التبليط

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 33 صور
الموسوعة الحرة

بلاط الزليج المصنوع من الطين المحروق في مراكش ، يشكل فسيفساء متصلة من الحافة إلى الحافة، منتظمة، وغيرها من الأشكال.
منحوتة جدارية في ليواردن تحتفي بالزخارف الفنية المتداخلة للفنان إم سي إيشر
مثال على عدم الدورية بسبب اختلاف اتجاه بلاطة واحدة من بين عدد لا نهائي من البلاطات المتطابقة

التبليط هو تغطية سطح ما ، غالباً ما يكون سطحاً مستوياً ، باستخدام شكل هندسي واحد أو أكثر ، يُسمى البلاطات ، دون تداخل أو فراغات. في الرياضيات ، يمكن تعميم التبليط ليشمل أبعاداً أعلى ومجموعة متنوعة من الأشكال الهندسية.

يتميز التبليط الدوري بنمط متكرر. ومن أنواعه الخاصة التبليط المنتظم ببلاطات مضلعة منتظمة ذات شكل واحد، والتبليط شبه المنتظم ببلاطات منتظمة ذات أشكال متعددة، مع ترتيب متطابق في كل زاوية. يمكن تصنيف الأنماط الناتجة عن التبليط الدوري إلى 17 مجموعة من أنماط ورق الجدران . يُطلق على التبليط الذي يفتقر إلى نمط متكرر اسم "غير دوري". أما التبليط غير الدوري فيستخدم مجموعة صغيرة من أشكال البلاطات التي لا يمكنها تشكيل نمط متكرر ( مجموعة غير دورية من البلاطات الأولية ). ويمكن تعريف تبليط الفراغ ، المعروف أيضًا باسم ملء الفراغ أو خلية النحل، في هندسة الأبعاد الأعلى.

التبليط المادي الحقيقي هو تبليط مصنوع من مواد مثل المربعات أو السداسيات الخزفية المُلصقة . قد تكون هذه التبليطات أنماطًا زخرفية، أو قد تؤدي وظائف مثل توفير أرضيات أو أغطية جدران متينة ومقاومة للماء . تاريخيًا، استُخدمت التبليطات في روما القديمة والفن الإسلامي ، كما في العمارة المغربية والتبليط الهندسي الزخرفي لقصر الحمراء . في القرن العشرين، استخدم الفنان إم سي إيشر التبليطات بكثرة في أعماله، سواء في الهندسة الإقليدية العادية أو الهندسة الزائدية ، لأغراض فنية. تُستخدم التبليطات أحيانًا لأغراض زخرفية في فن الخياطة . تُشكل التبليطات فئة من الأنماط في الطبيعة ، على سبيل المثال في صفوف الخلايا السداسية الموجودة في خلايا النحل .

تاريخ

فسيفساء معبد من مدينة أوروك الرابعة السومرية القديمة (3400-3100 قبل الميلاد)، تُظهر نمطًا فسيفسائيًا من البلاط الملون

استخدم السومريون ( حوالي 4000 قبل الميلاد) الزخارف الجدارية في بناء الزخارف المكونة من أنماط من بلاط الطين. [ 1 ]

كانت بلاطات الفسيفساء المزخرفة المصنوعة من قطع مربعة صغيرة تسمى "تيسيرا" شائعة الاستخدام في العصور الكلاسيكية القديمة ، [ 2 ] وكانت أحيانًا تعرض أنماطًا هندسية. [ 3 ] [ 4 ]

في عام 1619، أجرى يوهانس كيبلر دراسة موثقة مبكرة عن التبليط. كتب عن التبليط المنتظم وشبه المنتظم في كتابه "هارمونيسيس موندي" ؛ وربما كان أول من استكشف وشرح البنى السداسية لخلايا النحل ورقاقات الثلج . [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]

فسيفساء رومانية معينية الشكل

بعد نحو مئتي عام، وتحديدًا في عام 1891، أثبت عالم البلورات الروسي يفغراف فيودوروف أن كل تبليط دوري للمستوى يتميز بواحدة من سبع عشرة مجموعة مختلفة من التناظرات. [ 8 ] [ 9 ] شكّل عمل فيودوروف البداية غير الرسمية للدراسة الرياضية للتبليط. ومن بين المساهمين البارزين الآخرين أليكسي فاسيليفيتش شوبنيكوف ونيكولاي بيلوف في كتابهما "التناظر الملون" (1964)، [ 10 ] وهينريش هيش وأوتو كينزل (1963). [ 11 ]

أصل الكلمة

في اللغة اللاتينية، تُشير كلمة " tessella " إلى قطعة صغيرة مكعبة الشكل من الطين أو الحجر أو الزجاج تُستخدم في صناعة الفسيفساء. [ 12 ] وتعني كلمة "tessella" "مربع صغير" (من كلمة "tessera " التي تعني مربع، وهي بدورها مشتقة من الكلمة اليونانية "τέσσερα" التي تعني أربعة ). وهي تُقابل مصطلح "التبليط" الشائع ، والذي يُشير إلى استخدامات التبليط، والتي غالبًا ما تُصنع من الطين المزجج .

ملخص

بلاط معيني سداسي : أرضية مبلطة في المتحف الأثري بإشبيلية ، إسبانيا، باستخدام بلاطات مربعة ومثلثة وسداسية الشكل.

التبليط ثنائي الأبعاد، أو ما يُعرف أيضًا بالتبليط المستوي، هو فرع من فروع الهندسة يدرس كيفية ترتيب الأشكال، المعروفة بالبلاطات ، لملء سطح مستوٍ دون أي فراغات، وفقًا لمجموعة من القواعد. ويمكن أن تختلف هذه القواعد، ومن القواعد الشائعة عدم وجود فراغات بين البلاطات، وعدم إمكانية وقوع زاوية بلاطة على حافة بلاطة أخرى. [ 13 ] لا تخضع التبليطات الناتجة عن البناء بالطوب المترابط لهذه القاعدة. ومن بين التبليطات التي تخضع لها، التبليط المنتظم، الذي يتكون من بلاطات منتظمة متطابقة وزوايا أو رؤوس منتظمة متطابقة، بحيث تكون الزاوية بين الحواف المتجاورة متساوية في كل بلاطة. [ 14 ] لا يوجد سوى ثلاثة أشكال يمكنها تكوين مثل هذه التبليطات المنتظمة: المثلث متساوي الأضلاع ، والمربع، والسداسي المنتظم . ويمكن تكرار أي من هذه الأشكال الثلاثة إلى ما لا نهاية لملء سطح مستوٍ دون أي فراغات. [ 6 ]

توجد أنواع أخرى عديدة من التبليط الممكنة في ظل قيود مختلفة. على سبيل المثال، هناك ثمانية أنواع من التبليط شبه المنتظم، المصنوع من أكثر من نوع واحد من المضلعات المنتظمة، مع الحفاظ على نفس ترتيب المضلعات في كل زاوية. [ 15 ] كما يمكن صنع التبليط غير المنتظم من أشكال أخرى مثل الخماسيات ، والمضلعات المتعددة ، وفي الواقع أي شكل هندسي تقريبًا. يشتهر الفنان إم سي إيشر بصنع التبليط باستخدام بلاطات متشابكة غير منتظمة، على شكل حيوانات وأشياء طبيعية أخرى. [ 16 ] عند اختيار ألوان متباينة مناسبة للبلاطات ذات الأشكال المختلفة، تتشكل أنماط لافتة للنظر، ويمكن استخدامها لتزيين الأسطح المادية مثل أرضيات الكنائس. [ 17 ]

لفتت فسيفساء الزليج المتقنة والملونة من البلاط المزجج في قصر الحمراء بإسبانيا انتباه الفنان إم سي إيشر

