دالة بوليغاما

في الرياضيات ، دالة بوليغاما من الرتبة m هي دالة ميرومورفية على الأعداد المركبة${\displaystyle \mathbb {C} }$تُعرَّف بأنها المشتقة ( m + 1) للوغاريتم دالة غاما :

$\displaystyle \psi ^{(m)}(z):=\frac {\mathrm {d} ^{m}}{\mathrm {d} z^{m}}}\psi (z)=\frac {\mathrm {d} ^{m+1}}{\mathrm {d} z^{m+1}}}\ln \Gamma (z).}$

هكذا

${\displaystyle \psi ^{(0)}(z)=\psi (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}}$

يتحقق الشرط حيث ψ ( z ) هي دالة ديغاما و Γ( z ) هي دالة غاما . وهما دالتان تحليليتان على${\displaystyle \mathbb {C} \backslash \mathbb {Z} _{\leq 0}}$عند جميع الأعداد الصحيحة غير الموجبة، تمتلك دوال بوليغاما هذه قطبًا من الرتبة m + 1. تُسمى الدالة ψ ⁽¹⁾ ( z ) أحيانًا دالة تريغاما .

لوغاريتم دالة غاما وأولى دوال بولي غاما في المستوى المركب

ln Γ( z )	ψ (0) ( z )	ψ (1) ( z )
ψ (2) ( z )	ψ (3) ( z )	ψ (4) ( z )

عندما يكون m > 0 و Re z > 0 ، فإن دالة بوليغاما تساوي

$\begin{aligned}\psi^{(m)}(z)&=(-1)^{m+1}\int_{0}^{\infty}{\frac{t^{m}e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\,\mathrm{d}t\\&=-\int_{0}^{1}{\frac{t^{z-1}}{1-t}}(\ln t)^{m}\,\mathrm{d}t\\&=(-1)^{m+1}m!\zeta(m+1,z)\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle \zeta (s,q)}$هي دالة زيتا لهرويتز .

يُعبّر هذا عن دالة بوليغاما بتحويل لابلاس لـ ( -1) ^{m + 1} t ^m / 1 − e ^{− t} . ويترتب على نظرية برنشتاين للدوال الرتيبة أنه، بالنسبة لـ m > 0 و x حقيقي وغير سالب، فإن (-1) ^{m + 1} ψ ^{( m )} ( x ) هي دالة رتيبة تمامًا.

لا يُعطي وضع m = 0 في الصيغة أعلاه تمثيلاً تكاملياً لدالة ديغاما. لدالة ديغاما تمثيل تكاملي، بفضل غاوس، وهو مشابه لحالة m = 0 المذكورة أعلاه ، ولكنه يتضمن حداً إضافياً هو e ^{− t} / t .

إنها تحقق علاقة التكرار

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+{\frac {(-1)^{m}\,m!}{z^{m+1}}}}$

والذي - عند النظر إليه من منظور الأعداد الصحيحة الموجبة - يؤدي إلى عرض مجموع مقلوب قوى الأعداد الطبيعية:

${\displaystyle {\frac {\psi ^{(m)}(n)}{(-1)^{m+1}\,m!}}=\zeta (1+m)-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k^{m+1}}}=\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {1}{k^{m+1}}}\qquad m\geq 1}$

و

${\displaystyle \psi ^{(0)}(n)=-\gamma \ +\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k}}}$

للجميع${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$، أين${\displaystyle \gamma }$هو ثابت أويلر-ماسكيروني . ومثل دالة لوغاريتم غاما، يمكن تعميم دوال بوليغاما من المجال${\displaystyle \mathbb {N} }$تقتصر هذه العلاقة على الأعداد الحقيقية الموجبة فقط نظرًا لعلاقتها التكرارية وقيمة دالة معطاة، ولتكن ψ ^{( m )} (1) ، باستثناء حالة m = 0 حيث يكون الشرط الإضافي للرتابة الصارمة على${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$لا تزال هناك حاجة لذلك. هذه نتيجة بديهية لنظرية بور-موليروب لدالة غاما حيث يكون التحدب اللوغاريتمي الصارم على${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$يُطلب ذلك بالإضافة إلى ذلك. يجب التعامل مع الحالة m = 0 بشكل مختلف لأن ψ ⁽⁰⁾ غير قابلة للتطبيع عند اللانهاية (مجموع المقلوبات لا يتقارب).

