التجانس

في الرياضيات ، التماثل (أو التماثل ، أو التمدد المتجانس ) هو تحويل للفضاء الأفيني المحدد بنقطة S تسمى مركزه وعدد غير صفري k يسمى نسبته ، والذي يرسل النقطة X إلى نقطة X ′ وفقًا للقاعدة، ^{[ 1 ] .}$${\displaystyle {\overrightarrow {SX'}}=k{\overrightarrow {SX}}}$$ لعدد ثابت${\displaystyle k\neq 0}$. استخدام متجهات الموضع: $${\displaystyle \mathbf {x} '=\mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} ).}$$

في حالة${\displaystyle S=O}$(أصل): $${\displaystyle \mathbf {x} '=k\mathbf {x} ,}$$ وهو مقياس موحد ويوضح معنى الخيارات الخاصة لـ${\displaystyle k}$⁠ :

• ل${\displaystyle k=1}$يحصل المرء على تعيين الهوية ؛
• ل${\displaystyle k=-1}$يظهر الانعكاس في المنتصف؛
• ل${\displaystyle 1/k}$يحصل المرء على التحويل العكسي المحدد بواسطة${\displaystyle k}$⁠ .

في الهندسة الإقليدية، تُعرف التماثلات بأنها أوجه التشابه التي تثبت نقطة ما وتحافظ عليها (إذا ⁠${\displaystyle k>0}$) أو العكس (إذا ⁠${\displaystyle k<0}$) اتجاه جميع المتجهات. تشكل جميع التحويلات المتماثلة في الفضاء الأفيني (أو الإقليدي)، إلى جانب الإزاحات ، مجموعةً تُعرف باسم مجموعة التمددات أو التحويلات المتماثلة الإزاحية . وهي تحديدًا التحويلات الأفينية التي تتميز بأن صورة كل خط g هي خط موازٍ له.

في الهندسة الإسقاطية ، التحويل المتجانس هو تحويل تشابه (أي أنه يثبت عملية الالتفاف الإهليلجي المعطاة) الذي يجعل الخط عند اللانهاية ثابتًا نقطيًا . ^{[ 2 ]}

في الهندسة الإقليدية، تجانس النسبة${\displaystyle k}$يضاعف المسافات بين النقاط بـ${\displaystyle \vert k\vert }$، المناطق حسب​${\displaystyle k^{2}}$والمجلدات بواسطة${\displaystyle {\vert k\vert }^{3}}$هنا​${\displaystyle k}$هي نسبة التكبير أو عامل التمدد أو عامل المقياس أو نسبة التشابه . يمكن تسمية هذا التحويل بالتكبير إذا تجاوز عامل المقياس 1. النقطة  الثابتة المذكورة أعلاه${\displaystyle S}$يُطلق عليه المركز المتجانس أو مركز التشابه أو مركز التماثل .

مصطلح "التماثل" (homothetic)، الذي صاغه عالم الرياضيات الفرنسي ميشيل شاسل ، مشتق من عنصرين يونانيين : البادئة homo- ( όμο ) وتعني " مشابه " ؛ وكلمة thesis ( Θέσις ) وتعني " موضع " . يصف هذا المصطلح العلاقة بين شكلين متماثلين في الشكل والاتجاه. على سبيل المثال، يمكن اعتبار دميتين روسيتين تنظران في الاتجاه نفسه متماثلتين.

تُستخدم عمليات التماثل لتغيير حجم محتويات شاشات الكمبيوتر؛ على سبيل المثال، الهواتف الذكية وأجهزة الكمبيوتر المحمولة وأجهزة الكمبيوتر المكتبية.

تنطبق الخصائص التالية في أي بُعد.

رسم الخطوط، وقطع الخطوط، والزوايا

للتجانس الخصائص التالية:

• يتم إسقاط خط مستقيم على خط موازٍ له. وبالتالي: تبقى الزوايا دون تغيير.
• تبقى نسبة القطعتين المستقيمتين محفوظة.