بصورة أدق، التبليط هو تغطية المستوى الإقليدي بعدد معدود من المجموعات المغلقة، تُسمى البلاطات ، بحيث تتقاطع البلاطات فقط عند حدودها . قد تكون هذه البلاطات مضلعات أو أي أشكال أخرى. [ ب ] تتكون العديد من التبليطات من عدد محدود من البلاطات الأولية ، حيث تتطابق جميع البلاطات في التبليط مع البلاطات الأولية المعطاة. إذا أمكن استخدام شكل هندسي كبلاطة أولية لإنشاء تبليط، يُقال إن هذا الشكل يُبلّط المستوى . يُعد معيار كونواي مجموعة كافية، ولكنها ليست ضرورية، من القواعد لتحديد ما إذا كان شكل معين يُبلّط المستوى دوريًا دون انعكاسات: بعض البلاطات لا تستوفي المعيار، ولكنها مع ذلك تُبلّط المستوى. [ 19 ] لم يتم التوصل إلى قاعدة عامة لتحديد ما إذا كان شكل معين يُمكنه تبليط المستوى أم لا، مما يعني وجود العديد من المشكلات غير المحلولة المتعلقة بالتبليط. [ 18 ]

رياضيًا، يمكن توسيع نطاق التبليط ليشمل فضاءات أخرى غير المستوى الإقليدي. [ 6 ] وقد كان عالم الهندسة السويسري لودفيج شلافلي رائدًا في هذا المجال من خلال تعريف المخططات المتعددة ، والتي يسميها علماء الرياضيات اليوم متعددات الوجوه . وهي نظائر للمضلعات ومتعددات السطوح في الفضاءات ذات الأبعاد المتعددة. كما وضع شلافلي رمزًا خاصًا به لتسهيل وصف متعددات الوجوه. على سبيل المثال، رمز شلافلي للمثلث متساوي الأضلاع هو {3}، بينما رمز المربع هو {4}. [ 20 ] يتيح رمز شلافلي وصف التبليطات بإيجاز. فعلى سبيل المثال، يحتوي تبليط السداسيات المنتظمة على ثلاثة مضلعات سداسية الأضلاع عند كل رأس، لذا فإن رمز شلافلي الخاص به هو {6،3}. [ 21 ]

توجد طرق أخرى لوصف التبليط المضلعي. عندما يكون التبليط مكونًا من مضلعات منتظمة، فإن الترميز الأكثر شيوعًا هو تكوين الرؤوس ، وهو ببساطة قائمة بعدد أضلاع المضلعات المحيطة بكل رأس. على سبيل المثال، يكون تكوين رؤوس التبليط المربع 4.4.4.4، أو 4 × 4. أما تبليط السداسيات المنتظمة فيُشار إليه بـ 6.6.6، أو 6 × 3. [ 18 ]

في الرياضيات

مقدمة في التبليط

يستخدم علماء الرياضيات بعض المصطلحات التقنية عند مناقشة التبليط. الحافة هي نقطة التقاطع بين بلاطتين متجاورتين، وغالبًا ما تكون خطًا مستقيمًا. الرأس هو نقطة تقاطع ثلاث بلاطات متجاورة أو أكثر. باستخدام هذه المصطلحات، فإن التبليط متساوي الأضلاع أو التبليط المتعدي الرؤوس هو تبليط تكون فيه كل نقطة رأس متطابقة؛ أي أن ترتيب المضلعات حول كل رأس هو نفسه. [ 18 ] المنطقة الأساسية هي شكل، مثل المستطيل، يتكرر لتشكيل التبليط. [ 22 ] على سبيل المثال، يحتوي التبليط المنتظم للمستوى بالمربعات على التقاء أربعة مربعات عند كل رأس . [ 18 ]

لا تتطابق أضلاع المضلعات بالضرورة مع حواف البلاطات. يُطلق مصطلح "التبليط من الحافة إلى الحافة" على أي تبليط مضلعي تشترك فيه البلاطات المتجاورة في ضلع واحد كامل فقط، أي لا تشترك أي بلاطة في ضلع جزئي أو أكثر من ضلع واحد مع أي بلاطة أخرى. في التبليط من الحافة إلى الحافة، تكون أضلاع المضلعات وحواف البلاطات متطابقة. أما تبليط "جدار الطوب" المألوف، فلا يُعد تبليطًا من الحافة إلى الحافة، لأن الضلع الأطول لكل طوبة مستطيلة يشترك فيه طوبتان مجاورتان. [ 18 ]

التبليط العادي هو تبليط يكون فيه كل بلاطة مكافئة طوبولوجيًا لقرص ، ويكون تقاطع أي بلاطتين مجموعة متصلة أو المجموعة الفارغة ، وتكون جميع البلاطات محدودة بشكل منتظم . هذا يعني أنه يمكن استخدام نصف قطر محيط واحد ونصف قطر محيط واحد لجميع البلاطات في التبليط بأكمله؛ ويمنع هذا الشرط البلاطات الطويلة أو الرقيقة بشكل غير طبيعي. [ 23 ]

مثال على التبليط غير الممتد من حافة إلى حافة: التبليط الخماسي أحادي السطوح المحدب الخامس عشر ، الذي تم اكتشافه في عام 2015

التبليط أحادي السطوح هو تبليط تكون فيه جميع البلاطات متطابقة ؛ إذ يحتوي على بلاطة أولية واحدة فقط. ومن أنواع التبليط أحادي السطوح المثيرة للاهتمام التبليط الحلزوني أحادي السطوح. اكتشف هاينز فودربرغ أول تبليط حلزوني أحادي السطوح عام 1936؛ ويحتوي تبليط فودربرغ على بلاطة وحدة عبارة عن شكل تساعي غير محدب . [ 1 ] أما تبليط هيرشهورن ، الذي نشره مايكل د. هيرشهورن ودي سي هانت عام 1985، فهو تبليط خماسي الأضلاع باستخدام أشكال خماسية غير منتظمة: إذ لا يمكن للأشكال الخماسية المنتظمة أن تبليط المستوى الإقليدي لأن الزاوية الداخلية للخماسي المنتظم، 3π / 5 ، ليست قاسمًا للعدد 2π . [ 24 ] [ 25 ]

التبليط متساوي الأوجه هو شكل خاص من أشكال التبليط أحادي الأوجه، حيث تنتمي جميع البلاطات إلى نفس فئة التعدي، أي أن جميع البلاطات هي تحويلات لنفس البلاطة الأولية تحت مجموعة التناظر الخاصة بالتبليط. [ 23 ] إذا كانت البلاطة الأولية تقبل تبليطًا، ولكن لم يكن أي من هذه البلاطات متساوي الأوجه، فإن البلاطة الأولية تسمى غير متساوية الأوجه وتشكل تبليطات غير متساوية الأوجه .

التبليط المنتظم هو تبليط متناظر للغاية ، يمتد من حافة إلى حافة، ويتكون من مضلعات منتظمة ، جميعها من نفس الشكل. يوجد ثلاثة أنواع فقط من التبليط المنتظم: تلك المكونة من مثلثات متساوية الأضلاع ، أو مربعات ، أو سداسيات منتظمة . جميع هذه الأنواع الثلاثة متساوية الزوايا وأحادية السطوح. [ 26 ]

إن التبليط الفيثاغوري ليس تبليطًا من الحافة إلى الحافة.