${\displaystyle (-1)^{m}\psi ^{(m)}(1-z)-\psi ^{(m)}(z)=\pi {\frac {\mathrm {d} ^{m}}{\mathrm {d} z^{m}}}\cot {\pi z}=\pi ^{m+1}{\frac {P_{m}(\cos {\pi z})}{\sin ^{م+1}(\بي ض)}}}$

حيث P _{_m} هي متعددة حدود فردية أو زوجية بالتناوب من الدرجة | m - 1 | بمعاملات صحيحة ومعامل رئيسي (-1) ^{^m}⌈2^{^{m - 1}}⌉ . وتخضع هذه المعادلات للمعادلة التكرارية.

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}(x)&=x\\P_{m+1}(x)&=-\left((m+1)xP_{m}(x)+\left(1-x^{2}\right)P'_{m}(x)\right).\end{aligned}}}$

تنص نظرية الضرب على

${\displaystyle k^{m+1}\psi ^{(m)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)\qquad m\geq 1}$

و

${\displaystyle k\psi ^{(0)}(kz)=k\ln {k}+\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(0)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)}$

بالنسبة لدالة ديغاما .

دالة بوليغاما لها تمثيل متسلسل

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\,m!\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}}$

وهذا ينطبق على القيم الصحيحة لـ m > 0 وأي عدد مركب z لا يساوي عددًا صحيحًا سالبًا. ويمكن كتابة هذا التمثيل بشكل أكثر إيجازًا بدلالة دالة زيتا لهورويتز كما يلي:

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\,m!\,\zeta (m+1,z).}$

يمكن استخدام هذه العلاقة على سبيل المثال لحساب القيم الخاصة ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \psi ^{(2n-1)}\left({\frac {1}{4}}\right)={\frac {4^{2n-1}}{2n}}\left(\pi ^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|+2(2n)!\beta (2n)\right);}$

${\displaystyle \psi ^{(2n-1)}\left({\frac {3}{4}}\right)={\frac {4^{2n-1}}{2n}}\left(\pi ^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|-2(2n)!\beta (2n)\right);}$

${\displaystyle \psi ^{(2n)}\left({\frac {1}{4}}\right)=-2^{2n-1}\left(\pi ^{2n+1}|E_{2n}|+2(2n)!(2^{2n+1}-1)\zeta (2n+1)\right);}$

${\displaystyle \psi ^{(2n)}\left({\frac {3}{4}}\right)=2^{2n-1}\left(\pi ^{2n+1}|E_{2n}|-2(2n)!(2^{2n+1}-1)\zeta (2n+1)\right).}$

بدلاً من ذلك، يمكن فهم دالة زيتا هورويتز على أنها تعميم لدالة بوليغاما إلى رتبة عشوائية غير صحيحة.

قد يُسمح بسلسلة أخرى لدوال بوليغاما. كما ذكر شلوميلش ،

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}.}$

هذه نتيجة لنظرية تحليل فايرشتراس . وبالتالي، يمكن الآن تعريف دالة غاما على النحو التالي:

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{\frac {z}{n}}.}$

الآن، يمكن تمثيل اللوغاريتم الطبيعي لدالة جاما بسهولة:

${\displaystyle \ln \Gamma (z)=-\gamma z-\ln(z)+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {z}{k}}-\ln \left(1+{\frac {z}{k}}\right)\right).}$

وأخيراً، نصل إلى تمثيل جمعي لدالة بوليغاما:

${\displaystyle \psi ^{(n)}(z)={\frac {\mathrm {d} ^{n+1}}{\mathrm {d} z^{n+1}}}\ln \Gamma (z)=-\gamma \delta _{n0}-{\frac {(-1)^{n}n!}{z^{n+1}}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}\delta _{n0}-{\frac {(-1)^{n}n!}{(k+z)^{n+1}}}\right)}$

حيث δ _{n 0} هي دلتا كرونكر .

