قاعدة لايبنتز التكاملية

نثبت أولاً حالة الحدود الثابتة للتكامل a و b .

نستخدم نظرية فوبيني لتغيير ترتيب التكامل. لكل x و h ، بحيث يكون h > 0 ويكون كل من x و x + h ضمن الفترة [ x ₀ , x ₁ ] ، لدينا: $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x}^{x+h}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx&=\int _{a}^{b}\int _{x}^{x+h}f_{x}(x,t)\,dx\,dt\\[2ex]&=\int _{a}^{b}\left(f(x+h,t)-f(x,t)\right)\,dt\\[2ex]&=\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt\end{aligned}}}$$

لاحظ أن التكاملات المطروحة محددة جيدًا لأن${\displaystyle f_{x}(x,t)}$تكون متصلة عند المستطيل المغلق${\displaystyle [x_{0},x_{1}]\times [a,b]}$وبالتالي فهي متصلة بشكل منتظم هناك أيضًا؛ وبالتالي فإن تكاملاتها إما بواسطة dt أو dx تكون متصلة في المتغير الآخر وقابلة للتكامل أيضًا بواسطته (وهذا أساسًا لأنه بالنسبة للدوال المتصلة بشكل منتظم، يمكن للمرء أن يمرر النهاية من خلال علامة التكامل، كما هو موضح أدناه).

لذلك: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}{h}}&={\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx\\[2ex]&={\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}\end{aligned}}}$$

حيث حددنا: $${\displaystyle F(u):=\int _{x_{0}}^{u}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx}$$ (يمكننا استبدال x ₀ هنا بأي نقطة أخرى بين x ₀ و x )

الدالة F قابلة للتفاضل ولها مشتقة${\textstyle \int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt}$لذا يمكننا حساب النهاية عندما تقترب h من الصفر. بالنسبة للطرف الأيسر، تكون هذه النهاية كالتالي: $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}$$

أما بالنسبة للجانب الأيمن، فنحصل على: $${\displaystyle F'(x)=\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt}$$ وبذلك نثبت النتيجة المرجوة: $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt=\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt}$$

برهان آخر باستخدام نظرية التقارب المحدود

إذا كانت التكاملات المطروحة هي تكاملات ليبيغ ، فيمكننا استخدام نظرية التقارب المحدود (الصحيحة لهذه التكاملات، ولكن ليس لتكاملات ريمان ) لإظهار أنه يمكن تمرير النهاية من خلال علامة التكامل.

لاحظ أن هذا البرهان أضعف بمعنى أنه يُظهر فقط أن الدالة f ₍ x , t ) قابلة للتكامل وفقًا لمعيار ليبيغ، وليس أنها قابلة للتكامل وفقًا لمعيار ريمان. في البرهان السابق (الأقوى)، إذا كانت f ( x , t ) قابلة للتكامل وفقًا لمعيار ريمان، فإن f ₍ x , t ) قابلة للتكامل وفقًا لمعيار ليبيغ أيضًا (وبالتالي فهي قابلة للتكامل وفقًا لمعيار ليبيغ).

يترك

$${\displaystyle u(x)=\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt.}$$

1

بحسب تعريف المشتقة،

$${\displaystyle u'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {u(x+h)-u(x)}{h}}.}$$

2

بتعويض المعادلة ( 1 ) في المعادلة ( 2 )، نجد أن الفرق بين تكاملين يساوي تكامل الفرق، و 1/ h ثابت، لذا $${\displaystyle {\begin{aligned}u'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\int _{a}^{b}\left(f(x+h,t)-f(x,t)\right)\,dt}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}\int _{a}^{b}{\frac {f(x+h,t)-f(x,t)}{h}}\,dt.\end{aligned}}}$$

سنوضح الآن أنه يمكن تمرير النهاية عبر علامة التكامل.