يستخدم التبليط شبه المنتظم (أو الأرخميدي) أكثر من نوع واحد من المضلعات المنتظمة بترتيب متساوي الأضلاع. يوجد ثمانية أنواع من التبليط شبه المنتظم (أو تسعة إذا احتُسب زوج التبليط المتناظر كزوجين). [ 27 ] يمكن وصف هذه الأنواع بتكوين رؤوسها ؛ على سبيل المثال، التبليط شبه المنتظم الذي يستخدم المربعات والمثمنات المنتظمة له تكوين الرؤوس 4.8 2 (يحتوي كل رأس على مربع واحد ومثمنين). [ 28 ] توجد العديد من أنواع التبليط غير المتجاورة في المستوى الإقليدي، بما في ذلك عائلة التبليط الفيثاغوري ، وهي تبليطات تستخدم حجمين (مُحددين) من المربعات، حيث يلامس كل مربع أربعة مربعات من الحجم الآخر. [ 29 ] التبليط الحافي هو تبليط يمكن فيه عكس كل بلاطة على حافة لتأخذ موضع بلاطة مجاورة، كما هو الحال في مصفوفة من المثلثات متساوية الأضلاع أو متساوية الساقين. [ 30 ]

مجموعات خلفيات الشاشة

يستخدم هذا الرصيف ذو الشكل الأحادي المضلع أشكالًا منحنية بدلًا من المضلعات. وهو ينتمي إلى مجموعة ورق الجدران p3.

يمكن تصنيف التبليطات ذات التناظر الانتقالي في اتجاهين مستقلين إلى مجموعات ورق الجدران ، والتي يبلغ عددها 17 مجموعة. [ 31 ] وقد زُعم أن جميع هذه المجموعات السبعة عشر ممثلة في قصر الحمراء في غرناطة ، إسبانيا . على الرغم من أن هذا الأمر محل خلاف، [ 32 ] إلا أن تنوع ودقة تبليطات الحمراء قد أثارت اهتمام الباحثين المعاصرين. [ 33 ] من بين التبليطات المنتظمة الثلاثة، اثنان منها ينتميان إلى مجموعة ورق الجدران p6m، وواحد إلى p4m . يمكن تصنيف التبليطات ثنائية الأبعاد ذات التناظر الانتقالي في اتجاه واحد فقط إلى مجموعات الأفاريز السبع التي تصف أنماط الأفاريز الممكنة . [ 34 ] يمكن استخدام ترميز المدارات لوصف مجموعات ورق الجدران في المستوى الإقليدي. [ 35 ]

التبليط غير الدوري

تبليط بنروز ، ذو تناظرات متعددة، ولكن بدون تكرارات دورية.

تُعدّ تبليطات بنروز ، التي تستخدم نوعين مختلفين من البلاطات الرباعية الأولية، أشهر مثال على البلاطات التي تُنشئ أنماطًا غير دورية قسرًا. وهي تنتمي إلى فئة عامة من التبليطات غير الدورية ، التي تستخدم بلاطات لا يمكن تشكيلها دوريًا. تُعدّ عملية التبليط الاستبدالي المتكررة طريقةً لتوليد التبليطات غير الدورية. ومن بين الفئات التي يمكن توليدها بهذه الطريقة بلاطات التكرار ؛ إذ تتميز هذه التبليطات بخصائص تكرار ذاتي غير متوقعة . [ 36 ] أما تبليطات دولاب الهواء فهي غير دورية، وتستخدم بنية بلاطات التكرار؛ وتظهر البلاطات في عدد لا نهائي من الاتجاهات. [ 37 ] قد يُظنّ أن النمط غير الدوري سيكون خاليًا تمامًا من التناظر، ولكن هذا ليس صحيحًا. فالتبليطات غير الدورية، على الرغم من افتقارها إلى التناظر الانتقالي ، إلا أنها تتمتع بتناظرات من أنواع أخرى، وذلك من خلال التكرار اللانهائي لأي رقعة محدودة من التبليط، وفي مجموعات محدودة معينة من الدورانات أو الانعكاسات لتلك الرقع. [ 38 ] تُوضح قاعدة الاستبدال، التي يمكن استخدامها لتوليد أنماط بنروز باستخدام مجموعات من البلاطات تُسمى المعينات، تناظر القياس. [ 39 ] يمكن استخدام كلمة فيبوناتشي لبناء تبليط غير دوري، ولدراسة أشباه البلورات ، وهي هياكل ذات ترتيب غير دوري. [ 40 ]

مجموعة من 13 بلاطة من بلاطات وانغ التي تغطي السطح بشكل غير دوري فقط

بلاطات وانغ عبارة عن مربعات ملونة من جميع جوانبها، وتُوضع بحيث تكون الحواف المتجاورة للبلاطات المتجاورة بنفس اللون؛ ولذلك تُسمى أحيانًا دومينو وانغ . يمكن لمجموعة مناسبة من دومينو وانغ أن تُغطي المستوى، ولكن بشكل غير دوري فقط. هذا معروف لأن أي آلة تورينغ يمكن تمثيلها كمجموعة من دومينو وانغ تُغطي المستوى إذا، وفقط إذا، لم تتوقف آلة تورينغ. وبما أن مشكلة التوقف غير قابلة للحل، فإن مشكلة تحديد ما إذا كانت مجموعة دومينو وانغ قادرة على تغطية المستوى هي أيضًا غير قابلة للحل. [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ]

تبليط عشوائي

بلاطات تروشيه هي بلاطات مربعة مزينة بنقوش، لذا فهي لا تتمتع بتناظر دوراني ؛ في عام 1704، استخدم سيباستيان تروشيه بلاطة مربعة مقسمة إلى مثلثين بلونين متناقضين. يمكن لهذه البلاطات أن تغطي السطح إما بشكل دوري أو عشوائي. [ 46 ] [ 47 ]

بلاطة أينشتاين هي شكل واحد يُجبر على التبليط غير الدوري. أول بلاطة من هذا النوع، والتي أُطلق عليها اسم "القبعة"، اكتُشفت عام 2023 على يد ديفيد سميث، وهو عالم رياضيات هاوٍ. [ 48 ] [ 49 ] يخضع هذا الاكتشاف حاليًا للمراجعة من قِبل متخصصين، وسيُنسب إليه، عند تأكيده، الفضل في حل مشكلة رياضية عريقة . [ 50 ]

الزخارف والألوان

يلزم استخدام سبعة ألوان على الأقل إذا كانت ألوان هذا التبليط ستشكل نمطًا من خلال تكرار هذا المستطيل باعتباره المجال الأساسي ؛ وبشكل عام، يلزم استخدام أربعة ألوان على الأقل.

أحيانًا يُفهم لون البلاطة كجزء من التبليط؛ وفي أحيان أخرى، قد تُضاف ألوان عشوائية لاحقًا. عند مناقشة تبليط مُلوّن، لتجنب الالتباس، يجب تحديد ما إذا كانت الألوان جزءًا من التبليط أم مجرد جزء من الرسم التوضيحي. يؤثر هذا على اعتبار البلاطات ذات الشكل نفسه ولكن بألوان مختلفة متطابقة، مما يؤثر بدوره على مسائل التناظر. تنص نظرية الألوان الأربعة على أنه لكل تبليط لمستوى إقليدي عادي ، مع مجموعة من أربعة ألوان متاحة، يمكن تلوين كل بلاطة بلون واحد بحيث لا تلتقي أي بلاطات من اللون نفسه عند منحنى ذي طول موجب. لا يحترم التلوين الذي تضمنه نظرية الألوان الأربعة تناظرات التبليط عمومًا. لإنتاج تلوين يحترمها، من الضروري التعامل مع الألوان كجزء من التبليط. هنا، قد يلزم ما يصل إلى سبعة ألوان، كما هو موضح في الصورة على اليسار. [ 51 ]

التبليط بالمضلعات

إلى جانب عمليات التبليط المختلفة بواسطة المضلعات المنتظمة ، تمت دراسة عمليات التبليط بواسطة مضلعات أخرى أيضًا.