أيضًا ليرش المتعالي

${\displaystyle \Phi (-1,m+1,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(z+k)^{m+1}}}}$

يمكن التعبير عنها بدلالة دالة متعددة غاما

${\displaystyle \Phi (-1,m+1,z)={\frac {1}{(-2)^{m+1}m!}}\left(\psi ^{(m)}\left({\frac {z}{2}}\right)-\psi ^{(m)}\left({\frac {z+1}{2}}\right)\right)}$

متسلسلة تايلور عند z = -1 هي

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}{\frac {(m+k)!}{k!}}\zeta (m+k+1)z^{k}\qquad m\geq 1}$

و

${\displaystyle \psi ^{(0)}(z+1)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\zeta (k+1)z^{k}}$

وهي متقاربة عندما تكون قيمة | z | أقل من 1. هنا، ζ هي دالة زيتا لريمان . يمكن اشتقاق هذه المتسلسلة بسهولة من متسلسلة تايلور المناظرة لدالة زيتا لهرويتز. ويمكن استخدام هذه المتسلسلة لاشتقاق عدد من متسلسلات زيتا الكسرية .

يمكن استخدام هذه المتسلسلات غير المتقاربة للحصول بسرعة على قيمة تقريبية بدقة عددية معينة على الأقل للوسائط الكبيرة: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)\sim (-1)^{m+1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(k+m-1)!}{k!}}{\frac {B_{k}}{z^{k+m}}}\qquad m\geq 1}$

و

${\displaystyle \psi ^{(0)}(z)\sim \ln(z)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}}{kz^{k}}}}$

حيث اخترنا B ₁ = 1 / 2 ، أي أعداد برنولي من النوع الثاني.

دالة الظل الزائدي تحقق المتباينة

${\displaystyle {\frac {t}{2}}\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}\geq 1,}$

وهذا يعني أن الدالة

${\displaystyle {\frac {t^{m}}{1-e^{-t}}}-\left(t^{m-1}+{\frac {t^{m}}{2}}\right)}$

تكون الدالة غير سالبة لجميع قيم m ≥ 1 و t ≥ 0. ويترتب على ذلك أن تحويل لابلاس لهذه الدالة رتيب تمامًا. من خلال التمثيل التكاملي أعلاه، نستنتج أن

${\displaystyle (-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x)-\left({\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{2x^{m+1}}}\right)}$

دالة رتيبة تمامًا. متباينة التحدب e ^t ≥ 1 + t تعني أن

${\displaystyle \left(t^{m-1}+t^{m}\right)-{\frac {t^{m}}{1-e^{-t}}}}$

تكون غير سالبة لجميع قيم m ≥ 1 و t ≥ 0 ، لذا فإن حجة تحويل لابلاس المماثلة تعطي الرتابة الكاملة لـ

${\displaystyle \left({\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{x^{m+1}}}\right)-(-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x).}$

لذلك، بالنسبة لجميع قيم m ≥ 1 و x > 0 ،

${\displaystyle {\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{2x^{m+1}}}\leq (-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x)\leq {\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{x^{m+1}}}.}$

بما أن كلا الحدين موجبان تمامًا لـ${\displaystyle x>0}$لدينا:

• ${\displaystyle \ln \Gamma (x)}$محدب تمامًا .
• ل${\displaystyle m=0}$دالة ديغاما،${\displaystyle \psi (x)=\psi ^{(0)}(x)}$، هي دالة متزايدة بشكل رتيب تمامًا ومقعرة تمامًا .
• ل${\displaystyle m}$غريب، دوال بوليغاما،${\displaystyle \psi ^{(1)},\psi ^{(3)},\psi ^{(5)},\ldots }$، موجبة تمامًا، ومتناقصة بشكل رتيب تمامًا، ومحدبة تمامًا.
• ل${\displaystyle m}$حتى دوال بوليغاما،${\displaystyle \psi ^{(2)},\psi ^{(4)},\psi ^{(6)},\ldots }$، هي سالبة تمامًا، ومتزايدة بشكل رتيب تمامًا، ومقعرة تمامًا.

ويمكن ملاحظة ذلك في الرسم البياني الأول أعلاه.

• مضروب
• دالة غاما
• دالة ديغاما
• دالة تريجاما
• دالة بوليغاما المعممة

• أبراموفيتز، ميلتون؛ ستيجون، إيرين أ. (1964). "القسم 6.4" . دليل الدوال الرياضية . نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-61272-0.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )