ]} لا يُمثل الحرف n في الطرف الأيسر دليلاً على الجمع ، بل يُشير إلى الحد الأعلى لنطاق الجمع، والذي يُفهم على أنه 1، 2، ...، n . وبناءً على ذلك، بالنسبة لـ c الموجبة ، من المرجح أن يكتب عالم الرياضيات اليوم صيغة برنولي على النحو التالي:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{c}={\frac {n^{c+1}}{c+1}}+{\frac {1}{2}}n^{c}+\sum _{k=2}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}.}$

تشير هذه الصيغة إلى ضرورة وضع B1 = 1/2 عند الانتقال من التعداد "القديم" الذي يستخدم فقط الفهارس الزوجية 2، 4، 6... إلى الصيغة الحديثة. والأمر الأكثر إثارة للدهشة في هذا السياق هو أن مضروب العدد التنازلي ck - ^{1 يساوي} ، _عند k = 0 ، 1 / c + 1. [ ^{15 ] وبالتالي} ، يمكن كتابة صيغة برنولي على النحو التالي:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{c}=\sum _{k=0}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}}$

إذا كان B ₁ = 1/2 ، فإن ذلك يعيد القيمة التي أعطاها برنولي للمعامل في ذلك الموضع.

صيغة لـ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{n}k^{9}}$يحتوي كتاب برنولي " فن التخمين" (Ars Conjectandi) في الصفحة 97 على خطأ في الحد الأخير؛ والصحيح هو:${\displaystyle -{\tfrac {3}{20}}n^{2}}$بدلاً من${\displaystyle -{\tfrac {1}{12}}n^{2}}$.

تخضع أعداد برنولي لصيغ المجموع ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}&=\delta _{m,0}\\\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+{}}&=m+1\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle m=0,1,2...}$و δ تشير إلى دلتا كرونكر .

يُكتب الأول من هذه أحيانًا ^{[ 16 ]} على شكل الصيغة (لـ m > 1) $${\displaystyle (B+1)^{m}-B_{m}=0,}$$ حيث يتم توسيع الأس رسميًا باستخدام نظرية ذات الحدين و${\displaystyle B^{k}}$يتم استبدالها بـ${\displaystyle B_{k}}$.

حل لـ${\displaystyle B_{m}^{\mp {}}}$يعطي الصيغ التكرارية ^{[ 17 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{m}^{-{}}&=\delta _{m,0}-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}^{-{}}}{m-k+1}}\\B_{m}^{+}&=1-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}^{+}}{m-k+1}}.\end{aligned}}}$

في عام 1893، أدرج لويس سالشوتز ما مجموعه 38 صيغة صريحة لأعداد برنولي، ^{[ 18 ]} مع الإشارة عادةً إلى بعض المراجع في الأدبيات القديمة. إحداها هي (لـ${\displaystyle m\geq 1}$):

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{m}^{-}&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{j}j^{m}\\B_{m}^{+}&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{j}(j+1)^{m}.\end{aligned}}}$

الدوال المولدة الأسية هي

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {t}{e^{t}-1}}&={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}-1\right)&&=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {B_{m}^{-{}}t^{m}}{m!}}\\{\frac {te^{t}}{e^{t}-1}}={\frac {t}{1-e^{-t}}}&={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}+1\right)&&=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {B_{m}^{+}t^{m}}{m!}}.\end{alignedat}}}$

حيث يكون الاستبدال${\displaystyle t\to -t}$الفرق الحسابي بين الدوال المولدة لـ${\displaystyle B_{m}^{+}}$و${\displaystyle B_{m}^{-}}$هو t .

الدالة المولدة (العادية)

${\displaystyle z^{-1}\psi _{1}(z^{-1})=\sum _{m=0}^{\infty}B_{m}^{+}z^{m}}$

هي متسلسلة تقاربية . تحتوي على دالة تريغاما ψ ₁ .