يمكن استخدام أي مثلث أو شكل رباعي (حتى غير محدب ) كبلاطة أولية لتكوين تبليط أحادي السطوح، وغالبًا بأكثر من طريقة. يمكن لنسخ أي شكل رباعي أن تُشكّل تبليطًا ذا تناظر انتقالي وتناظر دوراني ثنائي، حيث تقع مراكزها في منتصفات جميع أضلاعه. بالنسبة للشكل الرباعي غير المتناظر، ينتمي هذا التبليط إلى مجموعة ورق الجدران p2 . نعتبر الشكل الرباعي مجالًا أساسيًا . وبالمثل، يمكننا إنشاء متوازي أضلاع محصور بمجموعة دنيا من متجهات الإزاحة، بدءًا من مركز دوراني. يمكننا تقسيم هذا المتوازي بقطر واحد، واختيار نصفه (مثلث) كمجال أساسي. يمتلك هذا المثلث نفس مساحة الشكل الرباعي، ويمكن إنشاؤه منه عن طريق القص واللصق. [ 52 ]

التبليط باستخدام مضلعات غير محدبة ذات 12 ضلعًا على شكل تكساس

إذا سُمح بشكل واحد فقط من البلاط، فإن التبليطات موجودة بأضلاع محدبة ذات N ضلعًا عندما تكون N تساوي 3 و4 و5 و6. بالنسبة لـ N = 5 ، انظر التبليط الخماسي ، وبالنسبة لـ N = 6 ، انظر التبليط السداسي ، وبالنسبة لـ N = 7 ، انظر التبليط السباعي، وبالنسبة لـ N = 8 ، انظر التبليط الثماني .

مع المضلعات غير المحدبة، هناك قيود أقل بكثير على عدد الأضلاع، حتى لو كان مسموحًا بشكل واحد فقط.

تُعدّ البوليومينو أمثلة على البلاطات المحدبة وغير المحدبة، والتي يمكن استخدام تركيبات ودورانات وانعكاسات متنوعة معها لتبليط سطح مستوٍ. للاطلاع على نتائج تبليط السطح باستخدام البوليومينو ، انظر قسم "استخدامات البوليومينو" في صفحة "البوليومينو" .

تبليطات فورونوي

تبليط فورونوي ، حيث تكون الخلايا دائمًا مضلعات محدبة

تُعدّ تبليطات فورونوي أو ديريشليه تبليطاتٍ تُعرَّف فيها كل بلاطة على أنها مجموعة النقاط الأقرب إلى إحدى النقاط في مجموعة منفصلة من النقاط المحددة. (فكّر في المناطق الجغرافية حيث تُعرَّف كل منطقة على أنها جميع النقاط الأقرب إلى مدينة أو مكتب بريد مُحدد). [ 53 ] [ 54 ] خلية فورونوي لكل نقطة محددة هي مضلع محدب. تثليث ديلاوناي هو تبليط يُمثل الرسم البياني الثنائي لتبليط فورونوي. تُعدّ تثليثات ديلاوناي مفيدة في المحاكاة العددية، ويرجع ذلك جزئيًا إلى أنه من بين جميع التثليثات الممكنة للنقاط المحددة، تُعظّم تثليثات ديلاوناي الحد الأدنى للزوايا التي تُشكّلها الحواف. [ 55 ] يمكن استخدام تبليطات فورونوي ذات النقاط الموضوعة عشوائيًا لإنشاء تبليطات عشوائية للمستوى. [ 56 ]

التبليط في الأبعاد الأعلى

تبليط الفضاء ثلاثي الأبعاد (3D): يعتبر الشكل المعيني ذو الاثني عشر وجهًا أحد الأشكال الصلبة التي يمكن تكديسها لملء الفراغ بدقة .

يمكن توسيع نطاق التبليط ليشمل ثلاثة أبعاد. يمكن تكديس بعض المجسمات متعددة الأوجه بنمط بلوري منتظم لملء (أو تبليط) الفضاء ثلاثي الأبعاد، بما في ذلك المكعب ( المجسم الأفلاطوني الوحيد الذي يقوم بذلك)، والمجسم المعيني ذو الاثني عشر وجهًا ، والمجسم الثماني الأوجه المقطوع ، والموشورات المثلثية والرباعية والسداسية ، وغيرها. [ 57 ] يُعرف أي مجسم متعدد الأوجه يستوفي هذا المعيار باسم " المجسم البليسي" ، وقد يمتلك ما بين 4 و38 وجهًا. [ 58 ] توجد المجسمات المعينية ذات الاثني عشر وجهًا في الطبيعة على شكل بلورات من الأندراديت (نوع من العقيق ) والفلوريت . [ 59 ] [ 60 ]

رسم توضيحي لمنشور شميت-كونواي الثنائي، والذي يُسمى أيضًا بلاطة شميت-كونواي-دانزر

تُسمى الأشكال المُجزأة في ثلاثة أبعاد أو أكثر بخلايا النحل . في ثلاثة أبعاد ، يوجد شكل خلية نحل منتظم واحد فقط، يحتوي على ثمانية مكعبات عند كل رأس من رؤوس متعدد السطوح. وبالمثل، في ثلاثة أبعاد، يوجد شكل خلية نحل شبه منتظم واحد فقط ، يحتوي على ثمانية رباعيات وجوه وستة ثمانيات وجوه عند كل رأس من رؤوس متعدد السطوح. مع ذلك، توجد العديد من أشكال خلايا النحل شبه المنتظمة الممكنة في ثلاثة أبعاد. [ 61 ] يمكن إنشاء خلايا النحل المنتظمة باستخدام طريقة ويثوف . [ 62 ]

الموشور الثنائي لشميت -كونواي هو متعدد السطوح محدب يتميز بخاصية تبليط الفضاء بشكل غير دوري فقط. [ 63 ]

مثلث شوارتز هو مثلث كروي يمكن استخدامه لتبليط الكرة . [ 64 ]

التبليط في الهندسات غير الإقليدية

التبليط المعيني السباعي في المستوى الزائدي، كما يظهر في إسقاط نموذج قرص بوانكاريه
قرص العسل ذو الشكل العشري الوجوه المنتظم {3,5,3} ، وهو واحد من أربعة أقراص عسل منتظمة مضغوطة في الفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد

من الممكن التبليط في الهندسات غير الإقليدية، مثل الهندسة الزائدية . التبليط المنتظم في المستوى الزائدي (الذي قد يكون منتظمًا أو شبه منتظم أو شبه منتظم) هو ملء كامل للمستوى الزائدي من الحافة إلى الحافة، حيث تكون المضلعات المنتظمة هي الأوجه ؛ وهذه المضلعات متعدية على رؤوسها ، ومتساوية الزوايا (يوجد تطابق هندسي يربط أي رأس بأي رأس آخر). [ 65 ] [ 66 ]

يُعدّ شكل قرص العسل المنتظم في الفضاء الزائدي تبليطًا منتظمًا لخلايا متعددة السطوح منتظمة . في الفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد، توجد تسع عائلات من مجموعات كوكسيتر لأقراص العسل المنتظمة المحدبة المدمجة، والتي يتم توليدها كبنى ويثوف ، ويتم تمثيلها بتباديل حلقات مخططات كوكسيتر لكل عائلة. [ 67 ]

في الفن

لوحة أرضية فسيفسائية رومانية من الحجر والبلاط والزجاج، من فيلا بالقرب من أنطاكية في سوريا الرومانية. القرن الثاني الميلادي.

