نظرية رينولدز للنقل

📅 آخر تحديث: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 21 صور
الموسوعة الحرة

في حساب التفاضل والتكامل ، تُعدّ نظرية رينولدز للنقل (المعروفة أيضًا باسم نظرية لايبنتز-رينولدز للنقل)، أو ببساطة نظرية رينولدز ، نسبةً إلى أوزبورن رينولدز (1842-1912)، تعميمًا ثلاثي الأبعاد لقاعدة لايبنتز التكاملية . تُستخدم هذه النظرية لإعادة صياغة المشتقات الزمنية للكميات المتكاملة، وهي مفيدة في صياغة المعادلات الأساسية لميكانيكا الأوساط المتصلة .

ضع في اعتبارك إجراء التكامل f = f ( x , t ) على المنطقة Ω( t ) المعتمدة على الزمن والتي لها حدود ∂Ω( t ) ، ثم أخذ المشتقة بالنسبة للزمن: ددت∫Ω(ت)ودV.{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV.} إذا أردنا تحويل المشتقة إلى تكامل، فهناك مسألتان: اعتماد الدالة f على الزمن ، وإدخال وإخراج الفضاء من Ω بسبب حدودها الديناميكية. توفر نظرية رينولدز للنقل الإطار اللازم.

الشكل العام

يمكن التعبير عن نظرية رينولدز للنقل على النحو التالي: [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]ددت∫Ω(ت)ودV=∫Ω(ت)∂و∂تدV+∫∂Ω(ت)(vب⋅ن)ودأ// \mathbf {n} \right)\mathbf {f} \,dA} حيث n ( x , t ) هو متجه الوحدة العمودي المتجه للخارج، و x نقطة في المنطقة، وt متغير التكامل، و dV و dA عنصري الحجم والسطح عند x ، و vb ( x , t ) سرعة عنصر المساحة ( وليست سرعة التدفق). قد تكون الدالة f ذات قيم موترية أو متجهة أو قياسية. [ 4 ] لاحظ أن التكامل في الطرف الأيسر دالة للزمن فقط، ولذلك تم استخدام المشتقة الكلية.

شكل عنصر مادي

في ميكانيكا الأوساط المتصلة، تُستخدم هذه النظرية غالبًا للعناصر المادية . وهي عبارة عن كتل من السوائل أو المواد الصلبة لا تدخلها أو تخرج منها أي مادة. إذا كان Ω( t ) عنصرًا ماديًا، فإن دالة السرعة v = v ( x , t ) موجودة ، وتخضع عناصر الحدود لـ vب⋅ن=v⋅ن.{\displaystyle \mathbf {v} _{b}\cdot \mathbf {n} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} .} يمكن استبدال هذا الشرط للحصول على: [ 5 ]ددت(∫Ω(ت)ودV)=∫Ω(ت)∂و∂تدV+∫∂Ω(ت)(v⋅ن)ودأ.// \mathbf {n} )\mathbf {f} \,dA.}

إثبات وجود عنصر مادي

لنفترض أن Ω₀ هي التكوين المرجعي للمنطقة Ω( t ) . ولنفترض أن الحركة وتدرج التشوه معطيان بواسطة x=φ(X،ت)،F(X،ت)=∇φ.{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} &={\boldsymbol {\varphi }}(\mathbf {X} ,t),\\{\boldsymbol {F}}(\mathbf {X} ,t)&={\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {\varphi }}.\end{aligned}}}

ليكن J ( X , t ) = det F ( X , t ) . عرّف و^(X،ت)=و(φ(X،ت)،ت).{\displaystyle {\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)=\mathbf {f} ({\boldsymbol {\varphi }}(\mathbf {X} ,t),t).} ثم ترتبط التكاملات في التكوينات الحالية والمرجعية بالعلاقة التالية ∫Ω(ت)و(x،ت)دV=∫Ω0و(φ(X،ت)،ت)ج(X،ت)دV0=∫Ω0و^(X،ت)ج(X،ت)دV0.{\displaystyle {\begin{align}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV&=\int _{\Omega _{0}}\mathbf {f} ({\boldsymbol {\varphi}}(\mathbf {X} ,t),t)\,J(\mathbf {X} ,t)\,dV_{0}\\&=\int _{\Omega _{0}}{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,J(\mathbf {X} ,t)\,dV_{0}.\end{محاذاة}}}

إن كون هذا الاشتقاق خاصًا بعنصر مادي أمرٌ مضمن في ثبات التكوين المرجعي مع الزمن: فهو ثابت في إحداثيات المادة. ويُعرَّف المشتق الزمني للتكامل على حجم ما على النحو التالي: ددت∫Ω(ت)و(x،ت)دV=ليمΔت→01Δت(∫Ω(ت+Δت)و(x،ت+Δت)دV-∫Ω(ت)و(x،ت)دV).// {x} ,\,t{+}\Delta t)\,dV-\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV\right).}