انطلاقاً من الدوال المولدة أعلاه، يمكن الحصول على الصيغة التكاملية التالية لأعداد برنولي الزوجية:

${\displaystyle B_{2n}=4n(-1)^{n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2n-1}}{e^{2\pi t}-1}}\mathrm {d} t}$

لعلّ أهمّ تطبيقات أعداد برنولي في الرياضيات هو استخدامها في صيغة أويلر-ماكلورين . بافتراض أن f دالة قابلة للتفاضل مرات كافية، يمكن كتابة صيغة أويلر-ماكلورين على النحو التالي ^{[ 29 ].}

${\displaystyle \sum _{k=a}^{b-1}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{-}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{-}(f,m).}$

تفترض هذه الصيغة الاصطلاح B ⁻ ₁ = − 1 / 2. وباستخدام الاصطلاح B ⁺ ₁ = + 1 / 2 ، تصبح الصيغة

${\displaystyle \sum _{k=a+1}^{b}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{+}(f,m).}$

هنا${\displaystyle f^{(0)}=f}$(أي المشتقة من الرتبة الصفرية لـ${\displaystyle f}$هو مجرد${\displaystyle f}$علاوة على ذلك، دع${\displaystyle f^{(-1)}}$يشير إلى مشتق أصلي لـ${\displaystyle f}$بحسب النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل ،

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=f^{(-1)}(b)-f^{(-1)}(a).}$

وبالتالي، يمكن تبسيط الصيغة الأخيرة إلى الشكل المختصر التالي لصيغة أويلر-ماكلورين

${\displaystyle \sum _{k=a+1}^{b}f(k)=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R(f,m).}$

يُعد هذا الشكل، على سبيل المثال، مصدرًا لتوسيع أويلر-ماكلورين المهم لدالة زيتا

$\begin{aligned}\zeta(s)&=\sum_{k=0}^{m}{\frac{B_{k}^{+}}{k!}}s^{\overline{k-1}}+R(s,m)\\&={\frac{B_{0}}{0!}}s^{\overline{-1}}+{\frac{B_{1}^{+}}{1!}}s^{\overline{0}}+{\frac{B_{2}}{2!}}s^{\overline{1}}+\cdots +R(s,m)\\&={\frac{1}{s-1}}+{\frac{1}{2}}+{\frac{1}{12}}s+\cdots +R(s,m).\end{aligned}}}$

هنا يرمز s ^k إلى القوة العاملية المتزايدة . ^{[ 30 ]}

تُستخدم أعداد برنولي بكثرة في أنواع أخرى من المتسلسلات التقاربية . المثال التالي هو المتسلسل التقاربي الكلاسيكي من نوع بوانكاريه لدالة ديغاما ψ .

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+}}{kz^{k}}}}$

تُعدّ أعداد برنولي عنصرًا أساسيًا في الصيغة المغلقة لمجموع القوى m للأعداد الصحيحة الموجبة n الأولى . بالنسبة لـ m و n ≥ 0، نُعرّف

${\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{m}=1^{m}+2^{m}+\cdots +n^{m}.}$

يمكن دائمًا إعادة كتابة هذا التعبير على شكل متعددة حدود في n من الدرجة m + 1. ترتبط معاملات هذه المتعددات الحدود بأعداد برنولي من خلال صيغة برنولي :

${\displaystyle S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+}n^{m+1-k}=m!\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}n^{m+1-k}}{k!(m+1-k)!}},}$

حيث ( ^{m + 1k} ₎ يرمز إلى معامل ذي الحدين .

على سبيل المثال، إذا اعتبرنا أن m يساوي 1، فإن ذلك يعطي الأعداد المثلثية 0، 1، 3، 6، ... OEIS : A000217  .

${\displaystyle 1+2+\cdots +n={\frac {1}{2}}(B_{0}n^{2}+2B_{1}^{+}n^{1})={\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n).}$

باعتبار m يساوي 2، نحصل على الأعداد الهرمية المربعة 0، 1، 5، 14، ... OEIS : A000330  .

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {1}{3}}(B_{0}n^{3}+3B_{1}^{+}n^{2}+3B_{2}n^{1})={\tfrac {1}{3}}\left(n^{3}+{\tfrac {3}{2}}n^{2}+{\tfrac {1}{2}}n\right).}$

يستخدم بعض المؤلفين الاصطلاح البديل لأعداد برنولي ويذكرون صيغة برنولي بهذه الطريقة:

${\displaystyle S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}n^{m+1-k}.}$

تُسمى صيغة برنولي أحيانًا صيغة فاولابر نسبة إلى يوهان فاولابر الذي وجد أيضًا طرقًا رائعة لحساب مجموع القوى .

تم تعميم صيغة فاولابر بواسطة V. Guo و J. Zeng إلى نظير q . ^{[ 31 ]}

تظهر أعداد برنولي في متسلسلة تايلور للعديد من الدوال المثلثية والدوال الزائدية .