تُظهر كلتا الخاصيتين أن التماثل هو تشابه .

اشتقاق الخصائص

ولتسهيل الحسابات، يُفترض أن المركز${\displaystyle S}$الأصل :${\displaystyle \mathbf {x} \to k\mathbf {x} }$سطر​ ${\displaystyle g}$مع التمثيل البارامتري${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {p} +t\mathbf {v} }$يتم تعيينها على مجموعة النقاط${\displaystyle g'}$مع المعادلة $${\displaystyle \mathbf {x} =k(\mathbf {p} +t\mathbf {v} )=k\mathbf {p} +tk\mathbf {v} ,}$$ وهو خط موازٍ لـ${\displaystyle g}$⁠ .

المسافة بين نقطتين${\displaystyle P:\mathbf {p} ,\;س:\mathbf {q} }$يكون${\displaystyle |\mathbf {p} -\mathbf {q} |}$و​${\displaystyle {1}}$، المسافة بين صورتيهما. وبالتالي، تبقى نسبة (ناتج قسمة) قطعتي الخط دون تغيير.

في حالة${\displaystyle S\neq O}$الحساب مشابه ولكنه مطول بعض الشيء.

النتائج: يُسقط المثلث على مثلث مماثل . الصورة المتماثلة للدائرة هي دائرة. صورة القطع الناقص هي صورة مماثلة، أي أن نسبة المحورين لا تتغير.

الإنشاء البياني (باستخدام نظرية التقاطع)

إذا كان للتجانس مع مركز${\displaystyle S}$الصورة${\displaystyle Q_{1}}$نقطة${\displaystyle P_{1}}$يتم إعطاء (انظر الرسم التخطيطي) ثم الصورة${\displaystyle Q_{2}}$نقطة ثانية${\displaystyle P_{2}}$، والتي لا تقع على الخط${\displaystyle SP_{1}}$ يمكن إنشاء ذلك بيانياً باستخدام نظرية التقاطع :${\displaystyle Q_{2}}$هي نقطة التقاء خطين${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$و​${\displaystyle {\overline {SP_{2}}}}$صورة نقطة تقع على خط مستقيم واحد مع${\displaystyle P_{1},Q_{1}}$يمكن تحديد ذلك باستخدام${\displaystyle P_{2},Q_{2}}$⁠ .

تعبير

تركيب متماثلين لهما نفس المركز

تركيب متماثلين لهما نفس المركز${\displaystyle S}$وهو مرة أخرى تجانس مع مركز${\displaystyle S}$. التماثلات ذات المركز${\displaystyle S}$تشكيل مجموعة .

تركيب وحدتين متماثلتين بمركزين مختلفين

تركيب وحدتين متماثلتين بمركزين مختلفين${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ونسبها${\displaystyle k_{1},k_{2}}$يكون:

• ل${\displaystyle k_{1}k_{2}\neq 1}$، تماثل مركزه على خط${\displaystyle {\overline {S_{1}S_{2}}}}$والنسبة​${\displaystyle k_{1}k_{2}}$أو​
• ل${\displaystyle k_{1}k_{2}=1}$، ترجمة في الاتجاه ⁠${\displaystyle {\overrightarrow {S_{1}S_{2}}}}$وخاصة إذا${\displaystyle k_{1}=k_{2}=-1}$( انعكاسات نقطية ).