بتحويلها إلى تكاملات على التكوين المرجعي، نحصل على ددت∫Ω(ت)و(x،ت)دV=ليمΔت→01Δت(∫Ω0و^(X،ت+Δت)ج(X،ت+Δت)دV0-∫Ω0و^(X،ت)ج(X،ت)دV0).{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\left(\int _{\Omega _{0}}{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,\,t{+}\Delta t)\,J(\mathbf {X} ,\,t{+}\Delta t)\,dV_{0}-\int _{\Omega _{0}}{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,J(\mathbf {X} ,t)\,dV_{0}\يمين).}

بما أن Ω 0 مستقلة عن الزمن، فإن لدينا ددت∫Ω(ت)و(x،ت)دV=∫Ω0(ليمΔت→0و^(X،ت+Δت)ج(X،ت+Δت)-و^(X،ت)ج(X،ت)Δت)دV0=∫Ω0∂∂ت(و^(X،ت)ج(X،ت))دV0=∫Ω0(∂∂ت(و^(X،ت))ج(X،ت)+و^(X،ت)∂∂ت(ج(X،ت)))دV0.{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV&=\int _{\Omega _{0}}\left(\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,\,t{+}\Delta t)\,J(\mathbf {X} ,\,t{+}\Delta t)-{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,J(\mathbf {X} ,t)}{\Delta t}}\right)\,dV_{0}\\&=\int _{\Omega _{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,J(\mathbf {X} ,t)\right)\,dV_{0}\\&=\int _{\Omega _{0}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}{\big (}{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t){\big )}\,J(\mathbf {X} ,t)+{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,{\frac {\partial }{\partial t}}{\big (}J(\mathbf {X} ,t){\big )}\right)\,dV_{0}.\end{aligned}}}

يُعطى المشتق الزمني لـ J بواسطة: [ 6 ]∂∂تج(X،ت)=∂∂ت(المحققF)=(المحققF)tr⁡(F-1∂F∂ت)=(المحققF)tr⁡(∂X∂φ∂∂ت(∂φ∂X))=(المحققF)tr⁡(∂X∂φ∂∂X(∂φ∂ت))=(المحققF)tr⁡(∂∂x(∂φ∂ت))=(المحققF)(∇⋅v)=ج(X،ت)∇⋅v(φ(X،ت)،ت)=ج(X،ت)∇⋅v(x،ت).{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}J(\mathbf {X} ,t)&={\frac {\partial }{\partial t}}(\det {\boldsymbol {F}})\\&=(\det {\boldsymbol {F}})\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {F}}^{-1}{\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial t}}\right)\\&=(\det {\boldsymbol {F}})\operatorname {tr} \left({\frac {\partial {\boldsymbol {X}}}{\partial {\boldsymbol {\varphi }}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\varphi }}}{\partial {\boldsymbol {X}}}}\right)\right)\\&=(\det {\boldsymbol {F}})\operatorname {tr} \left({\frac {\partial {\boldsymbol {X}}}{\partial {\boldsymbol {\varphi }}}}{\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {X}}}}\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\varphi }}}{\partial t}}\right)\right)\\&=(\det {\boldsymbol {F}})\operatorname {tr} \left({\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {x}}}}\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\varphi }}}{\partial t}}\right)\right)\\&=(\det {\boldsymbol {F}})({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} )\\&=J(\mathbf {X} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} {\big (}{\boldsymbol {\varphi }}(\mathbf {X} ,t),t{\big )}\\&=J(\mathbf {X} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t).\end{aligned}}}

لذلك، ددت∫Ω(ت)و(x،ت)دV=∫Ω0(∂∂ت(و^(X،ت))ج(X،ت)+و^(X،ت)ج(X،ت)∇⋅v(x،ت))دV0=∫Ω0(∂∂ت(و^(X،ت))+و^(X،ت)∇⋅v(x،ت))ج(X،ت)دV0=∫Ω(ت)(و˙(x،ت)+و(x،ت)∇⋅v(x،ت))دV.{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV&=\int _{\Omega _{0}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}\left({\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\right)\,J(\mathbf {X} ,t)+{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,J(\mathbf {X} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right)\,dV_{0}\\&=\int _{\Omega _{0}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}\left({\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\right)+{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right)\,J(\mathbf {X} ,t)\,dV_{0}\\&=\int _{\Omega (t)}\left({\dot {\mathbf {f} }}(\mathbf {x} ,t)+\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right)\,dV.\end{aligned}}} أينو˙{\displaystyle {\dot {\mathbf {f} }}}هي المشتقة الزمنية المادية للدالة f . وتُعطى المشتقة المادية بالصيغة التالية: و˙(x،ت)=∂و(x،ت)∂ت+(∇و(x،ت))⋅v(x،ت).{\displaystyle {\dot {\mathbf {f} }}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}+{\big (}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t){\big )}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t).}

لذلك، ددت∫Ω(ت)و(x،ت)دV=∫Ω(ت)(∂و(x،ت)∂ت+(∇و(x،ت))⋅v(x،ت)+و(x،ت)∇⋅v(x،ت))دV،{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV=\int _{\Omega (t)}\left({\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}+{\big (}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t){\big )}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right)\,dV,} أو، ددت∫Ω(ت)ودV=∫Ω(ت)(∂و∂ت+∇و⋅v+و∇⋅v)دV.{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV=\int _{\Omega (t)}\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} +\mathbf {f} \,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} \right)\,dV.}