في فن العمارة، استُخدمت الزخارف المتداخلة لإنشاء أنماط زخرفية منذ العصور القديمة. غالبًا ما كانت بلاطات الفسيفساء تحمل أنماطًا هندسية. [ 4 ] كما استخدمت الحضارات اللاحقة بلاطات أكبر حجمًا، إما سادة أو مزخرفة بشكل فردي. ومن بين أكثرها زخرفةً بلاطات الجدران المغاربية في العمارة الإسلامية ، والتي استخدمت بلاطات الجيريه والزليج في مبانٍ مثل قصر الحمراء [ 68 ] والمسجد النبوي [ 69 ] .

ظهرت الأشكال الهندسية المتكررة بكثرة في أعمال إم سي إيشر الفنية ؛ وقد استلهمها من استخدام الأندلس للتناظر في أماكن مثل قصر الحمراء عندما زار إسبانيا عام ١٩٣٦. [ ٧٠ ] رسم إيشر أربع لوحات بعنوان " حدود الدائرة " لأنماط هندسية تستخدم الهندسة الزائدية. [ ٧١ ] [ ٧٢ ] ولعمله الخشبي "حدود الدائرة ٤" (١٩٦٠)، أعدّ إيشر دراسة بالقلم الرصاص والحبر توضح الهندسة المطلوبة. [ ٧٣ ] أوضح إيشر أن "أي عنصر من عناصر السلسلة، التي ترتفع من مسافة لا متناهية كالصواريخ عموديًا من الحد وتختفي فيه في النهاية، لا يصل أبدًا إلى خط الحدود". [ ٧٤ ]

لحاف يظهر نمطًا منتظمًا من التبليط

تظهر التصاميم المتداخلة بكثرة على المنسوجات، سواء كانت منسوجة أو مطرزة أو مطبوعة. وقد استُخدمت أنماط التداخل لتصميم أشكال متشابكة من قطع القماش في الألحفة . [ 75 ] [ 76 ]

تُعدّ الأشكال الهندسية المتداخلة أيضاً نوعاً رئيسياً في فن الأوريغامي ، حيث تُستخدم الطيات لربط الجزيئات، مثل الطيات الملتوية، معاً بطريقة متكررة. [ 77 ]

في مجال التصنيع

تُستخدم تقنية التبليط في الصناعات التحويلية لتقليل هدر المواد (خسائر الإنتاج) مثل الصفائح المعدنية عند قطع الأشكال لأشياء مثل أبواب السيارات أو علب المشروبات . [ 78 ]

يظهر التبليط بوضوح في التشققات الشبيهة بتشققات الطين في الأغشية الرقيقة [ 79 ] [ 80 ] - مع ملاحظة درجة من التنظيم الذاتي باستخدام التقنيات الدقيقة والنانوية . [ 81 ]

في الطبيعة

قرص العسل هو بنية طبيعية متداخلة.

يُعد قرص العسل مثالاً معروفاً على التبليط في الطبيعة بخلاياه السداسية. [ 82 ]

في علم النبات، يصف مصطلح "النمط المرصع" نمطًا متقاطعًا، على سبيل المثال على بتلة زهرة أو لحاء شجرة أو ثمرة. وتتميز أزهار مثل زهرة الفريتيلاريا [ 83 ] وبعض أنواع الزعفران بنمطها المرصع. [ 84 ]

تتشكل العديد من الأنماط في الطبيعة نتيجةً للتشققات في صفائح المواد. ويمكن وصف هذه الأنماط باستخدام تبليط جيلبرت ، [ 85 ] المعروف أيضًا بشبكات التشققات العشوائية. [ 86 ] يُعد تبليط جيلبرت نموذجًا رياضيًا لتكوين تشققات الطين ، والبلورات الإبرية ، والبنى المشابهة. يسمح هذا النموذج، الذي سُمي نسبةً إلى إدغار جيلبرت ، بتشكل التشققات بدءًا من انتشارها العشوائي على السطح؛ حيث ينتشر كل شق في اتجاهين متعاكسين على طول خط يمر بنقطة البداية، ويتم اختيار ميله عشوائيًا، مما يُنشئ تبليطًا من المضلعات المحدبة غير المنتظمة. [ 87 ] غالبًا ما تُظهر تدفقات الحمم البازلتية تشققات عمودية نتيجةً لقوى الانكماش التي تُسبب التشققات أثناء تبريد الحمم. غالبًا ما تُنتج شبكات التشققات الواسعة التي تتطور أعمدة سداسية من الحمم. ومن الأمثلة على هذه المصفوفة من الأعمدة جسر العملاق في أيرلندا الشمالية. [ 88 ] الرصف المرصوف ، الذي يوجد مثال نموذجي له في إيجل هوك نيك في شبه جزيرة تسمان في تسمانيا ، هو تكوين صخري رسوبي نادر حيث انكسرت الصخور إلى كتل مستطيلة. [ 89 ]

نمط فسيفسائي في زهرة الكولشيكوم

توجد أنماط طبيعية أخرى في الرغوات ؛ حيث تُعبأ هذه الأنماط وفقًا لقوانين بلاتو ، التي تتطلب مساحات سطحية ضئيلة . تُشكل هذه الرغوات تحديًا في كيفية تعبئة الخلايا بأقصى قدر ممكن من الإحكام: ففي عام 1887، اقترح اللورد كلفن طريقة تعبئة باستخدام جسم صلب واحد فقط، وهو شكل قرص العسل المكعب المقطوع جزئيًا ذو الأوجه المنحنية قليلًا. وفي عام 1993، اقترح دينيس وير وروبرت فيلان بنية وير-فيلان ، التي تستخدم مساحة سطحية أقل لفصل الخلايا ذات الحجم المتساوي مقارنةً برغوة كلفن. [ 90 ]

في الألغاز والرياضيات الترفيهية

لغز التانغرام التقليدي

أدت التبليطات إلى ظهور أنواع عديدة من ألغاز التبليط ، بدءًا من ألغاز الصور المقطوعة التقليدية (بقطع غير منتظمة من الخشب أو الورق المقوى) [ 91 ] ولعبة التانغرام ، [ 92 ] وصولًا إلى الألغاز الحديثة التي غالبًا ما تستند إلى أساس رياضي. على سبيل المثال، تُعدّ أشكال البولياموند والبوليومينو أشكالًا من المثلثات والمربعات المنتظمة، وكثيرًا ما تُستخدم في ألغاز التبليط. [ 93 ] [ 94 ] وقد وظّف مؤلفون مثل هنري دوديني ومارتن غاردنر التبليط في الرياضيات الترفيهية . فعلى سبيل المثال، ابتكر دوديني التقسيم المفصلي ، [ 95 ] بينما كتب غاردنر عن " بلاطة التكرار "، وهي شكل يمكن تقسيمه إلى نسخ أصغر من الشكل نفسه. [ 96 ] [ 97 ] واستلهامًا من مقالات غاردنر في مجلة ساينتفك أمريكان ، اكتشفت عالمة الرياضيات الهاوية مارجوري رايس أربعة تبليطات جديدة باستخدام الخماسيات. [ 98 ] [ 99 ] تربيع المربع هو مسألة تبليط مربع صحيح (أي مربع أطوال أضلاعه أعداد صحيحة) باستخدام مربعات صحيحة أخرى فقط. [ 100 ] [ 101 ] امتداد لهذه المسألة هو تربيع المستوى، بتبليطه بمربعات جميع أطوال أضلاعها أعداد طبيعية دون تكرار؛ وقد أثبت جيمس وفريدريك هينلي إمكانية ذلك. [ 102 ]

أمثلة

انظر أيضاً

الحواشي التوضيحية

  1. ↑ المصطلح الرياضي للأشكال المتطابقة هو "متطابق" - في الرياضيات، "متطابق" يعني أنها نفس البلاطة.
  2. ↑ عادةً ما يُشترط أن تكون البلاطات متماثلة طوبولوجيًا (مكافئة طوبولوجيًا) لقرص مغلق ، مما يعني استبعاد الأشكال الغريبة ذات الثقوب أو القطع المستقيمة المتدلية أو المساحات اللانهائية. [ 18 ]
  3. ↑ في هذا السياق، تعني كلمة شبه منتظمة أن الخلايا منتظمة (صلبة)، وأن أشكال الرؤوس شبه منتظمة.

