نموذج ريد-فروست

الموسوعة الحرة

نموذج ريد-فروست هو نموذج رياضي للأوبئة، طُرح في عشرينيات القرن العشرين من قِبل لويل ريد وويد هامبتون فروست ، من جامعة جونز هوبكنز . [ 1 ] [ 2 ] وعلى الرغم من أنه عُرض لأول مرة في محاضرة ألقاها فروست عام 1928، واستُخدم في مقررات دراسية في هوبكنز لعقدين من الزمن، إلا أن الصيغة الرياضية لم تُنشر إلا في خمسينيات القرن العشرين، حيث تم تحويلها أيضًا إلى حلقة تلفزيونية. [ 3 ]

تاريخ

خلال عشرينيات القرن العشرين، طوّر عالم الرياضيات لويل ريد والطبيب ويد هامبتون فروست نموذجًا ثنائيًا لسلسلة انتشار الأمراض، استُخدم في دروسهما في الإحصاء الحيوي وعلم الأوبئة بجامعة جونز هوبكنز. ورغم عدم نشر نتائجهما، فقد استخدمها العديد من الأكاديميين الآخرين في دراساتهم. [ 4 ] ولم يُنشر النموذج الرياضي إلا في عام 1950، حيث تحوّل إلى برنامج تلفزيوني بعنوان " نظرية الأوبئة: ما هي؟" . [ 3 ]

في البرنامج، وبعد شرح التعريف الرسمي للنموذج، يوضح لويل ريد تطبيقه من خلال تجربة كرات زجاجية بألوان مختلفة. [ 3 ]

يُعدّ هذا النموذج امتدادًا لما اقترحه إتش إي سوبر عام 1929 بشأن الحصبة. كان نموذج سوبر حتميًا، حيث كان جميع أفراد المجتمع عرضةً للإصابة بالمرض ولديهم القدرة على نقله. كما يستند النموذج إلى قانون فعل الكتلة ، بحيث يتناسب معدل الإصابة في وقت معين مع عدد الأفراد المعرضين للإصابة والناقلين للعدوى في ذلك الوقت. وهو فعال في المجتمعات ذات الحجم المتوسط، ولكنه لا يأخذ في الحسبان الإصابات المتعددة الناتجة عن مخالطة الفرد نفسه. لذلك، في المجتمعات الصغيرة، يُبالغ النموذج بشكل كبير في تقدير عدد الأفراد المعرضين للإصابة الذين يُصابون بالعدوى. [ 5 ] [ 2 ] [ 6 ]

قام ريد وفروست بتعديل نموذج سوبر لمراعاة حقيقة أنه لن تظهر سوى حالة جديدة واحدة إذا كان الشخص المعرض للإصابة على اتصال بحالتين أو أكثر. [ 7 ] وقد استُخدم نموذج ريد-فروست على نطاق واسع، وشكّل أساسًا لتطوير دراسات محاكاة أكثر تفصيلًا لانتشار الأمراض. [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]

وصف

هذا مثال على نموذج "السلسلة الثنائية"، وهو نموذج مبسط وتكراري لكيفية تصرف الوباء بمرور الوقت.

يُعدّ نموذج ريد-فروست أحد أبسط نماذج الأوبئة العشوائية. وقد صاغه لويل ريد وويد فروست عام 1928 (في عمل غير منشور)، ويصف تطور العدوى عبر الأجيال. ينقل كل فرد مصاب في الجيل t (حيث t = 1، 2، ...) العدوى بشكل مستقل إلى كل فرد قابل للإصابة في المجتمع باحتمالية p. ثم ​​يُشكّل الأفراد الذين يُصابون بالعدوى من أفراد الجيل t الجيل t + 1، ويتم استبعاد أفراد الجيل t من عملية الوباء. [ 11 ]

يعتمد نموذج ريد-فروست على الافتراضات التالية: [ 12 ]

