كسري راوزي

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 34 صور
الموسوعة الحرة
كسري راوزي

في الرياضيات، تُعرف مجموعة كسورية راوزي بأنها مجموعة كسورية مرتبطة باستبدال تريبوناتشي.

s(1)=12، s(2)=13، s(3)=1.{\displaystyle s(1)=12,\ s(2)=13,\ s(3)=1\,.}

تمت دراستها عام 1981 من قبل جيرار راوزي، [ 1 ] بهدف تعميم الخصائص الديناميكية لتشكل فيبوناتشي . يمكن تعميم هذه المجموعة الكسورية لتشمل تطبيقات أخرى على أبجدية مكونة من 3 أحرف، مما يُنتج مجموعات كسورية أخرى ذات خصائص مثيرة للاهتمام، مثل التبليط الدوري للمستوى والتشابه الذاتي في ثلاثة أجزاء متماثلة .

التعريفات

كلمة تريبوناتشي

كلمة تريبوناتشي اللانهائية هي كلمة يتم إنشاؤها عن طريق تطبيق خريطة تريبوناتشي أو راوزي  بشكل متكرر :s(1)=12{\displaystyle s(1)=12}،s(2)=13{\displaystyle s(2)=13}،s(3)=1{\displaystyle s(3)=1}[ 2 ] [ 3 ] هذا مثال على كلمة صرفية . بدءًا من 1 ، كلمات تريبوناتشي هي: [ 4 ]

  • ت0=1{\displaystyle t_{0}=1}
  • ت1=12{\displaystyle t_{1}=12}
  • ت2=1213{\displaystyle t_{2}=1213}
  • ت3=1213121{\displaystyle t_{3}=1213121}
  • ت4=1213121121312{\displaystyle t_{4}=1213121121312}

يمكننا أن نوضح ذلك، من أجلن>2{\displaystyle n>2}،تن=تن-1تن-2تن-3{\displaystyle t_{n}=t_{n-1}t_{n-2}t_{n-3}}ومن هنا جاء اسم " تريبوناتشي ".

البناء الفركتلي

بناء

لننظر الآن إلى المساحةR3{\displaystyle R^{3}}باستخدام الإحداثيات الديكارتية (x,y,z). يتم إنشاء كسورية راوزي بهذه الطريقة: [ 5 ]

1) فسر تسلسل حروف كلمة تريبوناتشي اللانهائية على أنه تسلسل من المتجهات الوحدوية للفضاء، مع القواعد التالية (1 = الاتجاه x، 2 = الاتجاه y، 3 = الاتجاه z).

٢) ثم، قم بإنشاء "درج" بتتبع النقاط التي تصل إليها هذه السلسلة من المتجهات (انظر الشكل). على سبيل المثال، النقاط الأولى هي:

  • 1⇒(1،0،0){\displaystyle 1\Rightarrow (1,0,0)}
  • 2⇒(1،1،0){\displaystyle 2\Rightarrow (1,1,0)}
  • 1⇒(2،1،0){\displaystyle 1\Rightarrow (2,1,0)}
  • 3⇒(2،1،1){\displaystyle 3\Rightarrow (2,1,1)}
  • 1⇒(3،1،1){\displaystyle 1\Rightarrow (3,1,1)}

إلخ... يمكن تلوين كل نقطة وفقًا للحرف المقابل، للتأكيد على خاصية التشابه الذاتي.

3) ثم قم بإسقاط تلك النقاط على المستوى المتقلص (المستوى المتعامد مع الاتجاه الرئيسي لانتشار النقاط، ولا تهرب أي من تلك النقاط المسقطة إلى اللانهاية).

ملكيات

  • يمكن تبليطها بثلاث نسخ منها، مع تقليل مساحتها بمعاملات معينة.ك{\displaystyle k}،ك2{\displaystyle k^{2}}وك3{\displaystyle k^{3}}معك{\displaystyle k}حلك3+ك2+ك-1=0{\displaystyle k^{3}+k^{2}+k-1=0}:ك=13(-1-217+3333+17+3333)=0.543689...{\displaystyle k={\frac {1}{3}}\left(-1-{\frac {2}{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}}}+{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}}\right)=0.543689...}.
  • تبقى المجموعة ثابتة عند تبديل القطع. يمكننا الحصول على نفس المجموعة عن طريق تبديل أماكن القطع.
  • متصل ومتصل ببساطة. لا يوجد به ثقب.
  • يقوم بتغطية السطح بشكل دوري، عن طريق الإزاحة.
  • مصفوفة خريطة تريبوناتشي تحتوي علىx3-x2-x-1{\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-1}باعتبارها متعددة الحدود المميزة لها . قيمها الذاتية هي عدد حقيقي β=1.839286...{\displaystyle \beta =1.839286...}، ويُسمى ثابت تريبوناتشي ، وعدد بيزو ، واثنين من المرافقات المركبةα{\displaystyle \alpha }وα¯{\displaystyle {\bar {\alpha }}}معαα¯=1/β{\displaystyle \alpha {\bar {\alpha }}=1/\beta }.
  • حدودها فركتالية، وبُعد هاوسدورف لهذه الحدود يساوي 1.093364... (المتتالية A272408 في OEIS ) ، وهو حل لـ2|α|3s+|α|4s=1{\displaystyle 2|\alpha |^{3s}+|\alpha |^{4s}=1}[ 6 ]​

المتغيرات والتعميم

بالنسبة لأي استبدال أحادي النمط من نوع بيزو، والذي يحقق شرط التطابق (الذي يبدو أنه يتحقق دائمًا)، يمكن إنشاء مجموعة مماثلة تسمى "كسورية راوزي للخريطة". جميعها تُظهر التشابه الذاتي وتُولد، بالنسبة للأمثلة أدناه، تبليطًا دوريًا للمستوى.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ^ روزي، جيرار (1982). "أسماء الجبر والبدائل" (PDF) . ثور. شركة نفط الجنوب. الرياضيات. الأب. (باللغة الفرنسية). 110 : 147– 178. زبل 0522.10032 . 
  2. ↑ لوثير (2005) ص 525
  3. ↑ بيثياس فوغ (2002) ص 232
  4. ↑ لوثير (2005) ص 546
  5. ↑ بيثياس فوغ (2002) ص 233
  6. ↑ المسعودي، علي (2000). "Frontière du fractal de Rauzy et système de numération complexe. (حدود نظام Rauzy الكسري والمعقد للترقيم)" (PDF) . اكتا أريث. (باللغة الفرنسية). 95 (3): 195– 224. زبل 0968.28005 .