مراجع

  1. 1 2 بيكوفر، كليفورد أ. (2009). كتاب الرياضيات: من فيثاغورس إلى البعد 57، 250 معلمًا بارزًا في تاريخ الرياضيات . ستيرلينغ . ص  372. ISBN 978-1-4027-5796-9.
  2. ↑ دنبابين، كاثرين، طبيبة (2006). فسيفساء العالم اليوناني والروماني . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 280. 
  3. ↑ "فسيفساء برانتينغهام الهندسية" . مجلس مدينة هال. 2008. تم الاطلاع عليه بتاريخ 19 ديسمبر 2025 .
  4. 1 2 فيلد، روبرت (1988). الأنماط الهندسية من الفسيفساء الرومانية . تاركوين. ISBN 978-0-906-21263-9.
  5. ↑ كيبلر، يوهانس (1619). هارمونيسيس موندي [ هارموني أوف ذا وورلدز ] .
  6. 1 2 3 غولبرغ 1997 ، ص 395.
  7. ↑ ستيوارت 2001 ، ص 13.
  8. ↑ دجيدجيف، هريستو؛ بوتكونجاك، ميودراغ (2012). "مشاكل التغطية الديناميكية في شبكات الاستشعار" (ملف PDF) . مختبر لوس ألاموس الوطني . ص 2. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 20 أبريل 2023. تم الاطلاع عليه في 6 أبريل 2013 . 
  9. ^ فيدوروف، ي. (1891). "Simmetrija na ploskosti [التماثل في المستوى]". Zapiski Imperatorskogo Sant-Petersburgskogo Mineralogicheskogo Obshchestva [وقائع جمعية المعادن الإمبراطورية في سانت بطرسبرغ] . 2 (بالروسية). 28 : 245 - 291.
  10. ^ شوبنيكوف، أليكسي فاسيليفيتش؛ بيلوف، نيكولاي فاسيليفيتش (1964). التماثل الملون . ماكميلان .
  11. ^ هيش، ه.؛ كينزل، أو. (1963). Flächenschluss: System der Formen lückenlos aneinanderschliessender Flächteile (بالألمانية). سبرينغر .
  12. ↑ "Tessellate" . قاموس ميريام-ويبستر الإلكتروني . تم الاطلاع عليه بتاريخ 26 مايو 2015 .
  13. ↑ كونواي، ر.؛ بورجيل، هـ.؛ جودمان-ستراوس، ج. (2008). تناظرات الأشياء . بيترز.
  14. ↑ كوكسيتر 1973 .
  15. ↑ كندي وروليت (1961). النماذج الرياضية ( الطبعة الثانية). أكسفورد. ص 61-62 .  
  16. ↑ Escher 1974 ، ص 11-12 ، 15-16.
  17. ^ "بازيليكا دي سان ماركو" . القسم: أرضية مبلطة . بازيليكا دي سان ماركو . تم الاسترجاع 26 أبريل 2013 .
  18. 1 2 3 4 5 6 Grünbaum & Shephard 1987 ، ص 59.
  19. ↑ شاتشنايدر، دوريس (سبتمبر 1980). "هل يمكن تبليطه؟ جرّب معيار كونواي!". مجلة الرياضيات . المجلد 53، العدد 4. الصفحات 224-233 . doi : 10.2307/2689617 . JSTOR 2689617 .    
  20. ↑ كوكسيتر، إتش إس إم (1948). متعددات الوجوه المنتظمة . ميثوين . الصفحات 14، 69، 149. أُعيد طبعه ، منشورات دوفر، 1973، رقم ISBN 978-0-486-61480-9.
  21. ↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "التجزئة" . عالم الرياضيات .
  22. ^ إيمير ميشيل. شاتشنايدر ، دوريس (8 مايو 2007). تراث MC Escher: احتفال بالذكرى المئوية . برلين هايدلبرغ: سبرينغر. ص. 325. ردمك  978-3-540-28849-7.
  23. 1 2 هورن، كلير إي. (2000). التناظر الهندسي في الأنماط والتبليط . دار وودهيد للنشر. ص 172، 175. ISBN  978-1-85573-492-0.
  24. ↑ داتش، ستيفن (29 يوليو 1999). "بعض أنواع التبليط الشعاعي والحلزوني الخاصة" . جامعة ويسكونسن. مؤرشف من الأصل في 4 أبريل 2013. تم الاطلاع عليه في 6 أبريل 2013 .
  25. ↑ هيرشهورن، دكتور في الطب؛ هانت، دكتور في الطب (1985). "المضلعات الخماسية المحدبة متساوية الأضلاع التي تبلط المستوى" . مجلة نظرية التوافيق . السلسلة أ. 39 (1): 1-18 . doi : 10.1016/0097-3165(85)90078-0 .
  26. ↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "التبليط المنتظم" . عالم الرياضيات .
  27. ↑ ستيوارت 2001 ، ص 75.
  28. ↑ مشروع NRICH (مشروع الرياضيات للألفية) (1997-2012). "تبليطات شلافلي" . جامعة كامبريدج . تم الاطلاع عليه بتاريخ 26 أبريل 2013 .
  29. ↑ ويلز، ديفيد (1991). "تبليط المربعين". قاموس بنغوين للهندسة الغريبة والمثيرة للاهتمام . نيويورك: كتب بنغوين. ص 260-261 . ISBN  978-0-14-011813-1.
  30. ↑ كيربي، ماثيو؛ أمبل، رونالد (2011). "تبليط الحواف وألغاز طي الطوابع". مجلة الرياضيات . 84 (4): 283-289 . doi : 10.4169/math.mag.84.4.283 . S2CID 123579388 . 
  31. ↑ أرمسترونغ، ماجستير (1988). المجموعات والتناظر . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 978-3-540-96675-3.
  32. ↑ غرونباوم، برانكو (يونيو-يوليو 2006). "ما هي مجموعات التناظر الموجودة في قصر الحمراء؟" (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية . 53 (6): 670-673 .
  33. ↑ لو، بيتر جيه؛ شتاينهارت (23 فبراير 2007). "البلاطات العشرية وشبه البلورية في العمارة الإسلامية في العصور الوسطى". مجلة ساينس . 315 (5815): 1106-1110 . Bibcode : 2007Sci...315.1106L . doi : 10.1126/science.1135491 . PMID 17322056. S2CID 10374218 .  
  34. ^ وايسستين ، إريك دبليو. “مجموعة فريز” . عالم الرياضيات .
  35. ↑ هوسون، دانيال هـ. (1991). "طفرة التناظر ثنائية الأبعاد" . جامعة برينستون. CiteSeerX 10.1.1.30.8536 – عبر CiteSeerX. 
  36. ↑ غاردنر 1989 ، ص 1-18.
  37. ↑ رادين، سي. (مايو 1994). "تبليطات دولاب الهواء للمستوى". حوليات الرياضيات . 139 (3): 661-702 . CiteSeerX 10.1.1.44.9723 . doi : 10.2307/2118575 . JSTOR 2118575 .  
  38. ↑ أوستن، ديفيد. "بلاطات بنروز تتحدث عبر الأميال" . الجمعية الرياضية الأمريكية . تم الاسترجاع في 29 مايو 2015 .
  39. ↑ هاريس، إي أو. "التبليط غير الدوري" (ملف PDF) . جامعة لندن ومجلس أبحاث الهندسة والعلوم الفيزيائية. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 29 أغسطس 2017. تم الاطلاع عليه في 29 مايو 2015 .