  1. تنتشر العدوى مباشرة من الأفراد المصابين إلى الآخرين عن طريق نوع معين من الاتصال (يسمى "الاتصال الكافي") وليس بأي طريقة أخرى.
  2. أي فرد غير محصن في المجموعة، بعد هذا الاتصال بفرد مصاب في فترة معينة، سيصاب بالعدوى وسيكون معديًا للآخرين فقط خلال الفترة الزمنية التالية؛ في الفترات الزمنية اللاحقة، يكون محصنًا تمامًا ودائمًا.
  3. لكل فرد احتمال ثابت للتواصل بشكل كافٍ مع أي فرد آخر محدد في المجموعة خلال فترة زمنية واحدة، وهذا الاحتمال هو نفسه بالنسبة لكل عضو في المجموعة.
  4. الأفراد معزولون تماماً عن الآخرين خارج المجموعة. (إنها مجموعة سكانية مغلقة).
  5. تبقى هذه الظروف ثابتة خلال فترة الوباء.

يتم ضبط المعايير التالية مبدئيًا:

  • حجم السكان
  • عدد الأفراد الذين يتمتعون بالفعل بمناعة
  • عدد الحالات (عادةً ما يتم تحديده عند 1)
  • احتمالية التواصل الكافي

باستخدام هذه المعلومات، تسمح معادلة بسيطة بحساب عدد الأفراد الذين سيصابون بالعدوى، وعدد الذين سيكتسبون مناعة، خلال الفترة الزمنية التالية. وتُكرر هذه العملية حتى يصبح جميع السكان محصنين، أو حتى لا يتبقى أي أفراد مصابين. بعد ذلك، يمكن تشغيل النموذج بشكل متكرر، مع تعديل الشروط الأولية ، لمعرفة تأثير ذلك على تطور الوباء.

يتناسب احتمال الاتصال الكافي تقريبًا مع R0 ، وهو معدل التكاثر الأساسي - في مجتمع كبير عندما يكون العدد الأولي للمصابين صغيرًا، من المتوقع أن يتسبب الفرد المصاب في حدوث عدوى.R0=ln⁡(1/(1-ص)){\displaystyle {\mathcal {R}}_{0}=\ln(1/(1-p))} حالات جديدة.

الرياضيات

يتركأنات{\displaystyle I_{t}}يمثل عدد حالات العدوى في وقت واحدت{\displaystyle t}افترض أن جميع الحالات تتعافى أو تُزال في خطوة زمنية واحدة بالضبط.Sت{\displaystyle S_{t}}يمثل عدد الأفراد المعرضين للإصابة في وقت معينت{\displaystyle t}. يتركب(x){\displaystyle {\mathcal {B}}(x)}ليكن متغيرًا عشوائيًا من نوع برنولي يُرجع1{\displaystyle 1}باحتمالx{\displaystyle x}و0{\displaystyle 0}باحتمال1-x{\displaystyle 1-x}باستخدام اصطلاح ضرب المتغيرات العشوائية، يمكننا كتابة نموذج ريد-فروست على النحو التالي:

أنات+1=∑ك=0Sتب(1-(1-ص)أنات)،Sت+1=Sت-أنات+1{\displaystyle {\begin{aligned}I_{t+1}&=\sum _{k=0}^{S_{t}}{\mathcal {B}}(1-(1-p)^{I_{t}}),\\S_{t+1}&=S_{t}-I_{t+1}\end{aligned}}}

مع العدد الأولي للأفراد المعرضين للإصابة والمصابين(S0،أنا0){\displaystyle (S_{0},I_{0})}معطى. هنا،ص{\displaystyle p}هو احتمال أن يتصل شخص ما بشخص آخر في خطوة زمنية واحدة وأن يؤدي هذا الاتصال إلى انتقال المرض.