استخدام الهوية ∇⋅(v⊗w)=v(∇⋅w)+∇v⋅w،{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )=\mathbf {v} ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {w} )+{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} ,} ثم لدينا ددت(∫Ω(ت)ودV)=∫Ω(ت)(∂و∂ت+∇⋅(و⊗v))دV.{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV\right)=\int _{\Omega (t)}\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {f} \otimes \mathbf {v} )\right)\,dV.}

باستخدام نظرية التباعد والمتطابقة ( أ ⊗ ب ) · ن = ( ب · ن ) أ ، لدينا ددت(∫Ω(ت)ودV)=∫Ω(ت)∂و∂تدV+∫∂Ω(ت)(و⊗v)⋅ندأ=∫Ω(ت)∂و∂تدV+∫∂Ω(ت)(v⋅ن)ودأ.{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV\right)&=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}\,dV+\int _{\partial \Omega (t)}(\mathbf {f} \otimes \mathbf {v} )\cdot \mathbf {n} \,dA\\&=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}\,dV+\int _{\partial \Omega (t)}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {f} \,dA.\end{aligned}}}QED

حالة خاصة

إذا اعتبرنا Ω ثابتًا بالنسبة للزمن، فإن v b = 0 ، وتختزل المتطابقة إلى ددت∫ΩودV=∫Ω∂و∂تدV.{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }f\,dV=\int _{\Omega }{\frac {\partial f}{\partial t}}\,dV.} كما هو متوقع. (لا يمكن تحقيق هذا التبسيط إذا تم استخدام سرعة التدفق بشكل غير صحيح بدلاً من سرعة عنصر المساحة.)

التفسير والاختزال إلى بُعد واحد

تُعدّ هذه النظرية امتدادًا متعدد الأبعاد للتفاضل تحت علامة التكامل، وتُختزل إلى هذا التعبير في بعض الحالات. لنفترض أن f مستقلة عن y و z ، وأن Ω( t ) مربع وحدة في المستوى yz وله نهايات x هي a ( t ) و b ( t ) . عندئذٍ، تُختزل نظرية رينولدز للنقل إلى ددت∫أ(ت)ب(ت)و(x،ت)دx=∫أ(ت)ب(ت)∂و∂تدx+∂ب(ت)∂تو(ب(ت)،ت)-∂أ(ت)∂تو(أ(ت)،ت)،{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{a(t)}^{b(t)}f(x,t)\,dx=\int _{a(t)}^{b(t)}{\frac {\partial f}{\partial t}}\,dx+{\frac {\partial b(t)}{\partial t}}f{\big (}b(t),t{\big )}-{\frac {\partial a(t)}{\partial t}}f{\big (}a(t),t{\big )}\,,} وهو، باستثناء تبديل x و t ، التعبير القياسي للتفاضل تحت علامة التكامل.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ ليال، إل جي (2007). ظواهر النقل المتقدمة: ميكانيكا الموائع وعمليات النقل الحراري . مطبعة جامعة كامبريدج. ص  23. ISBN 978-0-521-84910-4.
  2. ↑ رينولدز، أو. (1903). أوراق بحثية في المواضيع الميكانيكية والفيزيائية . المجلد 3، الميكانيكا الفرعية للكون. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 12-13 .  
  3. ↑ مارسدن، جيه إي ؛ ترومبا، أ. (2003). حساب المتجهات ( الطبعة الخامسة). نيويورك: دبليو إتش فريمان . ISBN  978-0-7167-4992-9.
  4. ↑ ياماغوتشي، هـ. (2008). ميكانيكا الموائع الهندسية . دوردريخت: سبرينغر. ص 23. ISBN  978-1-4020-6741-9.
  5. ↑ بيليتشكو، ت .؛ ليو، و.ك.؛ موران، ب. (2000). العناصر المحدودة غير الخطية للأوساط المتصلة والهياكل . نيويورك: جون وايلي وأولاده. ISBN 0-471-98773-5.
  6. ↑ جورتين، م. إ. (1981). مقدمة في ميكانيكا الأوساط المتصلة . نيويورك: أكاديميك برس. ص 77. ISBN  0-12-309750-9.
  • أوزبورن رينولدز، أوراق بحثية مجمعة في المواضيع الميكانيكية والفيزيائية، في ثلاثة مجلدات، نُشرت حوالي عام 1903، وهي متاحة الآن بالكامل ومجانًا بصيغة رقمية: المجلد 1 ، المجلد 2 ، المجلد 3 .
  • "الوحدة 6 - نظرية رينولدز للنقل" . ME6601: مقدمة في ميكانيكا الموائع . معهد جورجيا للتكنولوجيا. مؤرشف من الأصل في 27 مارس 2008.
  • "نظرية رينولدز للنقل" . planetmath.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 22-04-2024 .