ندّعي أن مرور النهاية تحت علامة التكامل صحيح وفقًا لنظرية التقارب المحدود (وهي نتيجة لنظرية التقارب المسيطر ). لكل δ > 0، نعتبر خارج قسمة الفرق$${\displaystyle f_{\delta }(x,t)={\frac {f(x+\delta ,t)-f(x,t)}{\delta }}.}$$ بالنسبة لقيمة t ثابتة، تنص نظرية القيمة المتوسطة على وجود قيمة z في الفترة [ x , x + δ ] بحيث $${\displaystyle f_{\delta }(x,t)=f_{x}(z,t).}$$إن استمرارية الدالة f ( _x , t ) وتراص المجال يستلزمان معًا أن f ( _x , t ) محدودة. وبالتالي ، فإن تطبيق نظرية القيمة المتوسطة أعلاه يعطي توزيعًا منتظمًا (مستقلًا عن${\displaystyle t}$) مقيد بـ${\displaystyle f_{\delta }(x,t)}$. تتقارب فروق القسمة نقطيًا إلى المشتقة الجزئية f _x بافتراض أن المشتقة الجزئية موجودة.

تُظهر الحجة السابقة أنه لكل متتالية { δn _} → 0، فإن المتتالية${\displaystyle \{f_{\delta _{n}}(x,t)\}}$تكون الدالة محدودة بانتظام وتتقارب نقطيًا إلى f( _x) . تنص نظرية التقارب المحدود على أنه إذا كانت متتالية من الدوال على مجموعة ذات قياس محدود محدودة بانتظام وتتقارب نقطيًا، فإن مرور النهاية تحت التكامل يكون صحيحًا. على وجه الخصوص، يمكن تبديل النهاية والتكامل لكل متتالية { δn _} → 0. لذلك، يمكن تمرير النهاية عندما δ → 0 عبر علامة التكامل.

إذا علمنا بدلاً من ذلك أن هناك دالة قابلة للتكامل${\displaystyle \theta \colon \Omega \to \mathbf {R} }$بحيث${\displaystyle |f_{x}(x,\omega )|\leq \theta (\omega )}$، ثم${\displaystyle |f_{\delta }(x,t)|=|f_{x}(z,t)|\leq \theta (\omega )}$وتسمح لنا نظرية التقارب المسيطر بنقل النهاية داخل التكامل.

بالنسبة لدالة حقيقية متصلة g لمتغير حقيقي واحد ، ودوال حقيقية قابلة للتفاضل${\displaystyle f_{1}}$و${\displaystyle f_{2}}$لمتغير حقيقي واحد، $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)=g\left(f_{2}(x)\right){f_{2}'(x)}-g\left(f_{1}(x)\right){f_{1}'(x)}.}$$

هذا ناتج عن قاعدة السلسلة والنظرية الأساسية الأولى في حساب التفاضل والتكامل . عرّف $${\displaystyle G(x)=\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt,}$$ و $${\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{x}g(t)\,dt.}$$ (يجب أن يكون الحد الأدنى مجرد رقم ما في نطاق${\displaystyle g}$)

ثم،${\displaystyle G(x)}$يمكن كتابتها كتركيب موسيقي :${\displaystyle G(x)=(\Gamma \circ f_{2})(x)-(\Gamma \circ f_{1})(x)}$وبالتالي ، فإن قاعدة السلسلة تعني أن $${\displaystyle G'(x)=\Gamma '\left(f_{2}(x)\right)f_{2}'(x)-\Gamma '\left(f_{1}(x)\right)f_{1}'(x).}$$ بحسب النظرية الأساسية الأولى في حساب التفاضل والتكامل ،${\displaystyle \Gamma '(x)=g(x)}$وبالتالي، بالتعويض بهذه النتيجة أعلاه، نحصل على المعادلة المطلوبة: $${\displaystyle G'(x)=g\left(f_{2}(x)\right){f_{2}'(x)}-g\left(f_{1}(x)\right){f_{1}'(x)}.}$$

ملاحظة: يمكن أن يكون هذا الشكل مفيدًا بشكل خاص إذا كان التعبير المراد تمييزه على الشكل التالي: $${\displaystyle \int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}h(x)\,g(t)\,dt}$$ لأن${\displaystyle h(x)}$لا يعتمد على حدود التكامل، ويمكن إخراجه من تحت علامة التكامل، ويمكن استخدام الشكل أعلاه مع قاعدة الضرب ، أي $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}h(x)g(t)\,dt\right)&={\frac {d}{dx}}\left(h(x)\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)\\&=h'(x)\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt+h(x){\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)\end{aligned}}}$$