  40. ↑ دارما-واردانا، إم دبليو سي؛ ماكدونالد، إيه إتش؛ لوكوود، دي جيه؛ باريبو، جيه-إم؛ هوتون، دي سي (1987). "تشتت رامان في الشبكات الفائقة فيبوناتشي". رسائل المراجعة الفيزيائية . 58 (17): 1761-1765 . Bibcode : 1987PhRvL..58.1761D . doi : 10.1103/physrevlett.58.1761 . PMID 10034529 . 
  41. ↑ وانغ، هاو (1961). "إثبات النظريات عن طريق التعرف على الأنماط - الجزء الثاني". مجلة بيل سيستم التقنية . 40 (1): 1-41 . Bibcode : 1961BSTJ...40T75.xW . doi : 10.1002/j.1538-7305.1961.tb03975.x .
  42. ↑ وانغ، هاو (نوفمبر 1965). "الألعاب والمنطق والحواسيب". مجلة ساينتفك أمريكان . الصفحات 98-106 . 
  43. ↑ بيرغر، روبرت (1966). "عدم قابلية حل مسألة الدومينو". مذكرات الجمعية الرياضية الأمريكية . 66 (66): 72. doi : 10.1090/memo/0066 .
  44. ↑ روبنسون، رافائيل م. (1971). " عدم الحسم وعدم الدورية لتبليطات المستوى". Inventiones Mathematicae . 12 (3): 177–209 . Bibcode : 1971InMat..12..177R . doi : 10.1007/bf01418780 . MR 0297572. S2CID 14259496 .  
  45. ↑ كوليك، كاريل الثاني (1996). "مجموعة غير دورية من 13 بلاطة وانغ" . الرياضيات المتقطعة . 160 ( 1-3 ): 245-251 . doi : 10.1016/S0012-365X(96)00118-5 . MR 1417576 . 
  46. ↑ براون، كاميرون (2008). "منحنيات وأسطح تروشيه". الحوسبة والرسومات . 32 (2): 268-281 . doi : 10.1016/j.cag.2007.10.001 .
  47. ↑ سميث، سيريل ستانلي (1987). " أنماط التبليط عند سيباستيان تروشيه وطوبولوجيا التسلسل الهرمي الهيكلي". ليوناردو . 20 (4): 373-385 . doi : 10.2307/1578535 . JSTOR 1578535. S2CID 192944820 .  
  48. ↑ كونوفير، إميلي (24 مارس 2023). "علماء الرياضيات يكتشفون أخيرًا بلاطة 'أينشتاين' المراوغة" . أخبار العلوم . تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 مارس 2023 .مع صورة للنمط
  49. ↑ سميث، ديفيد؛ مايرز، جوزيف صموئيل؛ كابلان، كريج س.؛ جودمان-ستراوس، حاييم (مارس 2023). "مصفوفة أحادية غير دورية". arXiv:2303.10798
  50. ↑ روبرتس، سويبان، "أينشتاين المراوغ" يحل مشكلة رياضية عصية على الحل ، صحيفة نيويورك تايمز، 28 مارس 2023، مع صورة للنمط
  51. ↑ "مسألة الألوان الأربعة" . موسوعة الرياضيات . دار نشر EMS . 2001 [1994].
  52. ↑ جونز، أوين (1910) [1856]. قواعد الزخرفة (طبعة فوليو ). برنارد كواريتش . 
  53. ↑ أورينهامر، فرانز (1991). "مخططات فورونوي - دراسة استقصائية لبنية بيانات هندسية أساسية". مجلة ACM Computing Surveys . 23 (3): 345-405 . doi : 10.1145/116873.116880 . S2CID 4613674 . 
  54. ↑ أوكابي، أتسويوكي؛ بوتس، باري؛ سوجيهارا، كوكيتشي؛ تشيو، سونغ نوك (2000). التبليط المكاني - مفاهيم وتطبيقات مخططات فورونوي ( الطبعة الثانية). جون وايلي. ISBN  978-0-471-98635-5.
  55. ↑ جورج، بول لويس؛ بوروشاكي، هومان (1998). تثليث ديلاوناي والتشبيك: تطبيق على العناصر المحدودة . هيرمس . ص 34-35 . ISBN  978-2-86601-692-0.
  56. ↑ مولر، جاسبر (1994). محاضرات حول تبليطات فورونوي العشوائية . سبرينغر. ISBN 978-1-4612-2652-9.
  57. ↑ غرونباوم، برانكو (1994). "التبليطات المنتظمة للفضاء ثلاثي الأبعاد". جيومبيناتوريكس . 4 (2): 49-56 .
  58. ^ إنجل بيتر (1981). "Über Wirkungsbereichsteilungen von kubischer Symmetrie". Zeitschrift für Kristallographie، Kristallgeometrie، Kristallphysik، Kristallchemie . 154 ( 3– 4): 199– 215. بيب كود : 1981ZK....154..199E . دوى : 10.1524/zkri.1981.154.3-4.199 . السيد 0598811 . .
  59. ↑ أولدرشو ، كالي (2003). دليل فايرفلاي للأحجار الكريمة . كتب فايرفلاي. ص 107. ISBN  978-1-55297-814-6.
  60. ↑ كيركالدي، جيه إف (1968). المعادن والصخور بالألوان ( الطبعة الثانية). بلاندفورد. الصفحات 138-139 .  
  61. ↑ كوكسيتر، هارولد سكوت ماكدونالد؛ شيرك، ف. آرثر؛ الجمعية الرياضية الكندية (1995). المناظير: مختارات من كتابات هـ. س. م. كوكسيتر . جون وايلي وأولاده. ص 3 وما بعدها. ISBN  978-0-471-01003-6.
  62. ↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "بناء ويثوف" . عالم الرياضيات .
  63. ↑ سينشال، مارجوري (26 سبتمبر 1996). أشباه البلورات والهندسة . أرشيف مطبعة جامعة كامبريدج. ص 209. ISBN 978-0-521-57541-6.
  64. ^ شوارتز، ها (1873). "Ueber diejenigen Fälle in welchen die Gaussichen Hypergeometrische Reihe eine aجبرايسش دالة ihres vierten Elementes darstellt" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1873 (75): 292–335 . دوى : 10.1515/crll.1873.75.292 . ISSN 0075-4102 . S2CID 121698536 .  
  65. ↑ مارجنسترن، موريس (4 يناير 2011). "إحداثيات لتبليط مثلثي جديد للمستوى الزائدي". arXiv : 1101.0530 [ cs.FL ].
  66. ↑ زادنيك، غاسبر. "تبليط المستوى الزائدي بالمضلعات المنتظمة" . وولفرام . تم الاسترجاع في 27 مايو 2015 .
  67. ↑ كوكسيتر، إتش إس إم (1999). "الفصل 10: خلايا النحل المنتظمة في الفضاء الزائدي". جمال الهندسة: اثنتا عشرة مقالة . منشورات دوفر . ص 212-213 . ISBN  978-0-486-40919-1.
  68. ↑ "الرياضيات في الفن والعمارة" . الجامعة الوطنية في سنغافورة . تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 مايو 2015 .
  69. ↑ ويتاكر، أندرو (2008). تحدث عن الثقافة: إسبانيا . دار ثوروغود للنشر . ص 153. ISBN  978-1-85418-605-8.
  70. ↑ إيشر 1974 ، ص 5، 17.