الاشتقاق

للتأليف${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{1}}$من بين التماثلين${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$مع مراكز${\displaystyle S_{1},S_{2}}$مع $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}:\mathbf {x} &\to \mathbf {s} _{1}+k_{1}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{1}),\\\sigma _{2}:\mathbf {x} &\to \mathbf {s} _{2}+k_{2}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{2})\end{aligned}}}$$ يمكن الحصول على صورة النقطة عن طريق الحساب${\displaystyle X:\mathbf {x} }$: $${\displaystyle {\begin{aligned}(\sigma _{2}\sigma _{1})(\mathbf {x} )&=\mathbf {s} _{2}+k_{2}{\big (}\mathbf {s} _{1}+k_{1}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{1})-\mathbf {s} _{2}{\big )}\\&=(1-k_{1})k_{2}\mathbf {s} _{1}+(1-k_{2})\mathbf {s} _{2}+k_{1}k_{2}\mathbf {x} .\end{aligned}}}$$ وبالتالي، فإن التركيب هو

• في حالة${\displaystyle k_{1}k_{2}=1}$، ترجمة في الاتجاه${\displaystyle {\overrightarrow {S_{1}S_{2}}}}$بواسطة متجه${\displaystyle (1-k_{2})(\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1})}$⁠ ;
• في حالة${\displaystyle k_{1}k_{2}\neq 1}$نقطة $${\displaystyle S_{3}:\mathbf {s} _{3}={\frac {(1-k_{1})k_{2}\mathbf {s} _{1}+(1-k_{2})\mathbf {s} _{2}}{1-k_{1}k_{2}}}=\mathbf {s} _{1}+{\frac {1-k_{2}}{1-k_{1}k_{2}}}(\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1})}$$ هي نقطة ثابتة (لا تتحرك)، والتركيب $${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{1}:\ \mathbf {x} \to \mathbf {s} _{3}+k_{1}k_{2}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{3})}$$ هو تجانس مركزي${\displaystyle S_{3}}$والنسبة${\displaystyle k_{1}k_{2}}$.${\displaystyle S_{3}}$يقع على الإنترنت${\displaystyle {\overline {S_{1}S_{2}}}}$⁠ .

تركيب التماثل والترجمة

إن تركيب التماثل والترجمة هو تماثل.

الاشتقاق

تكوين التجانس $${\displaystyle \sigma$$ :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} ),\;k\neq 1,} والترجمة $${\displaystyle \tau$$ :\mathbf {x} \to \mathbf {x} +\mathbf {v} } is $${\displaystyle {\begin{aligned}\tau \sigma$$ :\mathbf {x} &\to \mathbf {s} +\mathbf {v} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )\\&=\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}}+k\left(\mathbf {x} -\left(\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}}\right)\right)\end{aligned}}} وهو تماثل مركزه${\textstyle \mathbf {s} '=\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}}}$والنسبة​${\displaystyle k}$⁠ .

• القياس (الهندسة) مفهوم مشابه في الفضاءات المتجهة
• المركز المتماثل ، مركز التحويل المتماثل الذي يحول أحد شكلين إلى الآخر
• حدسية هادويغر حول عدد النسخ المتماثلة الأصغر تمامًا لجسم محدب والتي قد تكون ضرورية لتغطيته
• الدالة المتجانسة (الاقتصاد) ، وهي دالة على شكل f ( U ( y )) حيث U دالة متجانسة و f دالة متزايدة بشكل رتيب .
• نظرية مينلاوس# برهان باستخدام التماثلات

• كوكسيتر، إتش إس إم (1961)، "مقدمة في الهندسة"، وايلي، ص  94
• Hadamard، J. (1906)، “V: Homothétie et Similtude” [ V: التجانس والتشابه ] ، Leçons de Géométrie élémentaire. I: المستوى الهندسي [ دروس في الهندسة الابتدائية. I: هندسة المستوى ] (بالفرنسية) (  الطبعة الثانية)، باريس: أرماند كولن
• ميسيرف، بروس إي. ( 1955)، "التحويلات المتجانسة"، المفاهيم الأساسية للهندسة ، أديسون-ويسلي ، ص 166-169 
• تولر، أنيتا (1967)، مقدمة حديثة في الهندسة ، سلسلة الجامعة في الرياضيات الجامعية، برينستون، نيو جيرسي: شركة دي فان نوستراند.

• Homothety ، تطبيق تفاعلي من Cut-the-Knot .