تعيين $${\displaystyle \varphi (\alpha )=\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx,}$$ حيث أن a و b دالتان لـ α تظهران زيادات Δa و Δb على التوالي، عندما تزداد α بمقدار Δα . ثم، $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[4pt]&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[4pt]&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[4pt]&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx.\end{aligned}}}$$

شكل من أشكال نظرية القيمة المتوسطة ،${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)f(\xi )}$، حيث a < ξ < b ، يمكن تطبيقها على التكاملين الأول والأخير من صيغة Δ φ أعلاه، مما ينتج عنه $${\displaystyle \Delta \varphi =-\Delta af(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\Delta bf(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha ).}$$

نقسم على Δα ونجعل Δα → 0. لاحظ أن _ξ1 → a و ξ2 → _b . يمكننا تمرير النهاية عبر علامة التكامل: $${\displaystyle \lim _{\Delta \alpha \to 0}\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx,}$$ مرة أخرى، باستخدام نظرية التقارب المحدود. وهذا يُعطي الشكل العام لقاعدة لايبنتز التكاملية. $${\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx+f(b,\alpha ){\frac {db}{d\alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {da}{d\alpha }}.}$$

يمكن اشتقاق الشكل العام لقاعدة لايبنتز التكاملية ذات النهايات المتغيرة كنتيجة للشكل الأساسي لقاعدة لايبنتز التكاملية، وقاعدة السلسلة متعددة المتغيرات ، والنظرية الأساسية الأولى في حساب التفاضل والتكامل . لنفترض${\displaystyle f}$يتم تعريفها في مستطيل في${\displaystyle x}$-${\displaystyle t}$طائرة، من أجل${\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}]}$و${\displaystyle t\in [t_{1},t_{2}]}$وافترض أيضًا${\displaystyle f}$والمشتق الجزئي${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$كلاهما دالتان متصلتان على هذا المستطيل. لنفترض${\displaystyle a,b}$هي دوال حقيقية قابلة للتفاضل معرفة على${\displaystyle [x_{1},x_{2}]}$، بقيم في${\displaystyle [t_{1},t_{2}]}$(أي لكل${\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}],a(x),b(x)\in [t_{1},t_{2}]}$الآن، اضبط $${\displaystyle F(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}f(x,t)\,dt,\qquad {\text{for}}~x\in [x_{1},x_{2}]~{\text{and}}~y\in [t_{1},t_{2}]}$$ و $${\displaystyle G(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,\quad {\text{for}}~x\in [x_{1},x_{2}]}$$

ثم، باستخدام خصائص التكاملات المحددة ، يمكننا كتابة $${\displaystyle G(x)=\int _{t_{1}}^{b(x)}f(x,t)\,dt-\int _{t_{1}}^{a(x)}f(x,t)\,dt=F(x,b(x))-F(x,a(x))}$$

بما أن الوظائف${\displaystyle F,a,b}$بما أن جميعها قابلة للتفاضل (انظر الملاحظة في نهاية البرهان)، فإنه وفقًا لقاعدة السلسلة متعددة المتغيرات ، يترتب على ذلك أن${\displaystyle G}$الدالة قابلة للتفاضل، ومشتقتها معطاة بالصيغة التالية: $${\displaystyle G'(x)=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}(x,b(x))+{\frac {\partial F}{\partial b(x)}}(x,b(x))b'(x)\right)-\left({\frac {\partial F}{\partial x}}(x,a(x))+{\frac {\partial F}{\partial a(x)}}(x,a(x))a'(x)\right)}$$والآن، لاحظ أنه لكل${\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}]}$ولكل${\displaystyle y\in [t_{1},t_{2}]}$لدينا ذلك${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt}$لأنه عند حساب المشتقة الجزئية بالنسبة إلى${\displaystyle x}$ل${\displaystyle F}$، نحن نحتفظ${\displaystyle y}$ثابت في التعبير${\textstyle \int _{t_{1}}^{y}f(x,t)\,dt}$وبالتالي، ينطبق الشكل الأساسي لقاعدة لايبنتز التكاملية مع حدود تكامل ثابتة. بعد ذلك، وبحسب النظرية الأساسية الأولى في حساب التفاضل والتكامل ، لدينا أن${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=f(x,y)}$لأنه عند حساب المشتقة الجزئية بالنسبة إلى${\displaystyle y}$ل${\displaystyle F}$المتغير الأول${\displaystyle x}$بما أن المتغير ثابت، فإنه يمكن تطبيق النظرية الأساسية بالفعل.