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&={\hphantom {1 \over x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&&\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}.\\\cot x&={1 \over x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&0<&|x|<\pi .\\\tanh x&={\hphantom {1 \over x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&&|x|<{\frac {\pi }{2}}.\\\coth x&={1 \over x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&0<&|x|<\pi .\end{aligned}}}$$

تظهر أرقام برنولي في سلسلة لوران التالية : ^{[ 32 ]}

دالة ديغاما :${\displaystyle \psi (z)=\ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+{}}}{kz^{k}}}}$

تتضمن صيغة كيرفاير -ميلنور لترتيب المجموعة الدورية لفئات التشاكل التفاضلي للكرات الغريبة (4n − 1) التي تحد المشعبات المتوازية أعداد برنولي. ليكن ES _n عدد هذه الكرات الغريبة لـ n ≥ 2 ، عندئذٍ

${\displaystyle {\textit {ES}}_{n}=(2^{2n-2}-2^{4n-3})\operatorname {Numerator} \left({\frac {B_{4n}}{4n}}\right).}$

تتضمن نظرية التوقيع لهيرزبروش لجنس L لمتشعب مغلق موجه أملس ذي بُعد 4 n أيضًا أعداد برنولي.

تم تطوير التعريف الذي سنستخدمه لاحقًا بواسطة يوليوس وربيتزكي عام 1883. إلى جانب العمليات الحسابية الأساسية، تُستخدم فقط دالة المضروب n ! ودالة القوة k/ ^{m . تُعرَّف أعداد وربيتزكي عديمة الإشارة كما يلي:}

${\displaystyle W_{n,k}=\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v+k}(v+1)^{n}{k \choose v}\ .}$

ويمكن التعبير عنها أيضاً من خلال أعداد ستيرلينغ من النوع الثاني

${\displaystyle W_{n,k}=k!\left\{{n+1 \atop k+1}\right\}.}$

ثم يُعرَّف عدد برنولي على أنه مجموع تضمين - استبعاد لأعداد ووربيتزكي مُرجَّحة بالمتتالية التوافقية 1 ، 1/2 ، 1/3 ، ...   

${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {W_{n,k}}{k+1}}\ =\ \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k+1}}\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}(v+1)^{n}{k \choose v}\ .}$

ب ₀ = 1

ب ₁ = 1 − 1 / 2

ب _٢ = ١ − ٣ / ٢ + ٢ / ٣​​

ب ₃ = 1 − 7 / 2 + 12 / 3 − 6 / 4​​​​

ب _٤ = ١ − ١٥ / ٢ + ٥٠ / ٣ − ٦٠ / ٤ + ٢٤ / ٥​​​​​​

ب _٥ = ١ − ٣١ / ٢ + ١٨٠ / ٣ − ٣٩٠ / ٤ + ٣٦٠ / ٥ − ١٢٠ / ٦​​​​​​​​

ب ₆ = 1 − 63 / 2 + 602 / 3 − 2100 / 4 + 3360 / 5 − 2520 / 6 + 720 / 7​​​​​​​​​​

هذا التمثيل له B ⁺ ₁ = + ⁠ 1 / 2 ⁠ .

لنفترض المتتالية s _n ، حيث n ≥ 0. من أعداد وربيتزكي OEIS : A028246  و OEIS : A163626  المطبقة على s _₀ ، s _₀ ، s ₁ ، s _₀ ، s _₁ ، s ₂ ، s _₀، s _₁ ، s _₂ ، s _₃، ... تُطابق تحويل أكياما-تانيغاوا المطبق على s_{_n} (انظر: العلاقة مع أعداد ستيرلينغ من النوع الأول ). يمكن ملاحظة ذلك من خلال الجدول التالي:

هوية تمثيل ووربيتزكي وتحويل أكياما-تانيغاوا

1						0	1					0	0	1				0	0	0	1			0	0	0	0	1
1	-1					0	2	-2				0	0	3	-3			0	0	0	4	-4
1	-3	2				0	4	-10	6			0	0	9	-21	12
1	-7	12	-6			0	8	-38	54	-24
1	-15	50	-60	24

يمثل الصف الأول s ₀ ، s ₁ ، s ₂ ، s ₃ ، s ₄ .