  71. ↑ جيرستن، إس إم. "مقدمة في المجموعات الزائدية والآلية" (ملف PDF) . جامعة يوتا . تاريخ الاسترجاع: 27 مايو 2015. الشكل 1 هو جزء من تبليط المستوى الإقليدي، والذي نتخيله ممتدًا في جميع الاتجاهات، والشكل 2 [الحد الدائري الرابع] هو تبليط جميل لنموذج قرص الوحدة لبوانكاريه للمستوى الزائدي، حيث تمثل البلاطات البيضاء الملائكة والبلاطات السوداء الشياطين. من السمات المهمة للشكل الثاني أن جميع البلاطات البيضاء متطابقة فيما بينها، وكذلك جميع البلاطات السوداء؛ بالطبع هذا لا ينطبق على المقياس الإقليدي، ولكنه ينطبق على مقياس بوانكاريه.
  72. ↑ ليز، جوس (2015). "إيشر الزائدي" . تم الاسترجاع في 27 مايو 2015 .
  73. ↑ إيشر 1974 ، ص 142-143.
  74. ↑ إيشر 1974 ، ص 16.
  75. ↑ بورتر، كريستين (2006). ألحفة التبليط: تصاميم رائعة من أنماط متشابكة . إف+دبليو ميديا. الصفحات 4-8 . ISBN  978-0-7153-1941-3.
  76. ↑ باير، جيني (1999). تصميم التبليط: أسرار الأنماط المتشابكة . كتاب معاصر . ص. الفصل 7. ISBN  978-0-8092-2866-9.
  77. ^ جيردي ، إريك (2008). فسيفساء اوريغامي . تايلور وفرانسيس . رقم ISBN 978-1-568-81451-3.
  78. ↑ "تقليل خسائر الإنتاج: استخدام كمية أقل من المعدن لصنع نفس الشيء" . معهد كامبريدج للتكنولوجيا . مؤرشف من الأصل في 29 مايو 2015. تم الاطلاع عليه في 29 مايو 2015 .
  79. ↑ ثاوليس، دكتور في الطب (1990). "تباعد الشقوق في الأغشية الهشة على الركائز المرنة". مجلة الجمعية الكيميائية الأمريكية . 73 (7): 2144-2146 . Bibcode : 1990ACSJ...73.2144T . doi : 10.1111/j.1151-2916.1990.tb05290.x .
  80. ↑ شيا، زد سي؛ هاتشينسون، جيه دبليو (2000). "أنماط الشقوق في الأغشية الرقيقة". مجلة ميكانيكا وفيزياء المواد الصلبة . 48 ( 6-7 ): 1107-1131 . Bibcode : 2000JMPSo..48.1107X . doi : 10.1016/S0022-5096(99)00081-2 .
  81. ↑ صغير، ر.؛ أرسكوت، س. (2015). "التحكم في نمط تشقق الطين والتشقق الذاتي التنظيم لأسطح مطاط البولي ثنائي ميثيل سيلوكسان" . تقارير علمية 5 14787. Bibcode : 2015NatSR ...514787S . doi : 10.1038/srep14787 . PMC 4594096. PMID 26437880 .  
  82. ↑ بول، فيليب (2013). "كيف تبني خلايا النحل نفسها" . مجلة نيتشر . doi : 10.1038/nature.2013.13398 . S2CID 138195687. تاريخ الاسترجاع: 7 نوفمبر 2014 . 
  83. ↑ قاموس أكسفورد الإنجليزي المختصر ( الطبعة السادسة). المملكة المتحدة: مطبعة جامعة أكسفورد . 2007. ص 3804. ISBN   978-0-19-920687-2.
  84. ↑ بوردي، كاثي (2007). "الزعرور: أفضل سر محفوظ في الخريف". البستاني الأمريكي (سبتمبر/أكتوبر): 18-22 .
  85. ^ شرايبر، توماسز؛ سوجا، ناتاليا (2010). “نظرية الحد للفسيفساء المستوية جيلبرت”. أرخايف : 1005.0023 [ math.PR ].
  86. ↑ غراي، ن.هـ؛ أندرسون، ج.ب؛ ديفاين، ج.د؛ كواسنيك، ج.م (1976). "الخصائص الطوبولوجية لشبكات الشقوق العشوائية". الجيولوجيا الرياضية . 8 (6): 617-626 . Bibcode : 1976MatG....8..617G . doi : 10.1007/BF01031092 . S2CID 119949515 . 
  87. ↑ جيلبرت، إي إن (1967). "شبكات مستوية عشوائية وبلورات على شكل إبرة". في نوبل، ب. (محرر). تطبيقات الرياضيات الجامعية في الهندسة . نيويورك: ماكميلان .
  88. ↑ وير، دينيس ؛ ريفيير، ن. (1984). "الصابون والخلايا والإحصاء: أنماط عشوائية في بعدين". الفيزياء المعاصرة . 25 (1): 59-99 . Bibcode : 1984ConPh..25...59W . doi : 10.1080/00107518408210979 .
  89. ↑ براناغان، د. ف. (1983). يونغ، ر. و.؛ نانسون، ج. س. (محررون). الأرصفة المرصوفة . جوانب من المناظر الطبيعية الرملية الأسترالية. منشور خاص رقم 1، علم شكل الأرض الأسترالي والنيوزيلندي. ولونغونغ، نيو ساوث ويلز: جامعة ولونغونغ . الصفحات 11-20 . ISBN  978-0-864-18001-8. OCLC 12650092 . 
  90. ↑ بول، فيليب (2009). الأشكال . مطبعة جامعة أكسفورد . ص 73-76 . ISBN  978-0-199-60486-9.
  91. ↑ ماك آدم، دانيال. "تاريخ ألغاز الصور المقطوعة" . الجمعية الأمريكية لألغاز الصور المقطوعة. مؤرشف من الأصل في 11 فبراير 2014. تم الاطلاع عليه في 28 مايو 2015 .
  92. ↑ سلوكوم، جيري (2001). تاو التانجرام . بارنز أند نوبل. ص 9. ISBN  978-1-4351-0156-2.
  93. ↑ غولومب، سولومون و. (1994). البوليومينو ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة برينستون . ISBN  978-0-691-02444-8.
  94. ↑ مارتن، جورج إي. (1991). البوليومينو: دليل للألغاز والمسائل في التبليط . الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 978-0-88385-501-0.
  95. ↑ فريدريكسون، جريج ن. (2002). التشريح المفصلي: التأرجح والالتواء . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-81192-7.
  96. ↑ غاردنر، مارتن (مايو 1963). "حول 'البلاطات المتكررة'، وهي مضلعات يمكنها إنشاء نسخ أكبر وأصغر من نفسها". مجلة ساينتفك أمريكان . المجلد 208، العدد مايو. الصفحات 154-164 .   
  97. ↑ غاردنر، مارتن (14 ديسمبر 2006). آها! مجموعة من مجلدين: آها! فهمت آها! رؤى ثاقبة . MAA. ص 48. ISBN  978-0-88385-551-5.
  98. ↑ سوري، ماني (12 أكتوبر 2015). "أهمية الرياضيات الترفيهية" . نيويورك تايمز .
  99. ↑ شاتشنايدر، دوريس (1978). "تبليط المستوى بمضلعات خماسية متطابقة" (ملف PDF) . مجلة الرياضيات . 51 (1). MAA: 29– 44. doi : 10.2307/2689644 . JSTOR 2689644 . 
  100. ↑ توت، دبليو تي "تربيع المربع" . Squaring.net . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 مايو 2015 .
  101. ↑ غاردنر، مارتن؛ توت، ويليام تي. (نوفمبر 1958). "الألعاب الرياضية". مجلة ساينتفك أمريكان .
  102. ↑ هينلي، فريدريك ف.؛ هينلي، جيمس م. (2008). "تربيع المستوى" ( ملف PDF) . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 115 (1): 3-12 . doi : 10.1080/00029890.2008.11920491 . JSTOR 27642387. S2CID 26663945. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) في 20 يونيو 2006.  

مصادر