بإدخال هذه النتائج في المعادلة الخاصة بـ${\displaystyle G'(x)}$أعلاه يعطي: $${\displaystyle {\begin{aligned}G'(x)&=\left(\int _{t_{1}}^{b(x)}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt+f(x,b(x))b'(x)\right)-\left(\int _{t_{1}}^{a(x)}{\dfrac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt+f(x,a(x))a'(x)\right)\\[2pt]&=f(x,b(x))b'(x)-f(x,a(x))a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt,\end{aligned}}}$$ حسب الرغبة.

هناك نقطة فنية في البرهان أعلاه تستحق الذكر: تطبيق قاعدة السلسلة على${\displaystyle G}$يتطلب ذلك${\displaystyle F}$يجب أن تكون قابلة للتفاضل بالفعل . هنا نستخدم افتراضاتنا حول${\displaystyle f}$كما ذكر أعلاه، فإن المشتقات الجزئية لـ${\displaystyle F}$يتم تحديدها بواسطة الصيغ ${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt}$و${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=f(x,y)}$. منذ${\textstyle {\dfrac {\partial f}{\partial x}}}$بما أن الدالة متصلة، فإن تكاملها هو أيضًا دالة متصلة، ^{[ 8 ]} وبما أن${\displaystyle f}$وبما أن الدالة متصلة أيضاً، فإن هاتين النتيجتين تُظهران أن كلا المشتقات الجزئية لـ${\displaystyle F}$متصلة. بما أن اتصال المشتقات الجزئية يستلزم قابلية اشتقاق الدالة، ^{[ 9 ]}${\displaystyle F}$وهي قابلة للتفاضل بالفعل.

في الوقت t، يحتوي السطح Σ في الشكل 1 على مجموعة من النقاط المرتبة حول مركز ثقل${\displaystyle \mathbf {C} (t)}$الوظيفة${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)}$يمكن كتابتها على النحو التالي $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {r} -\mathbf {C} (t),t)=\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t),}$$ مع${\displaystyle \mathbf {I} }$مستقلة عن الزمن. يتم نقل المتغيرات إلى إطار مرجعي جديد مرتبط بالسطح المتحرك، مع وجود نقطة الأصل عند${\displaystyle \mathbf {C} (t)}$بالنسبة لسطح يتحرك بشكل صلب، فإن حدود التكامل تكون مستقلة عن الزمن، لذا: $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\iint _{\Sigma (t)}d\mathbf {A} _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right)=\iint _{\Sigma }d\mathbf {A} _{\mathbf {I} }\cdot {\frac {d}{dt}}\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t),}$$ حيث أن حدود التكامل التي تحصر التكامل في المنطقة Σ لم تعد تعتمد على الزمن، لذا فإن التفاضل يمر عبر التكامل ليؤثر على الدالة المراد تكاملها فقط: $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)+\mathbf {v\cdot \nabla F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t),}$$ بسرعة حركة السطح المحددة بواسطة $${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d}{dt}}\mathbf {C} (t).}$$

تُعبّر هذه المعادلة عن المشتقة المادية للحقل، أي المشتقة بالنسبة لنظام إحداثيات مُرتبط بالسطح المتحرك. بعد إيجاد المشتقة، يُمكن إعادة المتغيرات إلى إطارها المرجعي الأصلي. نلاحظ أن (انظر المقال حول الدوران ) $${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)=(\nabla \cdot \mathbf {F} +\mathbf {F} \cdot \nabla )\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {F} ,}$$ وأن نظرية ستوكس تساوي التكامل السطحي للدوران على Σ مع التكامل الخطي على ∂Σ : $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} \right)=\iint _{\Sigma (t)}{\big (}\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left(\mathbf {F\cdot \nabla } \right)\mathbf {v} +\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v} )\mathbf {F} {\big )}\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)\cdot d\mathbf {s} .}$$