النهاية الحتمية هي (يتم إيجادها عن طريق استبدال المتغيرات العشوائية بتوقعاتها)،

أنات+1=Sت(1-(1-ص)أنات)،Sت+1=Sت(1-ص)أنات{\displaystyle {\begin{aligned}I_{t+1}&=S_{t}\,(1-(1-p)^{I_{t}}),\\S_{t+1}&=S_{t}\,(1-p)^{I_{t}}\end{aligned}}}

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ شوابي سي دبليو، ريمان إتش بي، فرانتي سي. (1977). علم الأوبئة في الممارسة البيطرية . ليا وفيبيجر. ص 258-260
  2. 1 2 آبي، هـ. (1952). "دراسة لنظرية ريد-فروست للأوبئة". علم الأحياء البشري . 24 (3): 201-233 . ISSN 0018-7143 . PMID 12990130 .  
  3. 1 2 3 ريد، لويل (1951) نظرية الأوبئة: ما هي؟ (برنامج تلفزيوني) يوتيوب ، تم الاطلاع عليه في 21 مارس 2021. مجلة جونز هوبكنز للعلوم، بالتيمور، ماريلاند
  4. ↑ جاكيز، جون أ. (1987). "ملاحظة حول نماذج السلسلة ذات الحدين لانتشار الأوبئة: ما الخطأ في صياغة ريد-فروست؟" . العلوم البيولوجية الرياضية . 87 : 73-82 . doi : 10.1016/0025-5564(87)90034-4 . hdl : 2027.42/26512 . ISSN 0025-5564 – عبر شركة إلسيفير للنشر العلمي. 
  5. ↑ بيكارد، فيليب؛ ليفيف، كلود (1990). "تحليل موحد لحجم وشدة التوزيع النهائي في عمليات وباء الصقيع الجماعي" . التقدم في الاحتمالات التطبيقية . 22 (2). مؤسسة الاحتمالات التطبيقية: 269-294 . doi : 10.2307/1427536 . ISSN 0001-8678 . JSTOR 1427536. تاريخ الاسترجاع: 9 أغسطس 2024 .  
  6. ↑ سوبر، هـ. إي. (1929). "تفسير الدورية في انتشار الأمراض" . مجلة الجمعية الإحصائية الملكية . 92 (1): 34-73 . doi : 10.2307/2341437 . ISSN 0952-8385 . JSTOR 2341437 .  
  7. ↑ ديتز، كلاوس (3 مايو 2009). "الأوبئة: ملاءمة النماذج الديناميكية الأولى للبيانات" . مجلة التحليل الرياضي المعاصر . 44 (2): 97-104 . doi : 10.3103/S1068362309020034 . ISSN 1934-9416 . S2CID 162120980 .  
  8. ↑ "لويل ريد | كلية جونز هوبكنز بلومبرج للصحة العامة" . publichealth.jhu.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 أكتوبر 2021 .
  9. ↑ إنجلمان، لوكاس (30 أغسطس 2021). "صندوق وحوض وكرات زجاجية: كيف أثرت نظرية ريد-فروست الوبائية على التفكير الوبائي في القرن العشرين" . تاريخ وفلسفة علوم الحياة . 43 (3) 105. doi : 10.1007/s40656-021-00445-z . ISSN 1742-6316 . PMC 8404547. PMID 34462807 .   
  10. ↑ بيكارد، فيليب؛ ليفيفري، كلود (1990). "تحليل موحد لحجم وشدة التوزيع النهائي في عمليات وباء الصقيع الجماعي" . التقدم في الاحتمالات التطبيقية . 22 (2): 269-294 . doi : 10.2307/1427536 . ISSN 0001-8678 . JSTOR 1427536 .  
  11. ↑ ديجفين، ماريا (2011). "الأوبئة والتطعيم على الرسوم البيانية الموزونة". العلوم البيولوجية الرياضية . 232 (1): 57-65 . arXiv : 1101.4154 . doi : 10.1016/ j.mbs.2011.04.003 . PMID 21536052. S2CID 1744357 .  
  12. ↑ "نموذج ريد-فروست للوباء" . مركز أوهايو للحوسبة الفائقة. 29 مايو 2012.