وبالتالي، بالنسبة لأعداد أويلر الكسرية الثانية OEIS : A198631  ( n ) / OEIS : A006519  ( n + 1 ):

E ₀ = 1

E ₁ = 1 − 1 / 2

ه ₂ = 1 − ⁠ 3 / 2 ⁠ + ⁠ 2 / 4 ⁠

ه ₃ = 1 − ⁠ 7 / 2 ⁠ + ⁠ 12 / 4 ⁠ − ⁠ 6 / 8 ⁠

ه ₄ = 1 − ⁠ 15 / 2 ⁠ + ⁠ 50 / 4 ⁠ − ⁠ 60 / 8 ⁠ + ⁠ 24 / 16 ⁠

ه ₅ = 1 − ⁠ 31 / 2 ⁠ + ⁠ 180 / 4 ⁠ − ⁠ 390 / 8 ⁠ + ⁠ 360 / 16 ⁠ − ⁠ 120 / 32 ⁠

ه ₆ = 1 − ⁠ 63 / 2 ⁠ + ⁠ 602 / 4 ⁠ − ⁠ 2100 / 8 ⁠ + ⁠ 3360 / 16 ⁠ − ⁠ 2520 / 32 ⁠ + ⁠ 720 / 64 ⁠

الصيغة الثانية التي تمثل أعداد برنولي بأعداد وربيتزكي هي لـ n ≥ 1

${\displaystyle B_{n}={\frac {n}{2^{n+1}-2}}\sum _{k=0}^{n-1}(-2)^{-k}\,W_{n-1,k}.}$

التمثيل المبسط الثاني لـ Worpitzky لأعداد Bernoulli الثانية هو:

OEIS : A164555  ( n + 1 ) / OEIS : A027642  ( n + 1 ) = ⁠ n + 1 / 2 ^{n + 2} − 2 ⁠ × OEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A006519 ( n + 1 )  

وهذا يربط أعداد برنولي الثانية بأعداد أويلر الكسرية الثانية. البداية هي:

1/2 ، 1/6 ، 0 ، -1/30 ، 0 ، 1/42 ، ... = ( 1/2 ، 1/3 ، 3/14 ، 2/15، 5/62 ، 1/21 ، ... ) × ( 1 ، 1/2 ، 0 ، -1/4 ، 0 ، 1/2 ، ... )​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​

البسط في الأقواس الأولى هو OEIS : A111701  (انظر العلاقة مع أعداد ستيرلينغ من النوع الأول ).

تتمتع أعداد ستيرلينغ من النوع الثاني ، S ( k , m ) ، بالخاصية التالية ^{[ 33 ]} :

${\displaystyle x^{k}=\sum _{m=0}^{k}{x^{\underline {m}}}S(k,m)}$

حيث يمثل x ^m دالة المضروب المتناقص .

يمكن كتابة كثيرات حدود برنولي B _k ( x ) على النحو التالي: ^{[ 34 ]}

${\displaystyle B_{k}(x)=k\sum _{m=0}^{k-1}{\binom {x}{m+1}}S(k-1,m)m!+B_{k}}$

حيث B _k لـ k = 0، 1، 2، ... هي أعداد برنولي.

الخاصية التالية لمعامل ذي الحدين :

${\displaystyle {\binom {x}{m}}={\binom {x+1}{m+1}}-{\binom {x}{m+1}}}$

وهذا يعني أن

${\displaystyle x^{k}={\frac {B_{k+1}(x+1)-B_{k+1}(x)}{k+1}}.}$

كما يوجد ما يلي لكثيرات حدود برنولي، ^{[ 34 ]}

${\displaystyle B_{k}(x)=\sum _{n=0}^{k}{\binom {k}{n}}B_{n}x^{k-n}.}$

معامل x في ( ^x _{m + 1} ) هو ⁠ (−1) ^m / m + 1 ⁠ .

معامل x في التعبير الأول لـ${\displaystyle B_{k}(x)}$يكون${\displaystyle k\sum _{m=0}^{k-1}{\frac {(-1)^{m}}{m+1}}S(k-1,m)m!}$أما في التعبير الثاني فهو${\displaystyle kB_{k-1}.}$استبدال${\displaystyle k-1}$بواسطة${\displaystyle k}$وهذا ينتج عنه:

${\displaystyle B_{k}=\sum _{m=0}^{k}(-1)^{m}{\frac {m!}{m+1}}S(k,m)}$

(مما ينتج عنه B ₁ = + ⁠ 1 / 2 ⁠ ) وهي صيغة صريحة لأعداد برنولي ويمكن استخدامها لإثبات نظرية فون شتاودت كلاوسن . ^{[ 35 ] [ 36 ] [ 37 ]}

الصيغتان الرئيسيتان اللتان تربطان أعداد ستيرلينغ غير الموقعة من النوع الأول [ nm ] ^بأعداد _برنولي (مع B1 = + 1/2 ) _هما

${\displaystyle {\frac {1}{m!}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\left[{m+1 \atop k+1}\right]B_{k}={\frac {1}{m+1}},}$