تعتمد إشارة التكامل الخطي على قاعدة اليد اليمنى لاختيار اتجاه عنصر الخط d s . لتحديد هذه الإشارة، على سبيل المثال، لنفترض أن المجال F يشير إلى الاتجاه الموجب للمحور z ، وأن السطح Σ هو جزء من المستوى xy بمحيط ∂Σ. نعتبر أن العمودي على Σ هو الاتجاه الموجب للمحور z . يكون اجتياز ∂Σ الموجب عكس اتجاه عقارب الساعة (قاعدة اليد اليمنى مع توجيه الإبهام على طول المحور z ). عندئذٍ، يحدد التكامل في الطرف الأيسر تدفقًا موجبًا لـ F عبر Σ. لنفترض أن Σ يتحرك في الاتجاه الموجب للمحور x بسرعة v . يقوم عنصر من حدود Σ موازٍ للمحور y ، ولنسمه d s ، بمسح مساحة v t × d s في زمن t . إذا أجرينا التكامل حول حدود ∂Σ عكس اتجاه عقارب الساعة، فإن v t × d s يشير إلى الاتجاه السالب لمحور z على الجانب الأيسر من ∂Σ (حيث يشير d s إلى الأسفل)، وإلى الاتجاه الموجب لمحور z على الجانب الأيمن من ∂Σ (حيث يشير d s إلى الأعلى)، وهذا منطقي لأن Σ تتحرك إلى اليمين، فتزداد مساحتها على اليمين وتنقص على اليسار. بناءً على ذلك، يزداد تدفق F على يمين ∂Σ ويتناقص على يسارها. مع ذلك، فإن حاصل الضرب القياسي v × F ⋅ d s = − F × v ⋅ d s = − F ⋅ v × d s . وبالتالي، تُعتبر إشارة التكامل الخطي سالبة.

إذا كانت v ثابتة، $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}{\big (}\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathbf {v} {\big )}\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)\cdot \,d\mathbf {s} ,}$$ وهي النتيجة المذكورة. لا يأخذ هذا البرهان في الاعتبار إمكانية تشوه السطح أثناء حركته.

اللمة. لدينا: $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)=f(b),\qquad {\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)=-f(a).}$$

البرهان. من برهان النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل ،

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left(\int _{a}^{b+\Delta b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\\[1ex]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\\[1ex]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\int _{b}^{b+\Delta b}f(x)\,dx\\[1ex]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left[f(b)\Delta b+O\left(\Delta b^{2}\right)\right]\\[1ex]&=f(b),\end{aligned}}}$$ و $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[\int _{a+\Delta a}^{b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]\\[6pt]&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\int _{a+\Delta a}^{a}f(x)\,dx\\[6pt]&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[-f(a)\Delta a+O\left(\Delta a^{2}\right)\right]\\[6pt]&=-f(a).\end{aligned}}}$$

لنفترض أن a و b ثابتان، وأن f ( x ) تتضمن وسيطًا α ثابتًا في التكامل ولكنه قد يتغير لتكوين تكاملات مختلفة. لنفترض أن f ( x , α ) دالة متصلة لـ x و α في المجموعة المدمجة {( x , α )  : α₀ _≤ α₀ ≤ α₁ و a ≤ x ≤ b _} ، وأن المشتقة الجزئية fα ( x , α ) موجودة ومتصلة. إذا عرّفنا _:$${\displaystyle \varphi (\alpha )=\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx,}$$ ثم${\displaystyle \varphi }$يمكن اشتقاقها بالنسبة إلى α عن طريق الاشتقاق تحت علامة التكامل، أي $${\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx.}$$

بحسب نظرية هاين-كانتور، فإنها متصلة بانتظام في تلك المجموعة. بعبارة أخرى، لأي قيمة ε > 0، يوجد Δα بحيث أنه لجميع قيم x في [ a , b ]، $${\displaystyle |f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )|<\varepsilon .}$$

على الجانب الآخر، $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[6pt]&=\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=\int _{a}^{b}\left(f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )\right)\,dx\\[6pt]&\leq \varepsilon (b-a).\end{aligned}}}$$

وبالتالي فإن φ ( α ) دالة متصلة.

وبالمثل إذا${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )}$إذا كان موجودًا ومستمرًا، فإنه لكل ε > 0 يوجد Δ α بحيث: $${\displaystyle \forall x\in [a,b],\quad \left|{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}-{\frac {\partial f}{\partial \alpha }}\right|<\varepsilon .}$$

لذلك، $${\displaystyle {\frac {\Delta \varphi }{\Delta \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial f(x,\alpha )}{\partial \alpha }}\,dx+R,}$$ أين $${\displaystyle |R|<\int _{a}^{b}\varepsilon \,dx=\varepsilon (b-a).}$$

الآن، ε → 0 كـ Δ α → 0، إذن $${\displaystyle \lim _{{\Delta \alpha }\to 0}{\frac {\Delta \varphi }{\Delta \alpha }}={\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx.}$$

هذه هي الصيغة التي شرعنا في إثباتها.

والآن، لنفترض $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx=\varphi (\alpha ),}$$ حيث أن a و b دالتان لـ α تأخذان زيادات Δa و Δb على التوالي، عندما تزداد α بمقدار Δα . ثم، $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[6pt]&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx.\end{aligned}}}$$

شكل من أشكال نظرية القيمة المتوسطة ،${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)f(\xi ),}$حيث يمكن تطبيق a < ξ < b على التكاملين الأول والأخير من صيغة Δ φ أعلاه، مما ينتج عنه $${\displaystyle \Delta \varphi =-\Delta a\,f(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\Delta b\,f(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha ).}$$

بقسمة Δα على Δα ، وجعل Δα → 0، وملاحظة أن _ξ1 → a و ξ2 → b ، _{وباستخدام} الاشتقاق أعلاه لـ $${\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx}$$ العائد $${\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx+f(b,\alpha ){\frac {\partial b}{\partial \alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {\partial a}{\partial \alpha }}.}$$

هذا هو الشكل العام لقاعدة لايبنتز التكاملية.

ضع في اعتبارك الدالة

${\displaystyle \varphi (\alpha )=\int _{0}^{1}{\frac {\alpha }{x^{2}+\alpha ^{2}}}\,dx.}$

الدالة تحت علامة التكامل غير متصلة عند النقطة${\displaystyle (x,\alpha )=(0,0)}$، والوظيفة${\displaystyle \varphi (\alpha )}$يوجد انقطاع عند${\displaystyle \alpha =0}$لأن${\displaystyle \varphi (\alpha )}$الأساليب${\displaystyle \pm \pi /2}$مثل${\displaystyle \alpha \to 0^{\pm }}$.

إذا قمنا بالتمييز${\displaystyle \varphi (\alpha )}$بالنسبة إلى${\displaystyle \alpha }$تحت علامة التكامل، نحصل على $${\displaystyle {\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha )=\int _{0}^{1}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left({\frac {\alpha }{x^{2}+\alpha ^{2}}}\right)\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}-\alpha ^{2}}{(x^{2}+\alpha ^{2})^{2}}}dx=\left.-{\frac {x}{x^{2}+\alpha ^{2}}}\right|_{0}^{1}=-{\frac {1}{1+\alpha ^{2}}},}$$ ل${\displaystyle \alpha \neq 0}$يمكن دمج ذلك (فيما يتعلق بـ${\displaystyle \alpha }$) للعثور $${\displaystyle \varphi (\alpha )={\begin{cases}0,&\alpha =0,\\-\arctan({\alpha })+{\frac {\pi }{2}},&\alpha \neq 0.\end{cases}}}$$

مثال ذو حدود متغيرة: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\int _{\sin x}^{\cos x}\cosh t^{2}\,dt&=\cosh \left(\cos ^{2}x\right){\frac {d}{dx}}(\cos x)-\cosh \left(\sin ^{2}x\right){\frac {d}{dx}}(\sin x)+\int _{\sin x}^{\cos x}{\frac {\partial }{\partial x}}(\cosh t^{2})\,dt\\[6pt]&=\cosh(\cos ^{2}x)(-\sin x)-\cosh(\sin ^{2}x)(\cos x)+0\\[6pt]&=-\cosh(\cos ^{2}x)\sin x-\cosh(\sin ^{2}x)\cos x.\end{aligned}}}$$

الصيغة $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt}$$ يمكن أن تكون مفيدة عند حساب بعض التكاملات المحددة. وعند استخدامها في هذا السياق، تُعرف قاعدة لايبنتز للتكامل، التي تُستخدم للتفاضل تحت علامة التكامل، أيضاً باسم خدعة فاينمان للتكامل.